Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán (Năm học 2013-2014)

Chia sẻ: Nguyễn Công Liêu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

189
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn củng cố lại kiến thức đã học và làm quen với dạng đề thi môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán" năm học 2013-2014 dưới đây. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán (Năm học 2013-2014)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 20132014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 28/10/2013 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) �x+2 x 1 � x −1 Cho biểu thức: P = � � + + �: . Với x > 0, x 1. �x x − 1 x + x +1 1− x � � 2 a. Rút gọn biểu thức P. 2 b. Tìm x để P = . 7 c. So sánh: P2 và 2P. Bài 2: (4,0 điểm) a. Tính giá trị biểu thức: A = 7 − 4 3 + 4 − 2 3 . b. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2013 1 1 1 1 và + + = thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2013. a b c 2013 Bài 3: (4,0 điểm) a. Giải phương trình: x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 . b. Cho a, b, c > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab + bc + ca ( a + b + c )3 P= + a 2 + b2 + c2 abc Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC ( H BC, E AB, F AC). a. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B. AB3 BE b. Chứng minh rằng: = . AC 3 CF c. Chứng minh rằng: 3 BC 2 = 3 CF 2 + 3 BE 2 . d. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF. Bài 5: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên. Hết Họ tên thí sinh:................................................ Chữ kí của giám thị:1:................... Số báo danh:................. Chữ kí của giám thị 2:...................
Giám thị không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN HOẰNG HOÁ 9 NĂM HỌC 20132014 MÔN : TOÁN Hướng dẫn chấm này có 03 trang I. Yêu cầu chung: 1. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. 2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. II. Yêu cầu cụ thể: Bài Nội dung cần đạt Điểm a. (2,0đ)Ta có: �x + 2 + x − x − x − x − 1 � x − 1 P=� � ( x − 1)( x + x + 1) � �: 2 � � 1,0đ x − 2 x +1 2 2 = . = . 1,0đ ( x − 1)( x + x + 1) x − 1 x + x + 1 b.(1,5đ) P= 2 � 2 2 = � x+ x −6 = 0 0,5đ 7 x + x +1 7 1 � ( ) x − 2 ( x + 3) = 0 0,25đ (4điể � x = 2 ( vì x + 3 > 0 ) m) 0.25đ x = 4 ( Thỏa mãn điều kiện). 0,25đ Vậy x = 4. 0.25đ c. (0,5đ) 2 1� 3 * Do x + x + 1 = � � x + � + > 0 nên P > 0. � 2� 4 * Với x > 0 thì x + x > 0 nên x + x + 1 > 1 1 2 0,25đ suy ra:
(4điểm 1 1 1 + + = 1 1 1 1 � ( + )+( − 1 )=0 ) a b c a+b+c a b c a +b+c 0,25đ a+b a+b � + =0 ab c(a + b + c) � ( a + b)(b + c)(c + a ) = 0 a +b = 0 0.5đ � b+c = 0 c+a =0 0,5đ Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 0.25đ a.(2,0đ) Đk: x −5 0,25đ 2 2 x − 7 x = 6 x + 5 − 30 (x – 8x + 16) + (x + 5 6 x + 5 + 9) = 0 0,5đ 3 ( x – 4)2 + ( x + 5 3)2 = 0 0,5đ (4điểm x−4=0 ) � x = 4 . 0,5đ x+5 −3= 0 Vậy x = 4. 0,25đ b.(2,0đ) Với x, y, z > 0 . Ta có: x y +) + 2 (1). y x 1 1 1 9 +) + + (2) x y z x+ y+z x2 + y2 + z 2 +) x2 + y2 + z2 xy + yz + zx 1 (3) xy + yz + zx Xảy ra đẳng thức ở (1), (2), (3) x = y = z.Ta có: 0,25đ ab + bc + ca (a + b + c ) P= + (a + b + c ) 2 . a 2 + b2 + c 2 abc ab + bc + ca 2 2 2 (a + b + c) = + (a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ). a 2 + b2 + c2 abc 0,25đ Áp dụng các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được: ab + bc + ca 9 0,25đ P + (a 2 + b 2 + c 2 ). + 2.9 a 2 + b2 + c2 ab + bc + ca �ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 � a 2 + b 2 + c 2 =� + �+ 8. + 18 �a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca � ab + bc + ca � � 0,5đ 2 + 8 + 18 = 28 a 2 + b 2 + c2 = ab + bc + ca Dấu “ =” xảy ra � a = b = c. ab = bc = ca 0,5đ Vậy Min P = 28 khi và chỉ khi a = b = c. 0,25đ
0.5đ 0.25đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ Cho tam giác ABC vuông ở A, AH ⊥ BC, HE ⊥ AB, HF ⊥ AC 4 ( H BC, (6điểm E AB, F AC). ) e. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC; BH = BC.cos2B. AB3 BE f. Chứng minh rằng: = . AC 3 CF g. Chứng minh rằng: 3 BC 2 = 3 CF 2 + 3 BE 2 . h. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF. a.(2,0đ) * ∆AHB vuông tại H, có HE ⊥ AB nên A 2 AH = AB.AE. (1) F Tương tự: AH = AC.AF (2). 2 E Từ (1) và (2) suy ra: AB.AE = AC.AF. * BH = AB.cosB; AB = BC.cosB C B H Suy ra BH = BC.cos2B. b.(1,5đ). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: AB2 = BC.BH; AC2 = BC.CH; 0,25đ BH2 = AB.BE; CH2 = AC.CF 0,25đ AB 2 BH AB 4 BH 2 AB.BE = � = = AC 2 CH AC 4 CH 2 AC.CF 0,5đ nên AB3 BE � = . 0,5đ 3 CF AC c. (1,5đ) Ta có BE = BH.cosB; BH = AB.cosB; AB = BC.cosB; 0,25đ Do đó: BE = AB.cos2B = BC.cos3B BE2 = BC2.cos6B 3 BE 2 = 3 BC 2 .cos 2 B. 0,5đ 0,25đ Tương tự ta có: 3 CF 2 = 3 BC 2 .sin 2 B. A 3 BE 2 + 3 CF 2 = 3 BC 2 .(cos2 B + sin 2 B ) = 3 BC 2 . F 0,5đ E B C H O
d. (1,0đ) Ta có: SAEHF = AE.AF 0,25đ 2 Lại có: AE = AH AB 2 Tương tự: AF = AH 0,25đ AC 4 4 3 AO3 a3 a 2 Do đó: S AEHF = AH = AH = AH = = . 0,25đ AB. AC BC. AH BC BC 2a 2 2 Max SAEHF = a ∆ABC vuông cân tại A. 0,25đ 2 Giả sử 2016k + 3 = a3 với k và a là số nguyên. 0,25đ 3 Suy ra: 2016k = a 3 0,25đ Ta chứng minh a – 3 không chia hết cho 7. 3 0,25đ 5 Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r �{ 0;1; −1; 2; −2;3; −3} . 0,25đ (2điểm Trong tất cả các trường hợp trên ta đều có a – 3 không chia hết 0,5đ 3 ) cho 7. Mà 2016k luôn chia hết cho 7, nên a3 – 3 2016k. 0,25đ Bài toán được chứng minh. 0,25đ Hết Người làm đáp án: Người thẩm định: 1. ................................................... ........................................ 2. ................................................... Người duyệt: