Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến

Chia sẻ: Shino Bùi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

201
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ,ngược lại nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì tích phân phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng: tính tích phân suy rộng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến

Ch ng 2. Phép tính tích phân hàm m t bi n §1. TÍCH PHÂN SUY R NG 1.1. Tích phân suy r ng lo i m t (Tích phân v i c n vô t n) 1.1.1. nh ngh a. Cho hàm f xác nh trên a, , kh tích trên b m i o n a, b , a b . Gi i h n lim f x dx (n u có) c g i là b a tích phân suy r ng lo i m t c a hàm f trên a, và ký hi u là: b f x dx lim f x dx b a a nh ngh a t ng t , ta c ng có các tích phân suy r ng lo i m t sau: b b a f x dx lim f x dx ; f x dx f x dx f x dx a a a
N u gi i h n t n t i h u h n thì ta nói tích phân h i t , ng cl i n u gi i h n không t n t i ho c b ng vô cùng thì tích phân phân k . Hai v n i v i tích phân suy r ng: – Tính tích phân suy r ng (th ng là khó) – Kh o sát s h i t Chú ý. Gi s F là nguyên hàm c a f trên a, , khi ó b f x dx lim f x dx lim F b F a b b a a N u t n t i lim F b F thì b f x dx F x a F F a a T ng t i v i các tích phân còn l i.
dx VD 1. Tính I 0 1 x2 arctan x VD 2. Tính I dx 2 3/ 2 0 1 x 2x VD 3. Tính I e cos xdx 0 dx VD4. Tính I ; (a > 0, ) a x K t qu c s d ng kh o sát s h i t : dx I ; (a > 0, )h it n u > 1 và phân k n u 1 a x
1.1.2. Các tiêu chu n h i t 1. Tr ng h p hàm không âm. nh lý. (Tiêu chu n so sánh 1) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, và 0 f x g x ; x a, . Khi ó i) N u g x dx h i t thì f x dx h i t a a ii) N u f x dx phân k thì g x dx phân k a a Chú ý. kh o sát s h i t c a I f x dx ta th ng so sánh a dx v i tích phân ã bi t k t qu a x
dx VD 1. Kh o sát s h i t I 1 x 1 x2 dx VD 2. Kh o sát s h i t I 1 2x2 sin 2 3x ln3 xdx VD 3. Kh o sát s h i t I 1 x 5
H qu . (Tiêu chu n so sánh 2) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, ,f x 0, g x 0; f x x a, và lim A . Khi ó x g x i) N u A = 0 và g x dx h i t thì f x dx h i t a a ii) N u A và g x dx phân k thì f x dx phân k a a iii) N u 0 < A < thì f x dx và g x dx cùng HT ho c a a cùng PK Chú ý. N u f, g th a mãn các i u ki n c a H qu trên và f g, khi x thì f x dx và g x dx cùng HT ho c cùng PK a a
x3/ 2 VD 1. Kh o sát s h i t I 2 dx 1 1 x dx VD2. Kh o sát s h i t I 1 5x ln x 3xdx VD3. Kh o sát s h i t I 1 2x3 sin 3x 1/ x2 1 VD4. Kh o sát s h i t I e cos dx 1 x arctan xdx VD5. Kh o sát s h i t I 1 2x2 2 ln x dx VD6. Kh o sát s h i t I 0 3x 1 x 1
2. Tr ng h p hàm có d u b t k . nh ngh a. Tích phân suy r ng f x dx c g i là h i t tuy t a in u f x dx h i t a nh lý. N u f x dx h i t tuy t i thì nó h i t a Do ó, n u f x dx h i t thì f x dx h i t a a M t tích phân suy r ng h i t nh ng không h i t tuy t i c g i là bán h i t
Chú ý. N u hàm f có d u tùy ý, kh o sát s h i t c a f x dx a ta kh o sát s h i t c a tích phân hàm không âm f x dx s a d ng c 2 tiêu chu n so sánh s inx VD 1. Kh o sát s h i t I 2 dx 1 x cosx VD 2. Kh o sát s h i t I 2 dx 0 1 x s inxdx VD 3. Kh o sát s h i t I 1 x2 ln 2x
1.2. Tích phân suy r ng lo i hai (Hàm d i d u tích phân không b ch n) 1.2.1. nh ngh a. i m xo c g i là i m k d c a ng cong y = f(x) n u lim f x x xo 1.2.2. nh ngh a. Cho hàm f xác nh trên a, b , kh tích trên m i o n a, b ,0< < b – a và b là i m k d duy nh t c a f. b Gi i h n lim f x dx (n u có) c g i là tích phân suy r ng lo i 0 a b b hai c a hàm f trên a, b và ký hi u là: f x dx lim f x dx 0 a a b b N u a là i m k d duy nh t c a f thì f x dx lim f x dx 0 a a
N u gi i h n t n t i h u h n thì ta nói tích phân h i t , ng cl i n u gi i h n không t n t i ho c b ng vô cùng thì tích phân phân k . N u i m k d duy nh t c a f là i m c a, b thì b c b f x dx f x dx f x dx a a c Tích phân v trái h i t khi và ch! khi c hai tích phân " v ph i h i t . Chú ý. Gi s b là i m k d duy nh t c a f và F là nguyên hàm c a b b f trên a, b , khi ó f x dx lim f x dx lim F b F a 0 0 a a b b N u t n t i lim F b F b thì f x dx F x a F b F a 0 a T ng t cho tr ng h p a là i m k d duy nh t c a f.
4 dx VD 1. Tính I 2 x 2 3 dx VD 2. Tính I 0 x 1 1 dx VD 3. Tính I 0 2 x 1 x b b dx dx VD 4. Tính I ;J ; (a < b, > 0) a x a a b x K t qu c s d ng kh o sát s h i t : b b dx dx I ;J ; (a < b, > 0) h i t n u 0 < < 1 a x a a b x và phân k n u 1
1.1.2. Các tiêu chu n h i t # T ng t tích phân suy r ng lo i m t: có hai tiêu chu n so sánh cho tích phân hàm không âm. Khái ni m h i t tuy t i c ng t ng t trong tích phân suy r ng lo i m t: h i t tuy t i thì h i t . 1. Tr ng h p hàm không âm. nh lý. (Tiêu chu n so sánh 1) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, b và 0 f x g x ; x a, b và b là i m k d duy nh t c a f. Khi ó b b i) N u g x dx h i t thì f x dx h i t a a b b ii) N u f x dx phân k thì g x dx phân k a a # T ng t cho tr ng h p a là i m k d duy nh t c a f.
H qu . (Tiêu chu n so sánh 2) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, b ,f x 0, g x 0; x a, b , f x b là i m k d duy nh t c a f và lim A . Khi ó x b g x b b i) N u A = 0 và g x dx h i t thì f x dx h i t a a b b ii) N u A và g x dx phân k thì f x dx phân k a a b b iii) N u 0 < A < thì f x dx và g x dx cùng HT ho c a a cùng PK Chú ý. N u f, g th a mãn các i u ki n c a H qu trên và f g, b b khi x b thì f x dx và g x dx cùng HT ho c cùng PK a a
2 dx VD 1. Kh o sát s h i t I 1 x2 1 5 1 ln 1 x3 dx VD2. Kh o sát s h i t I 0 ex 1 4 dx VD3. Kh o sát s h i t I 0 x 2 1 5x3 x VD4. Kh o sát s h i t I dx 0 tan x x sin2 xdx VD5. Kh o sát s h i t I 0 x2 1 sin VD6. Kh o sát s h i t I x dx 0 x x
BTVN. 1. Xét s h i t và tính (trong tr ng h p h i t ) các tích phân sau 0 2 1) x 4) x5 xe dx dx 2 0 4 x 2 dx 2) cos xdx 5) 2 0 0 x 1 3) dx 2 2 x 1 2. Xét s h i t c a các tích phân sau 1 x2 x3 x2 1 1) I dx 2) I dx 1 3 x 1 x3 3x 1
x arctan x 3) I 2 dx 9) I x dx 0 1 x 0 2 e x2 x 4) I e dx 10) I dx 1 1 x3 2 sin x e x 2 5) I dx 11) I 1 cos dx 1 x 1 x ex cos x 6) I dx 12) I dx 1 x 1 x arctan x s inx 7) I 4 dx 13) I dx 0 1 x 1 x x arctan x sin2 x 8) I dx 14) I dx 1 1 x 3 0 x
1 dx 15) I 2 s in(x )dx 21) I x 1 0 e 1 1 ln 1 x dx 16) I dx 22) I 3 1 x 0 e x 1 1 dx xdx 17) I 23) I 1 ln2 x 1 0 es inx 1 ln x 1 ln 1 x 18) I 2 dx 24) I sinx dx 0 1 x 0 e 1 1 2 dx dx 19) I 25) I 0 x 2 x 1 ln x 3 1 2x3 ln x 20) I dx 26) I dx 2 0 9 x 0 x
1 dx 27) I 0 ex cos x 1 dx 28) I 0 tan x x 1 dx 29) I 0 x 1