Đề thi HK 2 môn Toán lớp 11 năm 2008 - THPT Năng Khiếu - Mã đề 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM<br /> Trường Phổ Thông Năng Khiếu<br /> <br /> ĐỀ THI HỌC KỲ II – NĂM HỌC 2008 – 2009<br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Lớp 11. Thời gian: 90 phút<br /> <br /> (Đề thi chung cho các lớp 11 Tin, Lý, Hóa, Sinh, Văn, Anh, A, D)<br /> Câu 1. a)Tính lim<br /> x→2<br /> <br /> x2 − 5x + 6<br /> x 2 + 6 x − 16<br /> <br /> b) Tính lim ( x + 2 )<br /> x →−∞<br /> <br /> 4x + 1<br /> ( x − 1) ( x 2 + 2 x )<br /> <br /> Câu 2. Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y =<br /> <br /> M ( xM ; −4 )<br /> <br /> 3x − 1<br /> . Viết phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại<br /> x+2<br /> <br /> cos x<br /> x2 + 2<br /> b) Chứng minh phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.<br /> Câu 4. Cho hình chóp S . ABCD , ( SAB ) ⊥ ( ABC ) . Tam giác ABS đều có tâm I ,<br /> Câu 3. a) Tính đạo hàm của hàm số y = 3 x + 1 −<br /> <br /> AC ⊥ BC , AC = BC = a 2 .<br /> a) Chứng minh SI ⊥ ( ABC ) và tam giác ASC cân.<br /> <br /> b) Chứng minh IS = IA = IB = IC . Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng ( ABC )<br /> <br /> c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB<br /> d) Tính góc tạo bởi ( SAC ) và ( ABC )<br /> Hướng dẫn giải<br /> Câu 1.<br /> a) Ta có lim<br /> x→2<br /> <br /> ( x − 2 )( x − 3) = lim x − 3 = 2 − 3 = − 1<br /> x2 − 5x + 6<br /> = lim<br /> 2<br /> x + 6 x − 16 x→2 ( x − 2 )( x + 8 ) x→2 x + 8 2 + 8<br /> 10<br /> <br /> b) Ta có<br /> <br /> lim ( x + 2 )<br /> <br /> x →−∞<br /> <br /> 4x + 1<br /> = lim −<br /> ( x − 1) ( x 2 + 2 x ) x→−∞<br /> <br /> ( x + 2 ) ( 4 x + 1) =<br /> ( x − 1) x ( x + 2 )<br /> 2<br /> <br /> 1⎞<br /> 1⎞<br /> ⎛ 2 ⎞⎛<br /> ⎛ 2 ⎞⎛<br /> x 2 ⎜1 + ⎟⎜ 4 + ⎟<br /> 1 + ⎟⎜ 4 + ⎟<br /> ⎜<br /> ( x + 2 )( 4 x + 1) = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = lim − ⎝ x ⎠⎝ x ⎠ = −2<br /> = lim −<br /> x →−∞<br /> x →−∞<br /> x →−∞<br /> x ( x − 1)<br /> ⎛ 1⎞<br /> ⎛ 1⎞<br /> x 2 ⎜1 − ⎟<br /> ⎜1 − ⎟<br /> ⎝ x⎠<br /> ⎝ x⎠<br /> 3x − 1<br /> Câu 2. y =<br /> x+2<br /> <br /> Nguyễn Tăng Vũ<br /> http://vuptnk.tk<br /> <br /> 1<br /> <br /> Ta có y′ =<br /> <br /> 3 ( x + 2 ) − ( 3 x − 1)<br /> <br /> ( x + 2)<br /> <br /> 2<br /> <br /> =<br /> <br /> 7<br /> <br /> ( x + 2)<br /> <br /> Ta có M ( xM ; −4 ) ∈ ( C ) ⇒ −4 =<br /> Ta có y′ ( −1) =<br /> <br /> 7<br /> <br /> ( −1 + 2 )<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3 xM − 1<br /> ⇒ xM = −1<br /> xM + 2<br /> <br /> = 7.<br /> <br /> Vậy phương trình đường thẳng ( d ) tiếp xúc với ( C ) tại M ( −1; −4 ) là: y = 7 ( x + 1) − 4 hay y = 7 x + 3<br /> Câu 3.