GIÁ TRỊ MIN – MAX – BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHỐI B ĐỀ CHUNG TỪ 2006

Chia sẻ: Như Quỳnh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chú ý đến bất đẳng thức quen thuộc để ý kỹ đến điều kiện xảy ra dấu =. Chẳng hạn đối với bài trên, nếu rập khuôn để có số đẹp: Nhưng khi xét điều kiện để có dấu (vô nghiệm). Vậy không thể áp dụng để cho số triệt để, phải giữ lại ít nhất 1 ẩn sau khi áp dụng bất đẳng thức trên. Hiển nhiên ta thấy nên để lại ẩn y để dễ khảo sát hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: GIÁ TRỊ MIN – MAX – BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHỐI B ĐỀ CHUNG TỪ 2006

GIÁ TRỊ MIN – MAX – BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHỐI B ĐỀ CHUNG TỪ 2006 Khối B – 2006: Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + y − 2 Hướng dẫn: Chú ý đến bất đẳng thức quen thuộc a c a 2 + b2 + c 2 + d 2 (a + c) 2 + (b + d )2 . Dấu “=” � = . Tuy nhiên b d để ý kỹ đến điều kiện xảy ra dấu =. Chẳng hạn đối với bài trên, nếu rập khuôn để có số đẹp: ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ( x − 1 − x − 1) 2 + ( y − y ) 2 = 2 x −1 y Nhưng khi xét điều kiện để có dấu “=” thì = = −1 � x − 1 = x + 1 −x −1 − y (vô nghiệm). Vậy không thể áp dụng để cho số triệt để, phải giữ lại ít nhất 1 ẩn sau khi áp dụng bất đẳng thức trên. Hiển nhiên ta thấy nên để lại ẩn y để dễ khảo sát hàm số. ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ( x − 1 − x − 1) 2 + ( y + y ) 2 2 1 + y 2 x −1 y Dấu “=” � = � x = 0. −x −1 y Việc sử dụng bất đẳng thức trên đòi hỏi phải chứng minh (cũng đơn giản nhưng tốn thời gian), người ta thường thay th ế bằng việc s ử d ụng b ất đẳng thức tam giác OM + ON MN trong hệ tọa độ Oxy. Bằng cách đặt M ( x − 1; − y ), N ( x + 1; y ) ta có bất đẳng thức trên. Việc khảo sát hàm số chứa giá trị tuyệt đối ta chia làm các trường h ợp m ở d ấu trị tuyệt đối. Giải: Đặt M ( x − 1; − y ), N ( x + 1; y ) . Ta có OM + ON MN ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ( x − 1 − x − 1) 2 + ( y + y ) 2 2 1 + y 2 uuuu uuu r r x −1 y Dấu “=” O MN OM , ON cùng phương hay = � x =0. −x −1 y Khi đó A 2 1 + y 2 + y − 2 Đặt f ( y ) = 2 1 + y 2 + y − 2 .
*Khi y < 2 : f ( y ) = 2 1 + y 2 + 2 − y 2y f '( y ) = −1 1+ y 2 y>0 1 f '( y ) = 0 �� y= 2 y = 1 + y2 3 1 y − + 3 f '( y ) − 0 + f ( y) + + 2+ 3 * Khi y 2 : f ( y ) 2 5 > 2 + 3 . 1 Vậy A f ( y ) 2 + 3 và Amin = 2 + 3 khi x = 0, y = . 3 Khối B – 2007: Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: � 1 � � 1� � 1 � x y z P = x� + � y� + � z� + � + + � yz � � zx � � xy � 2 2 2 Hướng dẫn: Đề đại học phần bất đẳng thức hoặc tìm min, max những năm gần đây sử dụng BĐT trung bình cộng – trung bình nhân là chủ yếu. Ở đây ta sử dụng: a + b + c 3 3 abc khi a, b, c 0 . Dấu “=” � a = b = c. � 2 y 2 z 2 � �x x y z � Ta ghép biểu thức về dạng cân xứng P = � + + �� + + � + �2 2 2 ��yz zx xy � . 33 2 2 2 1 Khi đó P x y z + 33 . Dấu “=” � x = y = z . 2 xyz
1 Ta tách 3 làm 2 để áp dụng BĐT TBC – TBN lần nữa thì m ới kh ử xyz được biến ở cả tử lẫn mẫu, tìm được giá trị nhỏ nhất là một số thực. 3� 2 2 2 1 1 � P �x y z + 3 3 +3 � 2� xyz xyz � Giải: Vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân cho 3 số dương a, b, c ta có a + b + c 3 3 abc . Dấu “=” � a = b = c. Khi đó � 2 y 2 z 2 � �x x y z � P=� + + �� + + � + �2 2 2 �� yz zx xy � 33 2 2 2 1 3� 1 1 � x y z + 33 = � x2 y2 z 2 + 3 3 +3 � 2 xyz 2 � xyz xyz � 3 1 1 9 .3. 3 3 x2 y 2 z 2 3 3 = 2 xyz xyz 2 x= y=z Dấu � 1 � x = y = z =1. 3 x2 y 2 z 2 = 3 xyz 9 Vậy Pmin = khi x = y = z = 1 . 2 Khối B – 2008: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá 2( x 2 + 6 xy ) trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= . 1 + 2 xy + 2 y 2 Hướng dẫn: Cách 1: do x + y = 1 nên ta có thể lượng giác hóa bài toán. Đặt 2 2 x = sin t , y = cos t ,0 t 2π . Khi đó 2(sin 2 t + 6sin t cos t ) 1 − cos2t + 6sin 2t P= = 1 + 2sin t cos t + 2cos 2 t 2 + sin 2t + cos2t � ( P − 6)sin 2t + ( P + 1)cos2t = 1 − 2 P (*)
Điều kiện cần và đủ để (*) có nghiệm là ( P − 6) 2 + ( P + 1) 2 (1 − 2 P) 2 . Từ đó suy ra giá trị min, max của P. Cách 2: Do bậc của x, y tương đối thuần nhất (trừ số 1) trong biểu th ức của P nên ta có thể đặt x = ty. Sau đó khảo sát giá trị của P theo t. Giải: Cách 1: do x + y = 1 nên ta đặt x = sin t , y = cos t ,0 t 2π . Khi đó 2 2 2(sin 2 t + 6sin t cos t ) 1 − cos2t + 6sin 2t P= = 1 + 2sin t cos t + 2cos 2 t 2 + sin 2t + cos2t � ( P − 6)sin 2t + ( P + 1)cos2t = 1 − 2 P (*) Điều kiện cần và đủ để (*) có nghiệm là ( P − 6) 2 + ( P + 1) 2 (1 − 2 P) 2 hay P 2 + 3P − 18 �� −6 �� 3 . 0 P 2( x + 6 xy ) 2 * P = −6 � = −6 � x 2 + 6 xy = −3( x 2 + 2 xy + 3 y 2 ) 1 + 2 xy + 2 y 2 3y � (2 x + 3 y ) 2 = 0 � x = − . Thế vào điều kiện x 2 + y 2 = 1 ta được 2 3 2 3 2 x= ,y =− hoặc x = − ,y= . 13 13 13 13 2( x 2 + 6 xy ) * P =3� = 3 � 2( x 2 + 6 xy ) = 3( x 2 + 2 xy + 3 y 2 ) 1 + 2 xy + 2 y 2 � ( x − 3 y ) 2 = 0 � x = 3 y . Thế vào điều kiện x 2 + y 2 = 1 ta được 3 1 3 1 x= ,y= hoặc x = − ,y= 10 10 10 10 3 2 3 2 Vậy Pmin = −6 khi x = ,y =− hoặc x = − ,y= 13 13 13 13 3 1 3 1 Pmax = 3 khi x = ,y= hoặc x = − ,y= . 10 10 10 10 Cách 2: Khi y = 0 � x 2 = 1, P = 2. Xét trường hợp y 0 . Đặt x=ty. Ta có 2( x 2 + 6 xy ) 2( x 2 + 6 xy ) 2(t 2 + 6t ) P= = = 1 + 2 xy + 2 y 2 x 2 + 2 xy + 3 y 2 t 2 + 2t + 3 � ( P − 2)t 2 + 2( P − 6)t + 3P = 0 (*) Với P 2 , điều kiện để (*) có nghiệm là
∆ ' = ( P − 6) 2 − 3P( P − 2) 0 � P 2 + 3P − 18 � � −6 � � . 0 P 3 Đến đây các em giải tương tự như phần sau của cách 1. Khối B – 2009: Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x + y )3 + 4 xy 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 . Hướng dẫn: Tương tự như ở khối A phải chú ý các bất đẳng thức a 2 + b2 ab a 2 + b 2 2ab 2 hay ( a + b) 2 (a + b) 2 4ab ab 4 Ở đây ( x + y ) + 4 xy 2 , ta chú ý ( x + y ) 2 4 xy , dấu “=” � x = y nên 3 ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ( x + y )3 + 4 xy 2 Đặt u = x+y, ta có u 3 + u 2 2 +(�۳1)(u 2 2u 2) 0 u 1 hay ��−+ u x + y 1 . Ở biểu thức A, ta có thể đưa A về biểu thức chứa ( x 2 + y 2 ) . 1 Lưu ý 2( x 2 + y 2 ) ( x + y )2 , dấu “=” � x = y nên x 2 + y 2 . Đặt 2 t = x 2 + y 2 , ta khảo sát hàm số theo t. Lưu ý: với 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) ta cố gắng sử dụng hết 3x 2 y 2 phần x 4 + y 4 còn lại ta sử dụng 1 2 x4 + y 4 ( x + y 2 ) 2 . Khi đó mới đưa A về biểu thức chứa ( x 2 + y 2 ) hoàn 2 toàn và hợp lý. Giải: Vì ( x + y ) 4 xy , dấu “=” � x = y nên 2 ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ( x + y )3 + 4 xy 2 Đặt u = x+y, khi đó u 3 + u 2 2 +(�۳1)(u 2 2u 2) 0 u 1 hay ��−+ u 1 x + y 1 , dấu “=” � x = y = . 2 3 3 A = ( x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 ) + ( x 4 + y 4 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 2 2 3 2 3 ( x + y 2 )2 + ( x 2 + y 2 ) 2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 2 4 9 = ( x 2 + y 2 )2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1 4
1 1 1 Đặt t = x 2 + y 2 , t ( x + y)2 , dấu “=” � x = y = . 2 2 2 9 1 9 1 Xét hàm số f (t ) = t 2 − 2t + 1, t . Ta có f '(t ) = t − 2 > 0, ∀t nên 4 2 2 2 �� 9 1 f min = f � � = . � � 16 2 9 1 Vậy A . Dấu “=” � x = y = . 16 2 Khối B – 2010: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 3( a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 3(ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2 . Hướng dẫn: Các em phải nắm vững hằng đẳng thức (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca ) 1 Từ đó suy ra ab + bc + ca = �− (a 2 + b 2 + c 2 ) �Mặt khác 1 . 2� � 1 1 2 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 (ab + bc + ca ) 2 = �− (a 2 + b 2 + c 2 ) �. Ta đã đưa về 1 3 12 � � hàm của a 2 + b 2 + c 2 . Đặt t = a 2 + b 2 + c 2 , ta khảo sát giá trị hàm số theo t như các bài ở trên. Giải: Ta có (a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ca ) 2 2 2 2 1 � ab + bc + ca = �− (a 2 + b 2 + c 2 ) � Mặt khác 1 . 2� � 1 1 2 a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 (ab + bc + ca )2 = �− (a 2 + b 2 + c 2 ) �, dấu 1 3 12 � � “=” � ab = ac = bc nên 1 2 3 M �− (a 2 + b 2 + c 2 ) �+ �− (a 2 + b 2 + c 2 ) � 2 a 2 + b 2 + c 2 1 1 + 4� � 2� � (a + b + c)2 1 Đặt t = a + b + c , 2 2 2 t (a + b + c ) 2 hay t 1 . Xét 3 3 1 3 t 4 − 8t 2 + 8t + 7 1 hàm số f (t ) = ( 1 − t ) + ( 1 − t ) + 2t = 2 2 2 , t 1 . Ta có 4 2 4 3
f '(t ) = t 3 − 4t + 2, f ''(t ) = 3t 2 − 4 . �1 � �1 � �1 � f ''(t ) �∀ > �∀ >;1� f '(t ) 0, t � f � � 0, t � ;1� Do đó . �3 � �3� �3 � �1 � f (t ) f (1) = 2, ∀t � ;1�. �3 � a = b = 0, c = 1 ab = ac = bc Vậy M f (t ) 2 . M min = 2 � b = c = 0, a = 1 t = a2 + b2 + c2 = 1 a = c = 0, b = 1 Khối B – 2011: Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức � 3 b3 � � 2 b 2 � a a P = 4� 3 + 3 � 9� 2 + 2 � − . � b a � � b a � Hướng dẫn: Cũng như các bài trước. Mục đích cuối cùng cũng là cố gắng đưa P về a b hàm số theo t để khảo sát. Ở đây, dễ thấy t = + . Ta có b a 3 3 a 3 b3 � b � a b � b � � b � � b � a a a a + 3 = � + �− 3 � + � � + �− 3 � + � = . b3 a � a � b a � a � � a � � a � b b b b 2 2 a2 b2 � b � a b � b � a a 2 + 2 = � + �− 2 = � + �− 2 b a � a� b a � a� b b a b Điều cơ bản bây giờ là làm sao khảo sát giá trị của t = + từ chính bản b a thân nó và từ điều kiện 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). a b ab Theo BĐT trung bình cộng – trung bình nhân ta có t = + 2 = 2, b a ba a b dấu “=” � a = b . Để xuất hiện t = + , ta chia 2 vế của điều kiện cho b a ab, ta được � b� a � 1� 1 1 1 a b 2 � + � 1 = (a + b) + 2 � + � 2 2(a + b) � + � 2 4 + 2 � + � + � �= � � � a� b � b� a � b� a � a� b
5 2t + 1 � 4 + 2t � 4t 2 − 4t − 15 � hay t 2 0 . Từ đó ta khảo sát theo t với 2 5 điều kiện t , chứ không phải điều kiện t 2. 2 Giải: Ta có 3 3 a 3 b3 � b � a b � b � � b � � b � a a a a + 3 = � + �− 3 � + � � + �− 3 � + � = . b3 a � a � b a � a � � a � � a � b b b b 2 2 a2 b2 � b � a b � b � a a 2 + 2 = � + �− 2 = � + �− 2 b a � a� b a � a� b b a b Đặt t = + thì P = 4(t 3 − 3t ) − 9(t 2 − 2) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18 b a Chia 2 vế của 2(a 2 + b 2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) cho ab ta được � b� a � 1� 1 1 1 a b , 2 � + � 1 = (a + b) + 2 � + � 2 2(a + b) � + � 2 4 + 2 � + � + � �= � � � a� b � b� a � b� a � a� b � 1� 1 dấu “=” � a + b = 2 � + � � b� a 5 2t + 1 � 4 + 2t � 4t 2 − 4t − 15 � 2 0 hay t . Xét hàm số 2 5 f (t ) = 4t 3 − 9t 2 − 12t + 18, t . Khảo sát hàm số (các em tự làm) ta có 2 � � 23 5 f (t ) f � � − . = �� 4 2 a b 5 + = 23 23 b a 2 a = 1, b = 2 Vậy P f (t ) − . Pmin = − khi 4 4 � 1 � a = 2, b = 1 1 a + b = 2� + � � b� a