intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài viết Toán học Bất đẳng thức & cực trị lượng giác - Nguyễn Minh Đức

Chia sẻ: Nguyễn Minh Đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
256
lượt xem 24
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức & cực trị lượng giác là một trong những nội dung thường được ra trong môn Toán học ở các kỳ thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học. Và để nắm bắt tốt hơn những kiến thức về bất đẳng thức cũng như cực trị lượng giác mời các bạn tham khảo bài viết Toán học Bất đẳng thức & cực trị lượng giác của Nguyễn Minh Đức.

 

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài viết Toán học Bất đẳng thức & cực trị lượng giác - Nguyễn Minh Đức

  1. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Viết Toán Học Baát Ñaúng Thöùc & Cöïc Trò Löôïng Giaùc Duc_Huyen1604 1
  2. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Lời Mở: Trong quá trình tìm hiểu về phần “Bất Đẳng Thức-Cực Trị Lượng Giác” tôi xin viết nên bài viết nhỏ này! Trong bài viết là một số bài toán và lời giải tham khảo. Trong quá trình viết không thể không gặp sai sót. Mong bạn đọc cho ý kiến đóng góp! My Facebook: www.facebook.com/gaulovemiu1604 Gmail: lovemiu1604@gmail.com A B 3 sin sin Bài Toán 1: Cho ABC , tìm GTLN của P  2 2 . 5 4 1 1 C sin 2 Giải: Áp dụng BĐT BCS ta có:   1  5  1 5   5  1    3  C  3 C  sin  sin  2  2 4 5 1 5  1   3 C 3 C sin sin 2 2   1  5  5  4 1   1  3 C  C  sin  sin  2  2 3 1 C   sin 5 5 2 4 1 1 C sin 2 Suy ra: 1  AB C C 1  C C P  cos  sin  sin   1  sin  sin 10  2 2 2 10  2 2 2
  3. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có :  C C  1  sin  sin  2 2 1  C  C  C   1  sin   1  sin  .2 sin 2  2  2  2 3  C C C  1  sin  1  sin  2 sin  1  2 2 2 1 8 2   .  2 27 2 27 3 3 1 2 3 Từ đó ta suy ra: P .  10 3 3 45  1 C   sin  3 2 A  B  AB  Dấu « = » xảy ra khi cos 1   C 1.  2 sin  C 1  sin  2 sin C  2 3  2 2  3 Vậy Max P  . 45 Bài Toán 2: Cho A, B,C là ba góc của một tam giác.Chứng minh rằng : 1 5 A B C 6  4  cos A  cos B  cosC   sin  sin  sin 2 2 2 Giải : Áp dụng BĐT AM-GM ta có: A B sin sin A B 2 .2 sin B cos B . 2 .2 sin A cos A tan sin B  tan sin A  2 2 2 A 2 2 B 2 2 cos cos 2 2 A B A B  tan sin B  tan sin A  4 sin sin (1) 2 2 2 2 Tương tự ta có: B C B C tan sin C  tan sin B  4 sin sin (2) 2 2 2 2 C A C A tan sin A  tan sin C  4 sin sin (3) 2 2 2 2 3
  4. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta suy ra được : A B C tan 2   sin B  sinC  tan 2  sinC  sin A  tan 2   sin A  sin B   A B B C C A  4  sin sin  sin sin  sin sin  (*)  2 2 2 2 2 2 Ta có biến đổi sau: B C cos A 2 .2 cos A cos B  C  cos B  cosC tan 2  sin B  sin C   A 2 2 cos 2 Tương tự : B tan 2  sin C  sinA  cosC cosA  C tan 2   sin A  sin B  cos A  cos B Do đó từ (*) ta có được :  A B B C C A cos A  cos B  cosC  2  sin sin  sin sin  sin sin   2 2 2 2 2 2 2 A B C  A B C  cos2  cos2  cos2   sin  sin  sin  2 2 2  2 2 2 2  A B C  cos A  cos B  cosC  3  2  sin  sin  sin   2 2 2 2 1 5 1 A B C 3  6  4 3 2  cos A  cos B  cosC    sin  sin  sin   2 2 4 Ta sẽ đi chứng minh : 2 1 A B C 3 A B C  sin  sin  sin    sin  sin  sin 3 2 2 2 4 2 2 2 2   A B C   2  sin  sin  sin   3   0 (luôn đúng).   2 2 2  Dấu « = » xảy ra khi A  B  C  ABC đều. Vậy ta có điều phải chứng minh. 4
  5. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)  Bài Toán 3: Cho ABC không có góc tù và mỗi góc không nhỏ hơn . 4 Chứng minh rằng : P  cot A  cot B  cotC  3 cot A cotBcosC  4 2  2 .   Giải :    Giả sử Min A, B,C  A   4 A 3 . Ta có: P  cot A  cot B  cotC  3 cotA cot A cot B  cot B cotC  cotC cotA cot A cot B  cotC       cot A  cot B  cotC  3 cotA 1  cot A cot B  cotC         4 cotA 1  3 cot A cot B  cotC 2  2   1   Vì A  nên 1  3 cot A  1  3 cot 2  1  3.    0. 2 3 3  3  B C A Vì ABC không có góc tù nên: B,C   cot B  cotC  2 cot  2 tan . 2 2 2 A  1    A  Đặt tan  t  t   2  1;   Do    2  3  8 2 6 Kết hợp với các đánh giá trên suy ra được:  1  t2    1  t2   2 3t 4  6t 2  1  A P  4 cot A  2 1  3 cot A tan  4  2     2. 1  3     .t  2t   2  2t     2t 3t 4  6t 2  1  1  Xét hàm số : f (t )  với t   2  1;  , ta có: 2t  3    2  3t 2  1  1  f '(t )  2  0  t   2  1; . 2t  3  1  Vậy suy ra f (t ) luôn nghịch biến trên  2  1; .  3   Do đó : f (t )  f ( 2  1)  4 2  2 . Hay suy ra được P  4 2  2 .    3 Dấu “=” xảy ra khi A  ,B  C  . 4 8 Vậy ta có điều phải chứng minh! 5
  6. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Toán 4: Cho số nguyên dương n và số thực x .Chứng minh rằng: n cos x  cos 2x  ...  cos 2n x  (*) 2 Giải: -Khi n  1 : 1 1 * Nếu cos x  thì cos x  cos 2x  . 2 2 1 * Nếu cos x  thì 2   cos x  cos 2x  cos x  2 cos2 x  1  cos x  1  2 cos2 x  1  cos x 1  2 cos x  1  1 2 . Vậy (*) đúng với n  1 . Giả sử (*) đúng với n  k  1. Khi đó: k cos x  cos 2x  ...  cos 2k x  2 Ta đi chứng minh (*) đúng với n  k  1. Hay đi chứng minh: k 1 cos x  cos 2x  ...  cos 2k x  cos 2k 1 x  2 Thật vậy, áp dụng giả thiết quy nạp ta có: 1 1 k k 1 *Nếu cos x  thì cos x  cos 2x  ...  cos 2k x  cos 2k 1 x    2 2 2 2 1 *Nếu cos x  thì 2 cos x  cos 2x  ...  cos 2k x  cos 2k 1 x     cos x  cos 2x  cos 4x  ...  cos 2k 1 x  1   k 1 k 1 2  2 Vậy (*) đúng với n  k  1 .Hay suy ra được (*) đúng với mọi số nguyên dương n. 6
  7. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Toán 5: Cho ABC , tìm GTNN của biểu thức: A B C tan5 tan5  tan5 P  2 2 2. A B C tan3  tan3  tan3 2 2 2 Giải: A B B C C A Ta luôn có: tan tan  tan tan  tan tan  1 . 2 2 2 2 2 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: A A A A B A B tan5  tan5  tan5  tan5  tan5  5 tan4 tan (1) 2 2 2 2 2 2 2 A A A A C A C tan5  tan5  tan5  tan5  tan5  5 tan4 tan (2) 2 2 2 2 2 2 2 A A A B C A B C tan5  tan5  tan5  tan5  tan5  5 tan3 tan tan (3) 2 2 2 2 2 2 2 2 Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được: A  B C A A B B C C A 11 tan5  2  tan5  tan5   5 tan3  tan tan  tan tan  tan tan  2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 A  B C A  11 tan5  2  tan5  tan5   5 tan3 (4) 2  2 2  2 Tương tự: B  C A B 11 tan5  2  tan5  tan5   5 tan3 (5) 2  2 2 2 C  A B C 11 tan5  2  tan5  tan5   5 tan 3 (6) 2  2 2 2 Cộng vế theo vế (4), (5) và (6) suy ra được:  A B C  A B C 15  tan5  tan5  tan5   5  tan 3  tan 3  tan 3   2 2 2  2 2 2 A B C tan5  tan5  tan5  2 2 2  1. A B C 3 tan 3  tan 3  tan 3 2 2 2 7
  8. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) A B C Dấu “=” xảy ra khi tan  tan  tan  A  B  C . 2 2 2 1 Vậy MinP  . 3     sin x  Bài Toán 6: Chứng minh rằng, nếu   3,  x   0;  thì    cos x .  2  x  Giải:   sin x Ta có:  x   0;  thì 0  sin x  x  0   1.  2 x  3  sin x   sin x    Do đó:    3,     , x   0;  .  x   x   2 Như vậy ta cần chứng minh: 3  sin x     cos x  x  sin x  x 3 cos x sin x  x  0 3 cos x sin x   Xét hàm số f (x )   x , với x  0;  Ta có :  2 3 cos x 2 cos3 x  3 cos x 3 cos x  1 f '(x )  3 cos x 3 cos x Xét g(cos x )  2 cos3 x  3 cos x 3 cos x  1 với cos x  (0;1] ta có:     g' cos x  4 cos x  3 cos x  0  cos x  (0;1] Vậy suy ra g  cos x  nghịch biến  g  cos x   g 1  0   Do đó suy ra được : f '(x )  0  hàm f (x ) đồng biến trên x  0;  .  2   sin x   Suy ra f x  0 x   0;   x  0  2 3 cos x Vậy ta có điều phải chứng minh! 8
  9. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) Bài Toán 7: Cho ABC , chứng minh rằng: B C CA A B cos cos cos P 2  2  2 6 A B C sin sin sin 2 2 2 Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có: B C C A AB P  33 cos 2 . cos 2 . cos 2  33   sin A  sin B sin B  sinC sinC  sin A   (1) A B C sin A sin B sinC sin sin sin 2 2 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta lại có:  sin A  sin B  sin B  sinC  sinC  sin A  2 sin A sin B .2 sin B sinC .2 sinC sin A  8 (2) sin A sin B sinC sin A sin B sinC Từ (1) và (2) suy ra: P  33 8  6 Dấu = xảy ra khi A  B  C . Vậy ta có điều phải chứng minh! Bài Toán 8: Cho x, y là các góc nhọn.Tìm GTLN của biểu thức:   2 1 tan x tan y P  cot x  cot y Giải: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:   2 1  tan x tan y 1   2 P  tan x tan y 1  tan x tan y 2 cot x cot y 2 Theo BĐT AM-GM ta lại có: 1   2 tan x tan y 1  tan x tan y 2 9
  10. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)  1 4   .2 tan x tan y 1  tan x tan y 1  tan x tan y  1 2  3 tan x tan y  1  tan x tan y  1  tan x tan y 2   4 27 27 2 Từ đó ta suy ra: P  . 27  cot x  cot y 1 Dấu « = » xảy ra khi   tan x  tan y  2 tan x tan y  1  tan x tan y 3  2 Vậy : Max p  . 27 Bài Toán 9: Cho A, B,C là ba góc của một tam giác.Chứng minh rằng: 2 P  sin A  sin B  cosC  2 2 Giải : Ta có: AB AB 2 P  2 sin cos  cos C 2 2 2 C 2 2C   2 cos   2 cos  1 2 2  2  Ta sẽ đi chứng minh : C 2 2C  2 cos   2 cos  1  2 (*) 2 2  2  Thật vây : C C (*)  2 cos2  2. 2 cos  1  0 2 2 2  C    2 cos  1   0 (luôn đúng)  2   AB cos 1 Dấu « = » xảy ra khi  2  ABC vuông cân tại C . C 1 cos   2 2 Vậy ta có điều phải chứng minh. 10
  11. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH)  Bài Toán 10: Cho ABC có các góc thỏa mãn A  B  C  . Tìm giá trị nhỏ nhất 2 của biểu thức: P  2 cos 4C  4 cos2C  cos2A  cos2B Giải:    1 Vì A  B  C   C   0  cosC  . 2 3 2 2 Vì  cosC  0  cos  A  B   1      cos 2 A cos 2 B  2 cos A  B cos A  B  2 cosC cos A  B  2 cosC .     Ta suy ra:       2 P  2 2 2 cos2 C  1  1  4 2 cos2 C  1  2 cos C    P  16 cos4 C  8 cos2 C  2 cosC  2 Mặt khác ta lại có : 16 cos4 C  8 cos2 C  2 cosC  2  16 cos4 C  8 cos2 C  1  1  2 cosC  4     1 2  4 cos2 C  1  1  2 cos C  4  4 (Do cos C  ) 2 cos A  B  1    Từ đó suy ra được : P  4 .Dấu = xảy ra khi  1  A  B C  . cosC  3  2 Vậy MinP  4 . Bài Toán 11: Cho A, B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng : A B C sin A  sin B  sinC  cos  cos  cos 2 2 2 Giải: Ta có: AB AB C  sin A  sin B  2 sin A  sin B  4 sin  2 cos 2  2 cos 2 (1) Tương tự ta có: A sin B  sinC  2 cos (2) 2 11
  12. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) B sinC  sinA  2 cos (3) 2 Cộng vế theo về (1), (2) và (3) ta được:   2    A 2 B sin A  sin B  sinC  2  cos  cos  cos 2 C 2    A B C  sin A  sin B  sinC  cos  cos  cos 2 2 2  Vậy bài toán được chứng minh.Dấu  xảy ra khi A  B  C  . 3 Bài Toán 12: Cho ABC nhọn. Chứng minh rằng: A B C 1  cos A cos B cosC  9 sin sin sin 2 2 2 Giải: Ta có: sin2 A  sin2 B  sin2 C  2  2 cos A cos B cosC A B C sin A  sin B  sinC  4 cos cos cos 2 2 2 Suy ra:  sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sinC  2 2 2 1  cos A cos B cosC   A B C (*) 8 cos cos cos 2 2 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta có:  sin A  sin B  sin C  sin A  sin B  sinC  2 2 2  3 3 sin2 A sin2 B sin2 C .3 3 sin A sin B sinC  9 sin A sin B sinC (**) Từ (*) và (**) ta suy ra: 9 sin A sin B sinC 1  cos A cos B cosC  A B C 8 cos cos cos 2 2 2 12
  13. NGUYỄN MINH ĐỨC-THPT LÊ QUẢNG CHÍ (HÀ TĨNH) A B C  1  cos A cos B cosC  9 sin sin sin 2 2 2  Vậy bài toán được chứng minh. Dấu = xảy ra khi A  B  C  . 3 Bài Viết Có Tham Khảo: 1 : Tổng tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4 Toán Học 11 ( Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm). 13
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2