Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Toán cấp tỉnh - Kèm đáp án

Chia sẻ: Lê Thị Hồng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

211
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán cấp tỉnh kèm đáp án để giúp các em biết thêm cấu trúc đề thi như thế nào, rèn luyện kỹ năng giải bài tập và có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho kì thi sắp tới đạt điểm tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Toán cấp tỉnh - Kèm đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG LỚP 12 GDTX NĂM 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian : 180 phút ( không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18/02/2011 Bài 1 (5 điểm) Cho hàm số y  x 3  3x  2 có đồ thị (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;4). 3. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt x3  3x  2  m . Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình sin 2 x  2 cos 2 x  sin x  cos x  1  0 Bài 3 ( 2 điểm) Giải bất phương trình log2 (8x  7.2 x  5)  0 Bài 4 ( 2 điểm)  x3  x  2y  2x2 y  0 Giải hệ phương trình  2 2 x  y  5 Bài 5 (3 điểm)  6 1  cos x Tính tích phân I dx 0 cos x Bài 6 (3 điểm) Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng (P) qua AB cắt cạnh CC’ tại M và tạo với mặt phẳng (ABC) một góc  . 1. Tính theo a và  thể tích khối đa diện ABB’A’C’M. 2. Xác định giá trị của góc  để thể tích khối đa diện ABB’A’C’M bằng 5 lần thể tích khối chóp M.ABC. Bài 7 (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho A(-1;2), B(3;4) và đường thẳng  : x  y  1  0 . Tìm điểm C thuộc đường thẳng  sao cho tổng AC + CB nhỏ nhất ……………HẾT…………. Họ và tên thí sinh....................................................................... Số báo danh :...................................................... Giám thị 1 :................................................................................ Ký tên :............................................................... Giám thị 2 :................................................................................ Ký tên :...............................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG LỚP 12 GDTX NĂM 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN GDTX (ĐỀ CHÍNH THỨC) Hướng dẫn chấm Điểm Câu Bài 1 5 điểm 2 TXĐ D = R , y '  3 x  3 . y '  0  x  1 0,5 Cực đại(-1 ; 4) , cực tiểu (1; 0) . lim y   0,5 x  Bảng biến thiên x - -1 1 + 1.1 (2điểm) y' + 0 - 0 + 0,5 4 + y 0 - Đồ thị 0,5 1.2 Gọi k là hệ số góc của đường thằng d 0,5 (2 điểm) (d): y = k(x-2)+4 d là tiếp tuyến của (C) khi hệ phương trình sau có nghiệm  x 3  3 x  2  k ( x  2)  4 0,5  2 k  3x  3 x  2 ( x  2)2 ( x  1)  0   0,5  x  1 x= 2 suy ra k = 9 , PTTT là y = 9x - 14 0,5 x = -1 suy ra k = 0 , PTTT là y = 4 Vẽ đồ thị y  x3  3x  2 y f(x)=abs(x^3-3x+2) 6 5 4 3 2 0,5 1 x 1.3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 (1 điểm) -1 -2 -3 3 3 Số nghiệm của x  3 x  2  m là số điểm chung của đồ thị (C1): y  x  3 x  2 và đường thẳng y = m 0,25 Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi y = m và (C1) có hai điểm chung m = 0 hoặc m > 4 0,25 1
Bài 2 (3 điểm) 1  cos 2 x sin 2 x  2.  sin x  cos x  1  0 0,5 2 sin 2 x  sin x  (cos 2 x  cos x)  0 0,5 3x x 3x x 2sin cos  2sin sin  0 0,5 x 2 x 2 3x x x sin (cos  sin )  0 0,5 2 x 2 3x 2 k sin 0 x (k  Z ) 0,5 x 3 x x  cos  sin  0  x    l 2 (l  Z ) 0,5 2 2 2 Bài 3 (2 điểm) Bất phương trình tương đương với 0,5 8 x  7.2 x  5  1 (2 x  1)(22 x  2 x  6)  0 0,5  2 x  2  x 0,5  2 3 x  log 2 3 0,5 Bài 4 2 điểm ( x 2  1)( x  2 y )  0  2 2 0,5 x  y  5  x  2 y  0 (1)  2 2 0,5  x  y  5 (2) Thay x = 2y vào (2) được y2 = 1 0,5 Nghiệm (2;1 ) và (-2;-1) 0,5 Bài 5 3 điểm   6 6 1 0,5 I dx   dx 0 cos x 0  1 6 2 cos x dt 0,5 Tính I1   1  sin 2 dx .Đặt t = sinx ta có I1   0 x 0 1 t2 1 1 2 2 dt 1  1 1  0,5 I1   =    dt 0 (1  t )(1  t ) 2 0  1  t 1  t  1 1 I1    ln 1  t  ln 1  t  2 0,5 2 0 1 I1  ln 3 0,5 2 2
 6   1 0,5 Tính I 2   dx  6 . Suy ra I  6  2 ln 3 0 Hình vẽ A' C' M B' Bài 6 (3 điểm) A C I B a 3 MC  tan  0,5 2 1 a2 3 a 3 a3 VM . ABC  . . tan   tan  0,5 6.1 3 4 2 8 2 điểm a3 3 0,5 Vltru  4 a3 VABB ' A 'CM   8 2 3  tan   0,5 VABB ' A 'C ' M 2 3  tan  5 5 0,5 6.2 VM . ABC tan  1 điểm 3 tan      30 0 0,5 3 8 6 B 4 A 2 C Bài 7 (2 điểm) -10 -5 5 10 -2 A' -4 -6 Nhận xét hai điểm A,B nằm cùng phía đối với  0,25 Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua  , I là giao điểm của AA’ với  thì C là giao điểm 0,25 của  và A’B Thật vậy , với mọi C’   thì AC’+C’B=A’C’+C’B  A ' C  CB  AC  CB 0,25 AA’ : x + y – 1 = 0 0,25 I(1 ; 0) 0,25 A’(3;-2) 0,25 A’B : x – 3 = 0 0,25 C(3;2) 0,25 ………….HẾT………… 3
4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM 2011 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 11/01/2011 Bài 1 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức: 2n +1 x n ( x n + 1 + 1) ⎛ x + 1 ⎞ ≤ ⎜ ⎟ . xn + 1 ⎝ 2 ⎠ Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 2 (5,0 điểm). Cho dãy số thực (xn) xác định bởi 2n n − 1 x1 = 1 và xn = .∑ xi với mọi n ≥ 2. (n −1) 2 i =1 Với mỗi số nguyên dương n, đặt yn = xn + 1 – xn. Chứng minh rằng dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn khi n → + ∞. Bài 3 (5,0 điểm). Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) đường kính AB. Xét một điểm P di động trên tiếp tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B. Đường thẳng PA cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi D là điểm đối xứng với C qua O. Đường thẳng PD cắt (O) tại điểm thứ hai E. 1/ Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC và PO cùng đi qua một điểm. Gọi điểm đó là M. 2/ Hãy xác định vị trí của điểm P sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính của đường tròn (O). ((O ) kí hiệu đường tròn tâm O ). Bài 4 (5,0 điểm). Cho ngũ giác lồi ABCDE có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo AC, AD không vượt quá 3 . Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho chứa ít nhất 403 điểm trong số các điểm đã lấy. ----------------------------HẾT--------------------------- • Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH LỚP 12 THPT CÀ MAU NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 20 – 12 – 2009 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) sin x Bài 1: (3 điểm) Giải phương trình : ln(sin x  1)  e 1 Bài 2: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Gọi a, b, c, d lần lượt là độ dài các cạnh và S là diện tích của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng : a bcd S  (p  a)(p  b)(p  c)(p  d) , với p  2 Bài 3: (2 điểm) Tìm các số x, y, z thoả mãn phương trình : 2x 2  4x  y  6 y  2xz  z 2  13  0  Bài 4: (3 điểm) Chứng minh rằng với mọi x thuộc khoảng (0 ; ). Ta có : 2 1 1 – cosx > x2 – ln( ) cosx Bài 5: (3 điểm) Cho một bảng hình vuông chia ô : 4 x 4 = 16 ô và tập hợp gồm 16 số tự nhiên liên tiếp : n, n + 1, ....., n + 14, n + 15; n > 0. Người ta điền các số đó vào các ô của bảng, mỗi ô điền một số và tô đỏ các ô có số điền trên đó là bội của n. Giả sử có k ô được tô màu đỏ. Xác định giá trị n để số k là nghiệm phương trình: (A 3 ) 2  138C3  24  0 ; trong k k đó A 3 , C3 lần lượt là chỉnh hợp, tổ hợp chập 3 của tập k phần tử. k k Bài 6: (3,5 điểm) Cho hình chóp S.MNPQ, trừ cạnh bên SP, các cạnh còn lại đều bằng a. 1) Tính thể tích lớn nhất của khối chóp. a3 2) Góc NMQ phải bằng bao nhiêu để thể tích của hình chóp bằng 2 . 6 Bài 7 : (2,5 điểm) Xác định m để trên cùng hệ toạ độ Oxy, đồ thị hai hàm số sau đây có ít 2 mx 2  x  m  2 nhất một đường tiệm cận chung : y = x  4x  5 ; y = với m là tham x 1 số khác 0. --------HẾT-------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CÀ MAU Năm học 2009 – 2010 Môn thi : TOÁN ĐỀ DỰ BỊ Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : x  y  1   Bài 1 : Giải hệ phương trình : y  z 1  z  x  1  Bài 2 : Trong tam giác ABC, hãy tìm một điểm M sao cho : MA2  MB 2  MC 2 là nhỏ nhất. Bài 3 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác vuông, c là cạnh huyền; x, y là hai số thoả mãn hệ thức ax + by = c . Chứng minh rằng x2 + y2  1. Khi nào xảy ra dấu đẳng thức. Bài 4 : Tìm mọi hàm số f( x ) thoả : x f ( 1 + x ) – f ( 1 – x ) = x 3 + x 2 + 4 x – 2 Bài 5 : Cho tam giác ABC . Người ta lấy trên các cạnh AB, BC và CA, mỗi cạnh gồm n điểm phân biệt và khác A, B, C ; n > 1 . Lập các tam giác với các đỉnh là các điểm trong 3n điểm nói trên. Các tính toán sau đây không kể đến tam giác ABC. 1) Gọi s là số các tam giác như vậy. Tính s theo n. 2)Gọi a là số các tam giác lập được như trên nhưng có ba đỉnh nằm trên ba cạnh khác s nhau của tam giác ABC. Có hay không số n để là số nguyên dương ? sa Bài 6 : Trên mặt phẳng có hệ toạ độ Oxy, cho hypebol ( H ) có phương trình : 4 x2 – y2 = 1 và đường tròn ( T ) có phương trình : x2 + ( y – 1)2 = 4 . 1) Tìm điểm trên ( H ) có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất ? 2) Chứng minh rằng ( H ) và ( T ) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt và 4 điểm đó cùng nằm trên một đường parabol dạng y = a x2 + b x +c ( a khác 0 ). Tìm phương trình của parabol đó. 2 2 Bài 7 : Tìm giá trị a để phương trình : 43x 3  3.22 x 2  a  0 có một nghiệm thuộc khoảng 6 (1; ) 2 HẾT
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2001 Câu I Cho hàm số sau: Với giá trị nào của a hàm số có đạo hàm tại x = 1? Với giá trị a vừa tìm được, tính ? Câu II Cho tam giác ABC. Biết rằng trên mặt phẳng (ABC) có điểm M sao cho MA = 1; MB = MC = 6. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu III Trên mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy cho các điểm A'(-a;0); A(a;0) và elip (E) có phương trình: với a > b > 0. Trên elip (E) lấy điểm M bất kì. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác MAA' khi điểm M chuyển động trên elip (E). Câu IV Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn: Câu V Cho hai phương trình sau:
(1) (2) (a là tham số, x là ẩn số) Tìm a để số nghiệm của phương trình (1) không vượt quá số nghiệm của phương trình (2).
