Chương 4: Chéo hoá ma trận

Chia sẻ: Thanh Tran | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

1.132
lượt xem 180
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 4: chéo hoá ma trận', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4: Chéo hoá ma trận

BAØI GIAÛNG TOÙM TAÉT 2) Neáu u laø vectô rieâng cuûa A thì trò rieâng töông öùng vôùi noù laø duy nhaát. 3) Neáu u vaø v laø caùc vectô rieâng öùng vôùi trò rieâng λ thì αu + v cuõng laø vectô rieâng öùng vôùi trò rieâng λ (α ∈ R). MOÂN TOAÙN C2 1.4. Khoâng gian rieâng: (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009) Cho ma traän A ∈ Mn(R) vaø λ ∈ R laø moät trò rieâng cuûa A. Ñaët: V(λ) = {u = (x1 , x 2 ,..., xn ) ∈ Fn A u = λu} , CHÖÔNG 4 nghóa laø V(λ) goàm vectô 0 vaø taát caû caùc vectô rieâng cuûa A öùng vôùi trò rieâng λ. Khi CHEÙO HOÙA MA TRAÄN ñoù, theo Nhaän xeùt 1.3, V(λ) laø moät khoâng gian con cuûa Rn. Ta goïi V(λ) laø khoâng gian rieâng cuûa A öùng vôùi trò rieâng λ. 1.5. Ñònh nghóa: §1. TRÒ RIEÂNG, VECTÔ RIEÂNG CUÛA MA TRAÄN 4.1. Ñònh nghóa: Cho ma traän A ∈ Mn(R) vaø veùctô u = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, ta ñònh nghóa: .vn Cho ma traän A ∈ Mn(R). Ña thöùc baäc n theo λ ñònh bôûi: ϕA (λ) = det(A − λI) = a11 − λ a 22 ..... a12 ...... a nna ... a 22 − λ ... ... a1n a 2n ...... ... a nn − λ h nn ⎛ a11 a12 ... a1n ⎞ ñöôïc goïi laø ña thöùc ñaëc tröng cuûa ma traän A. ⎜ ⎟ a a 22 ... a 2n ⎟ 4 Au = ⎜ 21 (x , x ,..., xn ) 1.6. Ñònh lyù: ⎜ ⎟ 1 2 ⎜ ..... ...... ... ...... ⎟ Soá thöïc λ laø trò rieâng cuûa A ∈ Mn(R) khi vaø chæ khi λ laø nghieäm cuûa ña thöùc ⎝ a n1 a n2 ... a nn ⎠ = (a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n , a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n ,..., a n1 x1 + a n2 x2 + ... + a nn x n ) Ta noùi soá thöïc λ laø moät trò rieâng cuûa ma traän A neáu toàn taïi vectô c2 ñaëc tröng ϕA(λ). Nhaän xeùt: Khoâng gian rieâng V(λ) cuûa ma traän A öùng vôùi trò rieâng λ chính o laø khoâng gian nghieäm cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát (1). u = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn\{0} sao cho: Au = λu. Töø ñònh lyù treân ta suy ra thuaät toaùn sau: ih Khi ñoù vectô u ñöôïc goïi laø vectô rieâng cuûa A öùng vôùi trò rieâng λ. 1.7. Thuaät toaùn tìm trò rieâng, vectô rieâng vaø khoâng gian rieâng cuûa 1.2. Ví duï: ma traän: ⎛ 3 0⎞ ⎛ 3 0⎞ 1) Laäp ña thöùc ñaëc tröng ϕA(λ) = |A – λI|. 