Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Chia sẻ: Tôi Là Ai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

0
95
lượt xem
23
download

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Biến ngẫu nhiên là một thuật ngữ được dùng trong toán học và thống kê. Trong một phép thử ngẫu nhiên (random experiment), đầu ra (outcome) của nó có thể là giá trị số hoặc không phải.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất

  1. M đ u Bi n ng u nhiên M đ u Bi n ng u nhiên Đ nh nghĩa 1.1 Chương 2: Bi n ng u nhiên và lu t phân ph i xác Bi n ng u nhiên (đ i lư ng ng u nhiên) là m t đ i lư ng mà giá tr c a nó là ng u su t nhiên, ph thu c vào k t qu phép th . Ta thư ng dùng các ch in hoa đ kí hi u bi n ng u nhiên: X, Y, Z, X1 , X2 , . . .. Còn các giá tr mà bi n ng u nhiên nh n thư ng đư c kí hi u là ch thư ng: a, b, c, . . . , x, y, z, x1 , x2 , . . .. (1) Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý Ví d 1 Vi n Toán ng d ng và Tin h c, ĐHBK Hà N i Gieo m t con xúc x c. Ta quan tâm đ n s ch m xu t hi n. G i X là s ch m xu t hi n trên m t con xúc x c, ta có X là m t bi n ng u nhiên và t p giá tr có Hà N i, tháng 8 năm 2012 th nh n là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ch n ng u nhiên 3 đ a tr t m t nhóm g m 6 bé trai và 4 bé gái. Ta quan tâm có bao nhiêu bé gái. G i X là s bé gái trong nhóm. Khi đó X là m t bi n ng u nhiên và t p giá tr có th nh n là {0, 1, 2, 3}. Kho ng th i gian gi a 2 ca c p c u m t b nh vi n nào đó là m t bi n ng u nhiên. Nó có th nh n giá tr b t kỳ trong kho ng [0; +∞). (1) Email: toantm24@gmail.com Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N i)Hà N 1/58 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i, tháng 8 năm 2012 1 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N i)Hà N 3/58 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i, tháng 8 năm 2012 3 / 58 M đ u Bi n ng u nhiên M đ u Hàm phân ph i xác su t M đ u Hàm phân ph i xác su t Đ nh nghĩa 1.2 Phân lo i Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, kí hi u là F (x) và đư c xác đ nh như Ta ch xét bi n ng u nhiên hai d ng cơ b n sau: sau: Bi n ng u nhiên đư c g i là r i r c, n u t p giá tr c a nó là m t t p h u h n F (x) = P (X < x), x ∈ R. (1.1) ho c vô h n đ m đư c các ph n t . Nói m t cách khác đ i v i bi n ng u nhiên r i r c ta có th li t kê t t c các giá tr nó có th nh n b ng m t dãy h u h n ho c Hàm phân ph i xác su t F (x) ph n ánh đ t p trung xác su t bên trái c a đi m x. vô h n. Ví d : s đi m thi c a h c sinh, s cu c g i đi n tho i c a m t t ng đài trong m t đơn v th i gian, s tai n n giao thông trong m t ngày, . . . Các tính ch t Bi n ng u nhiên đư c g i là liên t c, n u t p giá tr c a nó l p kín m t kho ng 0 ≤ F (x) ≤ 1 ho c m t s kho ng c a tr c s ho c cũng có th là c tr c s . Ví d : huy t áp c a m t b nh nhân, đ dài c a m t chi ti t máy, tu i th c a m t lo i bóng đèn lim F (x) = 0; lim F (x) = 1 x→−∞ x→+∞ đi n t ,. . . Mi n giá tr c a m t bi n ng u nhiên liên t c s g m m t s mi n d ng F (x) là hàm không gi m: ∀a < b, F (a) ≤ F (b) (a; b), [a; b), (a; b], [a; b] ho c c R. P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N i)Hà N 4/58 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i, tháng 8 năm 2012 4 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N i)Hà N 5/58 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i, tháng 8 năm 2012 5 / 58
  2. Bi n ng u nhiên r i r c B ng phân ph i xác su t Bi n ng u nhiên r i r c B ng phân ph i xác su t B ng phân ph i xác su t B ng phân ph i xác su t Đ nh nghĩa 2.1 Phân b xác su t c a m t bi n ng u nhiên r i r c X là m t b ng trên đó ta ghi c giá tr mà X có th nh n kèm theo xác su t đ nó nh n các giá tr đó X=x x1 x2 ... xn ... P (X = x) p1 p2 ... pn ... Câu h i: Đ l p đư c b ng phân ph i xác su t ta c n làm gì ? Tr l i: Trong đó t p các giá tr c a X là {x1 , x2 , . . . , xn } đư c s p x p theo th t tăng d n. Xác đ nh các giá tr xi mà X có th nh n Các xác su t pi th a mãn Tìm các xác su t pi tương ng v i các giá tr xi pi = P (X = xi ) > 0 ∀i = 1, 2, . . .; pi = 1. i Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên r i r c X: F (x) = P (X < x) = P (X = xi ) = pi i:xi