<br /> a) y = 3 x + 1 −<br /> <br /> cos x<br /> x2 + 2<br /> <br /> ( − sin x ) ( x 2 + 2 ) − 2 x cos x<br /> 3<br /> 3<br /> x 2 sin x + 2 x cos x + 2sin x<br /> −<br /> =<br /> +<br /> Ta có y′ =<br /> 2<br /> 2<br /> 2 3x + 1<br /> 2 3x + 1<br /> ( x2 + 2)<br /> ( x2 + 2)<br /> b)<br /> <br /> f ( x ) = x 3 − 5 x + 1 . Ta có f là hàm số liên tục trên \<br /> <br /> Ta có f (1) = −3 và f ( 3) = 13<br /> <br /> Ta có f (1) . f ( 3) = −39 < 0 , suy ra phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (1;3)<br /> Vậy phương trình x 3 − 5 x + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1.<br /> Bài 4.<br /> <br /> Nguyễn Tăng Vũ<br /> http://vuptnk.tk<br /> <br /> 2<br /> <br /> S<br /> <br /> F<br /> I<br /> <br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> E<br /> <br /> D<br /> <br /> A<br /> <br /> a) Vì tam giác SAB đều và I là tâm tam giác đều nên SI ⊥ AB .<br /> ⎧( SAB ) ⊥ ( ABC )<br /> ⎪<br /> ⎨ AB = ( SAB ) ∩ ( ABC )<br /> Ta có<br /> ⎪ SI ⊥ AB<br /> ⎩<br /> ⇒ SI ⊥ ( ABC )<br /> Gọi D là giao điểm của SI và AB thì D là trung điểm AB .<br /> Tam giác ABC vuông cân tại C nên AB = AC 2 = 2a<br /> Ta có SD =<br /> <br /> AB. 3<br /> 1<br /> = a 3 và CD = AB = a<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> Ta có SD ⊥ ( ABC ) ⇒ SD ⊥ CD , suy ra SC = DC 2 + SD 2 =<br /> <br /> (a 3)<br /> <br /> 2<br /> <br /> + a 2 = 2a<br /> <br /> Tam giác SAC có SA = SC = 2a nên cân tại S<br /> b)<br /> <br /> 1<br /> AB = DB = DA<br /> 2<br /> Vì D là hình chiếu của I trên mặt phẳng ( ABC ) và DA = DB = DC nên ta có IA = IB = IC .<br /> Tam giác ABC vuông cân tại C có D là trung điểm AB nên CD =<br /> <br /> Mặt khác I là tâm của tam giác đều SAB nên IA = IB = IS .<br /> Vậy IS = IA = IB = IC<br /> <br /> Nguyễn Tăng Vũ<br /> http://vuptnk.tk<br /> <br /> 3<br /> <br /> n.<br /> Vì CD là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ( ABC ) nên góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) là SCD<br /> <br /> SD a 3<br /> 3<br /> n = 600<br /> =<br /> =<br /> ⇒ SCD<br /> SC<br /> 2a<br /> 2<br /> Vậy góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600<br /> <br /> n=<br /> Ta có sin SCD<br /> <br /> c) Vẽ DF ⊥ SC<br /> <br /> ( F ∈ SC ) (1) .<br /> <br /> ⎧ AB ⊥ SD<br /> Ta có ⎨<br /> ⇒ AB ⊥ ( SCD ) ⇒ AB ⊥ DF ( 2 )<br /> ⎩ AB ⊥ CD<br /> Từ (1) và (2) ta có DF là đoạn vuông góc chung của SC và AB .<br /> n = a.sin 600 = a 3<br /> Ta có DF = CD.sin FCD<br /> 2<br /> a 3<br /> Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB là<br /> 2<br /> d) Gọi E là trung điểm AC , ta có SE ⊥ AC (do tam giác SAC cân tại S )<br /> Trong tam giác ABC có DE là đường trung bình nên DE // CB ⇒ DE ⊥ AC .<br /> Suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là góc giữa hai đường thẳng SE và DE .<br /> SD a 3 2 3<br /> n = 670 47′<br /> =<br /> =<br /> = 6 ⇒ SED<br /> DE a 2<br /> 2<br /> 2<br /> Vậy góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là 670 47′<br /> n=<br /> Ta có tan SED<br /> <br /> Nguyễn Tăng Vũ<br /> http://vuptnk.tk<br /> <br /> 4<br /> <br />