1) Cho A = ⎜ ⎟ , ta coù: A(1, 0) = ⎜ ⎟ (1, 0) = (3, 0) = 3(1, 0) . rieâng λ = 3. ⎝0 1⎠ vectô rieâng cuûa 0. ⎝0 1⎠ V u Do ñoù λ = 3 laø moät trò rieâng cuûa A vaø u = (1,0) laø moät vectô rieâng öùng vôùi trò 2) Ma traän khoâng 0 ∈ Mn(R) chæ coù trò rieâng λ = 0 vaø moïi u ∈ Rn\{0} ñeàu laø 3) Ma traän ñôn vò I ∈ Mn(R) chæ coù trò rieâng λ = 1 vaø moïi vectô u ∈ Rn\{0} (1). 2) Giaûi phöông trình ϕA(λ) = 0 ñeå tìm caùc trò rieâng cuûa ma traän A. 3) ÖÙng vôùi moãi trò rieâng λ, khoâng gian rieâng V(λ) laø khoâng gian nghieäm cuûa phöông trình Au = λu, nghóa laø cuûa heä phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát Ví duï: Cho ma traän thöïc A = ⎜ 1 ⎜ ⎛ 3 3 2⎞ ⎟ −2 ⎟ .Tìm trò rieâng vaø vectô rieâng cuûa 1 ñeàu laø vectô rieâng cuûa I. ⎜ −3 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ 1.3. Nhaän xeùt: A. Xaùc ñònh cô sôû, soá chieàu cuûa caùc khoâng gian rieâng töông öùng. 1) Vectô rieâng phaûi laø vectô khaùc 0. 3 4
Giaûi. - Ña thöùc ñaëc tröng: ϕA (λ) = (4 − λ)(λ 2 + 4) - Trò rieâng: Ma traän A chæ coù moät trò rieâng λ1 = 4. - Khoâng gian rieâng V(λ1) öùng vôùi trò rieâng λ1 = 4 laø khoâng gian nghieäm cuûa heä: ⎧− x1 + 3x 2 + 2x 3 = 0 ⎪ Au = λ1u ⇔ ⎨ x1 − 3x 2 − 2x 3 = 0 (1) ⎪−3x − x − 4x = 0 ⎩ 1 2 3 Giaûi heä (1), ta tìm ñöôïc nghieäm toång quaùt (x1, x2, x3) =(-α, -α, α) vôùi α ∈ R tuøy yù. Vaäy: V(λ1)= = < (-1, -1, 1) >. Suy ra V(λ1) coù dim V(λ1) = 1 vôùi cô sôû 1.3. Heä quaû: {(-1, -1, 1)}. §2. CHEÙO HOÙA MA TRAÄN 2.1. Ñònh nghóa: ñöôïc. .v n Neáu A laø ma traän vuoâng caáp n vaø coù n trò rieâng phaân bieät thì A cheùo hoùa 1.4. Thuaät toaùn cheùo hoùa ma traän: Cho A ∈ Mn(R). Thuaät toaùn khaûo saùt tính cheùo hoùa ñöôïc cuûa A vaø xaùc ñònh h Ma traän A ∈ Mn(R) goïi laø cheùo hoùa ñöôïc neáu toàn taïi ma traän khaû nghòch ma traän P laøm cheùo hoùa A cuõng nhö daïng cheùo cuûa A (tröôøng hôïp A cheùo hoùa P ∈ Mn(R) sao cho P-1AP = D vôùi D laø moät ma traän cheùo. Khi ñoù ta noùi ma traän ñöôïc) goàm caùc böôùc sau: P laøm cheùo hoùa A vaø D laø daïng cheùo cuûa A. 2.2. Ñònh lyù: 2 4 Böôùc 1: Tìm ña thöùc ñaëc tröng ϕA(λ). • Neáu ϕA(λ) khoâng theå phaân tích ñöôïc thaønh tích caùc ña thöùc baäc 1 thì A khoâng cheùo hoùa ñöôïc vaø thuaät toaùn keát thuùc. c Ma traän A ∈ Mn(R) cheùo hoùa ñöôïc khi vaø chæ khi hai tính chaát sau ñöôïc • Tröôøng hôïp ngöôïc laïi, phaân tích ϕA(λ) thaønh tích caùc ña thöùc baäc 1: thoûa: ϕA (λ) = (-1)n (λ - λ1 ) r1 ( λ - λ 2 ) r2 ...(λ - λ k ) rk 1) Ña thöùc ñaëc tröng ϕA(λ) ñöôïc phaân tích thaønh tích caùc ña thöùc baäc 1: n r1 r2 rk ϕA (λ) = (-1) (λ - λ1 ) (λ - λ 2 ) ...(λ - λ k ) . o vaø chuyeån sang Böôùc 2. Böôùc 2: Tìm caùc trò rieâng λi cuøng vôùi caùc soá boäi ri töông öùng (1 ≤ i ≤ k). ih Böôùc 3: Vôùi moãi 1 ≤ i ≤ k, tìm cô sôû Bi vaø soá chieàu dimV(λi) cuûa caùc khoâng 2) Vôùi moãi trò rieâng λi (1 ≤ i ≤ k), khoâng gian rieâng V(λ i ) coù dim V(λ i ) = ri gian rieâng V(λi): (= soá boäi cuûa λi trong ϕA(λ)). u • Neáu toàn taïi 1 ≤ i ≤ k sao cho dimV(λi) < ri thì A khoâng cheùo hoùa ñöôïc Hôn nöõa, khi ñoù goïi Bi laø cô sôû cuûa V(λi) (1 ≤ i ≤ k) vaø ñaët P laø ma traän coù vaø thuaät toaùn keát thuùc. ñöôïc baèng caùch laàn löôït döïng caùc vectô trong B1, B2 ,.., Bk thaønh caùc coät, ta coù P • Tröôøng hôïp ngöôïc laïi, ta coù dimV(λi) = ri vôùi moïi 1 ≤ i ≤ k vaø A cheùo laøm cheùo hoùa A vaø: V hoùa ñöôïc, sau ñoù chuyeån sang Böôùc 4. Böôùc 4: Ñaët P laø ma traän coù ñöôïc baèng caùch laàn löôït döïng caùc vectô trong B1, B2 ,.., Bk thaønh caùc coät, ta coù P laøm cheùo hoùa A vaø P-1AP coù daïng cheùo nhö trong Ñònh lyù 5.2. 5 6
Nhaän xeùt: Do moãi khoâng gian rieâng ñeàu coù soá chieàu döông neân neáu λi laø Ví duï 2: Cheùo hoùa ma traän thöïc A sau ñaây: nghieäm ñôn cuûa ña thöùc ñaëc tröng thì luoân luoân coù dimV(λi) = 1(= ri). Do ñoù, neáu ⎛ 3 −2 0 ⎞ chæ caàn bieát A coù cheùo hoùa ñöôïc hay khoâng (maø khoâng caàn tìm ma traän P laøm ⎜ ⎟ A = ⎜ −2 3 0 ⎟ cheùo hoùa A cuõng nhö daïng cheùo cuûa A) thì ôû Böôùc 3 ta chæ caàn so saùnh caùc soá ⎜ 0 0 5⎟ ⎝ ⎠ chieàu dimV(λi) vôùi caùc soá boäi ri öùng vôùi caùc trò rieâng λi coù soá boäi ri > 1. Tính An vôùi n laø soá töï nhieân. Giaûi toùm taét Ví duï 1: Caùc ma traän sau ñaây coù cheùo hoùa ñöôïc khoâng? - Ña thöùc ñaëc tröng: ⎛ −3 4 −2 ⎞ ⎛ 3 0 0⎞ a) A = ⎜ −2 4 −2 ⎟ ⎜ ⎟ b) A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ ϕA(λ) = |A – λI| = - (λ – 5)2(λ-1). ⎜ 