Đề thi HK 2 môn Toán lớp 11 năm 2012 - THPT Nguyễn An Ninh - Mã đề 1

THPT Nguyễn An Ninh<br /> <br /> ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013<br /> Môn TOÁN Lớp 11<br /> Thời gian làm bài 90 phút<br /> <br /> Đề số 1<br /> Bài 1: Tính các giới hạn sau:<br /> a) lim<br /> <br /> x1<br /> <br /> 2x2  3x  5<br /> x2  1<br /> <br /> b) lim<br /> <br /> x1<br /> <br /> x3  x  1<br /> x 1<br /> <br /> Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3  2mx2  x  m  0 luôn có nghiệm với mọi m.<br /> Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.<br />  x3  x2  2x  2<br /> <br /> f ( x)  <br /> 3x  a<br /> 3x  a<br /> Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:<br /> 2<br /> 3<br /> 1<br /> a) y   3x  1 <br /> <br /> 2<br /> x<br /> x<br /> x4<br /> <br /> khi x  1<br /> khi x = 1<br /> <br /> b) y <br /> <br /> cos x<br /> x<br /> <br /> x<br /> sin x<br /> <br /> Bài 5: Cho đường cong (C): y  x3  3x2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C):<br /> a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.<br /> 1<br /> b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y   x  1.<br /> 3<br /> Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, OB <br /> <br /> a 3<br /> , SO  ( ABCD) ,<br /> 3<br /> <br /> SB  a .<br /> a) Chứng minh: SAC vuông và SC vuông góc với BD.<br /> b) Chứng minh: (SAD )  (SAB), (SCB)  (SCD ).<br /> c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.<br /> <br /> --------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> SBD :. . . . . . . . . .<br /> <br /> Bài 1:<br /> a) lim<br /> <br /> 2x2  3x  5<br /> 2<br /> <br /> x1<br /> <br /> 2x  5 7<br /> <br /> x1 x  1<br /> 2<br /> <br /> = lim<br /> <br /> x 1<br /> x  x1<br /> b) lim<br /> <br /> x 1<br /> x1<br />  lim ( x  1)  0<br />  x1<br /> x3  x  1<br /> Ta có  x  1  0<br />  lim<br />  <br /> x 1<br />  lim ( x3  x  1)  3  0 x1<br />  x1<br /> 3<br /> <br /> Bài 2: Xét hàm số f ( x)  x3  2mx2  x  m  f(x) liên tục trên R.<br />  f (m)  m3, f (0)  m  f (0). f (m)  m4<br />  Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0<br />  Nếu m  0 thì f (0). f (m)  0, m  0  phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0; m)<br /> hoặc (m; 0).<br /> Vậy phương trình x3  2mx2  x  m  0 luôn có nghiệm.<br />  x3  x2  2x  2<br /> <br /> khi x  1<br /> Bài 3:<br /> f ( x)  <br /> 3x  a<br /> 3x  a<br /> khi x = 1<br /> <br /> x3  x2  2 x  2<br /> ( x  1)( x2  2)<br />  lim<br /> x1<br /> x1<br /> x1<br /> 3x  a<br /> 3x  a<br /> 2<br /> ( x  1)( x  2)<br /> x2  2<br />  Nếu a = –3 thì lim f ( x)  lim<br />  lim<br />  1  0 và f (1)  0 nên hàm số không<br /> x1<br /> x1<br /> x1 3<br /> 3( x  1)<br /> liên tục tại x = 1<br />  lim f ( x)  lim<br /> <br /> ( x  1)( x2  2)<br />  0 , nhưng f (1)  3  a  0 nên hàm só không liên<br /> x1<br /> 3x  a<br /> <br />  Nếu a  –3 thì lim f ( x)  lim<br /> x1<br /> <br /> tục tại x = 1.<br /> Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1.