intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 3: Một số phân phối xác suất thường dùng

Chia sẻ: Nguyen Duy Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST
Báo xấu
542
lượt xem 115
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo lý thuyết xác suất thống kê, chương 3 Một số phân phối xác suất thường dùng dành cho các bạn sinh viên,có đầy đủ các dạng bài tập giúp cho các bạn có thêm nhiều kiến thức giải các bài tập.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 3: Một số phân phối xác suất thường dùng

  1. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 67 Chương 3 M t s phân ph i xác su t thư ng dùng 1. P HÂN PH I NH TH C 1.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên r i r c X có phân ph i nh th c, v i các tham s n và p (n nguyên dương và 0 < p < 1 ), n u X có Im(X) = {0, 1, 2,…, n}; và v i m i k ∈ {0, 1, 2,…, n}, P(X = k ) = Cn p k (1 − p ) n − k k Ký hi u: X ~ B (n;p). Phân ph i B(1,p) còn ư c g i là Phân ph i Bernoulli v i tham s p, ký hi u: B (p). N u Z ~ B(p) thì Im(Z) = {0, 1}. P(Z = 0) = 1 − p và P(Z = 1) = p. Do ó, E(Z) = p và D(Z) = p(1 − p). 1.2. nh lý. Cho hai BNN X và Y c l p. N u X ~ B(n;p) và Y ~ B(m;p) thì BNN Z = X + Y tuân theo lu t phân ph i B(n + m; p). 1.3. H qu . (a) N u các bi n ng u nhiên X1, X2, . . . , Xn c l p, cùng có phân ph i B(p), thì bi n ng u nhiên X = X1 + X2 +....+ Xn có phân ph i B(n; p). (b) Gi s X ~ B(n,p). Chúng ta có th xem X = X1 + X2 +....+ Xn, trong ó, các bi n ng u nhiên Xk (k = 1, ..., n) c l p và có phân ph i B(p). V y, E(X) = np và D(X) = np(1 − p).
  2. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 68 Ngoài ra, Mod(X) = [(n + 1)p] (do 1.6.2) Mô hình. Trong quá trình B(n;p), n u X là bi n ng u nhiên ch s thành công thì X ~ B(n; p). 1.4. Thí d . M t công nhân qu n lý 12 máy d t. Các máy d t ho t ng c l p nhau, và xác su t m i máy, trong ca làm vi c, c n s chăm sóc c a công nhân (vi t t t là CCN) là 0,3. (1) Tính xác su t , trong ca làm vi c, có (a) 4 máy CCN (b) t 3 n 7 máy CCN (2) Trung bình, trong ca làm vi c, có bao nhiêu máy CCN? (3) Trong ca làm vi c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nh t; tính xác su t tương ng. Gi i. G i X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi c thì X ~ B(12; 0,3) P( X = k ) = C12 (0,3) k (0, 7)12 − k , k ∈ {0,1,2,…,12} k (1.a) Xác su t ph i tính: P( X = 4) = C12 (0, 3) 4 (0, 7)8 = 0,2311 4 (1.b) Xác su t ph i tính: 7 P(3 ≤ X ≤ 7) = ∑ P( X = k ) k =3 = 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. (2) S máy CCN trung bình: E(X) = 12 × 0,3 = 3,6. (3) S máy CCN nhi u kh năng nh t: Mod(X) = [13 × 0,3] = 3. Xác su t tương ng: P(X = 3) = 0,2397. Chú ý. Gi s X ~ B (n; p). Khi s phép th n khá l n, vi c tính các xác su t P(X = k) g p nhi u khó khăn. Ngoài ra, trong th c t , chúng ta thư ng ph i tính xác su t c a bi n c {α ≤ X ≤ β}: P(α ≤ X ≤ β) = Pn(α) + Pn(α + 1) + ... + Pn(β) T ng trên g m nhi u s h ng và vi c tính tr c ti p t ng ó qu là khó th c hi n. Do ó, ngư i ta ã tìm cách tính g n úng các xác su t trên khi s phép th n khá l n. Chúng ta tìm hi u cách tính g n úng phân ph i nh th c thông
  3. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 69 qua các nh lý mang tên các nhà toán h c Siméon D. Poisson (1781 - 1840), Abraham DeMoivre (1667 - 1745) và Pierre S. Laplace (1749 - 1827): 1.5. nh lý. ( De Moivre − Laplace a phương ). Gi s X ~ B (n, p). t q = 1 − p, khi ó:  1  ( k − np )2   lim  P ( X = k ) − .exp  − 1  = 0  2 π npq 2 npq   n→ ∞    1.6. nh lý. ( De Moivre − Laplace tích phân ). Gi s X ~ B(n, p). t q = 1 − p, khi ó v i m i s th c a và b (a < b):  b  ( x − np )2   lim  P (a ≤ X ≤ b) − n→ ∞  1 2π npq ∫ . exp  − 1  2 npq  dx  = 0     a Ch ng minh. ( nh lý 1.5): Theo công th c Stirling; khi n l n, 2π n . n n e− n p k q n − k P (X = k ) ~ 2π k k k e − k 2π ( n − k ) ( n − k ) n − k e − ( n − k ) k 1 n np nq n − k = ( ) ( ) 2π k (n − k ) k n−k k − np t: x= , chúng ta có: npq k q n−k p =1+ x; =1− x ; np np nq nq k = np + npqx và n − k = nq − npqx 2 Vì ln(1 + t) ~ t − t (t → 0) nên: 2 Khi n l n, −k  q  ln k( ) np = − k .ln  1 +  x np   q q 2 ~ − ( np + npq x )  x− x ;  np 2np  n − k − (n − k )   ln ( ) nq = − (n − k ).ln  1 −  p x nq 
