zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

Chia sẻ: Le Van Tam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:36

Báo xấu

188
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Qui tắc 1: 1) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 2) Tìm các điểm tới hạn xi : Là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc tại các điểm đó f ’(x) không xác định 3) Lập bảng xét dấu của f’(x) 4) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu: a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ

WWW.ToanCapBa.Net HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Chương I ĐẠO HÀM – VI PHÂN I. ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN CẦN NẮM Đạo hàm của các hàm số hợp Đạo hàm của các hàm số sơ Nhóm (u = u(x)) cấp cơ bản (u α )α.u α −u ' '= . 1 (x α )α.x α − 1 '= Đa 1 ' u' 1 ( )' = − 1 ( ) =− u u2 x x2 thức 1 '= u ' ( x )' = ( u) 2 x 2 u (sinu)’ = u’.cosu (sinx)’ = cosx (cosu)’ = - u’.sinu (cosx)’ = - sinx u' 1 = (1 + tg 2 x) ’ (tgu) = = u '.(1 + tg 2u) (tgx)’ = Lượng cos 2u cos 2 x 1 giác u' (cotgx)’ = - = − (1 + cotg 2 x) sin 2 x ’ (cotgu) = - sin 2 u Mũ (eu)’ = u’.eu (ex)’ = ex (au)’ = u’.au.lna (ax)’ = ax.lna CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 1 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net u' 1 ’ (ln|u|) = (ln|x|)’ = x u ' 1 Lôgarit '= u (log a |x|)' = (log a |u|) x.lna u.lna II. VI PHÂN: 1. Định nghĩa: df(x) = f (x).dx ’ 2. Qui tắc: • d(u ± v) = du ± dv • d(uv) = udv + vdu u vdu − udv • d( v ) = 2 (v 0) v Chương II ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I. ĐỊNH LÝ LAGRĂNG: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm trong (a ; b) f(b) − f(a) thì tồn tại điểm c ∈ (a ; b) sao cho: f ’(c) = b−a II. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Hàm số không đổi: f ’(x) = 0 ⇔ f(x) = c 2. Điều kiện cần: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) a) Nếu f(x) tăng trong (a ; b) ⇒ f ’(x) ≥ 0 ∀ x ∈(a ; b) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 2 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net b) Nếu f(x) giảm trong (a ; b) ⇒ f ’(x) ≤ 0 ∀ x ∈(a ; b) 3. Điều kiện đủ: f(x) có đạo hàm trong (a ; b) a) Nếu f ’(x) > 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) tăng trong (a ; b) b) Nếu f ’(x) < 0 ∀x ∈ (a ; b) ⇒ f(x) giảm trong (a ; b) • Chú ý: Nếu trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng. III. QUY TẮC TÌM ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y = f(x) Qui tắc 1: 1) Tính đạo hàm y’ = f’(x) 2) Tìm các điểm tới hạn xi : Là nghiệm của phương trình f’(x) = 0 hoặc tại các điểm đó f ’(x) không xác định 3) Lập bảng xét dấu của f’(x) 4) Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu: a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó Qui tắc 2: 1) Tính f ’(x), f ’’(x) 2) Tìm các điểm xi tại đó f ’(x) = 0 (nghiệm của phương trình này) 3) Tính f ’’(xi): a) Nếu f ’’(xi) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) Nếu f ’’(xi) < 0 thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 3 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net CHÚ Ý: • Giữa hai điểm tới hạn kề nhau x1 và x2 , f’(x) luôn giữ nguyên một dấu • Cách tính giá trị điểm cực trị của hàm số: - Trong trường hợp điểm cực trị x0 (xCĐ , xCT) là số vô tỉ thì: U(x) U' (x0 ) 1) Nếu f(x) là hàm hữu tỉ f (x) = thì f(x0 ) = ' V(x) V (x0 ) 2) Nếu f(x) là hàm đa thức: Ví dụ hàm đa thức bậc 3 f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Ta chia f(x) cho f ’(x) được dư là hàm bậc nhất (mx + n) vậy ta có: f(x) = f’(x).(px + q) + (mx + n) thì f(x0) = (mx0 + n) (vì f’(x0) = 0) VD: Hãy tìm các điểm cực trị và giá trị của chúng trong các trường hợp sau: 2 3 1) f (x) = x + 2x + 3 2) f(x) = x − 2x 2 + x + 1 x −1 3 IV. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a ; b) - Lập bảng biến thiên của hàm số để kết luận, chú ý: + Nếu chỉ có một điểm cực tiểu x0 thì f(x0) = Min y + Nếu chỉ có một điểm cực đại x0 thì f(x0) = Max y + Nếu có cả điểm cực đại và cực tiểu thì ta phải tìm thêm giới hạn của f(x) tại các biên a, b để kết luận thích hợp. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 4 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 2. Qui tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b] - Giải phương trình f ’(x) = 0, tìm các nghiệm x1, x2, …, xn (Chỉ chọn các nghiệm thuộc đoạn [a ; b]) - Tính f(a),f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) - So sánh f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) Số lớn nhất M là GTLN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: M = [max] f ( x) a; b Số nhỏ nhất m là GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ; b], KH: m = [min] f ( x) a; b CHÚ Ý: • Nếu giải phương trình f ’(x) = 0 vô nghiệm ⇒ f(x) đơn điệu trên [a ; b] ta chỉ cần so sánh f(a) và f(b): Số lớn là Max y và số nhỏ là Min y. • Ngoài ra ta có thể dùng các phương pháp sau: Dùng bất đẳng thức để tìm GTNN, GTLN của hàm số (xem chuyên đề bất đẳng thức) Giải phương trình f(x) = y với x ∈ [a ; b] và tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trong [a ; b] V. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG 1. Dấu hiệu lồi, lõm: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó: CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 5 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net a) Nếu f ’’(x) < 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lồi trên khoảng đó b) Nếu f ’’(x) > 0 với mọi x ∈ (a ; b) thì đồ thị của hàm số là lõm trên khoảng đó 2. Điểm uốn: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai f ’’(x) trên khoảng (a ; b) khi đó: a) Nếu f ’’(x) đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì M0(x0 ; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị b) Nếu f ’’(x) không đổi dấu khi đối số x đi qua x0 thì điểm M0(x0 ; f(x0)) không phải là điểm uốn của đồ thị. VI. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x) 1. Tiệm cận đứng lim f(x) = • Nếu x xo thì đường thẳng x = xo là tiệm cận đứng của (C) 2. Tiệm cận ngang • Nếu xlim f(x) = yo thì đường thẳng y = yo là tiệm cận ngang của (C) 3. Tiệm cận xiên • Đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b là một tiệm cận xiên của (C) ⇔ x lim [f(x) – (ax +b)] = 0 • Cách xác định hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax +b theo công f(x) thức: a = lim , b = xlim [f(x) – ax ] x x CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 6 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 4. Phương pháp tìm tiệm cận của (C): y = f(x): - Tìm TXĐ của f(x) là D suy ra các mút (biên) của nó - Tính giới hạn của hàm số tại các mút + Nếu thoả mãn (1), (2) thì ta có TC đứng, ngang. f(x) + Nếu xlim f(x) = thì ta tính a = lim : x x • Nếu a ≠ 0, thì ta tính b = xlim [f(x) – ax ]. Nếu b ≠ thì ta có tiệm cận xiên: y = ax + b. VII. KHẢO SÁT HÀM SỐ 1. Các bước khảo sát 1 hàm số: B1: Tìm TXĐ B2: Xét sự biến thiên (đồng biến, nghịch biến) của hàm số và chỉ ra các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu) B3: • Tính các giới hạn đặc biệt (tại các mút của TXĐ) • Tìm các tiệm cận (Đối với các hàm phân thức hữu tỉ B4: Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn (Đối với các hàm đa thức) B5: Lập bảng biến thiên B6: Đồ thị: + Tìm giao điểm với trục Ox, Oy (nếu được) + Lập bảng giá trị nếu cần (khi tìm giao với Ox không được…) + Vẽ đồ thị + Nhận xét: Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có) của đồ thị. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 7 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 2. Khảo sát một số hàm số thường gặp a) Hàm đa thức • y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) • y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) • y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) b) Hàm phân thức hữu tỉ ax + b •y= (c ≠ 0, D = ad – bc ≠ 0) cx + d B. CÁC DẠNG TOÁN CHỦ ĐIỂM 1 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÌM CÁC ĐƯỜNG TIỆM CẬN Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 1) y = x + x 2 − 1 2) y = x 2 − 4 x + 3 3) y = x 2 + 4 x2 + x + 1 x2 − 2x + 2 4) y = 5) y = 6) y = 3 − x 3 + 3 x 2 x −1 2 x −3 VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau: 1) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 (ĐH KA – 2006) 2) y = -x3 + 3x2 - 4 (ĐH KB – 2007) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 8 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số trùng phương sau: 1) y = x4 - 8x2 + 10 (ĐH KB – 2002) x4 2) y = − 2(x 2 − 1) (ĐH DB KA – 2006) 2 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số nhất biến sau: −3x − 1 1) y = (ĐH KD – 2002) x −1 2x 2) y = (ĐH KB – 2007) x +1 VẤN ĐỀ 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI PHƯƠNG PHÁP: Nếu hàm số y = f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì: • Xét dấu các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối. • Phân định miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối. • Vẽ đồ thị từng phần tương ứng trong các khoảng của miền xác định. Đồ thị của f(x) là hợp của các phần này. Các hàm có dạng: y = |f(x)| , y = f(|x|) ♦ Hàm số dạng: y = |f(x)| - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần đồ thị của (C) ở phía trên Ox CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 9 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net - Lấy đối xứng phần (C) nằm dưới Ox qua trục Ox. Hợp hai phần trên lại ta có đồ thị (C’) của y = |f(x)| ♦ Hàm số dạng: y = f(|x|) (Là hàm số chẵn: Có đồ thị đối xứng qua Oy) - Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) - Lấy phần bên phải Oy của (C) (ứng với x ≥ 0) ta có (C0) - Lấy đối xứng phần (C0) qua trục Oy ta có (C1) Hợp hai phần (C0) và (C1) trên lại ta có đồ thị (C’) của y = f(|x|) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: x +1 y = f(x) = x+2 2) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của các hàm số: | x | +1 | x + 1| a) y = b) y = | x | +2 x+2 x +1 x +1 c) y = | | d) y = x+2 | x +2| 3) Một số bài toán áp dụng (bài giảng) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 10 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net CHỦ ĐIỂM 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ A. Phương pháp: Cho (C): y = f(x) có đạo hàm trên D. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thoả mãn một số điều kiện cho sẵn: 1. Tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0,y0) thuộc (C) có phương trình là: y – y0 = f’(x0).(x – x0) (k = f’(x0): là hệ số góc) ♦ Các dạng khác nhau của đề bài: • Cho x0: Tính y0 = f(x0) và f’(x0) • Cho y0: Giải phương trình y0 = f(x0) để có x0 rồi tính f’(x0) • Cho hệ số góc k của tiếp tuyến: Giải phương trình f’(x0) = k để có x0 rồi tính y0 = f(x0) 2. Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x1,y1) bất kỳ ( M(x1,y1) có thể thuộc hay không thuộc (C) ) ♦ Cách 1: • Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(x1,y1) và có hệ số góc k: y – y1 = k(x – x1) ⇔ y = k(x – x1) + y1 (1) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 11 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net • (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 ⇔ x0 và k là nghiệm f(x) = k(x − x1) + y1 của hệ pt: (I) ⇒ k rồi thay vào (1). f ' (x) = k ♦ Cách 2: (Tìm hoành độ tiếp điểm x0) • Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0,y0) là: y – f(x0) = f’(x0).(x – x0) (1) • Vì tiếp tuyến trên đi qua M(x1,y1) nên x1 và y1 nghiệm đúng (1): y1 – f(x0) = f’(x0).(x1 – x0) (2) • Giải (2) ta có x0 rồi thế x0 vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm. 3. Chú ý bài toán tìm tham số để từ M(x1; y1) kẻ được n tiếp tuyến f(x) = k(x − x1) + y1 Phương pháp thông thường là bắt hệ (I) có n f ' (x) = k nghiệm ⇔ f(x) = f ’(x)(x – x1) + y1 có n nghiệm ax 2 + bx + c 4. Chú ý các tính chất của hàm hữu tỉ y = (H) a 'x + b' Cho M ∈ (H), I là giao của hai tiệm cận của (H): • Nếu tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B thì: + M là trung điểm của AB + Tam giác AIB có diện tích không đổi • Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là 1 hằng số CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 12 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net • IA.IB = const B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho (C): y = x4 – 2x2 – 3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. (ĐS: y = 8 3(x m 3) Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 + 3x2 - 1 (C), và điểm A(0, -1). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A b) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A. x 2 + 3x + 3 Bài 3: Cho hàm số y = (H). x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng (d): 3y – x + 6 = 0 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y = - x3 – 3x2 + 4 biết tiếp tuyến qua P(1;0). Bài 5: Cho (C): y = x3 – 3x2 + 2. 23 a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm A( ; −2) 9 b) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. (m − 1)x + m Bài 6: Cho (Cm): y = x−m CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 13 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ hai của góc hệ trục tọa độ. 2 Bài 7: Cho hàm số y = 2x + (H) x −1 Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) 2) Chứng minh rằng: a) Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B thì M là trung điểm của AB và tam giác AIB có diện tích không đổi, khi M thay đổi. b) Tích khoảng cách từ M đến hai tiện cận là một hằng số. c) Tìm những điểm trên (H) có tọa độ nguyên. x 2 − 3x + 3 Bài 8: Cho hàm số y = (H) x−2 Gọi M là một điểm thuộc đồ thị. I là giao 2 tiệm cận của (H). Nếu tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng: 1) M là trung điểm của PQ 2) Tam giác AIB có diện tích không đổi 3) IQ.IP không đổi. VẤN ĐỀ 2 TÍNH DƠN ĐIỆU & CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 14 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU – ĐIỂM CỰC ĐẠI & ĐIỂM CỰC TIỂU Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + mx2 – m. Tìm m để hàm số đồng biến trong khoảng (1; 2). ĐS : m 3 3 2 Bài 2: Tìm m để hàm số y = x − mx − 2 x + 3 trên khoảng (1 ; + ) 3 2 (HD: m −1) Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 6 6 Tìm để hàm số luôn đồng biến. ĐS : − m 6 6 Bài 4: Cho hàm số y = x3 x 2 + + mx 3 2 Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ lớn hơn m. (ĐS : m < -2) 1 1 Bài 5: Tìm m để hàm số y = 3 x3 + 2 x2 + (m +1) x đạt cực trị tại các điểm có 3 hoành độ x > m. (m < − 4 , m −1) Bài 6: Cho hàm số y = x 2 + 2m 2 x + m 2 x +1 Tìm m để hàm số có cực trị (ĐS : |m| < 1) Bài 7: Định m để hàm số y = mx 4 + (m2 − 9) x2 + 10 có ba điểm cực trị. m < −3 ĐS : 0 < m < 3 3 Bai 8: Với giá trị nào của a thì hàm số y = (a 2 −1) x + (a +1) x2 + 3x +1 đồng biến 3 trên ﾡ ? HD: a ‫ 1 ڳ‬a − > 2 2 Bài 9: Định m để hàm số y = x − x + m đạt cực tiểu tại x = 2. (ĐS: m = 1) x −1 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 15 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 2 Bài 10: Định m để hàm số y = x + x + m có các điểm cực trị nằm về hai phía x +1 của trục tung (ĐS: m > 0). 1 Bài 11: Định m để hàm số y = 3 x3 + (m +1) x2 + 4 x + 7 có độ dài khoảng nghịch biến bằng 2 5 . ĐS: (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 20 � m = 2,m = −4 . 2 Bài 12: Định m để hàm số y = x − mx + m ( m 0 ) có giá trị cực đại và giá trị x−m cực tiểu trái dấu. HD :0 < m < 4 Bài 13: Cho hàm số y = 2x3 − 3(2m +1) x2 + 6m(m +1) x + 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x +2 m = −1 HD : m = −1 17 4 2 Bài 14: Chứng minh rằng hàm số y = x + mx − m + 8 luôn có cực trị với mọi m. x −1 Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thỏa mãn: ycd + yct = 72 2 2 x2 − 2 x − 8 x=4 ( y= m + 8 ) HD : D = ﾡ \ { 1} , y = =0 ( x −1)2 x = −2 ( y = m − 4 ) �y2 + y2CT = 72 � (m + 8)2 + (m − 4)2 = 72 � m = −2 CÑ Bài 15: Tìm m để hàm số y = 2x3 + 3(m −1) x2 + 6(m − 2) x +1 có hai cực trị thuộc khoảng (-2, 3). HD : D = ﾡ , y = 6x 2 + 6(m −1) x + 6(m − 2) = 6[ x2 + (m −1) x + (m − 2)] = 0 � x1 = −1, x2 = 2 − m x x YCBT � �1 2 � �1 2−m �− �� 3� m � m � −2;4) \ { 3} ( x1, x2 � −2;3) � 2 < 2 − m < 3 � 1 < m < 4 ( − − CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 16 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net DẠNG 2: ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ Bài 1: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 3m – 5 a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó HD: a) | m |> 3 . b) y = 2(3-m2)x + 6m – 5, | m |> 3 Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3x2 - 9x + m a) Định m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó HD: a) ∀ m b) y = -8x + m - 3 x 2 + (m + 1)x − m + 1 Bài 3: Cho hàm số y = x−m a) CMR với mọi m, hàm số luôn có CĐ, CT. b) Tìm m để yCĐ.yCT > 0 (ĐS: m > −3+ 2 3 �m 8 (ĐS: m < m ) 2 2 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 17 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx +1. a) Tìm m để hàm số có cực trị b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số c) Tìm m để ymax + ymin = 2 1 ĐS: a) m < 3 b) y = [(2m − 6) x + 3 − m] , m < 3 c) m = 2 3 VẤN ĐỀ 3 TÍNH LỒI LÕM ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ (Ban NC) 2x + 1 Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y= x2 + x + 1 1 có 3 điểm uốn thẳng hàng. (Ba điểm uốn : A(1,1), B(-2,-1), C( − ,0)) 2 Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 3(m - 1)x2 + 3x – 5 a) Tìm m để (-5; 2) là khoảng lồi của hàm số b) Tìm m để đồ thị có điểm uốn với hoành độ x0 > m2 – 2m – 5 ĐS: a) m 3, b) -1 < m < 4 Bài 3: CMR: với hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0): Thì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị sẽ lớn nhất nếu a < 0 và nhỏ nhất nếu a > 0, khi so với hệ số góc các tiếp tuyến tại điểm khác. Bài 4: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + x – 4. Tìm a, b để M(2; -6) là điểm uốn. CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 18 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net 1 3 ĐS: a = � =− b 4 2 Bài 5: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 9x + 1 (1). Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng (d): y = x + 1. VẤN ĐỀ 4 TRỤC ĐỐI XỨNG – TÂM ĐỐI XỨNG – CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG DẠNG 1: Đồ thị (cặp điểm) nhận Ox, Oy, O: Làm Trục - Tâm đối xứng A. Phương pháp: + Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng ⇔ f(x) = f(-x) (Hàm số chẵn đối với x) + Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Đồ thị nhận trục hoành làm trục đối xứng ⇔ f(x) = - f(x) (Hàm số chẵn đối với y) B. Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho (C): y = 2x3 + 3mx2 - 3m + 1 Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O. ĐS: m < 0 hoặc m>1/3 CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 19 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net x 2 + 2m 2 x + m 2 Bài 2: Cho (C): y = x +1 Tìm m để (C) có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc O. 2 ĐS: m 1 |m| > ; 2 Bài 3: Cho hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m - 3)x + 4 (Cm) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung. (ĐS: - 3 < m < 1) (ĐH A.N HN K.D) Bài 4: Tìm hai điểm phân biệt của (Cm): y = x – 3x2 - (m-2)x + m + 1 3 đối xứng nhau qua trục tung sao cho MN = 4. DẠNG 2: ĐỐI XỨNG TÂM Cho (C): y = f(x) 2) Chứng tỏ (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng (1) 1) Chứng tỏ (C) có một tâm đối xứng (2) A. Phương pháp: x = X + x0 - Đổi trục tọa độ , ta được phương trình mới Y = g(X) y = Y + y0 + Nếu Y = g(X) là hàm lẻ thì (C) nhận I(x0; y0) làm tâm đối xứng ⇒ (1) + Buộc Y = g(X) là hàm số lẻ hay ta tính được x0, y0. ⇒ (2) B. Bài tập tự luyện: 2x 2 − 5x + 4 Bài 1: Chứng tỏ (H): y = có tâm đối xứng là giao điểm x −1 của 2 đường tiệm cận. (ĐS: I(1, -1)) CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ & ỨNG DỤNG Trang 20 Biên soạn: Ths. Trương Nhật Lý WWW.ToanCapBa.Net

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.