  3. Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Kỳ v ng Kỳ v ng Kỳ v ng Ví d 1 Kỳ v ng : là đ i lư ng đ c trưng cho giá tr trung bình. Tung m t đ ng ti n cân đ i và đ ng ch t. G i X là bi n ng u nhiên ch s l n xu t hi n (Đôi khi ngư i ta có th g i nó là giá tr trung bình b i công th c tính c a nó m t s p. Ta có b ng phân ph i xác su t sau: chính là tính giá tr trung bình cho trư ng h p thu đư c vô h n s li u) X=x 0 1 Ký hi u: E(X) ho c EX P (X = x) 1/2 1/2 Công th c tính: v i X r i r c ta có: EX = xi .pi i Kỳ v ng c a X : EX = 0.1/2 + 1.1/2 = 1/2 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 11/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 11 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 12/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 12 / 58 Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Kỳ v ng Kỳ v ng Ví d 3 Ví d 2 M t ngư i đem 10 nghìn đ ng đi đánh m t s đ . N u trúng thì thu đư c 700 nghìn Tung đ ng xu cân đ i và đ ng ch t 2 l n. G i X là bi n ng u nhiên ch s l n xu t hi n đ ng, n u trư t thì không đư c gì. G i X (nghìn đ ng) là s ti n thu đư c. Ta có b ng m t s p. Ta có b ng phân ph i xác su t sau: phân ph i xác su t c a X X=x 0 1 2 X=x 0 700 P (X = x) 1/4 1/2 1/4 P (X = x) 99/100 1/100 Kỳ v ng c a X : EX = 0.1/4 + 1.1/2 + 2.1/4 = 1 Kỳ v ng c a X : EX = 0.99/100 + 700.1/100 = 7 Như v y trong 2 l n tung đ ng xu thì trung bình có m t l n ra m t s p. Như v y b ra 10 nghìn đ ng, trung bình thu đư c 7 nghìn đ ng, ngư i chơi v lâu dài s l 30% t ng s ti n chơi. Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 13/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 13 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 14/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 14 / 58
  4. Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Kỳ v ng Phương sai Phương sai Phương sai: trung bình c a bình phương sai s . Các tính ch t c a kỳ v ng Ký hi u: V (X) ho c V X Ec = c v i c là h ng s Công th c tính: V X = E(X − EX)2 V i (X − EX) là sai s , ho c là đ l ch kh i giá tr trung bình E(aX) = a.EX Ngư i ta bi n đ i đ đưa công th c tính phương sai v d ng d tính hơn: E(X + b) = EX + b Ta suy ra k t qu : E(aX + b) = aEX + b V X = E(X − EX)2 = E(X 2 ) − (EX)2 T ng quát v i X là bi n ng u nhiên r i r c: Eg(X) = g(xi ).pi i V i X là bi n ng u nhiên r i r c: Ví d : E(X 2 ) = x2 .pi i n n i EX = xi .pi ; E(X 2 ) = x2 .pi ; i E(X + Y ) = EX + EY i=1 i=1 n n 2 V (X) = x2 .pi − i xi .pi i=1 i=1 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 15/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 15 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 16/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 16 / 58 Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Phương sai Phương sai Ý nghĩa c a phương sai Ví d 1 Phương sai th hi n m c đ phân tán d li u xung quanh giá tr trung bình EX, phương sai càng l n thì đ phân tán d li u càng cao và ngư c l i. Tung m t đ ng ti n cân đ i và đ ng ch t. G i X là bi n ng u nhiên ch s l n xu t hi n Trong công nghi p, X thư ng là kích c c a các s n ph m. V X lúc này bi u th m t s p. Ta có b ng phân ph i xác su t sau: đ chính xác c a các s n ph m. X=x 0 1 Trong chăn nuôi, X thư ng là chi u cao hay cân n ng c a gia súc gia c m. V X P (X = x) 1/2 1/2 lúc này bi u th đ tăng trư ng đ ng đ u c a các gia súc gia c m. EX = 0.1/2 + 1.1/2 = 1/2 Trong tr ng tr t, X thư ng là năng su t c a gi ng cây tr ng. V X lúc này bi u th E(X 2 ) = 02 .1/2 + 12 .1/2 = 1/2 m c đ n đ nh c a năng su t gi ng cây tr ng. Phương sai V X = E(X 2 ) − (EX)2 = 1/2 − 1/4 = 1/4 Trong kinh t , X thư ng là lãi su t thu đư c c a kho n đ u tư. V X lúc này s bi u th cho m c đ r i ro c a đ u tư. Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 17/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 17 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 18/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 18 / 58
