Khóa luận tốt nghiệp: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài trình bày cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu, nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học, nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ------------------- NGUYỄN THỊ THU THẢO TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết HÀ NỘI - 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ------------------- NGUYỄN THỊ THU THẢO TÌM HIỂU VỀ NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành :Vật lý Lý thuyết Người hường dẫn khoa học PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI - 2018
LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong bộ môn Vật lý lý thuyết cùng các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy chúng em trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trường. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh – người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự nhận xét và góp ý của các thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Thảo.
LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiêp đúng thời hạn. Đề tài khóa luận có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Em xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các kết quả của tác giả khác. Em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Thảo.
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................... 1 2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................................ 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................................ 2 4. Đối tượng nghiên cứu ............................................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận .................................................................................................... 2 CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU 3 1.1 Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất ........................................... 3 1.2 Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân .................................... 3 1.2.1. Khái niệm chung về phiếm hàm ...................................................................... 3 1.2.2 Phép tính biến phân .......................................................................................... 4 1.2.3 Phương trình Euler........................................................................................... 5 1.2.4 Một số bài toán vật lý và phép tính biến phân ................................................ 6 1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu ............................................ 10 Kết luận chương 1 ....................................................................................................... 13 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN .............................................................................................................................. 14 2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển ............................................... 14 2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích ............................................. 17 2.2.1 Nội dung nguyên lý ......................................................................................... 17 2.2.2 Chứng minh nguyên lý tác dụng tối thiểu là nguyên lý tổng quát của cơ học ................................................................................................................................. 19 Kết luận chương 2 ....................................................................................................... 23
CHƯƠNG III: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG VẬT LÝ HIỆN ĐẠI................................................................................................................................. 24 3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và sự khôn ngoan của ánh sáng.............................. 24 3.1.1 Giải thích ba định luật cơ bản của quang học và đường truyền của tia sáng trong môi trường chiết suất thay đổi. ...................................................................... 24 3.1.2 Ứng dụng phép tính biến phân tìm đường truyền của tia sáng. .................... 26 3.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu của trường điện từ. ................................................. 28 3.2.1 Hàm tác dụng của trường điện từ ................................................................. 28 3.2.2 Phương trình chuyển động của một hạt ......................................................... 30 3.2.3 Các phương trình trường điện từ .................................................................. 32 3.3 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường ............................................ 33 3.3.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu. .......................................................................... 33 3.3.2 Các định luật bảo toàn .................................................................................. 36 Kết luận chương 3 ....................................................................................................... 43 KẾT LUẬN CHUNG ................................................................................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 45
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vật lý là một nghành khoa học tự nhiên rất thú vị. Nó bao trùm nhiều lĩnh vực như: Quang học, điện, cơ học, vật lý hạt nhân, vật lý lý thuyết… Trong đó, Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý. Thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát nhất của con người trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định. Bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học các nhà vật lý lý thuyết đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá, tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn. Trong thực tế, ta thấy giả sử một vật chuyển động từ điểm A đến điểm B, trong hàng triệu con đường vật luôn chọn con đường sao cho thời gian mà nó sử dụng là ngắn nhất. Vì sao vậy? Dấu hiệu nào đề vật tìm ra con đường đó? Nguyên lý tác dụng tối thiểu sẽ giúp chúng ta tìm ra câu trả lời cho những câu hỏi trên. Về mặt lịch sử, nó được gọi là "tối thiểu" bởi vì nghiệm của nó đòi hỏi phải tìm quỹ đạo có sự thay đổi ít nhất từ các quỹ đạo gần. Đây là nguyên lý tổng quát nhất của vật lý học, người ta thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề. Từ nguyên lý người ta có thể rút ra các phương trình chuyển động của hệ đó bằng phát biểu rằng quỹ đạo của hệ phải thỏa mãn trung bình hiệu giữa động năng và thế năng là nhỏ nhất hoặc lớn nhất trong một khoảng thời gian hay hàng loạt các biểu thức, định nghĩa, khái niệm đặc trưng trong cơ học cũng như các nguyên lý, các định luật bảo toàn trong vật lý học hiện đại. Chính vì những lý do trên, tôi đã chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề tài khóa luận của mình, với nội dung “Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý ”. Tôi muốn mở rộng vốn kiến thức còn hạn chế của mình đồng thời giới thiệu đến các bạn sinh viên trong toàn khoa. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học và trong vật lý học hiện đại. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau: - Tìm hiểu các khái niệm về phiếm hàm, bài toán đơn giản của phép tính biến phân. - Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển và cơ học giải tích. - Tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại. 4. Đối tượng nghiên cứu - Nguyên lý tác dụng tối thiểu. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp Vật lý lý thuyết. - Phương pháp tính tích phân. 6. Cấu trúc khóa luận Chương 1: Cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu Chương 2: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học Chương 3: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong vật lý hiện đại 2
CHƯƠNG I: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU 1.1 Đường thẳng không phải là con đường nhanh nhất Vào tháng 6 năm 1696, John Bernouilli gửi một lời thách thức đến cho toàn giới Toán học ngày đó bằng bài toán được tóm tắt một cách dễ hiểu như sau: "Nếu có một quả bóng lăn xuống từ một điểm trên cao đến một điểm thấp hơn thì hình dạng đường đi phải như thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?" [5] Trực giác của chúng ta có thể cho rằng đó là một đường thẳng nhưng thực ra không phải như vậy, mặc dù đường thẳng là đường có độ dài ngắn nhất. Trong một cuốn sách của mình đã được xuất bản 1638, Nhà khoa học Galile cũng đã đề cập đến bài toán này và chứng minh được rằng quỹ đạo là cung tròn thì nhanh hơn quỹ đạo thẳng. Tuy vậy sự lựa chọn đường đi là cung tròn của ông không phải là lời giải đúng. Bài toán đã được giải bằng phương pháp vi phân và đáp án chính là đường Cycloid. Bài toán và lời giải cũng chính là minh họa cho một trong những nguyên lý đẹp nhất của Vật lý học: Nguyên lý tác dụng tối thiểu, nó được phát biểu môt cách đơn giản như sau “ tự nhiên luôn thực hiện mọi việc một cách hết sức tiết kiệm và dè sẻn!” [5] 1.2 Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân 1.2.1. Khái niệm chung về phiếm hàm Giả sử cho một phiếm hàm, tức là cho quy luật ứng với mỗi hàm (hoặc đường cong) thuộc một tập nào đó đặt tương ứng với một con số xác định. Do vậy cũng có thể xem phiếm hàm là hàm, trong đó vai trò của biến độc lập là hàm hoặc là đường cong. Để hiểu rõ hơn về phiếm hàm ta xét ví dụ sau: Giả sử y(x) là hàm bất kì liên tục khả vi trên đoạn  a, b . Ta xác định phiếm hàm J  y  trên tập các hàm này bởi đẳng thức: 3
b J  y    y2  x  dx , a hoặc tổng quát hơn b J  y    F  x, y  x  , y  x  dx . a Trong ví dụ trên ta bắt gặp các phiếm hàm có dạng như sau: b J  y  =  F  x, y, y  dx. a 1.2.2 Phép tính biến phân Các bài toán liên quan đến phiếm hàm đã có từ rất lâu, chẳng hạn như các bài toán của Euler. Tuy nhiên, cho đến ngày nay chưa có đủ các phương pháp tổng quát để tính toán đối với phiếm hàm tương tự như giải tích cổ điển ( tính toán đối với các hàm). Một lĩnh vực tương đối phát triển là phương pháp tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của phiếm hàm. Lĩnh vực này có tên là phép tính biến phân, vì vậy khái niệm biến phân của phiếm hàm đóng vai trò quan trọng. Về cơ bản, ta có thể hiểu phép tính biến phân là một phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểu của phiếm hàm. [1] Để có thể hiểu được cặn kẽ bản chất các bài toán và phương pháp của phép tính biến phân ta cần làm rõ mối quan hệ của chúng với các bài toán của giải tích cổ điển, cụ thể là với việc nghiên cứu các hàm n biến. Xét phiếm hàm: b J  y  =  F  x, y, y  dx, y  a   A, y  b   B , a với mỗi đường cong y  y  x  cho tương ứng với một con số nào đấy. Khi đó ta chia đoạn  a, b bằng các điểm a  xo , x1 , x2 ,..., xn1  b thành  n  1 phần bằng nhau và thay đường cong bởi đường gấp khúc với các đỉnh:  x0 , A ,  x1 , y  x1   ,...,  xn1, B  , còn phiếm hàm J  y  ta sẽ thay bằng tổng n  y  yi  J  y1 ,..., yn    F  xi , yi , i 1  h, h  xi 1  xi . i 0  h  4
Mỗi đường gấp khúc ở trên được xác định một cách đơn trị bởi các tung độ y1 , y2 ,..., yn . Vì vậy bài toán biến phân có thể xem gần đúng như bài toán tìm cực trị của hàm J  y1 , y2 ,..., yn  n biến. Euler hay sử dụng cách này. Tìm cực trị của hàm n biến, sau đó nhờ chuyển giới hạn khi n   nhận được nghiệm chính xác. 1.2.3 Phương trình Euler Giả thiết rằng F(x, y, z) là hàm có đạo hàm riêng liên tục theo mọi đối số của nó đến cấp hai. Bài toán biến phân đơn giản được thiết lập như sau: trong tất cả các hàm y(x) có đạo hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B hãy tìm hàm để cho phiếm hàm: b J  y    F  x, y, y dx , a đạt cực trị yếu. Nói cách khác, bài toán đơn giản của phép tính biến phân trở thành bài toán tìm cực trị yếu của phiếm hàm J trên tập các đường cong trơn nối hai điểm cho trước. Cho hàm y(x) một số gia nào đấy h(x). Để hàm y(x) + h(x) vẫn thỏa mãn điều kiện biên tức là y(a) + h(a) = A và y(b) + h(b) = B, nên ta phải có: h(a) = h(b) = 0. Tính gia số của phiếm hàm b b J   F  x, y  h, y  h dx   F  x, y, y dx a a b    Fy  x, y, y  h  Fy  x, y, y  hdx  ... a các dấu chấm biểu thị các số hạng bậc cao hơn một đối với h và h’, , là kí hiệu đạo hàm riêng của F tương ứng đối với y và y’. Biểu thức: b   F  x, y, y h  F  x, y, y hdx , a y y chính là vi phân của phiếm hàm J. 5
Theo định lý điều kiện cần của cực trị là đẳng thức b  J    Fy h  Fy h dx  0 . a Từ bổ đề: Nếu b  a  x  h  x   b  x  h  x  dx  0 , a với mọi hàm h  x   D1 sao cho h  a   h  b   0 thì b  x  vi phân được và a  x   b  x   0 , ta suy ra: d Fy  Fy  0 . dx Hệ thức này chính là phương trình Euler. 1.2.4 Một số bài toán vật lý và phép tính biến phân Có rất nhiều bài toán cơ học và vật lý đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển của phép tính biến phân, sau đây ta xét một vài ví dụ về bài toán vật lý được giải quyết một cách đơn giản thông qua phép tính biến phân: 1. Trong số tất cả các đường thẳng nối giữa hai điểm cho trước A và B tìm đường có độ dài ngắn nhất, tức là tìm đường y = y(x) để cho phiếm hàm: b J y =  1  y2 dx a đạt cực tiểu. Đường phải tìm là đường thẳng nối A và B. Chứng minh: Ta mô tả bài toán bằng hình vẽ dưới đây: Hình 1: Một đường cong đơn giản. 6
Theo hình vẽ ta có: ds 2  dx 2  dy 2  1  y2  dx 2 , với y  dy . dx Để tìm đường nối hai điểm A và B, ta lấy tích phân ds từ cận a đến b, khi đó ta có biểu thức thể hiện chiều dài đường cần tìm là: b b J  y    ds   1  y2 dx. a a b Đặt F   1  y2 dx . a Áp dụng phương trình Euler có dạng: F d F   0. y dx y F F y Ta có:  0,  , nên: y y 1  y 2 d y 0 dx 1  y2 y   C  const , 1  y 2 C  y  A (trong đó A là một hằng số khác) 1 C2  y  Ax+B . Vậy đường có độ dài ngắn nhất nối hai điểm A và B là đường thẳng. 2. Giả sử cho A và B là hai điểm cố định. Thời gian để một chất điểm dưới tác dụng của trọng lực trượt dọc theo một đường nào đấy nối hai điểm khi đó sẽ phụ thuộc vào cách chọn điểm đó, tức là một phiếm hàm. Tìm đường cong để chất điểm trượt từ A đến B với thời gian là ngắn nhất (bỏ qua ma sát và lực cản). Đây là bài toán đoản thời do I. Bernoulli, J. Bernoulli, Newtơn và L’Hoopital giải quyết. Đường đoản thời là Cycloid. 7
Chứng minh: Hình 2: Một hạt trượt xuống một đường cong ma sát từ điểm O đến B. Chọn gốc tọa độ trùng với điểm A, A  0,0   O , hệ Oxy như hình vẽ. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta được: 2 1  ds  m    mgy  0 2  dt  ds   2 gy  v . dt Chúng ta xây dựng tích phân phù hợp và xét tổng thời gian thực hiện T như một hàm theo đường cong y: b T  y   dt x 0 ds ds mà v   dt  khi đó: dt v b ds T  y   . x 0 v Sử dụng công thức v  2 gy , ta được: b 1  y 2 T  y   dx . 0 2 gy Áp dụng phương trình Euler- Lagrange với: 1  y 2 F y 8
vì F không chứa x nên phương trình Euler- Lagrange có dạng: F F  y  c, y hay là: 1 1  y2 y  c dy 1  c2 y  y   dx c2 y c2 y  dx  dy . (1) 1  c2 y 1 Đặt: c2 y  1  cos  2 (2) 1  1  c2 y  1  cos  . (3) 2 Đạo hàm 2 vế phương trình (3) ta được: 1 dy  sin  d (4) 2c 2 1    dy  2 sin cos d . c 2 2 Thay (2), (3) và (4) vào (1) ta có: c2 y 1  cos 1   dx  dy  sin cos d 1 c y 2 1  cos c 2 2 2 1   2 sin 2 d c 2 1  dx  1  cos  d . (5) 2c 2 Lấy tích phân hai vế của (5) ta được: 1 2c 2  1  cos d   dx 1  1  cos   x  c (6) 2c 2 9
1 đường cong đi qua A(0,0). Khi x=0, y cũng phải bằng 0. Nhưng y  1  cos  2c 2 vì thế khi y = 0 thì  cũng phải bằng 0. Do đó, x    0 phải thỏa mãn phương trình trên và c  0 . Kết quả là, đường cong mà ta cần tìm dược xác định bởi phương trình tham số: 1 x   sin   2c 2 1 y 1  cos  2c 2 Đây chính là phương trình một đường Cycloid. Vậy đường đoản thời là đường Cycloid. [6] Hình 3: Đường Cycloid đi từ (0,0). 1.3 Phép tính biến phân và nguyên lý tác dụng tối thiểu Ta xét một số ứng dụng các kết quả đã nghiên cứu được của phép tính biến phân vào các bài toán cơ học của vật lý. Giả sử cho hệ n chất điểm với các khối lượng lần lượt , , …, và có tọa độ tương ứng , , ( i = 1, 2, …,n). Giả thiết rằng không có ràng buộc nào đặt lên hệ. Động năng của hệ bằng: T   mi  xi  y i  z i  n 2 2 2 (1.1) i 1 2 Giả thiết hệ có thế, nghĩa là tồn tại hàm lực U  t , xi , yi , zi  , (1.2) sao cho các thành phần lực tác dụng lên chất điểm thứ i bằng: 10
U U U Xi   , Yi   , Zi   . xi yi zi Gọi V = -U là thế năng của hệ, đại lượng L=T+U=T–V (1.3) gọi là hàm Lagrange của hệ cơ học đang xét. Rõ ràng L là hàm của tọa độ và vận tốc của chất điểm lập nên hệ và thời gian. Giả sử tại thời điểm t0 hệ ở vị trí xác định nào đấy. Sự tiến hóa của hệ đang xét theo thời gian mô tả bằng một đường cong nào đấy trong không gian 3n chiều được xác định bằng các phương trình: xi  xi  t  , yi  yi  t  , zi  zi  t  , ( i = 1,2,….,n). Trong số tất cả các đường đi qua điểm ban đầu, thì đường mô tả chuyển động thực của hệ đang xét dưới tác dụng của lực phải thỏa mãn điều kiện sau đây, được gọi là nguyên lý tác dụng tối thiểu. Chuyển động của hệ trong khoảng thời gian (t0, t1) được mô tả bằng các hàm xi(t), yi(t), zi(t), (i = 1, 2, …, n), các hàm này làm cực tiểu phiếm hàm t1 t1  L dt t0  T  V  . t0 (1.4) Biểu thức (1.4) được gọi là tác dụng theo Hamilton. Tiếp theo ta sẽ chỉ ra, nguyên lý này tương đương với các phương trình chuyển động thông thường của hệ n điểm. Nếu phiếm hàm (1.4) đạt cực tiểu thì các phương trình Euler phải được thỏa mãn: L d L   0, xi dt xi L d L   0, ( i =1,2,…,n). (1.5) yi dt yi L d L   0, zi dt zi Hàm lực U chỉ phụ thuộc vào xi, yi, zi (và không phụ thuộc vào ̇ , ̇ , ̇ ), còn T là tổng của bình phương vận tốc với hệ số , ta có thể viết hệ phương trình (1.5) dưới dạng: 11
U d  mi xi  0, xi dt U d  mi yi  0, yi dt U d  mi zi  0. zi dt U U U Vì , , là các thành phần của lực tác dụng lên chất điểm thứ i, cuối cùng xi yi zi ta được: mi xi  X i , mi yi  Yi , mi zi  Zi , đây là các phương trình chuyển động thông thường của hệ n chất điểm. Nguyên lý tác dụng tối thiểu cũng vẫn đúng trong trường hợp khi đặt lên một hệ một vài ràng buộc (liên kết). Trong trường hợp này các đường khả dĩ trên đó xác định phiếm hàm (1.4) phải thỏa mãn thêm các ràng buộc, tức là sử dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu vào hệ có liên kết dẫn đến bài toán biến phân cực trị có điều kiện. 12
Kết luận chương 1 Trong chương này, chúng tôi đã giới thiệu về cơ sở toán học của nguyên lý tác dụng tối thiểu với các nội dung cơ bản gồm: Khái niệm chung về phiếm hàm là cơ sở giúp chúng ta hiểu rõ hơn về phép tính biến phân, phương trình Euler, một số bài toán vật lý và cuối cùng là vận dụng phép tính biến phân để tìm hiểu về nguyên lý tác dụng tối thiểu. 13