Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối - GV. Lê Văn Minh

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

391
lượt xem 53
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối trình bày các vấn đề về đầu biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc và luật phân phối, biến ngẫu nhiên liên tục và luật phân phối. Mời bạn đọc tham khảo tài liệu để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Biến ngẫu nhiên và luật phân phối - GV. Lê Văn Minh

Chương 2 2.1 Biến ngẫu nhiên (bnn) 2.1.1 Định nghĩa: Cho tnnn T , có không gian xác suất Ω. Người ta gọi biến ngẫu nhiên là X ánh xạ từ Ω→ . BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ LUẬT - Nếu tập giá trị X(Ω) của X là hữu hạn hay vô PHÂN PHỐI hạn đém đuợc thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. - Nếu tập giá trị X(Ω) của X là  hay một khoảng [a, b] của  thì X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. NỘI DUNG CHƯƠNG 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1 Mở đầu biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.1.1a Tung 2 đồng xu cân đối đồng chất. 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc và luật phân phối Nếu có 1 mặt H thì ta thắng 2 đồng và ta thua 1 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục và luật phân phối đồng khi có 1 mặt S. Gọi X là số tiền nhận được. Khi đó: Ω={SH, HS, HH, SS} và X(SH)=1, X(HS)=1, X(HH)=4 và X(SS) = -2, i.e., X có 3 giá trị là: -2, 1, 4. ThS Lê Văn Minh 1
2.1 Biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc(bnnrr) SS  2 SH  1 X :   , X ()  {c1 , c2 ,..., cr }  Hay X : 2.2.1 Dãy ppxs: Cho bnnrr X(Ω) ={c1,..,cr}. HS  1 Người ta gọi dãy ppxs của bnnrr X là dãy có dạng  HH  4 sau: X c1 c2 …. cr Ví dụ 2.1.1b Chọn ngẫu nhiên một hợp chất hóa (2.2.1) pk p1 p2 …. pr học và đo độ pH X của nó. Khi đó: X là bnnlt vì mọi pH đều nằm [0,14] trong đó: pk=P(X=ck) 2.1 Biến ngẫu nhiên 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.1.2 Hàm phân phối xác suất 2.2.2 Kỳ vọng của bnnrr: Cho bnnrr X có dãy ppxs Định nghĩa: Cho biến ngẫu nhiên X. Người ta gọi như trên. Người ta gọi kỳ vọng của bnnrr X là giá trị hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là trung bình được xác định bởi r hàm F được xác định bởi: EX  c1 p1  c2 p2    cr pr   ck pk (2.2.2) k 1 F ( x )  P ( X  x ), x   (2.1.1) Ví dụ 2.2.1. Gọi tnnn T là tung đồng xu cân bằng một lần. Gọi X là số lần được mặt H trong một lần tung. a) Hãy lập dãy ppxs của X. b) Tính kỳ vọng của X 2