  5. Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Phương sai Phương sai Ví d 2 Tung đ ng xu cân đ i và đ ng ch t 2 l n. G i X là bi n ng u nhiên ch s l n xu t hi n m t s p. Ta có b ng phân ph i xác su t sau: Các tính ch t c a phương sai V c = 0 v i c là h ng s X=x 0 1 2 P (X = x) 1/4 1/2 1/4 V (aX) = a2 .V X V (X + b) = V X EX = 0.1/4 + 1.1/2 + 2.1/4 = 1 Ta suy ra k t qu : V (aX + b) = a2 V X E(X 2 ) = 02 .1/4 + 12 .1/2 + 22 .1/4 = 3/2 Phương sai V X = E(X 2 ) − (EX)2 = 3/2 − 12 = 1/2 Nh n xét: Phương sai c a VD2 l n hơn phương sai c a VD1 cho ta k t lu n r ng biên đ dao đ ng c a X xung quanh giá tr trung bình VD2 l n hơn VD1. Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 19/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 19 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 20/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 20 / 58 Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Đ l ch chu n Mode Đơn v đo c a phương sai b ng bình phương đơn v đo c a bi n ng u nhiên. Đ d đánh giá m c đ phân tán hơn, ngư i ta đưa ra khái ni m đ l ch chu n. Mode Đ l ch chu n Khái ni m: Mode c a bi n ng u nhiên X, kí hi u là mod(X), là giá tr c a bi n ng u nhiên X có kh năng xu t hi n l n nh t trong m t lân c n nào đó c a nó. Ý nghĩa: dùng đ đo đ phân tán d li u xung quanh giá tr trung bình EX. Đ i v i bi n ng u nhiên r i r c, mod(X) là giá tr c a X ng v i xác su t l n nh t. Như v y m t bi n ng u nhiên có th có m t mode ho c nhi u mode. Ký hi u: σ(X) ho c σ √ Ký hi u: mod(X) Công th c tính: σ = V X Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 21/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 21 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 22/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 22 / 58
  6. Bi n ng u nhiên r i r c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Các tham s đ c trưng Hàm m t đ xác su t Phân v m c p Khái ni m: Phân v m c p c a bi n ng u nhiên X là giá tr zp sao cho. Đ i v i bi n ng u nhiên liên t c, không th dùng b ng phân ph i xác su t do xác su t nó F (zp ) = P (X < zp ) = p nh n t i m i đi m luôn b ng "0". Do đó ngư i ta thay th b ng hàm m t đ xác su t. M t s phân v đ c bi t: Đ nh nghĩa 3.1 + Phân v m c 25% đư c g i là t phân v th nh t + Phân v m c 50% đư c g i là t phân v th hai hay trung v . Hàm m t đ xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c X là hàm f (x) xác đ nh trên R th a + Phân v m c 75% đư c g i là t phân v th ba mãn: Trung v : Trung v c a bi n ng u nhiên X là giá tr c a X chia phân ph i xác su t f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R; thành hai ph n có xác su t b ng nhau. Kí hi u là med(X): P (X ∈ B) = f (x)dx ∀B ⊂ R. P (X < med(X) = P (X ≥ med(X)) = 0, 5 B Ta có th tìm trung v b ng cách gi i phương trình: F (x) = 0, 5. Trong ng d ng, trung v là đ c trưng v trí t t nh t, nhi u khi t t hơn c kỳ v ng, nh t là trong nh ng trư ng h p s li u có nhi u sai sót ho c sai sót thái quá. Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 23/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 23 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 25/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 25 / 58 Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Hàm m t đ xác su t Hàm m t đ xác su t Tính ch t +∞ Chú ý 3.1 f (x)dx = 1; Hàm m t đ xác su t f (x) c a bi n ng u nhiên liên t c X th hi n m c đ t p trung −∞ xác su t c a X xung quanh đi m x. T c là v i ∆x đ nh cho trư c ta có th tính x p b x: P (x ≤ X ≤ x + ∆x ) ≈ f (x).∆x . P (a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = f (x)dx a Do đó ta th y xác su t đ X nh n giá tr thu c lân c n khá bé (x, x + ∆x ) g n như t x l thu n v i f (x). Hàm phân ph i xác su t: F (x) = P (X < x) = f (t)dt −∞ T đó suy ra f (x) = F (x) Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 26/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 26 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 27/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 27 / 58
  7. Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Hàm m t đ xác su t Hàm m t đ xác su t Ví d 4 Ví d 3 Tu i th c a m t loài côn trùng là bi n ng u nhiên X(tháng tu i) có hàm m t đ xác Cho hàm s f (x) = a. sin 2x. Tìm a đ hàm này tr thành hàm m t đ xác su t c a ax2 (4 − x2 ), x ∈ [0, 2] su t f (x) = m t bi n ng u nhiên nh n giá tr trong [0, π/2]. 0, x ∈ [0, 2] . / a. Xác đ nh a b. Tính P (0 ≤ X ≤ 1), P (X > 1) L i gi i c. Xác đ nh hàm phân ph i xác su t F (x) Đ hàm này tr thành hàm m t đ xác su t c a m t bi n ng u nhiên nh n giá tr trong [0, π/2] thì: L i gi i a sin 2x, x ∈ [0, π/2] f (x) = a. Do ax2 (4 − x2 ) ≥ 0 v i ∀x ∈ [0, 2] nên a ≥ 0 0, x ∈ [0, π/2] . / +∞ 2 Do sin 2x ≥ 0 v i m i x ∈ [0, π/2] nên a ≥ 0. Ta có: 64 15 Ta có 1 = f (x)dx = ax2 (4 − x2 )dx = a. ⇒a= +∞ π/2 15 64 1= f (x)dx = a sin 2xdx = a. V y a = 1. −∞ 0 1 1 −∞ 0 17 17 b. P (0 ≤ X ≤ 1) = f (x)dx = ax2 (4 − x2 )dx = a. = = 0, 266 15 64 0 0 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 28/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 28 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 29/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 29 / 58 Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Bi n ng u nhiên liên t c Hàm m t đ xác su t Hàm m t đ xác su t Hàm m t đ xác su t L i gi i +∞ 2 47 b. P (X > 1) = f (x)dx = ax2 (4 − x2 )dx = = 0, 734 64 1 1 x Nh n xét c. Hàm phân ph i F (x) = f (t)dt Qua tính toán trên ta th y 26.6% côn trùng s ng không quá m t tháng tu i, và 73,4% −∞ x x côn trùng s ng hơn m t tháng tu i. Do đó ta có th nh n xét r ng tu i th trung bình c a loài này s l n hơn m t tháng tu i. Tuy nhiên tu i th trung bình c a loài côn trùng x < 0 suy ra F (x) = f (t)dt = 0dt = 0 này chính xác là bao nhiêu? −∞ −∞ x x 15 4x3 x5 0 ≤ x ≤ 2 suy ra F (x) = f (t)dt = at2 (4 − t2 )dt = ( − ) 64 3 5 −∞ 0 x 2 x > 2 suy ra F (x) = f (t)dt = at2 (4 − t2 )dt = 1 −∞ 0 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 30/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 30 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 31/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 31 / 58
  8. Bi n ng u nhiên liên t c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên liên t c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Kỳ v ng Phương sai Kỳ v ng c a bi n ng u nhiên liên t c X Ý nghĩa: nó đ c trưng cho giá tr trung bình c a X Phương sai c a bi n ng u nhiên liên t c X Ký hi u: E(X) ho c EX +∞ Ý nghĩa: nó đ c trưng cho đ phân tán d li u xung quanh EX Công th c tính: EX = x.f (x)dx Ký hi u: V (X) ho c V X −∞ Công th c tính: V X = E(X − EX)2 = E(X 2 ) − (EX)2 Tính ch t: +∞ +∞ + E(aX + b) = a.EX + b v i: EX = x.f (x)dx và E(X 2 ) = x2 .f (x)dx +∞ −∞ −∞ + Eg(X) = g(x).f (x)dx 2 −∞ Tính ch t: V (aX + b) = a V X +∞ Ví d : g(X) = X 2 ta có E(X 2 ) = x2 .f (x)dx −∞ Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 32/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 32 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 33/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 33 / 58 Bi n ng u nhiên liên t c Các tham s đ c trưng Bi n ng u nhiên liên t c Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Các tham s đ c trưng Đ l ch chu n Mode - phân v m c p Mode Đ l ch chu n Khái ni m: Mode c a bi n ng u nhiên X, kí hi u là mod(X), là giá tr c a bi n ng u nhiên X có kh năng xu t hi n l n nh t trong m t lân c n nào đó c a nó. Ý nghĩa: dùng đ đo đ phân tán d li u xung quanh giá tr trung bình EX. Đ i v i bi n ng u nhiên liên t c, mod(X) là giá tr c a X ng v i f (x) đ t c c đ i đ a phương. Ký hi u: σ(X) ho c σ √ Ký hi u: mod(X) Công th c tính: σ = V X = E(X 2 ) − (EX)2 +∞ v i X liên t c: EX = xf (x)dx Phân v m c p −∞ +∞ Khái ni m: Phân v m c p c a bi n ng u nhiên X là giá tr zp sao cho. 2 2 E(X ) = x f (x)dx F (zp ) = P (X < zp ) = p −∞ Trung v : Trung v c a bi n ng u nhiên X là giá tr c a X chia phân ph i xác su t thành hai ph n có xác su t b ng nhau. Kí hi u là med(X): P (X < med(X) = P (X ≥ med(X)) = 0, 5 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 34/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 34 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 35/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 35 / 58
  9. M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i nh th c M t s phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i nh th c (Binomial Distribution) Các quy lu t thông d ng s h c: Đ nh nghĩa 4.1 Bi n ng u nhiên r i r c Bi n ng u nhiên X nh n giá tr trong t p {0; 1; 2; ...; n} v i xác su t đư c tính theo Lu t phân ph i nh th c công th c Bernoulli: P (X = k) = Cn .pk .(1 − p)n−k v i k = 0, 1, . . . , n; 0 ≤ p ≤ 1 k Lu t phân ph i Poisson g i là tuân theo phân ph i nh th c v i các tham s n và p. Ký hi u: X ∼ B(n; p) Bi n ng u nhiên liên t c Phân ph i đ u liên t c Các tham s đ c trưng Phân ph i chu n V i X ∼ B(n; p) ta có: Phân ph i mũ EX = np Phân ph i Khi bình phương V X = np(1 − p) = npq v i q = 1 − p Phân ph i Student (n + 1)p − 1 ≤ mod(X) ≤ (n + 1)p Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 37/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 37 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 38/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 38 / 58 M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i nh th c M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i nh th c Phân ph i nh th c Phân ph i nh th c ng d ng Ta th c hi n n phép th đ c l p cùng đi u ki n. Trong m i phép th xác su t x y ra s ki n A luôn là p. G i X là s phép th x y ra A. Ta có k t qu : X ∼ B(n; p) Ví d 2 M t ngư i chơi đ trong 10 ngày, m i ngày ngư i đó chơi 5 s . Tính xác su t trong 10 Ví d 1 ngày chơi: Gieo m t con xúc x c 3 l n. G i X là s l n ra m t l c trong 3 l n gieo. L p b ng phân +) Ngư i đó trúng đư c đúng 2 ngày. ph i xác su t c a X, bi t r ng kh năng ra m t l c m i l n gieo là 1/6. +) Ngư i đó trúng đư c ít nh t 2 ngày G i ý: +) Xác đ nh s ngày trúng có kh năng x y ra cao nh t? X ∼ B(n; p) v i n = 3; p = 1/6 , P (X = k) = Cn .pk .(1 − p)n−k k X=x 0 1 2 3 P (X = x) 125/216 75/216 15/216 1/216 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 39/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 39 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 40/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 40 / 58
  10. M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i nh th c M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i Poisson Phân ph i nh th c Phân ph i Poisson Đ nh nghĩa 4.2 Bi n nào sau đây là tuân theo phân ph i nh th c: Bi n ng u nhiên X nh n giá tr trong t p {0; 1; 2; . . . ; n; . . .