Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán (Năm học 2015-2016)

Chia sẻ: Nguyễn Công Liêu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

415
lượt xem 53
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán năm học 2015-2016 có cấu trúc gồm 5 câu hỏi tự luận có hướng dẫn lời giải trong thời gian làm bài 150 phút, mời các bạn cùng tham khảo. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 9 có đáp án môn: Toán (Năm học 2015-2016)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 20152016 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 2/11/2015 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 5 bài, gồm 01 trang) 2 x −9 2 x +1 x +3 Bài 1: (4,0 điểm) Cho A = + + (x 0, x 4, x 9) x −5 x +6 x −3 2− x a) Rút gọn biểu thức A. 1 b) Tìm giá trị của x để A = − . 2 Bài 2: (4,5 điểm) a) Tính 8 − 2 15 − 8 + 2 15 x 6 − 3x 5 + 3x 4 − x 3 + 2015 b) Cho x2 – x – 1 = 0. Tính giá trị của biểu thức: P = . x 6 − x 3 − 3x 2 − 3x + 2015 3x c) Giải phương trình: x + =6 2. x2 − 9 Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương n bé nhất để F = n3 + 4n2 – 20n – 48 chia hết cho 125. b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n >1 thì số A = n6 n4 +2n3 + 2n2 không thể là số chính phương. Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giac ABC co ba goc nhon v ́ ́ ́ ̣ ơi cac đ ́ ́ ường cao AD, BE, ́ ̣ CF căt nhau tai H. Ch ưng minh răng: ́ ̀ 1 a) SABC = AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC. 2 AD b) tanB.tanC = . HD c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF. HB.HC HC.HA HA.HB d) + + = 1. AB.AC BC.BA CA.CB Bài 5: (1,5 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x 2 + y 2 + y 2 + z 2 + z 2 + x 2 = 2015 . x2 y2 z2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = + + . y+z z+x x+y Hết Họ tên thí sinh:................................................ Số báo danh:.................
Giám thị không giải thích gì thêm PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 20152016 MÔN : TOÁN Hướng dẫn chấm này có 03 trang I. Yêu cầu chung: 1. Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng. 2. Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm. II. Yêu cầu cụ thể: Nội dung cần đạt Điể Bài m 2 x −9 2 x +1 x +3 a(2,0đ) A = + − ( x − 3)( x − 2) x −3 x −2 2 x − 9 + (2 x + 1)( x − 2) − ( x + 3)( x − 3) = 0,5 ( x − 3)( x − 2) 2 x − 9 + 2x − 4 x + x − 2 − x + 9 x− x −2 = = 0,5 ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2) ( x − 2)( x + 1) x +1 0,5 = = ( x − 3)( x − 2) x −3 1 x +1 Vậy A = với (x 0, x 4, x 9) . x −3 0,5 b(2,0đ) Với (x 0, x 4, x 9) Ta có: 1 x +1 1 A=− � = − � 2 x +2 = − x +3 2 x −3 2 0,5 1 � 3 x = 1 � x = (t / m) 9 1,0 1 1 Vậy A = − x = . 2 9 0,5 a(1,5đ) Ta có 8 − 2 15 − 8 + 2 15 = 5 − 2 15 + 3 − 5 + 2 15 + 3 = ( 5 − 3) 2 − ( 5 + 3) 2 1,0 = 5 − 3 − 5 − 3 = −2 3 0,5 b(1,5đ) Ta có: x2 – x – 1 = 0 x2 – x = 1 (x2 – x)3 = 1 0,5 2 x6 – 3x5 + 3x4 – x3 = 1. Mặt khác: x2 – x – 1 = 0 x2 = x + 1 0,5 x6 = (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1. 1 + 2015 2016 �P= = =1. 0,5 1 + 2015 2016
x>3 0,25 c(1,5đ) ĐK: x2 – 9 > 0 x < −3 + Nếu x > 3: Bình phương hai vế của phương trình ta được: 9x 2 6x 2 x4 x2 0,25 x2 + + = 72 � + 6. − 72 = 0 x2 − 9 x2 − 9 x2 − 9 x2 − 9 x2 Đặt t = 2 (t > 0) , được phương trình: t 2 + 6t − 72 = 0 � t = 6 . 0,25 x −9 x2 Khi đó: 2 = 6 x4 – 36x2 + 324 = 0 x2 = 18. 0,25 x −9 Trong trường hợp này tìm được: x = 3 2 3x + Nếu x
Do đó AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC. 1,0 AD AD b(1,5đ) Xét ABD có tanB = ; ACD có tanC = BD CD 2 AD suy ra tanB.tanC = (1) 0,5 BD.CD ﾷ Do HBD ﾷ = CAD (cùng phụ với ACBﾷ ) nên BDH ADC (g.g) DH BD � = BD.DC = DH.DA DC AD 0,5 AD 2 AD Kết hợp với (1) được tanB.tanC = = . DH.AD DH 0,5 c(1,5đ) Chứng minh được AEF ABC (g.g) � AEF ﾷﾷ = ABC . Tương tự được CED ﾷﾷﾷ nên AEF ﾷ mà BE AC 0,5 = CBA = CED ﾷ � AEB ﾷ = CEB = 90 . Từ đó suy ra FEB 0 ﾷﾷ = DEB EH là phân trong của DEF. 0,5 Tương tự DH, FH cũng là phân giác trong của DEF nên H là giao ba đường phân giác trong của DEF. 0,5 d(1,0đ) Ta có : SBHC + SCHA + SAHB = SABC. CH CE 0,25 Dễ thấy CHE CAF(g.g) � = CA CF HB.HC HB.CE 2.SBHC SBHC � = = = 0,25 AB.AC AB.CF 2.SABC SABC HC.HA SCHA HA.HB SHAB Tương tự có = ; = . 0,25 BC.BA SCBA CA.CB SCAB HB.HC HC.HA HA.HB SBHC SCHA SAHB Do đó: + + = + + = 1 AB.AC BC.BA CA.CB SBAC SCBA SACB 0,25 5 Đặt a = x 2 + y 2 ; b = y2 + z 2 ;c = z 2 + x 2 a; b;c > 0 và a + b + c = 2015 . Ta có: a 2 + b 2 + c2 = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) a 2 − b 2 + c 2 2 a 2 + b 2 − c 2 2 −a 2 + b 2 + c 2 �x = 2 ;y = ;z = . 0,25 2 2 2 x2 a 2 − b 2 + c2 Do đó: (y + z) 2 2(y 2 + z 2 ) = 2b 2 y + z 2b . 0,25 y+z 2b 2 y2 a 2 + b2 − c2 z 2 −a 2 + b 2 + c 2 Tương tự: , . 0,25 z+x 2c 2 x+y 2a 2 a 2 + b2 + c2 b a 2 + b2 + c2 c a 2 + b2 + c2 a T − + − + − = 2b 2 2 2c 2 2 2a 2 2 1 �1 1 1 � a + b + c = (a 2 + b 2 + c 2 ) � + + �− 2 2 �a b c � 2 1 �1 1 1 � 2015 (a + b + c) 2 � + + �− = 6 2 �a b c � 2 1 �1 1 1 � 2015 = (a + b + c)(a + b + c) � + + �− 6 2 �a b c � 2
1 2015 2015 2015.9 − = 0,5 . 6 2 2 2 2 2015 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . 3 2015 2015 Vậy min T = khi x = y = z = . 2 2 3 2 0,25 Người làm đáp án: Người thẩm định: 1. ................................................... ........................................ 2. ................................................... Người duyệt: