CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.

Chia sẻ: Kata_1 Kata_1 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

257
lượt xem 38
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề 2: bất đẳng thức. các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.

CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác. CMR: ab + bc + ca  a2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca). Giải: Ta có: 1 a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca  .(a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2   0. 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy: ab + bc + ca  a2 +b2 +c2. Lại có: a < b + c  a2 < a.(b + c) (1) Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3). Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được: a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca). Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.( x  z )  z.( y  z )  xy (1). Giải: x  z  m Đặt:  (m,n,z > 0). y  z  n
Khi đó (1) trở thành: zm  zn  ( z  m).( z  n)  m  m  n  1  .n  z  (2). z  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2  m  m  m 2    1  z  .(n  z )   n  z .z   n m  1   .(n  z )  n  m .   z      Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm). 1 Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR: 8.x 4  y 4    5. xy Giải:  xy  0 Từ giả thiết   x , y  0. x  y  1  0 Ta có: 1 1 1  x  y  2. xy   xy   4(1). 4 xy Lại có: 2 2 2   8. x 4  y 4  4.(12  12 ).( x 4  y 4 )  4.( x 2  y 2 ) 2  (12  12 ).( x 2  y 2 )    x  y    1.    Suy ra: 8.(x4 + y4)  1 (2). Từ (1) và (2) suy ra: 1   8. x 4  y 4   1  4  5. xy Ta có đpcm.
Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương: x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac. Giải: Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) = 3   . (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2  0. (Do a  b  c  a). = 2 Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương. a  b  1 1 thì a 4  b 4  . Bài 5: Nếu  ab  0 8 Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3. Bài 6:CMR: x10  y 10 .x 2  y 2   x 8  y 8 .x 4  y 4  . Giải: Ta có: x10  y 10 .x 2  y 2   x 8  y 8 .x 4  y 4           x 12  y 12  x 2 y 2 . x 8  y 8  x 12  y 12  x 4 y 4 . x 4  y 4  x 2 y 2 . x 8  y 8  x 4 y 4 . x 4  y 4    x 2 y 2 . x8  y 8  x 6 y 2  x 2 y 6  0 2  x y . x      2 2 2  y 2 . x6  y 6  0  x 2 y 2 . x 2  y 2 . x 4  x 2 y 2  y 4  0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0. Giải: Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0. 1 1 1 1 với n  , n  1. Bài 8:CMR: A    ...   2 (2n  1) 9 25 4 Giải: Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được: 1  1 1 1  .  2  2n.(2n  1) (2n  1).(2n  2)  2 (2n  1)  Áp dụng ta có: 11  1 1 1 A  .    ...   (2n  1).(2n  2)  2  2.3 3.4 4.5  1 1 1 1 1 1 1  1 1 11  .     ...     2 . 2  2n  2   4 . 2n  1 2 n  2  2 2 3 3 4   Ta có đpcm. p2  q2 Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq .  pq Giải: Có:     0. 2 p2  q2 p  q . p pq  q  pq  pq pq
Ta có đpcm. 1 1 1  với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra: Bài 10:CMR:  2 k 1 k k 1 1 1 1 với n >1. 1  2  ...  2  2  2 n 2 3 n Giải: 1 1 1 1 Ta có: .   2 (k  1).k k  1 k k Áp dụng cho k = 2,3,...,n ta được: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  2  ...  2  1       ...     2 . 2 n 1 n  1 2 2 3 n 2 3 n x2  y2 Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR:  2 2  0. x y Giải: x2  y2 2 2 Ta có:  x y  2. ( x  y ).  2 2  0. x y x y x y Ta có đpcm. Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: a  b  c. CMR: a  b  c 2  9bc. Giải: Từ giả thiết bài ra ta có:
2b  b  a  c  4b  c  0  (b  c ).(4b  c)  0  4b 2  c 2  5bc  2b  c   9bc (1) 2 Mà: (a + b + c)2  (2b + c)2 (2). Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c)2  (2b + c)2  9bc. Ta có đpcm. Bài 13: Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1. Giải: Ta có: a.(2  b).b(2  c ).c (2  a )  a.(2  a).b.(2  b).c(2  c )  2 2 2 a  2a b 2b c  2c    1.  .  . 2 2 2     Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1. Ta có đpcm. Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: b c .  ab  ab ac  ac Giải: b c Ta có:  ab  ab ac  ac
a b  a b a c  ac    a b  a b  a c  a c 2 2  2a  2. a 2  b 2  2a  2. a 2  c 2  a 2  b 2  a 2  c 2  b 2  c 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy ta có đpcm. x3 y3 z3 Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: x 2  y 2  z 2  1. CMR:    1. y z x Giải: x3 x3 xy  2 x 2 (1). Áp dụng BĐT Cô Si:  xy  2. y y y3 z3 2  xz  2 z 2 (3). Tương tự:  yz  2 y (2) và z x Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có: x3 y3 z3  zx  2.( x 2  y 2  z 2 )  xy   yz  y z x Suy ra: x3 y3 z3  2.( x 2  y 2  z 2 )  ( xy  yz  zx )  ( x 2  y 2  z 2 )  1.   y z x Vậy ta có đpcm.