} v i xác su t : Tung m t đ ng xu 3 l n. G i X là s l n đư c m t ng a. λk P (X = k) = e−λ ; k = 0, 1, 2, . . . H p có 4 bi tr ng và 3 bi xanh. L y ng u nhiên 3 bi. G i X là s bi xanh l y đư c k! theo 2 cách: g i là tuân theo phân ph i Poisson v i tham s λ +) L y l n lư t 3 bi Ký hi u: X ∼ P (λ) +) L y có hoàn l i 3 bi M t máy s n xu t ra s n ph m có t l ph ph m là 2%. Cho máy s n xu t ra 10 Các tham s đ c trưng s n ph m. G i X là s ph ph m có đư c. V i X ∼ P (λ) ta có: M t x th b n 3 phát đ n vào bia. l n b n sau do rút đư c kinh nghi m các l n b n trư c nên xác su t b n trúng c a 3 phát l n lư t là 0, 7; 0, 8; 0, 9. G i X là EX = λ s phát b n trúng bia. VX =λ λ − 1 ≤ mod(X) ≤ λ Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 41/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 41 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 42/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 42 / 58 M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i Poisson M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i Poisson Phân ph i Poisson Ví d 3 m t t ng đài bưu đi n, các cu c đi n tho i g i đ n xu t hi n ng u nhiên, đ c l p v i Quá trình Poisson còn có th g i là quá trình đ m. nhau v i t c đ trung bình 2 cu c g i trong m t phút. Tìm xác su t đ : Trong tình hu ng nào ta g p phân ph i Poisson? a) Có đúng 5 cu c đi n tho i trong vòng 2 phút Xét m t s ki n E xu t hi n nh ng th i đi m ng u nhiên. Gi s s l n xu t b) Không có cu c đi n tho i nào trong kho ng th i gian 30 giây hi n E trong m t kho ng th i gian không nh hư ng t i xác su t xu t hi n c a E c) Có ít nh t 1 cu c đi n tho i trong kho ng th i gian 10 giây. trong các kho ng th i gian k ti p. Hơn n a cư ng đ xu t hi n c a E là không thay đ i, nghĩa là s l n trung bình xu t hi n E trong kho ng th i gian t l v i đ dài kho ng th i gian đó. L i gi i G i X là s l n xu t hi n E trong kho ng th i gian (t1 , t2 ). Ta có X ∼ P (λ) v i a. G i X là s cu c đi n tho i xu t hi n trong vòng 2 phút. X ∼ P (λ) λ = c(t2 − t1 ), trong đó c là h ng s đư c g i là cư ng đ xu t hi n c a E. λ chính là s cu c đi n tho i trung bình đ n trong vòng 2 phút. λ = 4 5 5 Phân ph i này có nhi u ng d ng đ i v i nhi u quá trình có liên quan đ n s quan P (X = 5) = e−λ λ = e−4 4 = 0, 156 5! 5! sát đ i v i m t đơn v th i gian ho c không gian. Ví d : S cu c đi n tho i nh n b. G i X là s cu c đi n tho i xu t hi n trong vòng 30 giây. X ∼ P (λ) v i λ = 1. Ta có 0 đư c m t tr m đi n tho i trong m t phút, s khách hàng đ n nhà băng đ i v i P (X = 0) = e−λ λ = e−1 = 0, 3679 0! m i m t chu kỳ 30 phút, s l i in sai trong m t trang, . . . . Nói chung dòng vào c. G i X là s cu c đi n tho i xu t hi n trong vòng 10 giây. X ∼ P (λ) v i λ = 1/3. Ta c a m t h ph c v (quán bia, hi u c t tóc, hi u s a xe, tr m đi n tho i, m t c a có P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − e− /3 = 0, 2835 1 hàng nào đó, . . . ) là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i Poisson. Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 43/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 43 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 44/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 44 / 58
  11. M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i Poisson M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n Phân ph i chu n Chú ý 4.1 Khi n l n và p nh (n > 50; p < 0, 1) thì X ∼ B(n; p) có th chuy n thành X ∼ P (λ) Đ nh nghĩa 4.3 v i λ = np Bi n ng u nhiên X đư c g i là tuân theo phân ph i chu n v i hai tham s µ và σ 2 (v i σ > 0) n u hàm m t đ c a X có d ng: Ví d 4 (x−µ)2 1 f (x) = √ e− 2σ2 Trong m t lô thu c, t l ng thu c h ng là p = 0, 003. Ki m nghi m 1000 ng. Tính σ 2π xác su t đ g p 3 ng b h ng. Ký hi u: X ∼ N (µ, σ 2 ) L i gi i: G i X là s ng thu c h ng trong 1000 ng. Ta có X ∼ B(n; p) v i n = 1000; p − 0, 003 Do n l n và p bé nên ta x p x X ∼ P (λ) v i λ = np = 3 Các tham s đ c trưng λ 3 3 3 EX = µ P (X = 3) = e−λ = e−3 = 0, 224 V X = σ2 3! 