<br /> Bài 4:<br /> 2<br /> 3<br /> 1<br /> 2<br /> 3<br /> 6<br /> 4<br /> a) y   3x  1 <br /> <br />  y'= <br /> <br />  <br /> 2<br /> 4<br /> 2<br /> 3<br /> x<br /> x<br /> x<br /> x<br /> 2 3x  1 x<br /> x5<br /> b) y <br /> <br /> cos x<br /> x<br /> sin x cos x  x2<br /> <br />  y<br /> x<br /> sin x<br /> x sin x<br /> <br />  y' <br /> <br />  x2 sin x  cos x<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> sin x  x cos x<br /> 2<br /> <br /> x<br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br />   sin x <br /> <br /> sin x<br /> <br /> cos x<br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  x cos x(1  cot 2 x)<br /> sin x<br /> <br /> 2<br /> <br /> Bài 5: y  x  3x  2  y '  3x  6x<br /> a) x0  2  y0  2, y (2)  0  PTTT y  2 .<br /> 1<br /> b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y   x  1 nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3.<br /> 3<br />  x  1 2<br /> Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm  3x02  6x0  3  x02  2x0  1  0   0<br />  x0  1  2<br /> <br /> 2<br /> <br />  Với x0  1  2  y0  2  PTTT: y  3 x  1  2   2  y  3x  4 2  3<br />  Với x0  1  2  y0   2  PTTT: y  3 x  1  2   2  y  3x  4 2  3<br /> Bài 6:<br /> S<br /> a)<br />  Chứng minh: SAC vuông<br /> + SO2  SB2  OB2  a2 <br /> <br /> 3a2<br /> 6a2<br /> a 6<br /> .<br />  SO2 <br />  SO <br /> 9<br /> 9<br /> 3<br /> <br /> 3a2 a 6<br /> <br />  SO .<br /> 9<br /> 3<br />  tam giác SAC vuông tại S.<br />  Chứng minh SC  BD<br /> BD  SO, BD  AC  BD  (SAC)  BD  SC.<br />  Chứng minh: (SAD )  (SAB), (SCB)  ( SCD ).<br /> Gọi H là trung điểm của SA.<br /> <br /> + OA  OC  BC2  OB2  a2 <br /> <br /> H<br /> I<br /> K<br /> A<br /> B<br /> <br /> b)<br /> <br /> O<br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> SA  OA 2 <br /> <br /> 2a 3<br /> SA a 3<br />  OH <br /> <br /> 3<br /> 2<br /> 3<br /> <br />  OH  OB  OD  HBD vuông tại H<br />  DH  BH<br /> (1)<br />  SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA  OH  SA<br /> (2)<br />  SO  (ABCD)  SO  BD, mặt khác AC  BD  BD  (SAC)  SA  BD<br /> (3)<br />  Từ (2) và (3) ta suy ra SA  (HBD)  SA  HD<br /> (4)<br /> Từ (1) và (4) ta suy ra DH  (SAB), mà DH  (SAD) nên (SAD)  (SAB)<br />  Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD  IBD vuông tại I  ID  BI<br /> <br /> 6a2 3a2<br /> <br />  a  CD  DSC cân tại D, IS = IC nên ID  SC<br /> 9<br /> 9<br /> Từ (5) và (6) ta suy ra ID  (SBC), mà ID  (SCD) nên (SBC)  (SCD).<br />  SD  SO2  OD 2 <br /> <br /> c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.<br /> OH  SA, OH  BD nên d(SA, BD )  OH <br /> <br /> a 3<br /> .<br /> 3<br /> <br /> ============================<br /> <br /> 3<br /> <br /> (5)<br /> (6)<br /> <br /> THPT Nguyễn An Ninh<br /> <br /> ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 – Năm học 2012-2013<br /> Môn TOÁN Lớp 11<br /> Thời gian làm bài 90 phút<br /> <br /> Đề số 2<br /> <br /> Phần bắt buộc<br /> Câu 1:<br /> 1) Tính các giới hạn sau:<br /> 1  2x<br /> x x  2 x  3<br /> <br /> a) lim<br /> <br /> 2<br /> <br /> x 3  3x 2  9x  2<br /> x 2<br /> x3  x  6<br /> <br /> b) lim<br /> <br /> c) lim  x2  x  3  x <br /> x<br /> <br /> 2) Chứng minh phương trình x3  3x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt .<br /> Câu 2:<br /> 1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:<br /> 2<br /> <br /> x2  2 x<br /> <br /> <br /> <br /> a) y    3x   x  1<br /> b) y  x  sin x<br /> c) y <br /> x 1<br /> x<br /> <br /> 2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x<br /> 3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx<br /> Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) và SA  a 6 .<br /> 1) Chứng minh : BD  SC, ( SBD )  ( SAC) .<br /> 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).<br /> 3) Tính góc giữa SC và (ABCD)<br /> II. Phần tự chọn<br /> 1. Theo chương trình chuẩn<br /> Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x <br /> <br /> 1<br /> tại giao điểm của nó với trục hoành .<br /> x<br /> <br /> 60 64<br /> <br />  5 . Giải phương trình f ( x)  0 .<br /> x x3<br />  <br /> Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .<br /> <br /> Câu 5a: Cho hàm số f ( x)  3x <br /> <br /> 2. Theo chương trình nâng cao<br /> Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 2x.cos2x .<br /> Câu 5b: Cho y <br /> <br /> x3 x 2<br /> <br />  2x . Với giá trị nào của x thì y ( x)  2 .<br /> 3 2<br /> <br /> Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung và<br /> tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC.<br /> <br /> --------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> SBD :. . . . . . . . . .<br /> <br /> Câu 1:<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> 1  2x<br /> x<br /> 1) a) lim<br />  lim x<br /> 0<br /> 2<br /> x x  2 x  3<br /> x<br /> 2 3<br /> 1 <br /> x x2<br /> 2<br /> <br /> x3  3x2  9x  2<br /> <br /> b) lim<br /> c) lim<br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> ( x  2)( x2  5x  1)<br /> <br /> x2  5x  1<br /> <br /> 15<br /> x2 ( x  2)( x  2x  3)<br /> x  x6<br />  2 x  3 11<br /> 3 x<br /> 3 x<br /> x2  x  3  x  lim<br />  lim<br /> x<br /> x2  x  3  x x  x  1  1  3   x<br /> <br /> <br /> x x2 <br /> <br /> 3<br /> 1<br /> 1<br /> x<br />  lim<br /> <br /> x <br />  2<br /> 1 3<br />   1  <br />  1<br /> x x2<br /> <br /> <br />  lim<br /> <br /> 3<br /> <br /> x 2<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> <br />  lim<br /> <br /> x 2 x 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2) Xét hàm số f ( x)  x3  3x  1  f(x) liên tục trên R.<br />  f(–2) = –1, f(0) = 1  phuơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1   2; 0<br />  f(0) = 1, f(1) = –1  phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2   0;1<br />  f(1) = –1, f(2) = 3  phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c3  1;2<br />  Phương trình đã cho là phương trình bậc ba, mà c1, c2 , c3 phân biệt nên phương trình đã cho có<br /> đúng ba nghiệm thực.<br /> Câu 2:<br /> 2<br /> <br /> 1) a) y    3x <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  2<br /> <br /> 2<br />  1 <br /> x 1  y'   <br />  3  x  1    3x  <br /> <br />  x2<br /> <br /> x<br />  2 x <br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 3<br /> 9<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> <br />  3 x  3<br /> <br /> x<br /> x<br /> <br /> 3<br /> 2<br /> 2<br /> x x x<br /> x x 2<br /> x x x2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> b) y  x  sin x  y '  1  cos x<br /> c) y <br /> <br /> x2  2 x<br /> x2  2 x  2<br />  y' <br /> 2<br /> x 1<br />  x  1<br /> <br /> <br /> <br /> 2) y  tan x  y '  1  tan2 x  y "  2tan x 1  tan2 x<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 3) y = sinx . cosx  y  sin2x  dy  cos2 xdx<br /> 2<br /> <br /> Câu 3:<br /> a) Chứng minh : BD  SC,(SBD )  (SAC) .<br />  ABCD là hình vuông nên BD  AC, BD SA (SA  (ABCD))  BD  (SAC)  BD SC<br />  (SBD) chứa BD  (SAC) nên (SBD)  (SAC)<br /> b) Tính d(A,(SBD))<br />  Trong SAO hạ AH  SO, AH  BD (BD (SAC)) nên AH  (SBD)<br /> 2<br /> <br />