intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Đáp án đề thi cuối học kỳ III năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

Chia sẻ: Mỹ Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
39
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi cuối học kỳ III năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace giúp các bạn sinh viên có thêm tài liệu để củng cố các kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ. Đây là tài liệu bổ ích để các em ôn luyện và kiểm tra kiến thức tốt, chuẩn bị cho kì thi học kì. Mời các em và các quý thầy cô giáo bộ môn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án đề thi cuối học kỳ III năm học 2016-2017 môn Hàm biến phức và phép biến đổi Laplace - ĐH Sư phạm Kỹ thuật

  1. Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0001 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Caâu 1 Với điều kiện a, b   và a 2  b 2  0 , xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt π 2π 3π i i i phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e 2 , z2  (a  ib)e 2 , z3  (a  ib)e 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông. B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật. C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và zo  z3 . D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng. 5 2+3i Caâu 2 Cho soá phöùc z =  i 2017 + e . Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z laø: 2i A) Re z  2  e cos 3 , Im z  e 2 sin 3 2 C) Re z  2  cos 3 , Im z  sin 3 B) Re z  2  e cos 3 , Im z  e sin 3 2 2 D) Re z  2  e 2 cos 3 , Im z  2  e 2 sin 3 3 Câu 3 Ảnh của đường thẳng y   x qua phép biến hình w = = u +iv là z A) Đường tròn u2 + v2 =1. C) Đường thẳng u = v. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0. D) Đường thẳng v = -u . Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở D  z : Im z  0 thì hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) không điều hòa trên miền D thì haøm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hòa trên miền D thì haøm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y )  8 y 2  8 x 2  3 y , v  7 x  16 xy  5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. C) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) bò chaën treân mieàn D. B) Neáu haøm phöùc f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc treân D. C) Haøm phöùc f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D. -1-
  2. D) Cho haøm bieán phöùc f (z ) = u(x,y) +iv(x,y), z 0 = x 0 +iy 0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. Khi ñoù: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) . z  z0 xxo x x o yyo y y o Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f ( z ) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (vôùi 0  A   ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f ( z ) . e3 z  z  i B) z  i laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f ( z )  ( z  i)2 e3 z  z  i e3 z  z  i C)  dz = 2πi (3e3i  1) D)  ( z  i)2 dz = 0 z  2i  4 ( z  i) 2 z  4i  2 t -3t Caâu 8 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e +2  y (u ) cos(t  u )du ta laøm nhö sau: 0 -3t  Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc 2 2 p Y= + 2L y(t) L cost  Y = +2Y 2 p3 p3 p 1 2( p 2  1)  Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = ( p  1) 2 ( p  3) A B C  Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y = + + (vôùi A, B, C = const) ( p  1) 2 p 1 p  3  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. Câu 9 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? T 1  pt f (t )dt A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = e 1  e Tp 0 t  sin t khi 0  t  π 1 2π  pt (t  sin t )dt B) Neáu f (t )   vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) = e 0 khi π  t  2π 1   2πp e 0  9 p  16  8 3! 6p C) L [8  t 3e  2t  6 cos 5t ]    2 D) L -1  p 2  64   9ch8t  2sh8t p ( p  2) 4 p  25 Caâu 10 Khẳng định nào sau đây sai? 1 1  1 A) Khai trieån Laurent của e z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là e z i =  n!( z  i) n0 n 1 B) Khai trieån Laurent của hàm f ( z )  ( z  i ) e 3 z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là   1 1 f ( z ) = ( z  i )3  = n 3 n  0 n!( z  i ) n  0 n!( z  i ) n 1 1 1 πi C)  ( z  i) e z i dz = 2πi 3  D) zo  i là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i . z  2i 8 4! 12 -2-
  3. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y ' '7 y '6 y  3  cos 2t vôùi ñieàu kieän y (0)  0 vaø y ' (0)  0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân di (t ) L + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = 0 dt vôùi E o , R, L laø caùc haèng soá döông. a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm i (t ) . b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này theo E o , R, L . Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân  x'3 y  2  , ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0  x  y '4 y  0 b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) . Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi G1: 1.1, 1.2 Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn -3-
  4. -4-
  5. -5-
  6. TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ soá sinh vieân:................................ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0001 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN -6-
  7. Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0010 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Caâu 1 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f (z ) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (vôùi 0  A   ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f (z ) . e3 z  z  i B) z  i laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f ( z )  ( z  i)2 e3 z  z  i e3 z  z  i C)  dz = 2πi (3e3i  1) D)  dz = 0 z  2i  4 ( z  i) 2 z  4i  2 ( z  i ) 2 t Caâu 2 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e-3t+2  y (u ) cos(t  u )du ta laøm nhö sau: 0 -3t  Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc 2 2 p Y= + 2L y(t) L cost  Y = +2Y 2 p3 p3 p 1 2( p 2  1)  Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = ( p  1) 2 ( p  3) A B C  Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y = + + (vôùi A, B, C = const) ( p  1) 2 p 1 p  3  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. Câu 3 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? T 1  pt f (t )dt A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = e 1  e Tp 0 t  sin t khi 0  t  π 1 2π  pt (t  sin t )dt B) Neáu f (t )   vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) = e 0 khi π  t  2π 1   2πp e 0  9 p  16  8 3! 6p C) L [8  t 3e  2t  6 cos 5t ]    2 D) L -1  p 2  64   9ch8t  2sh8t p ( p  2) 4 p  25 Caâu 4 Khẳng định nào sau đây sai? 1 1  1 A) Khai trieån Laurent của e z  i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là e z  i =  n!( z  i) n0 n 1 B) Khai trieån Laurent của hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là -1-
  8.   1 1 f (z ) = ( z  i )3  =  n 3 n  0 n!( z  i ) n  0 n!( z  i ) n 1 1 1 πi C)  ( z  i) e z i dz = 2πi 3  D) zo  i là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i . z  2i 8 4! 12 Caâu 5 Với điều kiện a, b   và a 2  b 2  0 , xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt π 2π 3π i i i phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e 2 , z2  (a  ib)e 2 , z3  (a  ib)e 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông. B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật. C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và zo  z3 . D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng. 5 2+3i Caâu 6 Cho soá phöùc z =  i 2017 + e . Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z laø: 2i A) Re z  2  e cos 3 , Im z  e 2 sin 3 2 C) Re z  2  cos 3 , Im z  sin 3 B) Re z  2  e cos 3 , Im z  e sin 3 2 2 D) Re z  2  e 2 cos 3 , Im z  2  e 2 sin 3 3 Câu 7 Ảnh của đường thẳng y   x qua phép biến hình w = = u +iv là z A) Đường tròn u2 + v2 =1. C) Đường thẳng u = v. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0. D) Đường thẳng v = -u . Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở D  z : Im z  0 thì hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) không điều hòa trên miền D thì haøm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hòa trên miền D thì haøm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Câu 9 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y )  8 y 2  8 x 2  3 y , v  7 x  16 xy  5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. C) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Caâu 10 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) bò chaën treân mieàn D. B) Neáu haøm phöùc f ( z ) = u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc treân D. C) Haøm phöùc f ( z ) = u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D. D) Cho haøm bieán phöùc f ( z ) = u(x,y) +iv(x,y), z 0 = x 0 +iy 0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. Khi ñoù: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) . z  z0 xxo x x o yyo y y o -2-
  9. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y ' '7 y '6 y  3  cos 2t vôùi ñieàu kieän y (0)  0 vaø y ' (0)  0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân di (t ) L + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = 0 dt vôùi E o , R, L laø caùc haèng soá döông. a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm i (t ) . b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này theo E o , R, L . Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân  x'3 y  2  , ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0  x  y '4 y  0 b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) . Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi G1: 1.1, 1.2 Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn -3-
  10. -4-
  11. -5-
  12. TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ soá sinh vieân:................................ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0010 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN -6-