  4. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 70  p p 2 ~ − ( nq − npq x )  − x− x   nq 2nq  Do ó, np k nq n − k x2 lim ln n →∞ ( )( ) k n−k =− 2 np k nq n − k  x2  và lim n→∞ k ( )( ) n−k = exp  −  2   Ngoài ra: lim n = lim n = lim 1 n →∞ k (n − k ) n →∞ np. nq n →∞ npq nên cu i cùng: 1  x2  1  ( k − np ) 2  P (X = k ) ~ exp  − = exp  −  2π npq 2  2π npq  2 npq      hay:  1  ( k − np )2   lim  P ( X = k ) − .exp  − 1  = 0  2π npq 2 npq   n→ ∞    Phép ch ng minh nh lý 1.6 ư c xem như bài t p. ■ 1.7. Chú ý. ý hai hàm xác nh trên như sau: (i) Hàm Gauss: 1  2 ϕ ( x) = exp  − x  v im ix∈ 2π  2  (ii) Hàm Φ: 1 x  t2  Φ ( x) = ∫ exp  − 2  dt 2π − ∞   v im ix∈ T k t qu c a các nh lý De Moivre - Laplace và s d ng hai hàm ϕ và Φ, chúng ta có công th c g n úng tính các xác su t trong phân ph i nh th c: N u X ~ B(n, p), v i n l n và p không quá g n 0 và không quá g n 1 ( n > 30, np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5 ), thì: ( q = 1 – p) 1  k − np  P ( X = k) ≈ ϕ  npq  npq   
  5. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 71  k − np   k − np  P ( k1 ≤ X ≤ k2 ) ≈ Φ  2  − Φ 1  npq   npq       Giá tr các hàm ϕ và Φ ã ư c tính s n và trình bày, theo th t , trên b ng 3 và b ng 4, ti n vi c tính toán. Hai công th c g n úng trên ư c g i là các công th c DeMoivre − Laplace. Chúng cho phép chúng ta tính x p x xác su t lu t nh th c khá chính xác khi n l n và p không quá g n 0 và không quá g n 1. Các s li u sau ây minh ho i u trên. Gi s X ~ B(n; 0,5). Ký hi u Pn(k) và Gn(k) l n lư t là giá tr úng và giá tr g n úng c a P(X = k), chúng ta có: n k Pn(k) Gn(k) Pn(k) − Gn(k) Pn(k) / Gn(k) 25 15 0,09742 0,09679 0,00063 1,0065 100 55 0,04847 0,04839 0,00008 1,0017 400 210 0,024207 0,024194 0,000013 1,0005 1156 595 0,014236 0,014234 0,000002 1,0001 1.8. Thí d . Ngư i ta mu n l y m t s h t lúa t m t kho lúa có t l h t lép là 0,2 ki m tra. Bi t r ng kho lúa có r t nhi u h t. (a) Ph i l y ít nh t bao nhiêu h t lúa xác su t có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ? (b) L y ng u nhiên 100 h t lúa, tính xác su t trong ó có 25 h t lép; có t 10 n 40 h t lép. Gi i. (a) G i n là s h t lúa c n l y. Vì s h t lúa trong kho r t l n, nên các l n l y xem như c l p. Xác su t trong n h t lúa l y ra, không có h t lép nào là (0,8)n. Theo gi thi t: ln (0,05) 1 − (0,8)n ≥ 0,95 ⇔ (0,8)n ≤ 0,05 ⇔ n ≥ ln (0,8) V y, ph i l y ít nh t 14 h t lúa. (b) G i X là bi n ng u nhiên ch s h t lép trong m u thì X ~ B(n;p), v i n = 100 và p = 0,2. Vì n > 30, np = 20 > 5 và n(1 − p) = 80 > 5 nên chúng ta có th áp d ng các công th c g n úng DeMoivre − Laplace. (i) Xác su t có 25 h t lép: P( X = 25) = C100 (0, 2) 25 (0,8)75 = 0,04388 25
  6. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 72 (ii) Xác su t có t 10 n 40 h t lép:  40 − 100 × 0,2   10 − 100 × 0,2  P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ Φ   − Φ  100 × 0,2 × 0,8   100 × 0,2 × 0,8    = Φ (5) − Φ ( −2,5) = 1 − (1 − Φ (2, 5)) = Φ (2, 5) P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 0,9938 1.9. Thí d . C n xét nghi m máu cho 5000 ngư i tìm d u hi u m t lo i b nh B t i m t a phương có t l ngư i m c b nh B theo th ng kê là 10%. Có 2 phương pháp: 1. Xét nghi m t ng ngư i m t. 2. M i l n l y máu m t nhóm 10 ngư i tr n l n vào nhau r i xét nghi m. N u k t qu âm tính thì thông qua, n u dương tính thì ph i làm thêm 10 xét nghi m xét nghi m l i t ng ngư i m t trong nhóm. H i phương pháp nào có l i