Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 cung cấp cho người học những kiến thức như: Quy luật phân phối nhị thức; Quy luật phân phối Poisson; Quy luật phân phối chuẩn; Quy luật phân phối khi bình phương;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 3 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chương 3. Một số QLPP xác suất quan trọng 3.1 Quy luật phân phối nhị thức Dãy phép thử Bernoulli • Thực hiện lặp lại nhiều lần một phép thử và các phép thử độc lập với nhau, ta có dãy các phép thử độc lập.
• Cho một dãy các phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có một trong hai trường hợp hoặc A xảy ra hoặc A không xảy ra. -Xác suất để xảy ra biến cố A là không đổi và bằng p. -Xác xuất để không xảy ra biến cố A bằng 1-p. • Dãy phép thử trên gọi là dãy phép thử Bernoulli. Bài toán thỏa mãn các yêu cầu trên đgl tuân theo lược đồ Bernoulli.
• Gọi 𝑋 là số lần biến cố 𝐴 xuất hiện trong dãy n phép thử Bernoulli. Khi đó 𝑋 là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị 0,1,2,..,n với các xác suất tương ứng: 𝑝𝑛 𝑘 = 𝑃 𝑋 = 𝑘 = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑘 𝑞𝑛−𝑘 (𝑞 = 1 − 𝑝; 𝑘 = 0,1,2, . . , 𝑛) • ĐLNN rời rạc 𝑋 có phân phối như trên được gọi là tuân theo quy luật nhị thức với các tham số 𝑛 và 𝑝, ký hiệu 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝).
Ví dụ: Thống kê cho thấy tỉ lệ người dùng điện thoại Iphone là 30%. Tìm xác xuất để khi phỏng vẫn ngẫu nhiên 4 người thì có đúng 1 người dùng điện thoại Iphone?
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP NHỊ THỨC • E(X) = np • Var(X) = npq • (n+1).p – 1 ≤ Mod(X) ≤ (n+1).p
Ví dụ: Một phân xưởng có 5 máy hoạt động độc lập nhau, xác suất để mỗi máy bị hỏng trong khoảng thời gian T là 0,1. Tìm xác suất để trong khoảng thời gian T: a) Có 2 máy bị hỏng. b) Có không quá một máy bị hỏng. c) Gọi 𝑋 là số máy bị hỏng trong khoảng thời gian T. Tìm 𝐸 𝑋 , 𝑉𝑎𝑟 𝑋 , 𝑀𝑜𝑑 𝑋 .
TH đặc biệt: Khi số phép thử n=1, tức là ta chỉ thực hiện duy nhất 1 phép thử, trong đó xác suất để biến cố A xuất hiện là 𝑝, và không xuất hiện là 𝑞 = 1 − 𝑝. ĐLNN 𝑋 chỉ số lần xuất hiện của biến cố A tuân theo QLPP 𝐵(1, 𝑝), có bảng phân phối như sau: X 0 1 P q p • Luật phân phối 𝐵(1, 𝑝) còn được gọi là luật phân phối xác suất không-một, và kí hiệu là 𝐴(𝑝). • Khi đó: 𝐸 𝑋 = 𝑝; 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝𝑞.
3.2. Quy luật phân phối Poisson Định nghĩa: ĐLNN rời rạc X đgl có phân phối Poisson với tham số 𝜆, ký hiệu là 𝑋~𝑃(𝜆), nếu nó nhận các giá trị có thể 0,1,2, . . với các xác suất như sau: 𝑒 −𝜆 𝜆𝑘 𝑝 𝑘 =𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑘! Áp dụng: ĐLNN 𝑋 chỉ số lần xuất hiện biến cố 𝐴 trong khoảng thời gian 𝑇 thì 𝑋 có phân phối Poisson.
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP POISSON • 𝐸 𝑋 = λ. • 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆. • 𝜆 − 1 ≤ 𝑀𝑜𝑑 𝑋 ≤ 𝜆.
Ví dụ: Người ta thống kê số lượng khách hàng vào một siêu thị thấy trung bình mỗi phút có 1 khách hàng. Tìm xác suất để trong vòng 5 phút có 3 khách hàng vào siêu thị. Biết số lượng khách vào siêu thị trong 5 phút là một ĐLNN tuân theo quy luật phân phối Poisson.
Mối liên hệ giữa phân phối Nhị thức và phân phối Poisson: Định lý: Nếu 𝑋~𝐵 𝑛, 𝑝 với 𝑛 khá lớn, 𝑝 khá bé (𝑛𝑝 ≈ 𝑛𝑝𝑞) thì 𝑋 ≃ 𝑃(𝜆) với 𝜆 = 𝑛𝑝.
Ví dụ: (Bài 3.27). Tỉ lệ hạt lép của một lô thóc giống là 3%. a. Cần phải chọn ra ít nhất bao nhiêu hạt để xác suất có ít nhất 1 hạt lép không nhỏ hơn 95%? b. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1000 hạt có từ 3 đến 5 hạt lép. c. Chọn ngẫu nhiên ra 1000 hạt giống thấy có không quá 3 hạt lép. Tìm xác suất để trong 1000 hạt chọn ra có đúng 3 hạt lép.
3.2. Quy luật phân phối chuẩn Định nghĩa: ĐLNN liên tục X nhận các giá trị trên ℝ được gọi là có phân phối chuẩn với tham số μ và σ > 0, ký hiệu là 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: ( x− )2 1 − f ( x) = e 2 2  2 Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X có phân phối chuẩn là: x (t −  )2 1 − F ( x) =  2 e − 2 2 dt
Đồ thị của f(x) có dạng hình chuông, đối xứng qua đường thẳng x =  và nhận Ox làm đường tiệm cận ngang.
Ví dụ: PP chuẩn là PP quan trọng bậc nhất và thường xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực đời sống.
CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA PP CHUẨN • 𝐸 𝑋 = 𝜇. Hàm 𝑓 có trục đối xứng 𝑥 = 𝜇. • 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎 2 . • 𝑀𝑜𝑑 𝑋 = 𝜇. Hàm 𝑓 đạt cực đại tại 𝑥 = 𝜇.
• Nếu X~N(μ, σ2) với μ = 0 và σ = 1 ta nói X có quy luật phân phối chuẩn hóa N(0,1) và hàm mật độ xác suất có dạng (hàm Gauss): x2 1 −  ( x) = e 2 2
• Nếu X~N(μ, σ2), ta có: X -μ U= ~ N ( 0;1) σ Phép biến đổi trên được gọi là chuẩn hóa đại lượng ngẫu nhiên.
Công thức tính 𝑷 𝒂 < 𝑿 < 𝒃 của ĐLNN 𝑿~𝑵(𝝁, 𝝈𝟐 ) b−  a−  P ( a  X  b) =   −         x t2 1 − • Trong đó: ( x) = 2 e 0 2 dt Hàm Laplace • Tính chất: ( − x) = − ( x) Khi x > 5 ta lấy Φ 𝑥 ≈ 0,5