Công thức biến dổi Lượng Giác

Chia sẻ: Trần Hoàng Tuấn | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

420
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'công thức biến dổi lượng giác', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức biến dổi Lượng Giác

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1.Công thức cộng: tga + tgb cos(a+b) = cosacosb - sinasinb tg (a + b) = cos(a-b) = cosacosb + 1 − tga.tgb sinasinb tga − tgb tg (a − b) = sin(a+b) = sinacosb + 1 + tga.tgb sinbcosa Nhớsin(a-b) = sinacosb – : s thời cos cos inbcosa cos, sin sin Cụ thể : VT và VP ngược sin thời sin cos, cos sin là cùng dấu VT và VP cùng dấu tg tổng thì tổng tg ta tg + tg tg (+ ) = phép chia của một trừ thừa tg ra 1 − tg.tg tg hiệu là hiệu tg ngươi tg − tg tg (−) = phép chia của một cộng thừa tg vô 1 + tg .tg
Xét M , N trên mp tọa độ Oxy : Vận dụng kiến thức đã học : y + r y si t i ( 1;0 ) r n g B1 r 1 jr j ( 0;1) cot M i rr g K Q i = j =1 x N 0 1 Fα β r rr x A A u = p.i + q. j ’ O P1 -E co r s u = ( p; q ) 1 r u= p2 + q2 r uuu uuuu B - r r v = ( a; b ) ( ) ON ; OM = α − β + k 2π ’1 uuuu r rr r r rr () OM = ( cos β ;sin β ) u.v = u . v .cos u; v uuur ON = ( cos α ;sin β ) rr uuuu uuu uuuu uuu rr r r uuuu uuu rr u.v = p.a + q.b ( ) OM .ON = OM . ON .cos OM ; ON
cos α cos β + sin α sin β = cos 2 α + sin 2 α . cos 2 β + sin 2 β . cos ( α − β + k 2π ) cos α cos β + sin α sin β = 1. 1.cos ( α − β ) + k 2π    cos α cos β + sin α sin β = cos ( α − β ) cos ( α + β ) = cos α − ( − β )  = cos α cos ( − β ) + sin α sin ( − β )   cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β sin ( α + β ) sin α cos β + sin β cos α tg ( α + β ) = = cos ( α + β ) cos α cos β − sin α sin β sin α sin β sin α cos β sin β cos α + + cos α cos β cos α cos β tgα + tg β cos α cos β = = = cos α cos β sin α sin β sin α sin β 1 − tgα tg β − 1− . cos α cos β cos α cos β cos α cos β tgα + tg β tg ( α + β ) = 1 − tgα tg β tgα + tg ( − β ) tgα − tg β tg ( α − β ) = tg α + ( − β )  = =   1 − tgα tg ( − β ) 1 + tgα tg β
Đối với cotg(α±β) vận dụng tg(α±β) vào và nhớ cotg bằng nghịch đảo của tg Ví dụ : Tính cos150 và cotg2150 Giải cos150 = cos ( 450 − 300 ) = cos 450 cos 300 + sin 450 sin 300 sin 2 150 = 1 − cos 2 150 ( ) 2 2+ 2 4− 2+ 2  6+ 2 8+4 2 = 1−  ÷ = 1− = 1− =  ÷ 4 16 4 4   2− 2 2− 2 2− 2 sin15 = = 0 sin 15 = 2 0 4 2 4 1 cotg 15 = −1 2 0 2 0 sin 15 ( ) 4− 2− 2 2+ 2 2 +1 1 4 = −1 = −1 = = = 2− 2 2− 2 2− 2 2− 2 2 −1 4
π Ví dụ : Tính sin 8 Giải π π  π π π π cos  + ÷ = cos cos − sin sin 8 8 8 8 8 8 2π  2π  π 2π 2π = 1 − sin ÷− sin cos = cos − sin 4 8 8 8 8 π 2π cos = 1 − 2sin 4 8 π 1 − cos 2π 4 = 2− 2 = sin 8 2 4 π 2− 2 π π  sin = 0 < < ÷ 8 2  8 2
2. Công thức nhân đôi : Nhớ : sin2α = 2sinαcosα sin cặp thì cặp sin cô cos2α = cos2α – sin2α cos hai lấy hiệu bình cô sin bình = 2cos2α – 1 thêm hai cos bình trừ duy nhất = 1 – 2sin2α duy nhất trừ đi hai sin bình 2tgα tg nhị là nhị tg anh tg 2α = 1 − tg 2α phép chia của một trừ bình tg thôi Chứng minh : Vận dụng các công thức sin(α+β), cos(α+β) và tg(α+β). Cụ thể : sin 2α = sin(α + α ) = sin α cos α + sin α cos α = 2 sin α cos α cos 2α = cos(α + α ) = cos α cos α − sin α sin α = cos 2 α − sin 2 α tgα + tgα 2tgα tg 2α = = 1 − tgα tgα 1 − tg 2α
a. Hệ quả b. Hệ quả 1: 2: 1 +cos 2α cos α = 2 Các công thức sau đây cho 2 phép tính cosα, sinα và tgα 1 −cos 2α α sin α = 2 theo t = tg , α ≠ π + k 2π 2 2 1 −cos 2α 2t sin α = tg α = 2 1 +t 2 1 +cos 2α 1 −t 2 cos α = Nhớ : 1 +t 2 cos bình không biết bằng chi ? 2t tgα = ẫu hai, tử tổng một và cos hai 1 −t 2 Chứng minh : Vận dụng các công thức nhân Chứng minh : đôi ta được hệ qủa một.