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Giải 2.2.3 Phương sai của bnnrr: Cho bnnrr X có dãy a) Gọi: X = ”Số lần được mặt H trong 1 lần ppxs như 2.2.1 và kỳ vọng EX . Phương sai của tung”. Thì X là bnnrr và chỉ nhận một trong hai bnnrr X là số đo độ phân tán xung quanh kỳ vọng giá trị là 0 và 1. X = 0,1. và được xác định bởi Bảng ppxs của tnnn: VarX  c1 p1  c2 p2    cr2 pr  (EX )2 2 2 (2.2.3) T S H Ví dụ 2.2.2: pk 1/2 1/2 Giả thiết như Ví dụ 2.2.2a). Tìm phương2sai của X. 1 1 1 1 VarX  c12 p1  c2 p2  02   12      2 2 2 2 4 ThS Lê Văn Minh 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ta có: p1=P(X=0) = P(S) =1/2 Ví dụ 2.2.3: Có 2 kiện hàng. Kiện 1 có 3 sp tốt và 2 sp xấu. Kiện 2 có 2 sp tốt và 3 sp xấu. Lấy nn từ p2=P(X=1) = P(H) =1/2 kiện 1 ra 2 sp và từ kiện 2 ra 1 sp. Luật ppxs của sp Dãy ppxs của bnnrr X: tốt trong 3 sp lấy ra. X 0 1 Giải pk 1/2 1/2 Gọi Ai=“lấy được i sp tốt từ kiện 1”, i=0,1,2. b) Kỳ vọng EX = c1p1+c2p2 = 0.1/2 + Bi=“lấy được i sp tốt từ kiện 2”, i=0,1. 1.1/2=1/2 X =“Số sp tốt trong 3 sp lấy ra” 3
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai Ta thấy X là bnnrr, X=0,1,2,3 2 1  Kỳ vọng là số trung bình theo xác suất của tất cả C2 C3 P ( X  0)  P ( A0 B0 )  P( A0 ).P( B0 )  2  1  0, 06 các giá trị có thể của biến ngẫu nhiên. C5 C5 P( X  1)  P ( A1 B0  A0 B1 )  P ( A1 B0 )  P( A0 B1 )  Giá trị của phương sai biểu thị độ tập trung hay 1 1 1 C3 .C2 C3 C2 C2 2 1 phân tán của các giá trị biến ngẫu nhiên xung   1  1  0, 4 quanh giá trị trung bình của nó. Nếu VarX lớn thì C52 C5 C52 C5 P ( X  2)  P ( A1 B1  A2 B0 )  0, 42 các giá trị của X phân tán nhiều. NếuVarX nhỏ thì P ( X  3)  P ( A2 B1 )  0,12 các giá trị của X tập trung gần giá trị trung bình. X 0 1 2 3 Dãy ppxs của X: πi 0,06 0,4 0,42 0,12 2.2.4 Tính chất kỳ vọng và phương sai Ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai Định lý 2.2.1: Cho X, Y là các bnn. Khi đó: - Trong Công nghiệp, nếu X là kích cỡ nào đó 1. EC  C , C  const thì VarX biểu thị độ chính xác ứng với kích cỡ 2. E (CX )  C.EX , C  const đó của sản phẩm. 3. E ( X  Y )  E ( X )  E (Y ) - Trong chăn nuôi, với X là mức độ tăng trưởng 4. X  Y  E ( X )  E (Y ) (2.2.4) thìVarX thể hiện độ tăng trưởng đồng đều của 5. VarC  0, C  const loài. 6. Var (C  X )  VarX , C  const - Trong trồng trọt, nếu X là năng suất thì VarX 7. Var (CX )  C 2VarX , C  const biểu thị mức độ ổn định năng suất. 4
2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Cho tnnn T. Gọi ω1=“thành công”, ω2=“thất bại”. Định lý 2.2.2: Cho X~b(n; p). Khi đó: p=P(ω1), q =P(ω2)=1- p. EX  np; VarX  npq,(q  1  p) (2.2.5) Thí nghiệm này gọi là phép thử Bernoulli. Ví dụ 2.2.5: Cho một thùng đựng 16 trái táo, Định nghĩa: Xét phép thử Bernoulli, và thực hiện trong đó có 4 trái táo tốt và 12 táo hư. Rút ngẫu lại phép thử n lần độc lập. Đặt X=“số lần thành nhiên lần lượt 25 trái táo (rút có hoàn lại). công trong n thí nghiệm”. Người ta gọi X là bnn a) Tìm xác suất để rút đúng một trái táo tốt nhị thức và kí hiệu: X~b(n;p). b) Tìm xác suất để rút không quá 7 trái táo tốt. ThS Lê Văn Minh 2.2.3 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức Ví dụ 2.2.4 Gọi ω1=“trai”, ω2=“gái”. Giải X = “số lần sinh trai trong n lần sinh”. Đặt ω1=“táo tốt”, ω2=“táo hư”. X =“Số lần rút Ta có: p =P(ω1)=1/2. q = P(ω2)=1-1/2 =1/2. được táo tốt trong 25 lần rút”. Ta có: →X~b(n;1/2) 4 1 12 3 P (1 )   ; P (2 )   Định nghĩa: Cho X~b(n;p). Khi đó 16 4 16 4 Do rút có hoàn lại và các lần rút độc lập nên k  P(X  k)  Cn pkqnk , k  0,.., n k (2.2.4) X~b(25;1/4). 5
