Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến
lượt xem 21
download
Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ,ngược lại nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì tích phân phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng: tính tích phân suy rộng
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến
- Ch ng 2. Phép tính tích phân hàm m t bi n §1. TÍCH PHÂN SUY R NG 1.1. Tích phân suy r ng lo i m t (Tích phân v i c n vô t n) 1.1.1. nh ngh a. Cho hàm f xác nh trên a, , kh tích trên b m i o n a, b , a b . Gi i h n lim f x dx (n u có) c g i là b a tích phân suy r ng lo i m t c a hàm f trên a, và ký hi u là: b f x dx lim f x dx b a a nh ngh a t ng t , ta c ng có các tích phân suy r ng lo i m t sau: b b a f x dx lim f x dx ; f x dx f x dx f x dx a a a
- N u gi i h n t n t i h u h n thì ta nói tích phân h i t , ng cl i n u gi i h n không t n t i ho c b ng vô cùng thì tích phân phân k . Hai v n i v i tích phân suy r ng: – Tính tích phân suy r ng (th ng là khó) – Kh o sát s h i t Chú ý. Gi s F là nguyên hàm c a f trên a, , khi ó b f x dx lim f x dx lim F b F a b b a a N u t n t i lim F b F thì b f x dx F x a F F a a T ng t i v i các tích phân còn l i.
- dx VD 1. Tính I 0 1 x2 arctan x VD 2. Tính I dx 2 3/ 2 0 1 x 2x VD 3. Tính I e cos xdx 0 dx VD4. Tính I ; (a > 0, ) a x K t qu c s d ng kh o sát s h i t : dx I ; (a > 0, )h it n u > 1 và phân k n u 1 a x
- 1.1.2. Các tiêu chu n h i t 1. Tr ng h p hàm không âm. nh lý. (Tiêu chu n so sánh 1) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, và 0 f x g x ; x a, . Khi ó i) N u g x dx h i t thì f x dx h i t a a ii) N u f x dx phân k thì g x dx phân k a a Chú ý. kh o sát s h i t c a I f x dx ta th ng so sánh a dx v i tích phân ã bi t k t qu a x
- dx VD 1. Kh o sát s h i t I 1 x 1 x2 dx VD 2. Kh o sát s h i t I 1 2x2 sin 2 3x ln3 xdx VD 3. Kh o sát s h i t I 1 x 5
- H qu . (Tiêu chu n so sánh 2) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, ,f x 0, g x 0; f x x a, và lim A . Khi ó x g x i) N u A = 0 và g x dx h i t thì f x dx h i t a a ii) N u A và g x dx phân k thì f x dx phân k a a iii) N u 0 < A < thì f x dx và g x dx cùng HT ho c a a cùng PK Chú ý. N u f, g th a mãn các i u ki n c a H qu trên và f g, khi x thì f x dx và g x dx cùng HT ho c cùng PK a a
- x3/ 2 VD 1. Kh o sát s h i t I 2 dx 1 1 x dx VD2. Kh o sát s h i t I 1 5x ln x 3xdx VD3. Kh o sát s h i t I 1 2x3 sin 3x 1/ x2 1 VD4. Kh o sát s h i t I e cos dx 1 x arctan xdx VD5. Kh o sát s h i t I 1 2x2 2 ln x dx VD6. Kh o sát s h i t I 0 3x 1 x 1
- 2. Tr ng h p hàm có d u b t k . nh ngh a. Tích phân suy r ng f x dx c g i là h i t tuy t a in u f x dx h i t a nh lý. N u f x dx h i t tuy t i thì nó h i t a Do ó, n u f x dx h i t thì f x dx h i t a a M t tích phân suy r ng h i t nh ng không h i t tuy t i c g i là bán h i t
- Chú ý. N u hàm f có d u tùy ý, kh o sát s h i t c a f x dx a ta kh o sát s h i t c a tích phân hàm không âm f x dx s a d ng c 2 tiêu chu n so sánh s inx VD 1. Kh o sát s h i t I 2 dx 1 x cosx VD 2. Kh o sát s h i t I 2 dx 0 1 x s inxdx VD 3. Kh o sát s h i t I 1 x2 ln 2x
- 1.2. Tích phân suy r ng lo i hai (Hàm d i d u tích phân không b ch n) 1.2.1. nh ngh a. i m xo c g i là i m k d c a ng cong y = f(x) n u lim f x x xo 1.2.2. nh ngh a. Cho hàm f xác nh trên a, b , kh tích trên m i o n a, b ,0< < b – a và b là i m k d duy nh t c a f. b Gi i h n lim f x dx (n u có) c g i là tích phân suy r ng lo i 0 a b b hai c a hàm f trên a, b và ký hi u là: f x dx lim f x dx 0 a a b b N u a là i m k d duy nh t c a f thì f x dx lim f x dx 0 a a
- N u gi i h n t n t i h u h n thì ta nói tích phân h i t , ng cl i n u gi i h n không t n t i ho c b ng vô cùng thì tích phân phân k . N u i m k d duy nh t c a f là i m c a, b thì b c b f x dx f x dx f x dx a a c Tích phân v trái h i t khi và ch! khi c hai tích phân " v ph i h i t . Chú ý. Gi s b là i m k d duy nh t c a f và F là nguyên hàm c a b b f trên a, b , khi ó f x dx lim f x dx lim F b F a 0 0 a a b b N u t n t i lim F b F b thì f x dx F x a F b F a 0 a T ng t cho tr ng h p a là i m k d duy nh t c a f.