α α 2sin cos Ta có : 2 2 α α α α 2α 2sin cos 2sin cos cos α α 2 2= 2 2 2 sin α = 2sin cos = = 2α 2α 2α 2α 2α 2α 2 2 + cos + cos sin sin sin cos 2+ 2 2 2 2 2 α α α cos 2 cos 2 2tg 2t 2 2 2 sin α = sin α = 2α 1+ t2 2α 2α 1 + tg cos sin 2 2− 2 2α 2α 2α 2α 2α 2α cos − sin cos − sin cos cos α α 2 2= 2 2= 2 2 cos α = cos 2 − sin 2 = 2α 2α 2α 2α 2 2 1 cos + sin cos sin 2 2 2+ 2 2α 2α 2α 1 − tg cos cos 1− t 2 2 2 2 cos α = cos α = α 1+ t 2 1 + tg 2 2
Ví dụ : Tính giá trị của biểu thức sau : 5 − cos 2 x x1 M= tg = 2 + 7 sin x 22 Giải 5 − ( 1 − sin 2 x ) 4 + sin 2 x M= = 2 + 7 sin x 2 + 7 sin x x1 Áp dụng hệ qủa 2 : đặt t = tg = 22 2 4 1 4+ ÷ 2. 2t 2 =4  5  = 58 sin x = = M= 1+ t 2 2 5 4 1 95 2 + 7. 1+  ÷ 5 2
3. Công thức biến đổi : a. Công thức biến đổi tích các hàm số lượng giác thành tổng : 1 sin α sin β = − cos ( α + β ) − cos ( α − β )  2  1 cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β )  2  1 sin α cos β = sin ( α + β ) + sin ( α − β )  2  Nhớ : tích sin là tích nửa âm cô đầu lấy tổng, cô sau lấy trừ Chứng minh : Vận dụng công thức cộng rồi cộng hoặc trừ vế theo vế.
π 2π M = cos cos Ví dụ : Tính 5 5 Giải 1   π 2π   π 2π   M =  cos  + ÷+ cos  − ÷ 2 5 5   5 5  3π  π  1  3π π 1 M = cos + cos  − ÷ = cos + cos   5  2  5 2 5 5 π 3π π   π 3π π π  2sin  cos + cos ÷ 2sin cos + 2sin cos  1 1 5 5 = 5 5 5 5 5 M=     π π  2 2  2sin 2sin     5 5   4π sin  π − π   ÷ sin 4π 2π 2π  1  5 5= = M= − sin + sin sin π ÷ 5  4 sin π π  5 5 4sin π 4sin 5 5 5 sin 5 =1 M= π4 4sin 5
b. Công thức biến đổi tổng các hàm số lượng giác thành tích : Nhớ : α +β α −β cos α + cos β = 2 cos cos ‘+’ cos bằng 2 cos cos cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin cos ‘-’ cos bằng ‘-’ 2 sin sin sin 2 2 α +β α −β sin α + sin β = 2sin sin ‘+’ sin bằng 2 sin cos cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos sin ‘-’ sin bằng 2 cos sin sin 2 2 Cụ thể : sin ( α + β ) Chữ cuối lên giọng thì VT là tgα + tg β = cos α cos β tổng, xuống giọng VT là hiệu sin ( α − β ) Ở VP đọc trước là tổng chia đôi, tgα − tg β = đọc sau là hiệu chia đôi cos α cos β
Chứng minh : { sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa sin(a + b) + sin(a – b) = 2sinacosb α +β { Đặt : a= { 2 α=a+b α −β β=a–b b= 2 α + β α − β  α + β α − β  α +β α −β + ÷+ sin  − ÷ = 2sin sin  cos     2 2 2 2 2 2 α +β α −β sin α + sin β = 2sin cos 2 2 Áp dụng tương tự với các hàm khác
Ví dụ : Biến đổi thành tích biểu thức sau M = sinx – sin2x + sin3x Giải 3x + x 3x − x M = sin3x + sinx – sin2x = 2sin – sin2x cos 2 2 M = 2sin2xcosx – 2sinxcosx = 2cosx(sin2x – sinx) 2x + x 2x − x   M = 2 cos x  2 cos sin ÷  2 2 x 3x M = 4sin cos x cos 2 2 Ví dụ : Tính giá trị biểu thức sau N = tg750 – tg150 Giải sin ( 750 − 150 ) sin 600 N= = 0 0 cos 750 cos150 cos 75 cos15
1 Vận dụng công thức : cos α cos β = cos ( α + β ) + cos ( α − β )  2  Với α = 750 , β = 150 thế vào ta được kết quả : 2sin 600 sin 600 = N= 1 cos 90 + cos 60 ( ) ( ) 0 0 cos 75 + 15 + cos 75 − 15  0 0 0 0 2 2sin 600 N= = 2tg 600 = 2 3 cos 600 Mở rộng cho các công thức sau : π π   i. sin α + cos α = 2 sin  α + ÷ = 2 cos  α − ÷  4  4 π π   ii. sin α − cos α = 2 sin  α − ÷ = − 2 cos  α + ÷  4  4 iii. sin3α = 3sinα – 4sin3α iv. cos3α = 4cos3α – 3cosα
Chứng minh : 2  2 2. 2 sin α + cos α ( ) = 2  sin α + cos α ÷ i. VT = 2 ÷ 2 2   [ π π π    VT = 2  cos sin α + sin cos α ÷ = 2 sin  α + ÷   4 4  4 π π π  VT = 2  sin sin α + cos cos α ÷ = 2 cos  α −   ÷   4 4  4 ii. Tương tự cho sinα - cosα iii. sin3α = sin(2α + α) = sin2αcosα + sinαcos2α = 2sinαcos2α + sinα(1 – 2sin2α) = 2sinα(1 – sin2α) + sinα(1 – 2sin2α) = 2sinα – 2sin3α + sinα – 2sin3α sin3α = 3sinα – 4sin3α iv. Tương tự cho cos3α
Bài tập củng cố : 1. Tính: A = sin100sin300sin500sin700 Giải : A = sin100sin300sin(900 _ 400)sin(900 – 200) A = sin100sin300 cos400cos200 A.cos100 = cos100sin100cos200cos400sin300 1 A.cos10 = sin 200 cos 200 cos 400 0 2 1 A.cos10 = sin 400 cos 400 0 4 1 A.cos10 = sin 800 0 8 1 A.cos10 = sin(90 − 80 ) 0 0 0 8 1 1 A= A.cos10 = cos10 0 0 8 8
2. Tính : B = cos200 + cos400 + … + cos1600 + cos1800 Giải : B = (cos200 + cos1600 ) + (cos400 + cos1400 ) + (cos600 + cos1200 ) + (cos800 + cos1000 ) + cos1800 B = [cos200 + cos(1800 - 20 )] + [cos400 + cos(1800 - 400 )] + [cos600 + cos(1800 - 600 )] + [cos800 + cos(1800 - 800 )] +cos1800 B = (cos200 – cos200 ) + (cos400 – cos400 ) + (cos600 – cos600 ) + (cos800 – cos800 ) + cos1800 B = cos1800 = cos(1800 – 00) = – cos00 = -1 3.Ví dụ :CMR : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Giải : Theo giả thiết, A,B,C là các góc của một tam giác, ta có: A+B+C=π A+B=π–C tg(A + B) = tg(π – C)
tgA + tgB = −tgC 1 − tgA.tgB tgA + tgB = −tgC. ( 1 − tgA.tgB ) tgA + tgB = −tgC + tgC .tgA.tgB tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC (đpcm) 4.Ví dụ :CMR tam giác ABC cân tại B khi: sin B = 2 cos A (1) sin C Giải : (1) 1 sin B = 2sin C.cos A = 2. sin ( C + A ) + sin ( C − A )  2  Mà : A + B + C = π C+A=π–B sin ( C + A ) = sin ( π − B ) = sin B sin ( C − A ) = 0 Do đó : sin B = sin B + sin ( C − A ) µ =C Aµ Tam giác ABC cân tại B
Một vài cảm nghĩ: Để việc học được dễ dàng nên phần trình bày các công thức có bổ sung một số câu thơ. Các thầy cô giáo hoặc các em học sinh có những câu thơ hay về nội dung công thức trong bài xin góp ý giùm. Mong nhận được góp ý ! Thầy Tuấn, KP5 -F. Trung Mỹ Tây – Q.12 – TPHCM , Tel : 0939.889.444