3! mod(X) = med(X) = µ M c tiêu là ta tính xác su t d ng P (a < X < b) Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 45/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 45 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 46/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 46 / 58 M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n Phân ph i chu n Phân ph i chu n Phân ph i chu n t c Đ c bi t: X ∼ N (0; 1) v i (µ = 0, σ = 1), X đư c g i là tuân theo phân ph i chu n t c (hay chu n hoá). Phân ph i chu n t ng quát Hàm m t đ xác su t hay còn g i là hàm m t đ Gauss: K t qu : N u X ∼ N (µ; σ 2 ) ta có Z = X−µ ∼ N (0; 1) σ 1 1 2 T đó ta xây d ng đư c công th c tính: ϕ(x) = √ e− 2 x 2π a−µ P (X < a) = 0, 5 + φ( ) x σ Đ tính xác su t ta dùng hàm Laplace: φ(x) = ϕ(t)dt a−µ P (X > a) = 0, 5 − φ( ) σ 0 Tính ch t: b−µ a−µ P (a ≤ X < b) = φ( ) − φ( ) σ σ φ(x) là hàm l , tăng th c s . ε P (|X − µ| < ε) = 2φ( ). σ φ(+∞) = 0, 5 X ∼ N (0; 1) ta có: P (a < X < b) = φ(b) − φ(a) Giá tr c a hàm Laplace đư c tính s n thành b ng s li u. Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 47/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 47 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 48/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 48 / 58
  12. M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n Phân ph i chu n - Ví d X p x phân ph i nh th c b ng phân ph i chu n Ví d 5 Đ dài m t chi ti t máy gi s tuân theo lu t phân ph i chu n v i giá tr trung bình là 20 cm và đ l ch chu n là 0,5 cm. Tính xác su t khi ch n ng u nhiên ra m t chi ti t thì đ dài c a nó: V i X ∼ B(n; p) tho mãn np(1 − p) > 20. a) l n hơn 20 cm Khi đó ta x p x X ∼ N (µ, σ 2 ) v i µ = np, σ 2 = np(1 − p) b) bé hơn 19,5 cm Tuy nhiên vì chúng ta x p x m t phân ph i r i r c b ng m t phân ph i liên t c, nên c) n m trong kho ng 19 cm – 21 cm c n m t s hi u ch nh đ gi m sai s . C th v i k, k1 , k2 là s t nhiên ta có: L i gi i: G i X(cm) là đ dài chi ti t máy đã ch n. X ∼ N (µ, σ 2 ), µ = 20, σ = 0, 5. k + 0, 5 − µ k − 0, 5 − µ P (X = k) = φ( ) − φ( ) σ σ 20 − µ P (X > 20) = 0, 5 − φ( ) = 0, 5 − φ(0) = 0, 5 k2 + 0, 5 − µ k1 − 0, 5 − µ σ P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = φ( ) − φ( ) σ σ 19, 5 − µ P (X < 19, 5) = 0, 5 + φ( ) = 0, 5 + φ(−1) = 0, 5 − φ(1) = σ 0, 5 − 0, 3413 = 0, 1587 21 − µ 19 − µ P (19 < X < 21) = φ( ) − φ( ) = φ(2) − φ(−2) = 2φ(2) = σ σ 2.0, 4772 = 0, 9544 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 49/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 49 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 50/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 50 / 58 M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng Phân ph i chu n X p x phân ph i nh th c b ng phân ph i chu n Phân ph i chu n - Ý nghĩa Ví d 6 Phân ph i chu n đư c Gauss phát minh năm 1809 nên cũng có khi nó đư c mang tên là Ki m tra ch t lư ng 1000 s n ph m v i t l chính ph m 0,95. Tìm xác su t đ s chính phân ph i Gauss. ph m trong lô ki m tra t 940 đ n 960. Ta th y bi n ng u nhiên tuân theo phân ph i chu n nh n giá tr trên c tr c s , tuy nhiên có th x p x m t s bi n ng u nhiên không nh n t t c các giá tr trên R theo phân ph i chu n, đó là do qui t c 3 − σ, t c là n u ta có xác su t X rơi vào mi n có L i gi i xác su t b ng 0,9974 r t g n 1, nên h u h t ngư i ta ch c n quan tâm đ n các giá tr : G i X là bi n ng u nhiên ch s chính ph m trong lô s n ph m ki m tra, ta có trong lân c n 3 − σ c a kỳ v ng. X ∼ B(1000; 0, 95) Phân ph i chu n chi m v trí quan tr ng trong lý thuy t xác su t, là v trí trung tâm V i n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 và npq = 47, 5 đ l n nên ta x p x trong các k t lu n th ng kê sau này. Trong th c t , ví d trong lĩnh v c kinh t , khoa X ∼ N (950; 47, 5): h c xã h i, . . . nhi u phân ph i không gi ng phân ph i chu n, nhưng phân ph i c a 960 + 0, 5 − 950 940 + 0, 5 − 950 trung bình c ng đ i v i m i trư ng h p l i có th xem là phân ph i chu n mi n là c P (940 ≤ X ≤ 960) = φ( √ ) − φ( √ ) 47, 5 47, 5 m u n đ l n. = φ(1, 52) − φ(−1, 52) = 2φ(1, 52) = 0, 8716 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 51/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 51 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 52/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 52 / 58
