GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHƯ THẾ NÀO ?

Chia sẻ: Nvg Nvg | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

446
lượt xem 90
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU THAM KHẢO ÔN THI ĐẠI HỌC - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHƯ THẾ NÀO ?

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHƯ THẾ NÀO ?

ChuÈn ChuÈn bÞ thi vµo ®¹i häc Gi¶i Gi¶i Ph−¬ng Tr×nh chøa c¨n nh− thÕ nµo? Khi c¸c b¹n gi¶i ph−¬ng tr×nh (PT) d¹ng ax + b = cx + d , chóng ta ®Òu biÕt b×nh ph−¬ng 2 vÕ ®Ó khö c¨n bËc hai, vËy víi PT ax + b = cx 2 + dx + e cã gi¶i ®−îc b»ng ph−¬ng ph¸p ®ã ®−îc n÷a kh«ng? Xin tr¶ lêi trõ mét sè tr−êng hîp ®Æc biÖt. VËy th× cã ph−¬ng ph¸p gi¶i chung kh«ng ? §©y lµ c©u hái mµ nhiÒu b¹n ®äc ch−a tr¶ lêi ®−îc, VÝ dô khi gi¶i PT sau: 1 9 x − 5 = 3 x 2 + 2 x + 3 ,ta ®Æt 9 x − 5 = 3 y + 1, y ≥ − , råi khi gi¶i 3 1 PT: x 2 − x − 2004 1 + 16032 x = 2004 , ta ®Æt 1 + 16032 x = 2t − 1, t ≥ . 2 VËy b¹n ®· tù hái xem t¹i sao l¹i cã ®−îc phÐp ®Æt nh− vËy( §· cã mét chuyªn ®Ò ®−îc ®¨ng trªn To¸n häc vµ tuæi trÎ nãi vÒ ph−¬ng ph¸p gi¶i). §Æc biÖt víi c¸c To¸n b¹n ®· häc vÒ ®¹o hµm th× ph−¬ng ph¸p sau sÏ gi¶i quyÕt b−íc chän ®Æt nhanh ®¹o h¬n rÊt nhiÒu. Sau ®©y lµ néi dung ph−¬ng ph¸p cô thÓ: a 2c  c  1 D¹ng 1 ax + b = x 2 + cx + d , (a ≠ 0) vµ tháa m·n b + ad = 1: 1 +  (*). XÐt hµm 2  2 a 12 2 ac sè x + cx + d => f ' ( x) = x + c = 0 x = − , khi ®ã b»ng phÐp ®Æt y= 2 a a ac ax + b = y + , ta sÏ ®−a PT d¹ng 1 vÒ hÖ ®èi xøng quen thuéc. 2 Chó ý: Khi bµi to¸n ®· cho th× ®iÒu kiÖn sÏ tháa m·n. Do vËy ta còng kh«ng ph¶i kiÓm tra ®iÒu kiÖn ®ã. 29 12 x + 61 VÝ dô Gi¶i PT sau: 3x 2 + x − VÝ dô: = 6 36 29 1 Lµm nh¸p: => f ' ( x) = 6 x + 1 = 0 x = − . Lµm nh¸p f ( x) = 3x 2 + x − 6 6 12 x + 61 1 1 12 x + 61 1 1 Gi¶i: Gi¶i §Æt = y + , y ≥ − = y2 + y + 36 6 6 36 3 36 12x+61 = 36y2 +12y +1 3y2 + y = x +5 (1) 29 1 = y + 3x2 + x = y +5 (2) Mµ theo c¸ch ®Æt ta cã: 3x 2 + x − 6 6 3 y + y = x + 5 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  2 => 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y  3 x + x = y + 5  3x + 2 (x-y)(3y + 3x +2) = 0 y = x hoÆc y = − . 3
5 1 * Víi y = x => 3y2 = 5 =>y = x = ,( y ≥ − ). 3 6 3x + 2 3x + 2 => 3x2 + x = +5 9x2 +6x - 13 = 0 * Víi y = − 3 3 − 3 ± 126 => x1, 2 = . Tõ ®©y ta t×m ®−îc y vµ kÕt luËn ®−îc nghiÖm cña PT ®· cho. 9 1 ax + b = cx 2 + dx + e, (a ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ ) D¹ng 2: c d XÐt f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = 0 => x = − , khi ®ã b»ng phÐp ®Æt 2c ax + b = 2cy + d . VÝ dô1: Gi¶i PT sau: 9 x − 5 = 3x 2 + 2 x + 3 Lµm nh¸p: f(x) = 3x2 + 2x + 3 =>f’(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3. 1 Gi¶i: §Æt 9 x − 5 = 3 y + 1, y ≥ − 3 => 9x – 5 = 9y2 +6y + 1 9y2 + 6y = 9x – 6 3y2 + 2y = 3x – 2 (1) MÆt kh¸c ta cã: 3x2 + 2x + 3 = 3y +1 3x2 + 2x = 3y – 2 (2) 2 3 y + 2 y = 3 x − 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ  2 ®Õn ®©y xin dµnh cho b¹n ®äc tù gi¶i nh− 3 x + 2 x = 3 y − 2  vÝ dô trªn. VÝ dô 2 Gi¶i PT sau: x 2 − x − 2004 1 + 16032 x = 2004 2: (Thi chän HSG B¾c Giang n¨m häc 2003 – 2004). 1 Lµm nh¸p XÐt hµm sè f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – 1 = 0 x = nh¸p: 2 1 Do a ≠ , nªn ta sö dông ph−¬ng ph¸p ®Æt: c 1 => t2 – t = 4008x, (1) Gi¶i: Gi¶i §Æt 1 + 16032 x = 2t − 1, t ≥ Gi¶i 2 MÆt kh¸c do tõ PT ta cã: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2) t 2 − t = 4008 x  Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ PT sau:  2  x − x = 4008t  => (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t) (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0 t = x hoÆc t = - x – 4007. * Víi t = x ta cã: x2 – 4009x = 0 x = 0 vµ x = 4009. Ta cã x = 0 kh«ng tháa m·n. * Víi t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) x2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT v« nghiÖm.
KL: KL PT ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x = 4009. KL 1 ax + b = cx 3 + dx 2 + ex + m, ( a ≠ 0, c ≠ 0, a = ) 3 3: D¹ng 3: c 3 2 2 XÐt hµm sè f(x) = cx + dx + ex + m => f’(x) = 3cx + 2dx + e d => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x = − , Khi ®ã b»ng phÐp ®Æt: 3c d 3 ax + b = y + 3c 63 x 3 3 2 9 VÝ dô Gi¶i PT sau: VÝ dô: 3x − = − x+ x 3 8 32 4 x3 3 2 9 − x + x => f’(x) = x2 - 3x +9/4 => Lµm nh¸p XÐt hµm sè f(x) = Lµm nh¸p: 32 4 3 f’’(x) = 2x – 3 = 0 x = . 2 63 3 63 9 27 27 Gi¶i: Gi¶i §Æt 3 3x − = y − => 3x − = y 3 − y 2 + y − 8 2 8 2 4 8 9 9 27 3x − = y 3 − y 2 + y 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1). 2 2 4 3 x3 3 9 Tõ PT ®· cho vµ theo c¸ch ®Æt ta cã: y − = − x 2 + x 232 4 12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2). 12 x − 18 = 4 y 3 − 18 y 2 + 27 y Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:  ( viÖc gi¶i hÖ nµy xin dµnh cho  12 y − 18 = 4 x 3 − 18 x 2 + 27 x  ®éc gi¶) 1 ax + b = cx 3 + dx 2 + ex + m, (a ≠ 0, c ≠ 0, a ≠ ) 3 4: D¹ng 4: c 3 2 XÐt hµm sè f(x) = cx + dx + ex + m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e d => f’’(x) = 6cx + 2d = 0 => x = − , Khi ®ã b»ng phÐp ®Æt: 3c 3 ax + b = 3cy + d VÝ dô ( To¸n häc vµ Tuæi trÎ Th¸ng 6 n¨m 2001) Gi¶i PT sau: VÝ dô: 4 81x − 8 = x 3 − 2 x 2 + x − 2 3 3 4 3 2 Lµm nh¸p XÐt hµm sè f(x) = x − 2 x + x − 2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3 Lµm nh¸p: 3 2 1 => f’’(x) = 6x – 4 = 0 x = do a ≠ . 3 c
4 81x − 8 = 3 y − 2 => 3x = y3 – 2y2 + Gi¶i: Gi¶i §Æt Gi¶i y ,( BiÕn ®æi t−¬ng tù ta cã hÖ) 3 3  4 3 y = x3 − 2x 2 + x   13 3 => (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + ) = 0(*),  3 x = y 3 − 2 y 2 + 4 y 3   3 13 1 1 1 1 Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + = ( x + y ) 2 + ( x − 2) 2 + ( y − 2) 2 + > 0 , nªn tõ 3 2 2 2 3 4 3± 2 6 (*) ta cã x = y => 3x = x3 – 2x2 + x => x1= 0 ; x2,3 = 3 3 Trªn ®©y chØ lµ mét sè vÝ dô ®iÓn h×nh.§Ó thµnh th¹o h¬n c¸c b¹n luyÖn tËp qua mét sè vÝ dô d−íi ®©y. Hy väng r»ng ph−¬ng ph¸p trªn ®em l¹i cho b¹n thµnh c«ng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh chøa c¨n. Chóc c¸c b¹n ®¹t kÕt qu¶ cao trong häc tËp ! Bµi Bµi tËp tù luyÖn: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: 1) x 2 = 2 − x + 2 2) x 2 − 4 x − 3 = x + 5 3) x 3 + 2 = 33 3x − 2 4) 3x + 1 = −4 x 2 + 13x − 5 5) x + 1 = x 2 + 4 x + 5 4x + 9 6) = 7x2 + 7x 28 Phan Phan Hoµng Ninh GV Tr−êng THPT Lôc Ng¹n sè 1 – B¾c Giang