2 −1 1 ⎟ ⎜ 0 1 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ - Trò rieâng: ⎛ 2 0 −2 ⎞ c) A = ⎜ 0 3 0 ⎟ ⎜ ⎜0 0 3 ⎟ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ 3 3 2⎞ d) A = ⎜ 1 1 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −3 −1 0 ⎟ ⎝ ⎠ Giaûi: - .v nϕ(λ) = 0 ⇔ λ = 5 (boäi 2), λ = 1 (boäi 1). Vaäy A coù 2 trò rieâng λ1 = 5(boäi 2), λ2 = 1(boäi 1). Khoâng gian rieâng: - Khoâng gian rieâng V(λ1) öùng vôùi trò rieâng λ1 = 5 coù dim V(λ1) = 2 (= soá h a) ϕA(λ) = |A – λI| = - (λ2 – 1)(λ - 2). boäi cuûa λ1) vôùi cô sôû B1 = {(-1, 1,0); (0, 0,1)}. Ña thöùc ñaëc tröng coù 3 nghieäm phaân bieät, töùc ma traän A coù 3 trò rieâng - Khoâng gian rieâng V(λ2) öùng vôùi trò rieâng λ2 = 1 coù dim V(λ2) = 1 vôùi cô phaân bieät. Vì A laø ma traän vuoâng caáp 3 vaø coù 3 trò rieâng phaân bieät neân A cheùo hoùa ñöôïc. b) ϕA(λ) = |A – λI| = -(λ-3)(λ-2)2. 2 4sôû B2 = {(1, 1, 0)}. Vì caùc khoâng gian rieâng cuûa A ñeàu coù soá chieàu baèng soá boäi cuûa caùc trò rieâng töông öùng neân A cheùo hoùa ñöôïc. ⎛ −1 0 1 ⎞ c A coù 2 trò rieâng λ1 = 3 (boäi 1), λ2 = 2 (boäi 2). Laäp ma traän P = ⎜ 1 ⎜ ⎟ 0 1⎟ . Ñeå khaûo saùt tính cheùo hoùa cuûa A ta chæ caàn xeùt dimV(λ2) öùng vôùi trò rieâng ⎜ 0 1 0⎟ o ⎝ ⎠ λ2 = 2 (boäi 2) (khoâng caàn xeùt dimV(λ1) vì trò rieâng λ1 = 3 laø nghieäm boäi 1). Qua tính toaùn ta thaáy dimV(λ2) = 1 < 2 (= soá boäi cuûa λ2). Do ñoù A khoâng cheùo hoùa Khi ñoù ta coù: ih ñöôïc. ⎛ 5 0 0⎞ ⎜ ⎟ P −1 AP = ⎜ 0 5 0 ⎟ (3) ⎜ 0 0 1⎟ c) ϕA(λ) = |A – λI| = -(λ-2)(λ-3) 2 ⎝ ⎠ A coù 2 trò rieâng λ1 = 2 (boäi 1), λ2 = 3 (boäi 2). hoùa ñöôïc. d) ϕA(λ) = |A – λI| = -(λ-4)(λ2 + 4). V u Ñeå khaûo saùt tính cheùo hoùa cuûa A ta chæ caàn xeùt dimV(λ2) öùng vôùi trò rieâng λ2 = 3 (boäi 2). Qua tính toaùn ta thaáy dimV(λ2) = 2 (= soá boäi cuûa λ2). Do ñoù A cheùo Ñeå tìm An , ta luõy thöøa n hai veá cuûa (3) töø ñoù: n ⎛ 5n ⎜ A = P⎜ 0 ⎜0 ⎝ 0 5n 0 0⎞ ⎟ 0 ⎟ P −1 1⎟⎠ Do ñoù A khoâng cheùo hoùa ñöôïc. 7 8
⎛ 1 + 5n 1 − 5n ⎞ ⎜ 0⎟ ⎛ 5n 0 0⎞ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 − 5n 1 + 5n ⎟ Suy ra: An = P ⎜ 0 5n 0 ⎟ P −1 =⎜ 0 ⎟. ⎜0 2 2 ⎝ 0 1⎟⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 5n ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ------------------------------------- .v n 4h c2 o u ih V 9