  13. Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0011 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y )  8 y 2  8 x 2  3 y , v  7 x  16 xy  5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. C) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) bò chaën treân mieàn D. B) Neáu haøm phöùc f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc treân D. C) Haøm phöùc f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D. D) Cho haøm bieán phöùc f (z ) = u(x,y) +iv(x,y), z 0 = x 0 +iy 0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. Khi ñoù: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) . z  z0 xxo x x o yyo y y o Caâu 3 Với điều kiện a, b   và a 2  b 2  0 , xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt π 2π 3π i i i phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e 2 , z2  (a  ib)e 2 , z3  (a  ib)e 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông. B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật. C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và zo  z3 . D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng. 5 2+3i Caâu 4 Cho soá phöùc z =  i 2017 + e . Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z laø: 2i A) Re z  2  e cos 3 , Im z  e 2 sin 3 2 C) Re z  2  cos 3 , Im z  sin 3 B) Re z  2  e cos 3 , Im z  e sin 3 2 2 D) Re z  2  e 2 cos 3 , Im z  2  e 2 sin 3 3 Câu 5 Ảnh của đường thẳng y   x qua phép biến hình w = = u +iv là z A) Đường tròn u2 + v2 =1. C) Đường thẳng u = v. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0. D) Đường thẳng v = -u . Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở D  z : Im z  0 thì hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. -1-
  14. C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) không điều hòa trên miền D thì haøm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hòa trên miền D thì haøm f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D. Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? T 1  pt f (t )dt A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = e 1  e Tp 0 t  sin t khi 0  t  π 1 2π  pt (t  sin t )dt B) Neáu f (t )   vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) = e 0 khi π  t  2π 1   2πp e 0  9 p  16  8 3! 6p C) L [8  t 3e  2t  6 cos 5t ]    2 D) L -1  p 2  64   9ch8t  2sh8t p ( p  2) 4 p  25 Caâu 8 Khẳng định nào sau đây sai? 1 1  1 A) Khai trieån Laurent của e z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là e z i =  n!( z  i) n0 n 1 B) Khai trieån Laurent của hàm f ( z )  ( z  i ) e 3 z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là   1 1 f (z ) = ( z  i )3  = n 3 n  0 n!( z  i ) n  0 n!( z  i ) n 1 1 1 πi C)  ( z  i) e z i dz = 2πi 3  D) zo  i là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i . z  2i 8 4! 12 Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f (z ) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (vôùi 0  A   ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f (z ) . e3 z  z  i B) z  i laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f ( z )  ( z  i)2 e3 z  z  i e3 z  z  i C)  dz = 2πi (3e3i  1) D)  dz = 0 z  2i  4 ( z  i) 2 z  4i  2 ( z  i)2 t -3t Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e +2  y (u ) cos(t  u )du ta laøm nhö sau: 0 -3t  Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc 2 2 p Y= + 2L y(t) L cost  Y = +2Y 2 p3 p3 p 1 2( p 2  1)  Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = ( p  1) 2 ( p  3) A B C  Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y = + + (vôùi A, B, C = const) ( p  1) 2 p 1 p  3  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. -2-
  15. PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm) Caâu 11 ( 1,5ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y ' '7 y '6 y  3  cos 2t vôùi ñieàu kieän y (0)  0 vaø y ' (0)  0 Caâu 12 (1,5 ñieåm) Cho maïch ñieän RL nhö hình veõ thoûa phöông trình vi phaân di (t ) L + R i (t ) = Eo cos 3t , i(0) = 0 dt vôùi E o , R, L laø caùc haèng soá döông. a) Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân ñeå tìm i (t ) . b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, i (t ) , biểu diễn xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này theo E o , R, L . Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân  x'3 y  2  , ñieàu kieän x(0)= y(0) = 0  x  y '4 y  0 b) Tính lim x(t ) , lim y (t ) . Xaùc toïa ñoä gaàn ñuùng trong maët phaúng Oxy cuûa ñieåm M x(t ); y (t )  sau t   t   khoaûng thôøi gian t ñuû lôùn. Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. CHUAÅN ÑAÀU RA Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Töø caâu 1 ñeán caâu 10 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 Caâu 11, Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi G1: 1.1, 1.2 Laplace giaûi phöông trình vi phaân, heä phöông trình vi G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng. Ngaøy 7 thaùng 8 naêm 2017 Thoâng qua Boä moân Toaùn -3-
  16. -4-
  17. -5-
  18. TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM Hoï, teân sinh vieân: ..................................... BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ soá sinh vieân:................................ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0011 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân Giaùm thò 1 Giaùm thò 2 trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Giaùo vieân chaám thi 1&2 ÑIEÅM Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm. BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Traû lôøi BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN -6-
  19. Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2016-2017 KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE BOÄ MOÂN TOAÙN Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (8/8/2017) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu Maõ ñeà: 0011-0808-2017-0011-0100 (Noäp laïi ñeà naøy) PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) Câu 1 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai? T 1  pt f (t )dt A) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) = e 1  e Tp 0 t  sin t khi 0  t  π 1 2π  pt (t  sin t )dt B) Neáu f (t )   vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) = e 0 khi π  t  2π 1   2πp e 0  9 p  16  8 3! 6p C) L [8  t 3e  2t  6 cos 5t ]    2 D) L -1  p 2  64   9ch8t  2sh8t p ( p  2) 4 p  25 Caâu 2 Khẳng định nào sau đây sai? 1 1  1 A) Khai trieån Laurent của e z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là e z i =  n!( z  i) n0 n 1 B) Khai trieån Laurent của hàm f ( z )  ( z  i ) e 3 z i quanh điểm bất thường cô lập zo  i là   1 1 f (z ) = ( z  i )3  = n 3 n  0 n!( z  i ) n  0 n!( z  i ) n 1 1 1 πi C)  ( z  i) e z i dz = 2πi 3  D) zo  i là ñieåm baát thöôøng boû ñöôïc của hàm f ( z )  ( z  i )3 e z  i . z  2i 8 4! 12 Caâu 3 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f (z ) vaø lim f ( z )   , lim( z  a) m f ( z )  A z a z a (vôùi 0  A   ) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f (z ) . e3 z  z  i B) z  i laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm f ( z )  ( z  i)2 e3 z  z  i e3 z  z  i C)  dz = 2πi (3e3i  1) D)  dz = 0 z  2i  4 ( z  i) 2 z  4i  2 ( z  i ) 2 t Caâu 4 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= 2e-3t+2  y (u ) cos(t  u )du ta laøm nhö sau: 0 -3t  Phöông trình töông ñöông vôùi : y(t) = 2e +2y(t)*cost  Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc 2 2 p Y= + 2L y(t) L cost  Y = +2Y 2 p3 p3 p 1 2( p 2  1)  Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y = ( p  1) 2 ( p  3) A B C  Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y = + + (vôùi A, B, C = const) ( p  1) 2 p 1 p  3 -1-
  20.  Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = Atet  Bet  Ce 3t A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số u ( x, y )  8 y 2  8 x 2  3 y , v  7 x  16 xy  5 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. C) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai ? A) Haøm phöùc f (z ) = u(x,y)+ iv(x,y)bò chaën (veà mudun) treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) bò chaën treân mieàn D. B) Neáu haøm phöùc f (z ) = u(x,y) +i v(x,y) khoâng lieân tuïc treân mieàn D thì u(x,y) vaø v(x,y) khoâng lieân tuïc treân D. C) Haøm phöùc f ( z ) = u(x,y) +i v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D khi vaø chæ khi caùc haøm thöïc u(x,y), v(x,y) lieân tuïc treân mieàn D. D) Cho haøm bieán phöùc f (z ) = u(x,y) +iv(x,y), z 0 = x 0 +iy 0 vaø giaû söû caùc giôùi haïn ñeàu toàn taïi. Khi ñoù: lim f (z)  lim u(x, y) +i lim v(x, y) . z  z0 xxo x x o yyo y y o Caâu 7 Với điều kiện a, b   và a 2  b 2  0 , xét biểu diễn hình học của các số phức (trên cùng một mặt π 2π 3π i i i phẳng phức): zo  a  ib , z1  ( a  ib)e 2 , z2  (a  ib)e 2 , z3  (a  ib)e 2 . Khẳng định nào sau đây đúng? A) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình vuông. B) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học tương ứng với bốn đỉnh một hình chữ nhật. C) zo , z1 , z2 , z3 có biểu diễn hình học là ba đỉnh một tam giác đều và zo  z3 . D) zo , z1 , z2 , z3 thẳng hàng. 5 2+3i Caâu 8 Cho soá phöùc z =  i 2017 + e . Khi ñoù, phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa z laø: 2i A) Re z  2  e cos 3 , Im z  e2 sin 3 2 C) Re z  2  cos 3 , Im z  sin 3 B) Re z  2  e cos 3 , Im z  e sin 3 2 2 D) Re z  2  e 2 cos 3 , Im z  2  e 2 sin 3 3 Câu 9 Ảnh của đường thẳng y   x qua phép biến hình w = = u +iv là z A) Đường tròn u2 + v2 =1. C) Đường thẳng u = v. B) Nửa đường thẳng u = -v với u > 0. D) Đường thẳng v = -u . Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai? A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên nöûa maët phaúng mở D  z : Im z  0 thì hàm f ( z ) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D . B) Hàm phức f (z ) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) khả vi và thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D. C) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) không điều hòa trên miền D thì haøm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) không giải tích trên mieàn D. D) Nếu caùc hàm u ( x, y ), v( x, y ) điều hòa trên miền D thì haøm f ( z ) = u(x,y)+ iv(x,y) giải tích trên mieàn D. -2-
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2