hơn, bi t r ng m i xét nghi m u t n kém như nhau và kh năng m c b nh c a m i ngư i c l p nhau? Gi i. N u dùng phương pháp (1) thì ph i th c hi n 5000 xét nghi m. Bây gi chúng ta xem phương pháp (2): t X ch s nhóm có k t qu dương tính thì X ~ B (500; 1 − (0,9)10 ) t Y ch s xét nghi m theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10X. S xét nghi m trung bình theo phương pháp (2) là: E(Y) = 500 + 10E(X) = 500 + 5000(1 − (0,9)10 ) ≈ 3757. V y, áp d ng theo phương pháp (2) có l i hơn. 2. PHÂN PH I SIÊU HÌNH H C Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên r i r c X có phân ph i siêu hình h c (hay siêu b i) kích thư c N, v i các tham s nguyên dương T và n không l n hơn N n u X có Im(X) = ∩ [max(0, n -( N - T )],. . ., min(T , n)] , và v i m i k ∈ Im(X), k n−k CT . C N − T P( X = k ) = n CN Ký hi u: X ~ H(N, T, n). Kỳ v ng: E(X) = np;
  7. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 73 N −n Phương sai: D(X) = npq (v i p = T và q = 1 − p) N −1 N Chú ý: Khi N r t l n so v i n thì t s p= T ư c xem như xác su t N N − n cho thành công và t s ti n n 1. Khi ó, E(X) = np, D(X) = npq N −1 và chúng ta có th xem như X ~ B( n ; T ) . N 3. PHÂN PH I POISSON 3.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên r i r c X có phân ph i Poisson v i tham s λ (λ > 0) n u Im(X) = , và v i m i k ∈ , k P( X = k ) = λ . e −λ k! Ký hi u: X ~ Poisson(λ) Kỳ v ng: +∞ λ k e− λ +∞ λ k e − λ E(X ) = ∑ k =∑ k =0 k! k =1 ( k −1)! +∞ λ k −1 = λ e− λ ∑ =λ k =1 ( k −1)! Phương sai : D(X) = λ (xem như bài t p) Do ó, chúng ta có th vi t: X ~ Poisson(µ). Mô hình: Gi s chúng ta quan tâm n s l n x y ra c a m t s ki n A trong m t kho ng th i gian ho c không gian liên t c có chi u dài w; v i i u ki n là s l n x y ra trong nh ng kho ng không giao nhau là c l p nhau, và xác su t xu t hi n A nhi u hơn m t l n trong kho ng ó là r t bé. Hơn n a, “cư ng ” xu t hi n A là không thay i, i.e. s l n xu t hi n trung bình c a A trong m t kho ng ch ph thu c vào dài c a kho ng ó. V i các i u ki n trên, n u g i X là BNN ch s l n xu t hi n A trong m t kho ng chi u dài w thì ngư i ta ch ng minh ư c r ng X tuân theo ku t phân ph i Poisson v i tham s λ = mw, trong ó m là m t h ng s dương ch “cư ng ” xu t hi n c a A (xem ph n ch ng minh trong giáo trình Xác su t – Th ng kê dùng cho các l p chuyên ngành Toán c a cùng tác gi ). Thí d , s cu c i n tho i g i n trong m t phút t i m t tr m nào ó; s l i trên m t trang gi y trong m t quy n sách d y; s ơn t hàng g i t i m t cơ s trong m t tháng; . . . .
  8. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 74 Bi n ng u nhiên ch s l n xu t hi n nêu trên ã ư c nhà toán h c Simeon D. Poisson nghiên c u và hình thành phân ph i Poisson. Ngoài ra, phân ph i Poisson còn ư c dùng tính x p x phân ph i nh th c B(n;p) khi n l n và p khá g n 0 ho c g n 1, d a vào nh lý sau: 3.2. nh lý Poisson. Gi s trong m t dãy n phép th c l p, m t bi n c A xu t hi n v i xác su t pn trong m i phép th . N u khi n → ∞ mà pn → 0 sao cho n.pn = λ (λ là m t h ng s dương) thì v i m i k ∈ {0,1,2,…,n}, chúng ta có: k lim C k pn (1 − pn ) n − k = λ e−λ n k n→ ∞ k! Ch ng minh. n ( n −1)( n − 2)...( n − k + 1) λ k n−k Ck pn (1 − pn ) n − k = n k k! n( )( 1− λ n ) n−k k ( n )( n ) = λ 1 − 1 1 − 2 ... 1 − k! ( k −1 . 1− λ n )( ) n Do ó, k lim C k pn (1 − pn ) n − k = λ e−λ n k n→ ∞ k! H qu . N u X ~ B(n, p), v i n > 30 và (np < 5 hay n(1 − p) < 5)), thì chúng ta có th xem như X ~ Poisson(np). 3.3. nh lý. Cho hai BNN X và Y c l p. N u X ~ Poisson(µ) và Y ~ Poisson (λ) thì BNN X + Y ~ Poisson (µ + λ). Ch ng minh. V im ik∈ , k k P( X + Y = k ) = ∑ P ( X = i, Y = k − i ) = ∑ P( X = i).P( Y = k − i) i=0 i=0 k µi −λ λ k − i = ∑ e−µ i! .e ( k − i )! i=0 − (µ + λ ) k = e k! ∑ Ck µ i λ k − i i i =0 − (µ + λ ) = e (µ + λ ) k k! V y, X + Y ~ Poisson (µ + λ). 3.4. Thí d .
  9. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 75 3.4.1. M t cơ s s n xu t, trung bình trong m t tu n, nh n ư c 4 ơn t hàng. Bi t r ng s ơn t hàng X mà cơ s nh n ư c trong m t tu n là m t BNN có phân ph i Poisson. Tính xác su t cơ s ó (a) nh n ư c hơn 5 ơn t hàng trong m t tu n (b) nh n ư c 6 ơn t hàng trong hai tu n liên ti p Gi i. (a) X ~ Poisson(4). Xác su t ph i tính: P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5) 5 4k e− 4 = 1− ∑ k! k =0 = 1 − 0,7851 = 0,2149. (b) G i Y là BNN ch s ơn t hàng c a cơ s trong hai tu n liên ti p thì Y ~ Poisson(8). Xác su t ph i tính: 6 P(Y = 6) = 8 e − 8 = 0,1221 6! 3.4.2. M t xe t i v n chuy n 1000 chai rư u vào kho. Xác su t m i chai b v trong khi v n chuy n là 0,0035. Tính xác su t sau khi v n chuy n, có 6 chai rư u b v ; có t 2 n 8 chai rư u b v . (gi s r ng s ki n các chai rư u b v là c l p nhau, do ch t lư ng riêng c a m i chai) Gi i. G i X là BNN ch s chai rư u b v sau khi v n chuy n, thì X ~ B(1000; 0,0035). Xác su t có 6 chai rư u b v : P( X = 6) = C1000 (0, 0035)6 (0,9965)994 = 0, 07709 6 Tính g n úng: Vì n = 1000 và n.p = 3,5 < 5, nên có th xem: X ~ Poisson(3,5). Do ó: (3,5) 6 −3,5 P( X = 6) ≈ e = 0,0771 6! Xác su t có t 2 n 8 chai rư u b v 8 (3,5) k −3,5 P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ k! e = 0,8543 k =2
  10. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 76 4. PHÂN PH I CHU N 4.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X tuân theo lu t phân ph i chu n v i các tham s a và b2 (b > 0) n u X có hàm m t f ư c xác nh b i: x−a 2 f ( x) = 1 .e −1 2 ( ) b v im i x∈ b 2π Ký hi u: X ~ N(a, b2). • Kỳ v ng c a X: +∞ 1 .exp  − ( x − a )  dx 2 µ = E (X ) = ∫ x. b 2π  2b 2   −∞  +∞  2 = 1 2π ∫ (b t + a ) exp  − t  dt  2 −∞ +∞ +∞  t2   t2  ∫ t exp  − 2  dt + 2 π ∫ exp  − 2  dt = a = b a   2π −∞  −∞  • Phương sai c a X: +∞  ( x − µ )2  σ2 = D(X) = 1 . ∫ ( x − µ)2 . exp  −  dx b 2π  2b 2  −∞ +∞ b2 .  2 = t 2 .exp  − t  dt = b2. ∫ 2π −∞  2 V y, hai tham s a và b2 trong phân ph i N(a, b2), theo th t , là kỳ v ng và phương sai c a X. Do ó, h.m. . f c a BNN X ~ N(a, b2) có th ư c vi t dư i d ng: 2 f ( x) = 1 .exp  − ( x − µ )    v im ix∈ . σ 2π  2σ 2  và ký hi u: X ~ N(µ, σ2). • Trư ng h p c bi t: µ = 0 và σ = 1: Chúng ta có phân ph i N(0, 1). Hàm Gauss ϕ và Φ xác nh trong chú ý 3.1.7, theo th t , là hàm m t và hàm phân ph i c a N(0,1). th hàm m t f c a phân ph i N(µ, σ2):
  11. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 77 . σ=1 0.4 σ=2 0.2 µ 2 0 2 Hai d th hàm m t chu n v i th hàm m t chu n N(0,1) µ b ng nhau và σ khác nhau. ( Hàm Gauss ) X −µ N u X ~ N (µ, σ2) và t X* = thì X* ~ N(0, 1) σ V i α và β cho trư c (α ≤ β), chúng ta có:  α −µ β −µ   β −µ  α −µ P (α ≤ X ≤ β) = P  ≤ X* ≤  = Φ  − Φ .  σ σ   σ   σ  Trong nhi u v n k thu t, thư ng ph i tính xác su t m t bi n ng u nhiên X có phân ph i chu n N(µ, σ2) l y giá tr l ch kh i kỳ v ng µ không quá m t s dương α cho trư c: (σ) P ( X − µ ≤ α ) = 2Φ α − 1 c bi t : P ( X −µ ≤ σ ) = 2Φ (1) − 1 = 0,6826 P ( X −µ ≤ 2σ ) = 2Φ (2) − 1 = 0,9544 P ( X −µ ≤ 3σ ) = 2Φ (3) − 1 = 0,9974 ≈ 1 T ó, ngư i ta ưa ra " Qui t c 3σ ": N u X ~ N(µ,σ2) thì h u như ch c ch n X s l y giá tr trong kho ng [ µ − 3σ ; µ + 3σ ]. Nh qui t c 3σ, chúng ta có th bi t ngay m t cách h u như ch c ch n bi n ng u nhiên có phân ph i chu n nh n giá tr trong kho ng nào. 4.2. Thí d . 4.2.1. Th i gian s n xu t m t s n ph m lo i A là m t BNN tuân theo lu t phân ph i chu n v i các tham s µ = 10 và σ = 1 ( ơn v là phút) (a) Tính xác su t m t s n ph m lo i A nào ó ư c s n xu t trong kho ng th i gian t 9 phút n 12 phút. (b) Tính th i gian c n thi t s n xu t m t s n ph m lo i A b t kỳ. Gi i.
  12. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 78 G i X là BNN ch th i gian d s n xu t m t s n ph m lo i A , X ~ N(10; 1). (a) Xác su t ph i tính: P(9 ≤ X ≤ 12) = Φ ( 1 ) ( ) 12 − 10 −Φ 9 − 10 1 = Φ(2) – Φ(-1) = Φ(2) + Φ(1) –1 = 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185. (b) Theo qui t c 3σ, h u như ch c ch n X l y giá tr trong kho ng: [10 − 3 × 1; 10 + 3 × 1] = [7; 13] V y, th i gian c n thi t s n xu t m t s n ph m lo i A b t kỳ là t 7 phút n 13 phút (h u như ch c ch n). 4.2.2. Cho bi n ng u nhiên X tuân theo lu t phân ph i N(µ, σ2). Bi t r ng X l y giá tr nh hơn 60 v i xác su t 0,1003 và l y giá tr l n hơn 90 v i xác su t 0,0516, hãy tính µ và σ. Gi i. Theo gi thi t,  P( X < 60) = 0,1003  ⇔   ( σ )  Φ 60 − µ = 0,1003   P( X > 90) = 0, 0516 ( )  1 − Φ 90 − µ = 0, 0516   σ  ⇔  ( σ )  Φ µ − 60 = 0,8997   µ − 60 = 1, 28  σ ⇔    ( σ )  Φ 90 − µ = 0, 9484  90 − µ = 1, 64  σ V y, µ = 73,15 và σ = 10,27. 4.3. nh nghĩa. Gi sU ~ N(0,1). N u P(U < c) = α thì c ư c g i là Bách phân v m c α c a phân ph i chu n, ký hi u uα. V y, Φ( uα) = α. 4.4. Chú ý. Theo nh lý DeMoivre - Laplace, n u X ~ B(n, p) v i n khá l n và p không quá g n 0 và g n 1 (n > 30, np ≥ 5 và n(1 − p) ≥ 5) thì chúng ta có th xem như X ~ N (np, npq). Phân ph i chu n chi m v trí r t quan tr ng trong lý thuy t xác su t và th ng kê toán. Theo Borel, m t bi n ng u nhiên là k t qu c a nhi u nguyên nhân, m i nguyên nhân tác ng m t ít và không nguyên nhân nào là quy t nh, s theo lu t phân ph i chu n ho c ti m c n chu n. Ch ng h n:
  13. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 79 Các s o v c tính sinh h c như chi u cao, cân n ng, huy t áp,... h u như có phân ph i chu n; các sai s trong o lư ng v t lý; l c ch u nén c a m t thanh xà... cũng tuân theo lu t phân ph i chu n. Trong xã h i, s con trong m t gia ình, s l i t c h ng năm, s n lư ng m t v mùa trên m t ơn v di n tích... tuân theo lu t phân ph i chu n. 4.4. nh lý. Cho hai bi n ng u nhiên X và Y c l p. Khi ó, n u X ~ N (µ1 , σ1 ) và Y ~ N (µ 2 , σ2 ) thì bi n ng u nhiên k1X + k2Y tuân theo lu t 2 2 2 σ 2 + k 2 σ 2 ) , trong ó k và k là 2 h ng s th c. phân ph i N (k1µ1 + k2 µ 2 , k1 1 2 2 1 2 5. PHÂN PH I U 5.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i u trên o n [a, b] n u X có h.m. . f ư c xác nh b i: f (x) = 1 n ux ∈ [a, b] và f (x) = 0 nơi khác b−a Ký hi u: X ~ u [a, b ] . 5.2. nh lý. N u BNN X ~ u [a, b] thì X có kỳ v ng và phương sai l n lư t là: a +b ( b − a )2 E( X ) = và D( X ) = 2 12 Ch ng minh. b b x dx  2 a+b E( X ) = ∫ b−a = 1 x  b−a  2  a = 2 a Ph n ch ng minh D(X) dành cho b n c. ■ 6. PHÂN PH I χ2 6.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i χ2 v i n b c t do (n ∈ *) n u X có hàm m t f ư c xác nh trên b i:  1 n −1 − x  x 2 e 2 , víi x> 0 f ( x ) =  2n / 2 Γ ( n / 2 ) ,  0 , víi x≤0  trong ó, ký hi u Γ ch hàm Gamma. Ký hi u: X ~ χ2(n).
  14. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 80 nn = 2 =2 0.2 n=4 n = 10 0 5 10 15 th hàm m t c a phân ph i χ2 v i các b c t do khác nhau Gi s X ~ χ2(n), n u P(X < c) = α thì c ư c g i là Bách phân v m c α c a phân ph i χ2(n), ký hi u: χ2 (n) . α V y, P(X < χ2 (n) ) = α. α N u X ~ χ2(n) thì E(X) = n và D(X) = 2n. Chúng ta công nh n: 6.2. nh lý. Gi s các bi n ng u nhiên X1, X2, ... , Xn c l p và cùng có phân ph i chu n N(0,1). Khi ó, (a) Các BNN X i2 (i = 1,…, n) tuân theo lu t χ2(1); (b) BNN Q 2 = X1 + X 2 + . . . + X n tuân theo lu t χ2(n). 2 2 2 7. PHÂN PH I STUDENT 7.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i Student (hay phân ph i t ) v i n b c t do khi X có h.m. . f ư c xác nh b i:  n +1  n +1 Γ  −  2   x2  2 f ( x) = 1 + n  v im ix∈ n π Γ( n )   2 Ký hi u: X ~ Student (n) hay X ~ t(n).
  15. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 81 Gi s T ~ t(n); n u P(T < c) = α thì c ư c g i là Bách phân v m c α c a phân ph i t(n), ký hi u là t (n) . α V y, P(T < t (n) ) = α. α Chú ý r ng khi n khá l n (n > 150), t (n) có giá tr x p x b ng uα. Do ó, α chúng ta có th dùng uα. thay cho t (n) khi n > 150. α 0.4 0.4 0.4 0.2 0.2 0.2 0 00 th hàm m t c a phân ph i Student v i hai b c t do n khác nhau.( −− : n = 60; - - - : n = 2) Chúng ta công nh n : 7.2. nh lý. Cho các bi n ng u nhiên X và Y c l p. N u X~ N(0,1) và Y~χ 2(n) thì bi n ng u nhiên T= X Y /n tuân theo lu t phân ph i Student v i n b c t do. 8. PHÂN PH I FISHER − SNEDECOR 8.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng bi n ng u nhiên liên t c X có phân ph i Fisher v i n1 và n2 b c t do khi X có h.m. . f ư c xác nh b i:  Γ  n1 + n2  n1 n n1 + n2   2   n1  2 2 −1    1 n1 − 2  n n  x 1 + n x  , víi x > 0 f ( x) =  Γ  1  Γ  n2   2   2       2  2  0, víi x ≤ 0  Ký hi u: X ~ F(n1, n2). 8.2. nh lý. Gi s X và Y là các bi n ng u nhiên c l p. N u X ~ 2(n ) và Y ~ χ2(n ) thì bi n ng u nhiên χ 1 2 X / n1 F= Y / n2
  16. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 82 tuân theo lu t phân ph i Fisher v i n1 và n2 b c t do. 9. PHÂN PH I CHU N HAI CHI U 9.1. nh nghĩa. Ngư i ta nói r ng vectơ ng u nhiên (X,Y) phân ph i theo qui lu t chu n hai chi u v i các tham s µ1, µ2, σ1, σ2 và ρ (σ1 > 0, σ2 > 0, − 1 < ρ < 1) n u nó có hàm m t f xác nh trên 2 b i: f ( x, y ) = 1 e g ( x, y ) 2π σ1σ2 1 − ρ2 trong ó,  x − µ1 2 y − µ2 2  g ( x, y ) = −1 ( 2 )  σ1 2 (1 − ρ  ) − 2ρ σ1 ( x − µ1 . y − µ2 σ2 + )( ) ( σ2 ) (a) Hàm m t biên f1 c a X xác nh v i m i x ∈ b i: 2 − 1 +∞ x − µ1  2  σ1    f1( x) = ∫ f ( x, y ) dy = … = 1 σ1 2π e −∞ (b) Hàm m t biên f2 c a Y xác nh v i m i y ∈ b i: 2 − 1 +∞ y − µ2  2  σ2    f2 ( y) = ∫ f ( x, y ) dx = … = 1 σ2 2π e −∞ Như v y, 2 X ~ N ( µ1 , σ1 ) và Y ~ N ( µ 2 , σ2 ) 2 Ngoài ra, ngư i ta cũng ch ng minh ư c r ng ρ chính là H s tương quan c a X và Y và (ρ = 0 ⇔ X và Y c l p). Chúng ta công nh n nh lý sau: 9.2. nh lý. N u vectơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu n hai chi u thì v i m i s th c a và b, BNN Z = aX + bY tuân theo lu t phân ph i chu n.
  17. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 83 BÀI T P 3.1. Có 2 ki n hàng. Ki n th nh t có 10 s n ph m, trong ó có 8 s n ph m lo i A; ki n th hai có 8 s n ph m, trong ó có 5 s n ph m lo i A. L n u, l y ng u nhiên 2 s n ph m ki n th nh t b vào ki n th hai, sau ó l y ng u nhiên t ki n th hai ra 2 s n ph m. t X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong các s n ph m l y ra l n th nh t và l n th hai. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X và c a Y; tính E(X), D(X), E(Y) và D(Y). 3.2. M t ki n hàng ch a 8 s n ph m, trong ó có 3 s n ph m x u và 5 s n ph m t t. L y ng u nhiên t ki n hàng ra 4 s n ph m (không hoàn l i). (a) Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph m x u có trong 4 s n ph m l y ra, và tính xác su t trong ó có ít nh t 2 s n ph m t t. (b) em 4 s n ph m v a l y ra i bán. Bi t r ng bán m t s n ph m t t ư c l i 50 ngàn ng, và bán m t s n ph m x u b l 15 ngàn ng. Tính l i nhu n thu ư c trung bình và l ch chu n c a l i nhu n khi bán 4 s n ph m trên. 3.3. M t lô hàng có r t nhi u s n ph m, v i t l hàng gi là 30%. (a) L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph m, tính xác su t có nhi u nh t 2 s n ph m gi . (b) Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph m m t ki m tra cho n khi nào g p s n ph m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s s n ph m th t ã ki m tra; tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s s n ph m ã ki m tra. 3.4. Các khách hàng mua xe g n máy t i m t i lý, n u xe có s c k thu t thì ư c quy n tr l i xe trong vòng ba ngày sau khi mua và ư c l y l i nguyên s ti n mua xe. M i chi c xe b tr l i như th làm thi t h i cho i lý 250 (ngàn)VN . Có 50 xe v a ư c bán ra. Xác su t m t xe b tr l i là 0,1. (a) Tìm kỳ v ng và phương sai c a s xe b tr l i. Tính xác su t có nhi u nh t 2 xe b tr l i. (b) Tìm kỳ v ng và l ch chu n c a t ng thi t h i mà i lý ph i ch u do vi c tr l i xe. 3.5. M t thí sinh tên M tham d m t kỳ thi môn XSTK . M ph i làm m t thi tr c nghi m khách quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i gi i khác nhau, trong ó ch có m t l i gi i úng. M s ư c ch m u n u tr l i úng ít nh t 6 câu. (a) Gi s M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i gi i trong c 10 câu. Tính xác su t M thi u. H i M ph i d thi ít nh t m y l n xác su t có ít nh t m t l n thi u không nh hơn 97%?
  18. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 84 (b) Gi s M ch c ch n tr l i úng ư c 2 câu; còn các câu khác, M ch n ng u nhiên m t trong 4 l i gi i c a m i câu. Tính xác su t M thi r t. 3.6. Nhà máy d t mu n tuy n d ng ngư i bi t rành v m t lo i s i. Nhà máy th thách ngư i d tuy n 7 l n. M i l n nhà máy em ra 4 s i gi ng nhau, trong ó ch có m t s i th t và yêu c u ngư i này ch n ra s i th t. N u ch n úng ít nh t 6 l n thì ư c tuy n d ng. M t ngư i n xin tuy n d ng nói: "Ch c n nhìn qua là có th phân bi t s i th t hay gi v i xác su t 80% ". (a). N u ngư i này nói úng kh năng c a mình thì xác su t ư c tuy n d ng là bao nhiêu? (b). Tính xác su t ư c tuy n d ng trong trư ng h p, th t ra, ngư i này không bi t gì v s i c . 3.7. T l thu c h ng lô A là pA = 0,1; lô B là pB = 0,08 và lô C là pC = 0,15. Gi s m i lô có r t nhi u chai thu c. (a) L y 3 chai lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. Ph i l y bao nhiêu chai ( lô A) xác su t có ít nh t m t chai h ng không nh hơn 94% ? (b) Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ó ra 3 chai. Tính xác su t có ít nh t 1 chai h ng. (c) L y m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t r i tính kỳ v ng và phương sai c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. (d) M t c a hàng nh n v 500 chai lô A, 300 chai lô B và 200 chai lô C r i l n l n. M t ngư i n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ư c chai t t. 3.8. Gi s ngày sinh c a m i ngư i dân trong m t thành ph l n có th rơi ng u nhiên vào m t ngày b t kỳ trong năm (365 ngày). Ch n ng u nhiên 1095 ngư i trong thành ph ó. Tính xác su t (a) có hai ngư i có cùng ngày sinh ã cho; (b) có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ã cho. 3.9. (a) Cho ba bi n ng u nhiên c l p X,Y và Z. Gi s : X ~ B(24; 0,1); Y ~ B(9; 0,1) và Z ~ B(17; 0,1) Hãy tính: P(X + Y + Z = 4). (b) Cho hai BNN X và Y c l p. Gi s X ~ Poisson(λ) và Y ~ Poisson(µ) Hãy tính xác su t P(X = k/X + Y = n), trong ó 0 ≤ k ≤ n. (c) Cho hai BNN X và Y c l p; X ~ N (7; (1, 2) 2 ) và Y ~ N (5; (0,9) 2 ) . Tính P(X + Y < 9,5); P(X ≤ Y) và P(X > 2Y).
  19. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 85 3.10. M t tr m bưu i n chuy n i n trong kho ng th i gian 10−5 giây. Trong quá trình ánh i n có các ti ng n ng u nhiên. S tín hi u n ng u nhiên trung bình trong 1 giây là 104. N u trong th i gian truy n tin có dù ch m t tín hi u n ng u nhiên thì tr m ng ng làm vi c. Tính xác su t cho vi c truy n tin b gián o n, bi t r ng s các tín hi u n ng u nhiên rơi vào máy trong kho ng th i gian truy n tin là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i Poisson. 3.11. S l i trên m t mét vuông v i là m t BNN tuân theo lu t phân ph i Poisson. Ki m tr m lô v i, ngư i ta th y 98% có l i. V y, trung bình m i mét vuông v i có bao nhiêu l i? 3.12. M t công ty cho thuê xe taxi có 4 chi c taxi. Hàng ngày, công ty ph i n p thu 8 USD cho m t chi c xe (dù xe có ư c thuê hay không). M i chi c xe ư c cho thuê v i giá 20USD. Gi s s xe có nhu c u thuê trong m t ngày c a công ty là m t BNN tuân theo lu t phân ph i Poisson v i kỳ v ng b ng 2,8. (a) Hãy tìm lu t phân ph i xác su t cho l i nhu n và tìm l i nhu n trung bình hàng ngày c a công ty. (b) Tính xác su t công ty không xe áp ng ư c nhu c u c a khách hàng. (c) Công ty c n bao nhiêu xe taxi xác su t không áp ng ư c nhu c u bé hơn 2% ? 3.13. M t phân xư ng có 12 máy: 5 máy lo i A, 4 máy lo i B và 3 máy lo i C. Xác su t s n xu t ư c s n ph m t tiêu chu n c a máy lo i A, lo i B và lo i C, theo th t , là 98%, 96% và 90%. (a) Ch n ng u nhiên m t máy và cho máy ó s n xu t 3 s n ph m. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph m t tiêu chu n trong s 3 s n ph m do máy ó s n xu t ra. (b) Gi s 3 s n ph m do máy ư c ch n s n xu t ra u t tiêu chu n. N u cho máy ó s n xu t ti p 3 s n ph m n a, thì xác su t 3s n ph m này u t tiêu chu n b ng bao nhiêu? 3.14. Có hai máy ho t ng c l p. T l s n xu t ra s n ph m lo i A c a máy I là 80%, còn t l này c a máy II là 60%. Cho máy I s n xu t 3 s n ph m, máy II s n xu t 2 s n ph m. (a) Tính xác su t có ít nh t 4 s n ph m lo i A có trong 5 s n ph m do 2 máy s n xu t. (b) Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph m lo i A có trong 5 s n ph m do 2 máy s n xu t. 3.15. M t xí nghi p có 2 máy I và II. Trong ngày h i thi, m i công nhân d thi s ch n ng u nhiên m t máy và v i máy ó s n xu t 100 s n ph m. N u s s n ph m lo i t t s n xu t ư c không ít hơn 70 thì ư c thư ng. Gi s v i m t
  20. Chng 3 M TS PHÂN PH I TH NG DÙNG 86 công nhân A, xác su t s n xu t ư c s n ph m lo i t t v i hai máy l n lư t là 65% và 70%. (a) Tính xác su t công nhân A ư c thư ng. (b) Gi s A d thi 20 l n. S l n ư c thư ng có nhi u kh năng nh t là bao nhiêu? (c) Công nhân A ph i d thi ít nh t bao nhiêu l n xác su t có ít nh t m t l n ư c thư ng không nh hơn 95%? 3.16. M t lô hàng (r t nhi u s n ph m) có t l ph ph m là 3%. Theo h p ng gi a hai bên: N u l y ng u nhiên ra 100 s n ph m ki m tra mà có không quá 3 ph ph m thì bên mua ch p nh n mua lô hàng. (a) Tính xác su t lô hàng b tr l i. (b) N u trong 100 s n ph m có không quá 1 ph ph m thì lô hàng ư c x p lo i A, n u có t 2 n 3 ph ph m thì lô hàng ư c x p lo i B. Tính xác su t lô hàng trên ư c x p lo i A; x p lo i B. (c) Giá c a c lô lo i A là 100 tri u ng, c a c lô lo i B là 92 tri u ng; trư ng h p b tr l i ư c coi như giá bán là − 0,8 tri u ng (chi phí v n chuy n). Tìm s ti n trung bình mà bên bán thu ư c t lô hàng trên trư c khi bên mua ki m tra và quy t nh. 3.17. M t h p ng 10 l thu c, trong ó có 2 l h ng. (a) L y ng u nhiên t h p ra 4 l cùng m t lúc. G i X là bi n ng u nhiên ch s l thu c b h ng trong 4 l l y ra. Hãy tìm phân ph i xác su t c a X và tính E(X). (b) C n ph i l y bao nhiêu l cho, v i xác su t b ng 5/9, trong s ó có úng m t l b h ng? (c) Sau khi l y 4 l ra ki m tra, ngư i ta thay vào b ng 4 l thu c t t ( m i l vào m t v trí b t kỳ trong h p). M t ngư i khác l y ng u nhiên t h p ra 1 l . Tính xác su t l ó là l t t. 3.18. M t h p có 10 s n ph m. Các s n ph m trong h p g m 2 lo i: lo i A và lo i B. G i X là bi n ng u nhiên ch s s n ph m lo i A có trong h p. Cho bi t phân ph i xác su t c a X như sau: xi 1 2 3 P(X = xi) 0,2 0,5 0,3 L y ng u nhiên t h p ra 3 s n ph m (không hoàn l i). t Y bi u th s s n ph m lo i A có trong 3 s n ph m l y ra. (a) Tìm lu t phân ph i xác su t c a Y. (b) Tính E(Y) và D(Y). 3.19. Gi s X là bi n ng u nhiên có phân ph i N(0, 1). Tính:
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2