Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng cung cấp cho người học các kiến thức về các phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục, phép toán trên các phân phối. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thống kê toán - Chương 3: Các phân phối xác suất thông dụng

CHÖÔNG 3 Caùc phaân phoái xaùc suaát thoâng duïng 1. Caùc phaân phoái cuûa ÑLNN rôøi raïc 1.1 Phaân phoái Nhò thöùc 1.1.1 Ñònh nghóa vaø caùc soá ñaëc tröng Trong moät pheùp thöû, bieán coá A xaûy ra vôùi xaùc suaát p. Thöïc hieän pheùp thöû n laàn ñoäc laäp. Goïi X laø soá laàn bieán coá A xaûy ra thì X laø ÑLNN. Theo coâng thöùc Nhò thöùc: =k) = Ckn pk q n − k P(X=
ÑLNN X coù phaân phoái xaùc suaát nhö treân ñöôïc ñöôïc goïi laø ÑLNN coù phaân phoái Nhò thöùc, kyù hieäu X ~ B(n, p). Giaù trò cuûa X laø 0, 1, ..., n. Ñaët q = 1–p. Ta tính ñöôïc: E(X) = np Var(X) = npq (n+1)p – 1 ≤ Mod(X) ≤ (n+1)p Excel Pk = P(X=k) =BINOMDIST(k, n, p, 0) P(X ≤ k) =BINOMDIST(k, n, p, 1)
Ví duï (1) Laáy ngaãu nhieân coù hoaøn laïi 10 saûn phaåm töø loâ haøng coù 80% chính phaåm. Tính xaùc suaát coù 8 chính phaåm. Bieán coá "laáy ñöôïc chính phaåm" coù xaùc suaát p = 80%. Soá laàn laëp laïi pheùp thöû laø n = 10. Goïi X laø soá chính phaåm ñeám ñöôïc thì X ~ B(10; 80%). Xaùc suaát caàn tính laø P(X=8). Theo coâng thöùc: P(X=8) = C10 8 (0,8)8(0,2)2 ≈ 30% =BINOMDIST(8, 10, 80%, 0)
(2) Cho X~B(79; 75%), Y~B(30; 25%). Tính Mod(X), Mod(Y). Löu yù Mod(X), Mod(Y) ñeàu laø soá nguyeân, ta coù: 59 ≤ Mod(X) ≤ 60 ⇒ Mod(X) = 59 hay Mod(X) = 60 6,75 ≤ Mod(Y) ≤ 7,75 ⇒ Mod(Y) = 7 (3) Moät xaï thuû baén truùng bia vôùi xaùc suaát 20%. Tính xaùc suaát xaï thuû naøy baén vaøo bia 5 phaùt thì coù khoâng quaù 2 phaùt truùng bia.
1.1.2 Xaáp xæ Nhò thöùc bôûi phaân phoái Chuaån Xeùt B(n, p). Neáu n ñuû lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 hay 1 thì phaân phoái Nhò thöùc ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Chuaån coù cuøng kyø voïng vaø phöông sai: B(n, p) ≈ N(np, npq) Ta cuõng coù coâng thöùc tính gaàn ñuùng: 1 k − np P(X = k) ≈ ϕ( ) npq npq =NORMDIST(k, n*p, (n*p*q)^.5, 0) b − np a − np P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ( ) − Φ( ) npq npq 1 2 Trong ñoù ϕ laø haøm Gauss ϕ(z) = e− z /2 . 2π
Ghi chuù "n ñuû lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 hay 1" nghóa laø p ≥ 10%, q ≥ 10%, np > 5 vaø nq > 5.
Ví duï Xaùc suaát chöõa khoûi beänh cuûa moät loaïi thuoác laø 80%. Coù 1.000 ngöôøi duøng thuoác naøy. Tính xaùc suaát coù ít ra 790 ngöôøi khoûi beänh. Bieán coá "moät ngöôøi khoûi beänh sau khi duøng thuoác" coù xaùc suaát p = 85%. Soá ngöôøi duøng thuoác laø n = 1.000. Goïi X laø soá ngöôøi khoûi beänh sau khi duøng thuoác thì X~B(1.000; 80%). Xaùc suaát caàn tính laø P(X ≥ 790). Do n ñuû lôùn vaø p khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân B(1.000; 80%) ≈ N(800, 160). 790 − 800 P(X ≥ 790) ≈ 0,5 – Φ ( ) = 0,5 + Φ(0,79) ≈ 79% 160 =1–NORMDIST(790, 800, 160^.5, 1)
1.2 Phaân phoái Poisson 1.2.1 Ñònh nghóa vaø caùc soá ñaëc tröng ÑLNN rôøi raïc X nhaän caùc giaù trò 0, 1, ... vôùi P(X=k) ñònh bôûi coâng thöùc sau goïi laø ÑLNN coù phaân phoái Poisson vôùi tham soá λ (λ > 0), kyù hieäu X ~ P(λ): λ k −λ P(X=k) = e k! Ta tính ñöôïc: E(X) = λ Var(X) = λ λ – 1 ≤ Mod(X) ≤ λ Excel P(X=k) =POISSON(k, λ, 0) P(X ≤ k) =POISSON(k, λ, 1) Ghi chuù Khi λ > 10 thì P(λ) ≈ N(λ, λ).
1.2.2 Xaáp xæ Nhò thöùc bôûi phaân phoái Poisson Xeùt ÑLNN B(n, p). Neáu n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû thì phaân phoái Nhò thöùc ñöôïc xaáp xæ bôûi phaân phoái Poisson coù cuøng kyø voïng: B(n, p) ≈ P(np) Ghi chuù "n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû" nghóa laø n ≥ 20 vaø p ≤ 5%. Ñieàu kieän khaùc laø n ≥ 30, p ≤ 10% vaø np < 10. Xaáp xæ seõ toát hôn neáu n ≥ 100 vaø np < 10.
Ví duï (1) Xaùc suaát bò ñöùt trong 1 giôø hoaït ñoäng cuûa moät oáng sôïi laø 0,2%. Moät maùy deät coù 1.000 oáng sôïi. Tính xaùc suaát trong 1 giôø hoaït ñoäng cuûa maùy deät coù nhieàu hôn 2 oáng sôïi bò ñöùt. Bieán coá "oáng sôïi bò ñöùt" coù xaùc suaát p = 0,2%. Goïi X laø soá oáng sôïi bò ñöùt trong soá n = 1.000 oáng sôïi thì X~B(1.000, 0,2%). Xaùc suaát caàn tính laø P(X > 2). Do n ñuû lôùn vaø p ñuû nhoû neân ta xaáp xæ X bôûi P(λ) vôùi λ = 1.000×0,2% = 2. Ta coù: P(X > 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2) 20 −2 21 −2 22 −2 =1– e – e – e = 1 – e–2(1+2+2) ≈ 32% 0! 1! 2! =1−POISSON(2, 2, 1)
(2) Moät coäng ñoàng coù khoaûng 2% ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi. Coäng ñoàng hieän coù 1.000 ngöôøi. a) Tính trung bình coäng ñoàng coù bao nhieâu ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi? b) Tính xaùc suaát coäng ñoàng coù ñuùng 20 ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi. c) Tính xaùc suaát coäng ñoàng coù hôn 20 ngöôøi soáng ñeán 90 tuoåi. (3) Trung bình moät ngaøy baõi giöõ xe nhaän 600 xe. Tính xaùc suaát ngaøy mai coù 700 xe ñöôïc gôûi taïi baõi giöõ xe naøy.
1.3 Phaân phoái Sieâu boäi 1.3.1 Ñònh nghóa vaø caùc soá ñaëc tröng Xeùt taäp hôïp goàm N phaàn töû trong ñoù coù M phaàn töû coù tính chaát toát. Goïi X laø soá phaàn töû coù tính chaát toát coù ñöôïc khi laáy ngaãu nhieân n phaàn töû. Xeùt k laø moät soá nguyeân töø max(0, n+M–N) ñeán min(M, n). Theo coâng thöùc Sieâu boäi ta coù: CkM .CnN−−kM =k) = P(X= =HYPGEOMDIST(k, n, M, N) CnN X ñöôïc goïi laø ÑLNN coù phaân phoái Sieâu boäi, kyù hieäu X ~ H(N, M, n). Ñaët p = M/N vaø q = 1 – p. Ta tính ñöôïc:
N−n E(X) = np Var(X) = npq N−1  (n + 1)(M + 1)  Mod(X) =    N+2 
Ví duï (1) Moät coâng ty coù 10 chieác xe trong ñoù coù 3 chieác Lexus. Ñieàu ngaãu nhieân 4 chieác xe ñeå ñi coâng taùc. Tính xaùc suaát trong caùc xe ñoù coù 1 chieác Lexus. Moâ hình Sieâu boäi. N = 10 M=3 n=4 Goïi X laø soá xe Lexus coù trong caùc xe ñöôïc ñieàu thì X~H(10, 3, 4). Caàn tính laø P(X=1). C13 .C73 P(X=1) = 4 = 50% =HYPGEOMDIST(1, 4, 3, 10) C10
(2) Moät lôùp 70 sinh vieân trong ñoù coù 40 sinh vieân gioûi Toaùn. Choïn ngaãu nhieân 10 sinh vieân. Tính xaùc suaát coù ít ra laø 3 sinh vieân gioûi Toaùn.
1.3.2 Xaáp xæ Sieâu boäi bôûi phaân phoái Nhò thöùc Neáu n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1 thì ta coù xaáp xæ: M H(N, M, n) ≈ B(n, ) N Ghi chuù "n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1" nghóa laø 20n < N, 20n < M vaø 10% ≤ p ≤ 90%. * Khi n ñuû nhoû so vôùi N thì vieäc laáy ngaãu nhieân coù hoaøn laïi hoaëc khoâng hoaøn laïi laø gaàn nhö nhau.
Ví duï (1) Loâ haøng goàm 10.000 saûn phaåm trong soá coù 9.000 chính phaåm. Laáy ra 10 saûn phaåm. Tính xaùc suaát trong caùc saûn phaåm naøy coù 9 chính phaåm. Moâ hình Sieâu boäi. Goïi X laø soá chính phaåm coù trong 10 saûn phaåm laáy ra thì X ~ H(1.000, 900, 10). Caàn tính P(X=9). Vì n ñuû nhoû so vôùi N, M vaø p = M/N khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân: H(1.000, 900, 10) ≈ B(10, 900/1.000) = B(10, 90%) Vaäy: 9 P(X=9) = C10 .(90%)9.(10%)1 ≈ 39% =BINOMDIST(9, 10, 90%, 0)
(2) Tyû leä pheá phaåm cuûa nhaø maùy laø 90%. Khaùch haøng laáy 100 saûn phaåm ñeå kieåm tra vaø neáu thaáy coù ít ra laø 93 chính phaåm thì ñoàng yù mua saûn phaåm cuûa nhaø maùy. Tính xaùc suaát khaùch haøng ñoàng yù mua. Goïi N, M laø toång soá saûn phaåm, chính phaåm cuûa nhaø maùy, X laø soá chính phaåm coù trong 100 saûn phaåm laáy ra kieåm tra thì X ~ H(N, M, 100). Caàn tính P(X ≥ 93). Do soá saûn phaåm laáy ra kieåm tra ñuû nhoû so vôùi soá saûn phaåm cuõng nhö soá chính phaåm cuûa nhaø maùy vaø tyû chính phaåm M/N = 90% khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân: H(N, M, 100) ≈ B(100, 90%) Laïi do n = 100 ñuû lôùn vaø p = 90% khoâng quaù gaàn 0 hay 1 neân B(100, 90%) ≈ N(90, 9). Vaäy:
93 − 90 P(X ≥ 93) = 0,5 – Φ ( ) = 0,5 – Φ(1) ≈ 15,87% 9 =1–NORMDIST(93, 90, 9^.5, 1) Xaùc suaát khaùch haøng ñoàng yù mua saûn phaåm cuûa nhaø maùy laø 15,87%.
2. Caùc phaân phoái cuûa ÑLNN lieân tuïc 2.1 Phaân phoái Chuaån Theo Liapunov, moät ÑLNN X laø toång cuûa moät soá lôùn caùc ÑLNN ñoäc laäp vaø moãi giaù trò cuûa ÑLNN thaønh phaàn coù vai troø raát nhoû trong toång thì X seõ laø moät ÑLNN coù quy luaät phaân phoái Chuaån. Xeùt Z ~ N(0; 1), ta coù P(–zα/2 < Z < zα/2) = 1–α. Laáy α = 5% thì P(–1,96 < Z < 1,96) = 95%. Ñieàu naøy chöùng toû moät ÑLNN coù phaân phoái Chuaån Chính taéc thì 95% giaù trò cuûa noù ñeàu naèm trong khoaûng (–1,96; 1,96). Noùi theo nguyeân lyù Xaùc suaát Lôùn thì haàu heát giaù trò cuûa phaân phoái Chuaån Chính taéc ñeàu naèm trong khoaûng (–1,96; 1,96).