2.2.5 Biến ngẫu nhiên nhị thức 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson a) Gọi A=“Rút được đúng 1 trái táo tốt”={X=1}. Ví dụ 2.2.6: Xét số người đến siêu thị trong 1 13 251 25! 1  3  24 tháng. Gọi X =“Số người đến siêu thị trong 1  P( A)  P( X  1)  C25    1       0, 006 44 24! 4  4  ngày” b) Gọi B=“Rút được ≤ 7 trái táo tốt” Ta thấy X=0,1,2…. Ta không đoán biết chính xác ={X ≤ 7} = {X=0}U{x=1}U…U{x=7} một ngày nào đó có bao nhiêu người đến. Nhưng ta Vì các biến cố xung khắc nên: biết được số người TB đến siêu thị trong 1 ngày, chẳng hạn: λ=100 P( B)  P ( X  0)  P( X  1)    P ( X  7) 0 25 24 7 18 Khi đó: X~P0(100). 0 1 3 1  1  3  7 1 3  C25      C25        C25      0, 7 4 4  4  4  4 4 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson 2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson Định nghĩa 2.2.3: Biến ngẫu nhiên rời rạc X, nhận Định lý 2.2.4a: Cho X~P0(λ), (λ > 0). Khi đó: các giá trị X =0, 1, 2, …,n,…với xác suất như sau EX   ; VarX   (2.2.7) e  k P( X  k )  , k  0,1, 2,...;   0 (2.2.6) k! Định lý 2.2.4b: Cho X là bnn nhị thức, X~b(n;p). được gọi là bnn có phân phối Poisson, kí hiệu: Giả sử n lớn và np = λ. Khi đó: X là biến ngẫu X~P0(λ). nhiên có phân phối Poisson với tham số λ , i.e., X~P0(λ). Chú ý: Nên dùng đlý khi n≥100, p≤0,01, np≤20 6
2.2.6 Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Ví dụ 2.2.7 Trong một lô thuốc, tỷ lệ thuốc hỏng Ví dụ 2.2.8 Người ta chọn một hội đồng chấm thi p =0,003. Kiểm tra 1000 ống. Tính xác suất để gồm 3 người từ 5 nhà Vật lý và 4 nhà Toán học. gặp 3 ống bị hỏng. Hãy tìm xác suất để có đúng một nhà Toán học Giải trong hội đồng này? Gọi X số ống thuốc hỏng trong 1000 ống ktra. Giải Đây là phép thử Benoulli với p=0,003; n=1000. Đặt X=“Số nhà Toán học trong hội đồng được X~b(1000; 0,003).Khi đó: X~P0(3) chọn ra “, thì X  H (9; 4;3), N  9, M  4, n  3  3e  33 e3 P( X  3)    0,224 3! 3! ThS Lê Văn Minh 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Định nghĩa: Cho tập hợp có N phần tử, trong đó có A=“Có đúng 1 nhà Toán học trong HĐ”={X=1}. M phần tử loại A. Lấy ngẫu nhiên từ tập này n C4  C52 10 1 phần tử (lấy không hoàn lại). Đặt X=“Số phần tử  P ( A)  P{ X  1}  3   048  C9 21 loại A trong n phần tử lấy ra”. Người ta gọi X là biến ngẫu nhiên siêu bội, kí hiệu: X~H(N;M,n) và Định lý 2.2.5a: Cho X~H(N; M; n). Khi đó: M M  M  N n C k C nk EX  n  ; VarX  n   1   (2.2.8) N N N  N 1 P{ X  k}  M nN  M , k  0,1,..., n (2.2.8) CN 7
2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội 2.2.7 Biến ngẫu nhiên siêu bội Định lý 2.2.5b: Cho X~H(N; M; n). Nếu N lớn và Cách khác: Vì N=5000 rất lớn và n=10
2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục  Người ta gọi hàm mật độ xác suất của bnnlt X là Định lý 2.3.1 (tt) hàm số f ( x )  0, x   vi ) f ( x)  F ( x), taï i x laø ñieå m lieâ n tuï c cuû a f ( x) sao cho:   n  x vii )  f ( x)dx  1 ,    k  1 F ( x)    f (t )dt (2.3.2)  b  k 1  viii )  f ( x)dx  F (b)  F (a) a 2.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Ý nghĩa hình học của hàm mđxs Định lý 2.3.1: Cho bnnlt X, có hàm ppxs F(x) và Xác suất để bnn X có giá trị trong khoảng (x1,x2) là hàm mđxs f(x) . Khi đó diện tích giới hạn bởi: f(x), x=x1, x=x2 và Ox i) 0  F ( x)  1, x ii) Neá u a  b thì F (a)  F (b) f(x) x2 iii ) P{a  X  b}  F (b)  F (a) (2.3.3) P ( x1  X  x2 )   f ( x)dx x1 iv) lim F ( x)  0; lim F ( x)  1 x  x  x1 x2 x v) P{ X  C}  0, C  const ThS Lê Văn Minh 9
Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục  Kỳ vọng  Phương sai Định nghĩa 2.3.2a: Cho bnnlt X, có hàm ppxs F(x) Định nghĩa 2.3.2b: Cho bnnlt X có hàm ppxs F(x), và hàm mđxs f(x) . Nguời ta gọi kỳ vọng của bnnlt hàm mđxs f(x) , kỳ vọng E(X). Người ta gọi X là giá trị trung bình theo xác suất xác định bởi: phương sai của bnnlt X là số đo độ phân tán xung quanh giá trị kỳ vọng và được xác định bởi   E( X )   xdF ( x)=  xf ( x)dx   (2.3.4) VarX  E ( X  EX )2    ( x  EX ) dF( x ) =  ( x  EX ) 2 2  f ( x )dx (2.3.5)   Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục  Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X) hay  2 E  g ( X )   g ( x) f ( x)dx (2.3.4)     VarX  EX 2  ( EX )2   x f ( x )dx    xf ( x )dx   2 (2.3.5)        Trường hợp g(X) = X2 thì  Độ lệch chuẩn:  X  VarX EX 2  x (2.3.4) 2 f ( x)dx  10
2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục có pp đều 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn  Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là bnnlt có Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là phân phối đều trên [a, b] nếu hàm mđxs của X có bnnlt có phân phối chuẩn với hai tham số μ và dạng σ2>0, ký hiệu: X~N(μ,σ2) nếu X có hàm mật độ  1  neá u x  [a, b] ( x   )2 f ( x)   b  a 1   0 neá u x  [a, b] f ( x)  e 2 2 , ( x  )   2 ThS Lê Văn Minh 2.3.1 Biến ngẫu nhiên liên tục có pp đều 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định lý 2.3.1b: Cho X là bnnlt có phân có phân Đồ thị hàm mật độ của bnn có pp chuẩn phối đều trên [a,b] . Khi đó ab ( a  b) 2 EX  , VarX  (2.3.6) 2 12 μ = 4 và σ2 =9 11
2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định lý 2.3.2a: Cho X~N(μ,σ2). Khi đó Định lý 2.3.2c: Cho Z ~N(0, 1), có hàm pp chuẩn tắc Ф(x). Khi đó: EX   , VarX   2 (2.3.7) i ) P{a  Z  b}   (b)   ( a ) (2.3.8) Định lý 2.3.2b: Cho X~N(μ,σ2) và Y =aX +b, (a, b ii )  (  x )  1   ( x ) =const). Khi đó: trong đó: giá trị Ф(x) tra bảng pp chuẩn tắc. Y ~ N ( a   b; a  )2 2 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Cho X~N(μ,σ2). Người ta gọi biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.3.2a: Cho Z~N(0, 1). Tính P 1/ 2  Z  1 X  Z  là bnn chuẩn tắc, ký hiệu: Z~N(0,1) Giải P 1/ 2  Z  1   (1)   (1/ 2)   (1)  [1   (1 / 2)]  Hàm mật độ của bnn chuẩn tắc: x 2   (1)   (1 / 2)  1 1   ( x)  e 2  0,8413  0, 6914  1  0,532 2 Định lý 2.3.2d: Cho X~N(μ,σ2). Khi đó  Hàm pp chuẩn tắc: c  i ) P{ X  c}     x 1 x  t2     ( x)    (t )dt  2 e 2 dt b  ii ) P a  X  b    a    (2.3.9)         12
2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Ví dụ 2.3.2b: Cho X~N(-2, 9). Tính P(X ≤ 1) và Hệ quả 1: P(-8 ≤ X ≤ 1).   X  np   P a   b    (b)   (a ) (2.3.11) Giải   npq    1  (2)  Hệ quả 2:  P{ X  1}       (1)  0,841 x2  3  1 1  2k k  np P{ X  k }   e , xk  , k  0,1, 2,...  1  (2)   8  (2)  npq 2 npq  P{8  X  1}        (1)   ( 2)  3   3  (2.3.12)   (1)  [1   (2)]   (1)   (2)  1  0,841  0,977  1  0,818 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Định lý 2.3.2e: (Định lý giá trị trung tâm dạng De Ví dụ 2.3.2c Trong một thí trấn có 40% số dân là Moire - Laplace) nghiện thuốc lá. Chọn 300 người dân để phỏng vấn Cho X là bnn nhị thức X~b(n;p) và Z là bnn chuẩn (chọn một cách độc lập). Hãy tìm xác suất để: tắc Z~N(0;1). Khi đó: a) Có không quá 140 người nghiện thuốc lá b) Số người nghiện thuốc lá nằm trong khoảng từ  X  np    lim P   x    ( x) (2.3.10) 100 đến 140 người n   npq    Giải 13
2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Gọi ω1=“nghiện”, ω2=“không nghiện” Khi đó: P ( B )  P{100  X  140} →p=P(ω1)=4/10, q=P(ω2)=1-p=6/10. 100  120 X  120 140  120   P     8,5 8,5 8,5  Gọi X=“Số người nghiện trong 300 người được phỏng vấn”. Do số lần thí nghiệp là độc lập nên  X  120   P 2,35   2,35  8,5  X~b(300;4/10).  (2,35)  (2,35) a)  2 (2,35)  1  2.0,9906  1  0,9812 Đặt A=“Không quá 40 người nghiện”={X≤40} 2.3.2 Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2.3.3 Luật phân phối Chi bình phương  X  np 140  np    Khi đó P ( A)  P{ X  140}  P    Cho Xi~N(0;1), i=1,..,n và các Xi là các bnn độc  npq  npq   lập. n  X  120  P   2,35   (2,35)  0,9906 Đặt: Z   X i2  8,5  i 1 b) Gọi B=“Số người nghiện từ 100 đến 140 khi đó người ta nói Z tuân theo luật pp chi bình người”. phương với n bậc tự do. Kí kiệu: Z ~ χ2(n) 14
2.3.3 Luật phân phối chi bình phương 2.3.4 Luật phân phối Student Hàm mật độ xs của bbnn chi bình phương Tính chất:  n 1  x Cho T~t(n). Khi đó  , x0 f ( x)  Cx .e 2 2 n  0 , x0 E(T )  0, VarT   n2 với  1 x  1  x C ; ( )  e dx, (  0) (n / 2).2n /2 0 Tính chất: Nếu Z ~ χ2(n) thì EZ=n và VarZ =2n ThS Lê Văn Minh ThS Lê Văn Minh 2.3.4 Luật phân phối Student  Cho 2 bnn độc lập X~N(0,1) và Y~ χ2(n). Đặt X T Y /n Khi đó ta nói T tuân theo luật pp Student với n bậc tự do và kí hiệu: T~t(n).  Hàm mật độ xs của bnn Student: n 1  n 1     x2  2  2  f ( x)  C 1   với C   n  n  (n / 2) 15