TRƯỜNG THPT LONG THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC: 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN LỚP 12 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (3,0 điểm) (sin x 1)(2 sin x 1) a) Giải phương trình: 3 cos x(2 sin x 1) b) Tìm các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x m x 2 4 2 Bài 2. (2,0 điểm) x 1 x 3 y 23 3 y 2 1 Giải hệ phương trình: x x 1 3 y 23 3 y 2 7 Bài 3. (2,0 điểm) Cho 2 số thực x 0, y 0 thoả mãn đẳng thức: 2( x 2 y 2 ) xy( x y 2) . 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S x3 y3 xy Bài 4. (3,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm I có phương trình: x 2 y 2 2 x 4 y 0 ; đường thẳng (d) có phương trình: 3x y 1 0 . Tìm trên đường thẳng (d) điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến với đường tròn (C) là MP, MQ để tứ giác MPIQ là hình vuông. b) Cho hình chóp S.ABC có SA = a và SA vuông góc với mp(ABC). Tam giác ABC cân đỉnh B, AC = 2a 3 , ABC = 1200. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC). ---------- HẾT ----------
ƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2 Môn : Toán khối 12 (Lần 1) Thời gian:180 phút Câu 1. (6.0 đ) 1/ Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Hãy xét dấu của biểu thức:A = a2 – 3b. t an(x+1) tan( y 1) 5 y 5 x (1) 2/ 2y x3 1 (2) 5 x, y (3) 6 4 Câu 2. (5.5 đ) 2x 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường cong (H): y với x >1. 2x 2 a/. Xác định điểm M để tiếp tuyến tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành tam giác có chu vi nhỏ nhất. b/ M là điểm tùy ý trên (H), tiếp tuyến của (H) tại M cắt hai đường tiệm cận của (H) tại hai điểm A và B. Xác định điểm M để diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. Câu 3 (5.0 đ) Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD,coù ñaùy ABCD laø moät hình bình haønh. Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc SAC. M laø moät ñieåm thay ñoåi trong mieàn hình bình haønh ABCD .Tia MG caét maët beân cuûa hình choùp S.ABCD taïi ñieåm N . MG NG Ñaët : Q = NG MG a/ Tìm taát caû caùc vò trí cuûa ñieåm M sao cho Q ñaït giaù trò nhoû nhaát . b/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa Q . Câu 4 (3.5 đ) Cho hai số a1, b1 với 0 < b1 = a1 < 1. Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2, .. 1 theo quy tắc sau: an 1 (a n bn ) , bn 1 a n 1.b n 2 Tính: lim a n và ln i m bn . n ……..Hết………..
Trường THPT Nam Đàn 2 ---------------------------------------------- 6,0 a. 3,0 3 2 y = f(x) = x + x + ax + b + Tập xác định: R. y’ = 3x2 + 2x + a là tam thức bậc hai có biệt số ’ = 1 – 3a. + Pt: x3 + x2 + ax + b = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên 0,5 y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2)< 0. 1 3a 0 + Suy ra: (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 3x2 + 2x + a = 0). f (x1 ).f (x 2 ) 0 + Thực hiện phép chia đa thức ta được: 1 1 1 f(x) = x3 + x2 + ax + b = x y' (6a 2)x 9b a . 3 9 9 1 1 Suy ra f(x1) = (6a 2)x1 9b a ; f(x2) = (6a 2)x 2 9b a 9 9 1,0 + f(x1).f(x2) < 0 (6a-2) x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < 0. 2 + Vì x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: 3x2 + 2x + a = 0 2 a nên x1 + x2 = ; x1.x2 = . 3 3 a 2 Do đó: (6a 2) 2 (6a 2)(9b a) (9b a) 2 0 1.0 3 3 2 2 suy ra: 4(3a – 1)(a – 3b) + (9b – a) < 0 + Vì (9b – a)2 0 và 3a – 1 < 0 nên a2 – 3b > 0. 0,5 b. 3,0 Từ (1) tan(x+1)+5x=tan(y+1)+5y Hàm số f(t) = tan(t+1)+5t có f’(t)>0 với mọi t suy ra f(t) đồng biến f(x)=f(y) x=y 1.5 Với x=y thế vào 2 ta có 1 5 x=1 hoặc x 2 1,0 Đối chiếu điều kiện (3) ta có nghiệm: 0,5
1 5 x=1 hoặc x 2 Câu 5,5 M(x0;y0) (H), tiếp tuyến tại M của (H) có phương trình: (d): 2x 0 1 2 y (x x 0 ) . 2x 0 2 (2x 0 2) 2 0.5 d cắt hai đường tiệm cận đứng x = 1 và ngang y = 1 tại các điểm x0 A(1; ), B(2xo – 1;1). x0 1 0,5 Giao của hai đường tiệm cận là I(1;1). Ta có chu vi IAB là: 1 1 P= IA+IB+AB= 2(x 0 1) 4(x 0 1) 2 (vì x0>1) (x 0 1) (x 0 1) 2 1,0 sử dụng BĐT Cosi (hoặc sử dụng hàm số) Ta có P 2( 2 1) 0,5 1 Vậy Pmin 2( 2 1) khi x0 1 2 1 1 Điểm M cần tìm là: M (1 ,1 ) 2 2 0,5 b. 2,5 M(x0;y0) (H), tiếp tuyến tại M của (H) có phương trình: (d): 2x 0 1 2 y (x x 0 ) . 2x 0 2 (2x 0 2) 2 0.5 d cắt hai đường tiệm cận đứng x = 1 và ngang y = 1 tại các điểm x0 A(1; ), B(2xo – 1;1). x0 1 0,5 x0 Vì x0 > 1 nên yA = >1, xB = 2x0 – 1 > 1. Do đó I ở miền trong x0 1 tam giác OAB nên: 0,5 1 1 1 1 SOAB = SOIB + SOIA + SIAB = IA + IB + IA.IB = 2(x0 – 1) + 2 2 2 2 1 1 1 1 . + .2(xo – 1). 2 x0 1 2 x0 1 0,5 1 Tính SOAB = AB.h với h = d(O;AB). 2 1 Tính SOAB = AB.h với h Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ta 2 0,5
1 hai số dương xo – 1, ta có: 2(x 0 1) 1 1 SOAB = xo – 1 + +1 1+2 1 2. y 2(x 0 1) 2 Đẳng thức xảy ra khi: 1 1 xo – 1 = x0 1 . 2(x 0 1) 2 1 1 K Vậy SOAB nhỏ nhất khi M(1 ,1 ). 2 2 I 1 1/ OA 1; ; OB (2x 0 1;1) . x0 1 O x Cách khác: Tính diện tích OAB theo cách sau: 1 2 1/ Tính: SOAB OA 2 .OB2 OA.OB . 2 1 2/ Tính SOAB = AB.h với h = d(O;AB). 2 = d(O;AB). Câu3 a/ (Hình vẽ ở trang cuối) MG NG MG NG + Q = NG MG 2 .Daáu baèng khi vaø chæ khi : NG = MG = 1 . + SG caét mp(ABCD) taïi taâm O cuûa hình bình haønh ABCD. Goïi K laø trung ñieåm cuûa SG . Töø K döïng maët phaúng song song vôùi mp(ABCD) caét SA,SB,SC,SD laàn löôït taïi A1 ,B1 ,C1 ,D1 .Töø N döïng maët phaúng song song vôùi mp(ABCD) caét SG taïi N’. NG N ' G NG Ta coù: = ; =1 N’truøng K N thuoäc caïnh hình bình haønh MG OG MG A1B1C1D1 Noái NK caét caïnh hình bình haønh A1B1C1D1 taïi P, ta coù : PM // SG . + Töø ñoù : Q=2 khi vaø chæ khi M thuoäc caïnh hình bình haønh A1 B1C1 D1 ' ' ' ' A1' B1' C1' D1' laø hình chieáu song song cuûa hình bình haønh A1B1C1D1 leân mp(ABCD) theo phöông SG . 3.0 b +Mieàn hình bình haønh ABCD hôïp bôûi caùc mieàn tam giaùc OAB,OBC,OCD,ODA M thuoäc mieàn hình bình haønh ABCD neân M thuoäc moät trong boán mieàn tam giaùc naøy. Chaúng haïn M thuoäc mieàn OAB. M A N C’; M B N D’; M O N S. 1.0