- 4 dx VD 1. Tính I 2 x 2 3 dx VD 2. Tính I 0 x 1 1 dx VD 3. Tính I 0 2 x 1 x b b dx dx VD 4. Tính I ;J ; (a < b, > 0) a x a a b x K t qu c s d ng kh o sát s h i t : b b dx dx I ;J ; (a < b, > 0) h i t n u 0 < < 1 a x a a b x và phân k n u 1
- 1.1.2. Các tiêu chu n h i t # T ng t tích phân suy r ng lo i m t: có hai tiêu chu n so sánh cho tích phân hàm không âm. Khái ni m h i t tuy t i c ng t ng t trong tích phân suy r ng lo i m t: h i t tuy t i thì h i t . 1. Tr ng h p hàm không âm. nh lý. (Tiêu chu n so sánh 1) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, b và 0 f x g x ; x a, b và b là i m k d duy nh t c a f. Khi ó b b i) N u g x dx h i t thì f x dx h i t a a b b ii) N u f x dx phân k thì g x dx phân k a a # T ng t cho tr ng h p a là i m k d duy nh t c a f.
- H qu . (Tiêu chu n so sánh 2) Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, b ,f x 0, g x 0; x a, b , f x b là i m k d duy nh t c a f và lim A . Khi ó x b g x b b i) N u A = 0 và g x dx h i t thì f x dx h i t a a b b ii) N u A và g x dx phân k thì f x dx phân k a a b b iii) N u 0 < A < thì f x dx và g x dx cùng HT ho c a a cùng PK Chú ý. N u f, g th a mãn các i u ki n c a H qu trên và f g, b b khi x b thì f x dx và g x dx cùng HT ho c cùng PK a a
- 2 dx VD 1. Kh o sát s h i t I 1 x2 1 5 1 ln 1 x3 dx VD2. Kh o sát s h i t I 0 ex 1 4 dx VD3. Kh o sát s h i t I 0 x 2 1 5x3 x VD4. Kh o sát s h i t I dx 0 tan x x sin2 xdx VD5. Kh o sát s h i t I 0 x2 1 sin VD6. Kh o sát s h i t I x dx 0 x x
- BTVN. 1. Xét s h i t và tính (trong tr ng h p h i t ) các tích phân sau 0 2 1) x 4) x5 xe dx dx 2 0 4 x 2 dx 2) cos xdx 5) 2 0 0 x 1 3) dx 2 2 x 1 2. Xét s h i t c a các tích phân sau 1 x2 x3 x2 1 1) I dx 2) I dx 1 3 x 1 x3 3x 1
- x arctan x 3) I 2 dx 9) I x dx 0 1 x 0 2 e x2 x 4) I e dx 10) I dx 1 1 x3 2 sin x e x 2 5) I dx 11) I 1 cos dx 1 x 1 x ex cos x 6) I dx 12) I dx 1 x 1 x arctan x s inx 7) I 4 dx 13) I dx 0 1 x 1 x x arctan x sin2 x 8) I dx 14) I dx 1 1 x 3 0 x
- 1 dx 15) I 2 s in(x )dx 21) I x 1 0 e 1 1 ln 1 x dx 16) I dx 22) I 3 1 x 0 e x 1 1 dx xdx 17) I 23) I 1 ln2 x 1 0 es inx 1 ln x 1 ln 1 x 18) I 2 dx 24) I sinx dx 0 1 x 0 e 1 1 2 dx dx 19) I 25) I 0 x 2 x 1 ln x 3 1 2x3 ln x 20) I dx 26) I dx 2 0 9 x 0 x
- 1 dx 27) I 0 ex cos x 1 dx 28) I 0 tan x x 1 dx 29) I 0 x 1
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Sách hướng dẫn học Toán cao cấp A1
138 p | 24547 | 5962
-
Các ví dụ và bài toán Giải tích Toán học (Phần 1): Tập 2
427 p | 410 | 102
-
Các ví dụ và bài tập Giải tích toán học - Phần I: Tập 2 (Phần 2)
216 p | 377 | 75
-
Bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học): Phần 2 - TS. Trần Ngọc Hội
62 p | 312 | 43
-
Đề cương bài giảng Giải tích cổ điển
120 p | 143 | 21
-
Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 1
37 p | 100 | 19
-
Giáo trình Toán cao cấp (bậc cao đẳng khối kỹ thuật và kinh tế): Phần 2
98 p | 129 | 14
-
Bài giảng Giải tích 1 - Chương 2: Hàm số nhiều biến (Phần 3)
57 p | 116 | 8
-
Bài giảng Giải tích cao cấp: Chương 2 - Lê Thái Duy
77 p | 10 | 4
-
Toán học cao cấp: Tập 3 - Phép tính giải tích nhiều biến số
275 p | 10 | 4
-
Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 2 - ThS. Nguyễn Công Nhựt
116 p | 12 | 3
-
Bài giảng Giải tích B1: Chương 2 - Cao Nghi Thục
37 p | 8 | 3
-
Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành Kỹ thuật và công nghệ)
285 p | 9 | 2
-
Bài giảng Giải tích 2: Chương 1 - Hoàng Đức Thắng
35 p | 66 | 2
-
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - Nguyễn Văn Tiến
11 p | 80 | 2
-
Giáo trình Giải tích hàm nhiều biến - Trường Đại học Sài Gòn
334 p | 8 | 2
-
Bài giảng Toán cao cấp: Chương 7 - ThS. Lê Trường Giang
34 p | 3 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn