zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2 - Lê Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Báo xấu

8
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 2: Biến ngẫu nhiên, cung cấp những kiến thức như định nghĩa và phân loại biến ngẫu nhiên; luật phân phối xác suất; các đặc trưng của biến ngẫu nhiên;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2 - Lê Phương

Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Chương 2 Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Lê Phương Bộ môn Toán kinh tế Đại học Ngân hàng Tp Hồ Chí Minh Homepage: http://docgate.com/phuongle 2.1
Nội dung Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất 1 Biến ngẫu nhiên Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của Định nghĩa biến ngẫu nhiên Phân loại Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 2 Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất 3 Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 2.2
Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác Ví dụ suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất 1 Gọi X là số lần xuất hiện mặt ngửa khi tung một đồng xu Các đặc trưng của cân đối 5 lần thì X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5. biến ngẫu nhiên Mode 2 Gọi Y là chiều cao của cây cà phê trưởng thành (đơn vị: Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn mét) thì Y có thể nhận các giá trị thuộc tập hợp [1, 10]. Phân vị, trung vị Định nghĩa Hàm số X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên nếu với mọi số thực a thì {ω ∈ Ω : X (ω) ≤ a} là một biến cố của phép thử. Kí hiệu 1 X (Ω): tập hợp các giá trị mà X có thể nhận. 2 (X ∈ A) = {X ∈ A} := {ω ∈ Ω : X (ω) ∈ A} với A ⊂ R. 3 (a ≤ X ≤ b) = {a ≤ X ≤ b} := {ω ∈ Ω : a ≤ X (ω) ≤ b}. 2.4
Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Biến ngẫu nhiên rời rạc Luật phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên là rời rạc nếu tập giá trị của nó là đếm được Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất • hữu hạn: X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn }, Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên • vô hạn đếm được: X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . }. Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Ví dụ: 1 Gọi X là tổng số chấm nhận được sau khi tung 2 xúc sắc X (Ω) = {2, 3, . . . , 12}, 2 Gọi X là số phế phẩm của một nhà máy từ khi thành lập X (Ω) = {0, 1, . . . }. Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên là liên tục nếu tập giá trị của nó là một khoảng (hay một số khoảng hay toàn bộ trục số R). Ví dụ: 1 kết quả phép đo trong một thí nghiệm, 2 lượng mưa trong một ngày ở TP. Hồ Chí Minh. 2.6
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Biến ngẫu nhiên rời rạc Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Phân phối xác suất (còn gọi là phân bố hay hàm tập trung xác Hàm phân phối xác suất suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X là Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } và pi = P(X = xi ) với xi ∈ X (Ω). Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong Phân vị, trung vị X (Ω) tương ứng và được biểu diễn bằng bảng phân phối xác suất X x1 x2 · · · xn · · · P p1 p2 · · · pn · · · Tính chất 1 pi ≥ 0 với xi ∈ X (Ω), 2 pi = 1, i 3 P(a ≤ X < b) = pi . a≤xi
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên. Gọi Mode Kì vọng X số lần bắn trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X biết xác Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 0,4 và 0,7. Lập bảng phân phối xác suất của X . Ví dụ Rút ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm lấy được. 1 Tìm phân phối xác suất của X . 2 Tính xác suất lấy được không quá một phế phẩm. 2.9
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Biến ngẫu nhiên liên tục Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm mật Mode Kì vọng độ xác suất f : R → R của X thỏa mãn các điều kiện sau: Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 1 f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R, +∞ 2 f (x)dx = 1, −∞ b 3 P(a ≤ X < b) = f (x)dx với a ≤ b. a Lưu ý: Với biến ngẫu nhiên liên tục X ta có P(X = a) = 0 và P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b). 2.10
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Ví dụ Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất Phân vị, trung vị cx(2 − x), 0 ≤ x ≤ 2, f (x) = 0, x < 0 hoặc x > 2 1 Xác định c. 2 Tính P(X < 1) và P(|X − 1| > 0, 5). 2.11
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Luật phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu FX (x) Phân phối xác suất hoặc F (x) được xác định như sau: Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên F (x) = P(X ≤ x), ∀x ∈ R. Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Ý nghĩa Hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm về bên trái của số thực x trên trục số. Công thức tính • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: F (x) = pi . xi ≤x • Với biến ngẫu nhiên liên tục: x F (x) = f (s)ds. −∞ 2.13
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên. Gọi Mode Kì vọng X số lần bắn trúng bia. Tìm hàm phân phối xác suất của X biết Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị xác suất bắn trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là 0,4 và 0,7. Ví dụ Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 2x, 0 ≤ x ≤ 1; f (x) = 0, x < 0 hoặc x > 1. Tìm hàm phân phối xác suất của X . 2.14
Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác Tính chất của hàm phân phối xác suất suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất 1 0 ≤ F (x) ≤ 1, với mọi x ∈ R. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2 F không giảm và liên tục khi X liên tục. Mode Kì vọng 3 lim F (x) = 0 và lim F (x) = 1. Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị x→−∞ x→+∞ 4 P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a). Liên hệ với phân phối xác suất • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: pi = F (xi ) − F (xi−1 ). • Với biến ngẫu nhiên liên tục: 1 F là hàm số liên tục, 2 F (x) = f (x) tại những điểm x mà hàm mật độ f liên tục. 2.15
Mode của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Luật phân phối xác suất Mode (giá trị tin chắc nhất) của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Mode(X ), Mod(X ) hay ModX , là (các) số thực được xác định Các đặc trưng của như sau biến ngẫu nhiên Mode • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: giá trị của biến ngẫu nhiên X Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn tại đó có xác suất lớn nhất Phân vị, trung vị Mod(X ) = xk sao cho P(X = x) đạt max tại x = xk • Với biến ngẫu nhiên liên tục: giá trị của biến ngẫu nhiên X tại đó hàm mật độ xác suất đạt cực đại Mod(X ) = x0 sao cho f (x) đạt max tại x = x0 Ý nghĩa Mode đặc trưng cho giá trị có khả năng xảy ra cao nhất của biến ngẫu nhiên X trong phép thử. 2.17
Mode của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Ví dụ Luật phân phối xác suất 1 Xác định mode của biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất xác suất như sau: Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode X 0 1 2 Kì vọng P 0, 2 0, 5 0, 3 Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Y −1 2 2, 5 7 P 0, 15 0, 3 0, 3 0, 25 2 Xác định mode của biến ngẫu nhiên X và Y có hàm mật độ xác suất lần lượt là: 3 fX (x) = x(2 − x), 0 ≤ x ≤ 2, 4 0, x < 0 hoặc x > 2   √ 1 , x ∈ (0; 1) fY (x) = 2 x  0, x ∈ (0; 1) 2.18
Kì vọng của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Luật phân phối xác suất Kì vọng (giá trị trung bình) của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu E(X ) Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất hay EX , là một số thực được xác định như sau: Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên • Với biến ngẫu nhiên rời rạc: Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn n Phân vị, trung vị EX = xi pi i=1 • Với biến ngẫu nhiên liên tục: +∞ EX = xf (x)dx. −∞ Ý nghĩa Kì vọng đặc trưng cho giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong phép thử. 2.20
Kì vọng của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Ví dụ Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn 1 Tính kì vọng của biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất Phân vị, trung vị như sau: X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 2 Tính kì vọng của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 2x, 0 ≤ x ≤ 1; f (x) = 0, x < 0 hoặc x > 1. 2.21
Kì vọng của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Tính chất của kì vọng Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của 1 E(C) = C với mọi hằng số C, biến ngẫu nhiên Mode 2 E(C.X ) = C.E(X ), Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 3 E(X ± Y ) = EX ± EY , 4 Nếu Y = h(X ) thì   i h(xi )pi ,  với X rời rạc, EY = +∞   h(x)f (x)dx, với X liên tục, −∞ 5 Nếu X , Y độc lập thì: E(XY ) = E(X )E(Y ). Chú ý: Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập nếu hai biến cố (X ≤ x) và (Y ≤ y ) là độc lập với mọi x, y ∈ R. 2.22
Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Định nghĩa Luật phân phối xác suất Phương sai của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu Var (X ), V (X ) hay Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất VX , là một số thực được xác định như sau: Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên VX = E (X − EX )2 Mode Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu σ(X ), được xác √ định bởi: σ(X ) = VX . Từ định nghĩa và tính chất 4 của kì vọng, ta có 2   i (xi − EX ) pi ,  với X rời rạc; VX = +∞   (x − EX )2 f (x)dx, với X liên tục. −∞ Ý nghĩa Đặc trưng cho độ phân tán của biến ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình. 2.24
Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode Tính chất của phương sai Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 1 V (X ) = E(X 2 ) − (EX )2 . 2 V (C) = 0 với mọi hằng số C. 3 V (CX ) = C 2 V (X ). 4 Nếu X , Y độc lập thì: V (X ± Y ) = V (X ) + V (Y ). 2.25
Phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Luật phân phối xác suất Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Ví dụ Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode 1 Tính độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X có phân phối Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn xác suất như sau: Phân vị, trung vị X 0 1 2 P 0, 2 0, 5 0, 3 2 Tính độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: 2x, 0 ≤ x ≤ 1; f (x) = 0, x < 0 hoặc x > 1. 2.26
Trung vị Biến ngẫu nhiên Định nghĩa Phân loại Phân vị và giá trị tới hạn Luật phân phối xác suất Cho biến ngẫu nhiên X và α ∈ (0, 1). Phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất 1 Số thực gα được gọi là giá trị tới hạn mức α của X nếu Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên Mode P(X > gα ) ≤ α và P(X < gα ) ≤ 1 − α. Kì vọng Phương sai, độ lệch chuẩn Phân vị, trung vị 2 Số thực qα được gọi là phân vị mức α của X nếu qα là giá trị tới hạn mức 1 − α của X , nghĩa là qα = g1−α . Lưu ý Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì gα là giá trị tới hạn mức α của X khi và chỉ khi P(X > gα ) = α. Ý nghĩa Giá trị tới hạn mức α (phân vị mức 1 − α) là điểm trên trục số chia phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên thành 2 phần theo tỉ lệ (1 − α) : α. 2.28

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.