Do ñoù N thuoäc mieàn SC’D’ vaø N’ thuoäc ñoaïn SH ,vôùi C’,D’ vaø H laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SC,SD vaø SO. HG N 'G SG Do ñoù : HG N’G SG. Vì vaäy : hay OG OG OG NG 1 2. 2 MG NG 1 + Ñaët x = MG Ta coù : Q = x + x vôùi x [ 2 ;2]. 1 5 Q’= 0 vaø x ( 1 ;2) x= 1 . MaxQ = Max{Q( 1 );Q(2);Q(1)}= . 2 2 2 5 + Giaù trò lôùn nhaát cuûa Q laø : . Ñaït khi M truøng vôùi O hoaëc caùc ñænh 2 A,B,C,D. s N N' D' H C' G D A M 1.0 O C B Câu 4 3,5 +(0.50 đ) Tính a2, b2 với 0 < b1 = a1 < 1 ta có thể chọn 0 < a < sao 2 cho: b1 = cosa, suy ra a1 = cos2a. 1 1 a a2 (cos 2 a cos a) cos a(cosa 1) cosa.cos 2 2 2 2 a a b2 cos acos 2 cosa cos acos 0.75 2 2 + Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a an cos aco s ...cos n 1 cos n 1 (1) bn cos aco s ...cos n 1 (2) 2 2 2 2 2 1.0
a + Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin và áp dụng công thức sin2a 2n 1 được: a sin 2a.cos 2n 1 , sin 2a an bn . a a 1.0 2n.sin n 1 n 2 .sin n 1 2 2 +(0.50 đ) Tính giới hạn: sin 2a sin 2a lim a n , lim b n 0.75 n 2a n 2a
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HOÁ Năm học: 2008-2009 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC LỚP : 12 THPT Số báo danh Ngày thi: 28/03/2009 ……………………. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1(5,0 điểm) Cho hàm số y  x 3  3 x 2  2 có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3  3 x 2  2  m 3  3m 2  2 3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C)? Bài 2(4,0 điểm) 1 e2 x2 1. Tính tích phân: I=  2 dx 0 x  4x  4 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một chữ số lẻ ? Bài 3 (5,0 điểm)   1. Giải phương trình: sin( 3x  )  sin 2 x. sin( x  ) 4 4 2. Tìm giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x m m m (2  log 2 ) x 2  2(1  log 2 ) x  2(1  log 2 )  0. m 1 m 1 m 1 xlog2 y x  log y 3. Với giá trị nào của x, y thì 3 số u1  8 , u2  2 2 , u  5y theo thứ 3 tự đó, đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân. Bài 4 (5,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: x 2   y  1  1 2 Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m; 3) trên đường thẳng y = 3 ta luôn tìm được hai điểm T1 , T2 trên trục hoành, sao cho các đường thẳng MT1`, MT2 là tiếp tuyến của (C). Khi đó hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác MT1T2. 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =1) và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích của tứ diện LMNK. Bài 5 (1,0 điểm) Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chứng minh rằng với mọi a khác 0 luôn có: a2 a3 an a2 a3 a n 1 an (1  a    ...  )(1  a    ...   ) 1 2! 3! n! 2! 3! (n  1)! n!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HOÁ Năm học 2010- 2011 Đề chính thức Môn thi: Toán Lớp: 12 THPT Số báo danh Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (4,0 điểm). Cho hàm số y = x3 − (m + 1) x2 − (4 − m2 ) x −1 − 2m ( m là tham số thực), có đồ thị là (Cm ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = −1. 2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Câu II. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: cos 2 x + cos3 x − sin x − cos 4 x = sin 6 x. 2) Giải bất phương trình: 6( x 2 − 3x + 1) + x 4 + x 2 + 1 ≤ 0 ( x ∈ ). 3) Tìm số thực a để phương trình: 9 x + 9 = a3x cos(π x) , chỉ có duy nhất một nghiệm thực π 2 sin x .Câu III. (2,0 điểm). Tính tích phân: I = ∫ dx. ( ) 3 0 sin x + 3 cos x Câu IV. (6,0 điểm). 1) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc các cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng (DMN) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đặt AM = x, AN = y . Tìm x, y để diện tích toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. 2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng Δ : x − y + 5 = 0 và hai elíp x2 y 2 x2 y 2 ( E1 ) : + = 1 , ( E2 ) : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng ( E2 ) 25 16 a b đi qua điểm M thuộc đường thẳng Δ. Tìm toạ độ điểm M sao cho elíp ( E2 ) có độ dài trục lớn nhỏ nhất. 3) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (0; 2;0) và hai đường thẳng ⎧ x = 1 + 2t ⎧ x = 3 + 2s ⎪ ⎪ Δ1 : ⎨ y = 2 − 2t (t ∈ ); Δ 2 : ⎨ y = −1 − 2 s ( s ∈ ) . ⎪ z = −1 + t , ⎪ z = s, ⎩ ⎩ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M song song với trục O x , sao cho (P) cắt hai đường thẳng Δ1 , Δ 2 lần lượt tại A, B thoả mãn AB = 1 . Câu V. (2,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thoả mãn: ⎧a 2 + b2 + c 2 = 6 ⎨ ⎩ ab + bc + ca = −3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 6 + b6 + c 6 . .............................................................. HẾT ........................................................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 THPT (Gồm có 4 trang) Ngày thi: 24 - 3 - 2011 Câu Ý Hướng dẫn chấm Điêm Câu I 1) Với m = −1, ta được hàm số y = x 3 − 3x + 1. 4,0 đ 2,0đ Tập xác định: . 0,5 Giới hạn tại vô cực: lim y = +∞, lim y = −∞. x →+∞ x →−∞ Sự biến thiên: y ' = 3 x − 3 = 0 ⇔ x = ±1. 2 y ' > 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪ (1; +∞ ). Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ − 1) và (1; +∞) . 0,5 y ' < 0 ⇔ x ∈ (−1;1). Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1). Điểm cực đại của đồ thị (−1;3), điểm cực tiểu của đồ thị (1; −1). Bảng biến thiên: x −∞ +∞ −1 1 y' + 0 − 0 + 0,5 3 +∞ y −∞ −1 Đồ thị đi qua điểm (-2; -1) và (2; 3). y Điểm uốn I(0; 1) là tâm đối xứng 3 1 0,5 -2 -1 1 2 O x -1 2) Ta có y ' = 3 x 2 − 2(m + 1) x − 4 + m 2 , là tam thức bậc hai của x. 2,0đ y' có biệt số Δ ' = −2m 2 + 2m + 13. 0,5 Nếu Δ ' ≤ 0 thì y ' ≥ 0, ∀x , suy ra yêu cầu bài toán không thoả mãn. ⎛ 1− 3 3 1+ 3 3 ⎞ 0,5 Nếu Δ' > 0 ⇔ m∈⎜ ; ⎟ , thì y ' = 0 có hai nghiện x1, x2 ( x1 < x2 ). ⎝ 2 2 ⎠ x -∞ x1 x2 +∞ Dấu của y': y' + 0 − 0 + Chọn x0 ∈ ( x1 ; x2 ) ⇒ y '( x0 ) < 0. Ycbt thoả mãn khi và chỉ khi tồn tại x sao 1 cho y '( x). y '( x0 ) = −1 ⇔ pt: 3x2 − 2(m + 1) x − 4 + m2 + = 0 (1) có 0,75 y '( x0 )