  13. M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s phân ph i khác M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s phân ph i khác Phân ph i mũ Phân ph i mũ Đ nh nghĩa 4.4 Bi n ng u nhiên X đư c g i là tuân theo phân ph i mũ v i tham s λ > 0 n u nó có Ta có P (X > x) = eλx hàm m t đ xác su t có d ng: Phân ph i mũ có tính ch t không nh : λe−λx , x>0 P (X > t + s|X > t) = P (X > s) f (x) = 0, x≤0 Ý nghĩa: Phân ph i mũ có nhi u nhi u ng d ng trong th c ti n. Nói chung v i m t gi Ký hi u: X ∼ E(λ) thi t nào đó, kho ng th i gian gi a hai l n xu t hi n c a m t s ki n E nào đó s có phân ph i mũ. Vì lý do này phân ph i mũ còn có tên g i là phân ph i c a th i gian ch đ i (“Waiting time distribution”). Ví d kho ng th i gian gi a 2 ca c p c u m t b nh Các tham s đ c trưng vi n, kho ng th i gian gi a 2 l n h ng hóc c a m t chi c máy, kho ng th i gian gi a 2 1 tr n l t hay đ ng đ t, . . . EX = λ 1 VX = 2 λ Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 53/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 53 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 54/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 54 / 58 M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s phân ph i khác M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s phân ph i khác Phân ph i mũ Phân ph i Khi bình phương Ví d 7 Đ nh nghĩa 4.5 Gi s tu i th (tính b ng năm) c a m t m ch đi n t trong máy tính là m t bi n ng u Gi s Xi , (i = 1, 2, . . . , n) là các bi n ng u nhiên đ c l p cùng phân ph i chu n t c. nhiên có phân ph i mũ v i kỳ v ng là 6,25. Th i gian b o hành c a m ch đi n t này là n 2 Bi n ng u nhiên Y = Xi đư c g i là tuân theo phân ph i Khi bình phương v i n 5 năm. H i có bao nhiêu ph n trăm m ch đi n t bán ra ph i thay th trong th i gian i=1 b o hành. b c t do. Ký hi u: Y ∼ χ2 (n) L i gi i 1 1 Các tham s đ c trưng G i X là tu i th c a m ch. X tuân theo phân ph i mũ v i tham s λ = = EX 6, 25 EY = n P (X ≤ 5) = 1 − e−5λ = 1 − e−0,8 = 0, 5506 V y có kho ng 55% m ch đi n t bán ra ph i thay th trong th i gian b o hành V Y = 2n Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 55/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 55 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 56/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 56 / 58
  14. M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s phân ph i khác M t s lu t phân ph i xác su t thông d ng M t s phân ph i khác Phân ph i Student Đ nh nghĩa 4.6 Chú ý Gi s X ∼ N (0; 1) và Y ∼ χ2 (n) là hai bi n ng u nhiên đ c l p. Khi đó: Phân ph i Student có cùng d ng và tính đ i x ng như phân ph i chu n nhưng nó X T = ph n ánh tính bi n đ i c a phân ph i sâu s c hơn. Phân ph i chu n không th Y dùng đ x p x phân ph i khi m u có kích thư c nh . Trong trư ng h p này ta n dùng phân ph i Student. đư c g i là tuân theo phân ph i Student v i n b c t do. Khi b c t do n tăng lên (n > 30) thì phân ph i Student ti n nhanh v phân ph i Ký hi u: T ∼ T (n) chu n. Do đó khi n > 30 ta có th dùng phân ph i chu n thay th cho phân ph i Student. Các tham s đ c trưng ET = 0 n VT = n−2 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 57/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 57 / 58 Tr n Minh Toàn - Lê Xuân Lý (SAMI-HUST)Bi n n Toán ng và ng và Tin h c,i ĐHBK Hà N Hà N 58/58 8 năm 2012 (Vi ng u nhiên d lu t phân ph xác su t i) i, tháng 58 / 58

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản