intTypePromotion=1

Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Chia sẻ: Nguyen Duy Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

0
197
lượt xem
44
download

Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 2: Biến ngẫu nhiên

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho sinh viên học môn xác suất thống kê, trong tài liệu này các bạn sẽ được tiếp xúc với các công thức cơ bản của biến ngẫu nhiên. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết xác suất thống kế (Phạm Đức Thông) - Chương 2: Biến ngẫu nhiên

  1. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 33 Chương 2 Bi n ng u nhiên 1. KHÁI NI M BI N NG U NHIÊN Như chúng ta ã bi t, m t không gian m u M có th ư c mô t không thu n l i n u nh ng ph n t c a M không ph i là các con s . ti n l i trong vi c mô t , gi i toán và ưa vào m t s khái ni m m i, ngư i ta s tìm m t qui t c, theo ó, m i ph n t m thu c M có th ư c bi u di n b i m t s th c x tương ng. Ý tư ng này d n n khái ni m Bi n ng u nhiên. 1.1. nh nghĩa. Cho trư c không gian xác su t M. M t hàm X: M → sao cho v i m i kho ng K trong , t p h p {m ∈ M / X(m) ∈ K} là m t bi n c c a M, ư c g i là m t Bi n ng u nhiên ( vi t t t là BNN ) trên M. Mi n giá tr c a X ư c ký hi u là Im(X), i.e. Im(X) = {x ∈ / ∃m ∈ M, X(m) = x}. • ơn gi n cách vi t, bi n c {m ∈ M / X(m) ∈ K} ư c vi t là {X ∈ K}. c bi t, v i các s th c a và b, các bi n c : {m ∈ M / X(m) = a}; {m ∈ M / X(m) < a}; {m ∈ M / a ≤ X(m) ≤ b}; {m ∈ M / X(m) ≥ b}; … l n lư t ư c vi t là {X = a}; {X < a}; {a ≤ X ≤ b}; {X ≥ b}; … Các xác su t P({X = a}); P({X < a}); P({a ≤ X ≤ b})… ư c vi t g n là P(X = a); P(X < a); P(a ≤ X ≤ b) … D a vào các tính ch t c a hàm th c, chúng ta có: 1.2. nh lý. Gi s X và Y là các BNN trên cùng m t không gian xác su t M; a và b là các h ng s th c; khi ó, các hàm aX + bY, XY, max(X, Y), min(X,Y) và X/Y (v i Y ≠ 0) cũng là các BNN trên M. Ngoài ra, n u ϕ là m t hàm liên t c xác nh trên Im(X) thì ϕoX cũng là m t BNN trên M. 1.3. Thí d .
  2. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 34 1.3.1. Tham kh o l i nh nghĩa 1.6.1 và nh lý 1.6.2; v i B(p), không gian m u là M = {T, B}, trong ó, T và B l n lư t ch các k t qu sơ c p "Thành công" và "Th t b i". Hàm s th c X trên M ư c xác nh b i: X(T) = 1 và X(B) = 0 là m t bi n ng u nhiên trên M. "Qui t c" thành l p hàm X là "s l n thành công trong B(p)". Chúng ta nói r ng X là bi n ng u nhiên ch s l n thành công trong B(p). X có mi n giá tr là {0, 1}, và P(X = 1) = p và P(X = 0) = 1 − p. 1.3.2. Trong quá trình B(n; p), không gian m u M ch a 2n i m m u, m i i m ư c bi u di n b i m t dãy n ký t g m ch T và B.Th t b t ti n. Bây gi , chúng ta xét hàm th c X xác nh trên M b i: ng v i m i i m m u m c a M, X(m) là s ch T có trong m, t c là s l n thành công trong m i k t qu sơ c p. Như v y, chúng ta có BNN X ch s l n thành công trong quá trình B(n;p). X có mi n giá tr là {0, 1, 2, …, n}, và xác su t có k thành công trong quá trình là: ( nh lý 1.6.2.) P ( X = k ) = Pn (k ) = Ck p k ( 1 − p) n − k , n k ∈ {0, 1, 2, …, n} Khi ó, ngư i ta nói r ng: BNN X có phân ph i nh th c, v i hai tham s n và p. Ký hi u: X ~ B(n;p). • Chú ý r ng: N u g i Xi là BNN ch s l n thành công trong phép th th i ( 1 ≤ i ≤ n ) thì X = X1 + X2 + . . . + Xn. 1.3.3. Trong mô hình phân ph i siêu hình h c o n 1.2, n u g i X là bi n ng u nhiên ch s ph n t " ư c ánh d u" trong m u kích thư c n thì bi n c {X = k} = Ak (Ak: “có k ph n t ư c ánh d u trong m u”) có xác su t là n−k CT . C N − T k P( X = k ) = , Cn N trong ó k ∈ {max[0,n - (N - T)],…, min (T, n)}. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Chú ý: Trong giáo trình này, khi c n tham kh o l i m t nh nghĩa, m t nh lý ho c m t thí d ph n trư c, tác gi ghi thêm s chương vào phía trư c s ch m c. e.g. Khi c n tham kh o nh nghĩa 6.1 chương 1, tác gi ghi: nh nghĩa 1.6.1; nh lý 2.3 chương 2, s ư c ghi là nh lý 2.2.3… Khi ó, ngư i ta nói r ng: Bi n ng u nhiên X tuân theo lu t ( hay có lu t) phân ph i siêu hình h c.
  3. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 35 1.3.4. M t công ty nghiên c u ph n ng c a th trư ng i v i m t lo i s n ph m m i 3 m c : T t , trung bình và kém. Không gian m u M g m 3 bi n c sơ c p: {t t, trung bình, kém}. Chúng ta có th xác nh m t bi n ng u nhiên X trên M như sau: X(t t) = 1; X(trung bình) = 0; X(kém) = −1. Mi n giá tr c a X là {−1, 0, 1}. 2. HÀM PHÂN PH I XÁC SU T TÍCH LŨY 2.1. nh nghĩa. Cho bi n ng u nhiên X trên không gian xác su t M. V i m i x thu c , {X < x} là m t bi n c , nên t n t i P(X < x). Hàm F ư c xác nh b i: ∀x ∈ , F(x) = P(X < x ) ư c g i là Hàm phân ph i xác su t tích lũy (hay nói g n là hàm phân ph i, vi t t t là h.p.p. ) c a X. T nh nghĩa c a h.p.p. và tính ch t c a xác su t, d th y r ng: ∀x , 0 F (x) 1 H.p.p. F c a BNN X có các tính ch t cơ b n ư c th hi n nh lý sau: 2.2. nh lý. Cho bi n ng u nhiên X xác nh trên m t không gian xác su t; F là h.p.p. c a X . Khi ó, (i) ∀(x1, x2) 2, ( x1 ≤ x2 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ) (ii) lim F ( x) = 0 và lim F ( x) = 1 x→ − ∞ x→ + ∞ (iii) F liên t c bên trái trên (iv) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a) v i m i a và b th a a < b (v) P(X = a) = F (a+) − F (a) v i m i a ∈ . Ch ng minh. (i). N u x1 ≤ x2 thì {X < x1} ⊂ {X < x2}; do ó: P(X < x1) ≤ P(X < x2). V y, F(x1) ≤ F(x2). (ii) Hàm F ơn i u và b ch n, nên t n t i lim F ( x) và lim F ( x) x→ − ∞ x→ + ∞ Có m t dãy s gi m (xn)n ∈ * sao cho xn  − ∞ → n∞
  4. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 36 V i m i n ∈ *, t An = {X < xn} thì (An) là m t dãy gi m các bi n c ∞ và ∩ An = ∅ . n =1 Do ó,  ∞  lim P ( An ) = P  ∩ An  = 0 hay lim F ( xn ) = 0 n→ ∞  n =1  n →∞   V y, lim F ( x) = 0 (vi t g n là F ( − ∞) = 0 ). x→ − ∞ Ch ng minh tương t cho lim F ( x) = 1 (vi t g n là x→ + ∞ F ( + ∞) = 1 ). (iii) Hàm F ơn i u trên nên t i m i i m x ∈ , luôn có F ( x −) = lim F (t ) t→ x− V im ix∈ và v i m i n ∈ *, { t Bn = x − 1 ≤ X < x n } thì Bn là ∞ m t dãy gi m các bi n c và ∩ Bn = ∅. Do ó, n =1 ∞ lim P ( Bn ) = P ( ∩ Bn ) = 0 n→ ∞ n =1 Th mà, {X < x} = {X < x − 1 } + Bn ⇒ F ( x − 1 ) = F (x) − P(Bn), n n nên lim F ( x − 1 ) = F ( x) ; n→ ∞ n t ó, chúng ta có F (x−) = F (x). − V y, F liên t c bên trái t i m i i m x ∈ . Ph n ch ng minh (iv) và (v) ư c xem như bài t p. ( G i ý: ch ng minh (v), dùng Cn = { a ≤ X < a + 1 } n Ngư c l i, ngư i ta ch ng minh ư c r ng: 2.3. nh lý. N u m t hàm F: → th a ba tính ch t (i), (ii) và (iii) trong nh lý 2.2.2. thì F là h.p.p. c a m t bi n ng u nhiên trên m t không gian xác su t nào ó.
  5. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 37 Thí d . Cho BNN X có h.p.p. F ư c xác nh b i: 0 nÕu x ≤ 0  x +1  F ( x) =  nÕu 0 < x ≤ 1 2    1 nÕu 1 < x Khi ó, 3 3 P ( − 3 ≤ X < 1 ) = F ( 1 ) − F ( − 3) = −0 = 2 2 4 4 P(X = 0) = F (0+) − F (0) = 1 − 0 = 1 . 2 2 3. HÀM M T XÁC SU T Các nh lý 2.2.2 và 2.2.3 cho chúng ta th y r ng: N u bi t h.p.p. F c a m t BNN X thì chúng ta bi t ư c y v X. Vì v y, hàm phân ph i là m t c trưng y c a m t bi n ng u nhiên. Khi bi t h.p.p. F c a BNN X, ngư i ta nói r ng phân ph i xác su t c a X ư c xác nh. Có hai lo i phân ph i xác su t: Lo i r i r c và lo i liên t c. 3.1. nh nghĩa. M t bi n ng u nhiên X trên không gian xác su t M ư c g i là có phân ph i xác su t thu c lo i r i r c hay X là BNN r i r c n u Im(X) là m t t p h p h u h n ho c m ư c. Nói cách khác, X là m t BNN r i r c n u các ph n t c a Im(X) có th li t kê ư c thành m t dãy. Gi s Im(X) = {x1, x2, ..., xn, …}. Hàm f : → ư c xác nh b i:  P ( X = xk ) nÕu x = xk ∈ Im(X ) f (x) =  0 nÕu x ∉ Im(X ) ư c g i là Hàm m t xác su t hay nói g n là Hàm m t ( vi t t t là h.m. . ) c a BNN X. Rõ ràng, f có các tính ch t: (i) f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ và (ii) ∑ f ( x) = 1 x ∈R ơn gi n cách vi t, c m t "n u x ∉ Im(X)" có th ư c thay b ng c m t "nơi khác". • N u F là h.p.p. c a X thì ∀x ∈ , F ( x) = ∑ f ( w) w< x Hàm phân ph i c a m t BNN r i r c là m t hàm b c thang.
  6. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 38 Khi Im(X) là h u h n, phân ph i xác su t c a X có th ư c trình bày dư i d ng b ng g i là B ng phân ph i xác su t: x x1 x2 ... xn f (x) p1 p2 ... pn trong ó, pi = f (xi), v i m i i ∈ {1, 2, …, n}. Thí d . Gieo 2 con xúc x c vô tư và quan sát s nút xu t hi n m t trên c a hai con xúc x c. Không gian m u M tương ng là h u h n u và g m 36 i m (Thí d 1.1.3.1). G i X là BNN ch s l n nh t trong hai s xu t hi n, i.e. v i m i (a,b) thu c M, X(a,b) = max (a,b). Khi ó, Im(X) = {1, 2, 3. 4, 5, 6}. G i f là h.m. . c a X, chúng ta có: f (1) = P(X = 1) = P({(1,1)}) = 1/36; f (2) = P(X = 2) = P({(1,2), (2,2), (2,1)}) = 3/36; f (3) = P(X = 3) = P({(1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)}) = 5/36; .......................... B ng phân ph i xác su t c a X: x 1 2 3 4 5 6 f (x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Xác su t c a bi n c {X ≤ 3}: P(X ≤ 3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1 + 3 + 5 = 9 . 36 36 36 36 Xác su t c a bi n c {2 ≤ X < 5}: P(2 ≤ X < 5) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 3 + 5 + 7 = 15 . 36 36 36 36 Phân ph i xác su t c a X có th ư c trình bày dư i d ng m t Bi u : f (x)
  7. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 39 11/36 10/36 9/36 8/36 7/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 0 1 2 3 4 5 6 x 3.2. nh nghĩa. Cho BNN X có hàm phân ph i F. (a) N u F liên t c trên thì X ư c g i là có phân ph i xác su t thu c lo i liên t c hay X là BNN liên t c. (b) Gi s X là m t BNN liên t c. N u h.p.p. F có o hàm trên thì hàm f = F’ ư c g i là hàm m t (vi t t t là h.m. .) c a X. Trong trư ng h p này, F ư c vi t dư i d ng: x ∀x ∈ , F ( x ) = ∫ f (t ) dt −∞ và X ư c g i là liên t c tuy t i. X hoàn toàn ư c xác nh n u và ch n u h.m. . c a X ư c xác nh. i v i BNN liên t c, giáo trình này ch kh o sát lo i tuy t i liên t c nên ơn gi n cách trình bày, chúng ta g i chung là BNN liên t c. 3.3. nh lý. M t hàm th c f xác nh trên là hàm m t c am t BNN X n u và ch n u f th a mãn hai tính ch t sau: +∞ (i) f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ và (ii) ∫ f ( x) dx = 1 . −∞ Ch ng minh. (a) N u f là h.m. . c a m t BNN X thì d a vào các tính ch t c a h.p.p. c a X, d th y r ng f th a hai tính ch t (i) và (ii). .(b) Bây gi gi s f th a (i) và (ii). V i m i s th c x, t: x F ( x) = ∫ f (t ) dt . −∞ D th y F th a các tính ch t (i), (ii) và (iii) c a nh lý 2.2.2 nên F là hàm phân ph i c a m t BNN X và F’ = f.
  8. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 40 V y f là h.m. . c a BNN X. 3.4. Chú ý. Gi s X là m t BNN liên t c có h.p.. F và h.m. . f. Khi ó, v i m i s th c a và b th a a < b: b (i) P(a ≤ X < b) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x) dx ; a (ii) P(X = a) = F ( a+) − F (a) = 0 ( vì F liên t c t i a ). (iii) P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b); Như v y, s thay i giá tr c a h.m. . c a X t i m t i m không làm thay i phân ph i xác su t c a X. Thí d , h.m. . f xác nh b i  e− x nÕu 0 < x < + ∞  f ( x) =   0 n¬i kh¸c  có th ư c vi t là  e− x nÕu 0 ≤ x < + ∞  f ( x) =   0 n¬i kh¸c  th hàm m t f c a m t BNN liên t c. Di n tích c a vùng ư c tô en trong hình là xác su t P(a X b). 3.5. Thí d . Cho BNN X r i r c có h.m. . f ư c xác nh b i:  x nÕu x ∈ {1, 2,3}  f ( x) =  6  0 n¬i kh¸c  Khi ó, h.p.p. F c a X ư c xác nh b i:
  9. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 41  0 nÕu x ≤ 1 1  6 nÕu 1 < x ≤ 2  F ( x) =   3 nÕu 2 < x ≤ 3 6  1 nÕu 3 < x  3.6. Thí d . Cho BNN X liên t c có h.m. . f ư c xác nh b i:  a nÕu 1 < x < + ∞  f ( x ) =  x3  0 n¬i kh¸c  trong ó a là m t h ng s cho trư c. Hãy xác nh a, h.p.p. F c a X và tính P(0 < X < 3). Gi i. +∞ D a vào các tính ch t: (∀x , f (x) ≥ 0) và ∫ f ( x) dx = 1 , chúng −∞ ta tính ư c a = 2. Hàm phân ph i F ư c xác nh b i: x F ( x) = ∫ 0 dt = 0 nÕu x ≤1 −∞ x 2 1 và F ( x) = ∫ t 3 dt = 1− x2 nÕu 1< x 1 3 Xác su t: P (0 < X < 3) = ∫ f ( x)dx = F (3) − F (0) = 8 9 0 4. VECTƠ NG U NHIÊN Trong nhi u trư ng h p, khi nghiên c u m t i tư ng, chúng ta ph i ghi nh n cùng m t lúc nhi u c tính c a i tư ng. Thí d ., khi quan sát t m vóc m i ngư i, chúng ta ph i ý n c chi u cao, ư c bi u di n b i BNN X1, l n kh i lư ng, ư c bi u di n b i BNN X2, c a ngư i ó. Như v y, t m vóc c a m t ngư i ư c c trưng b i m t b hai BNN (X1, X2 ), mà ngư i ta g i là m t vectơ ng u nhiên vi t t t là VTNN ). thí d này., VTNN có 2 thành ph n nên ư c g i là m t Bi n ng u nhiên 2 chi u. M t VTNN có n thành ph n ư c g i là m t BNN n chi u. 4.1. nh nghĩa. Gi s X1, X2, …, và Xn là n bi n ng u nhiên trên không gian xác su t M. Hàm X: M → n ư c xác nh b i:
  10. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 42 ∀m ∈ M , X (m) = (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) ư c g i là m t vectơ ng u nhiên (vi t t t là VTNN) n thành ph n hay m t Bi n ng u nhiên n chi u trên M. Ngư i ta vi t: X = (X1, X2, …, Xn); các BNN Xi (i = 1, …, n) ư c g i là các thành ph n c a VTNN X. Mi n giá tr c a X là Im(X) = Im(X1) × Im(X2) × . . . × Im(Xn). ơn gi n cách vi t, v i m i t p con A trong n, bi n c {m ∈ M / (X1(m), X2(m), …, Xn(m)) ∈ A} ư c ký hi u là {(X1, X2, …, Xn) ∈ A}. c bi t, v i m i (x1 , x2, …, xn) ∈ n, n bi n c ∩ {m∈ M / X i (m) < xi } ư c ký hi u là i =1 n {(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn)} hay ∩ {Xi < xi } , i =1 và xác su t c a nó ư c vi t là n P(X1 < x1, X2 < x2, …, Xn < xn) hay P ( ∩ { X i < xi }) . i =1 4.2. nh lý. Gi s X = (X1, X2, …, Xn) là m t VTNN trên không gian xác su t M ; u: n → là m t hàm liên t c. Khi ó, hàm Y = uoX là m t BNN trên M. Sau này, ơn gi n cách trình bày, giáo trình ch trình bày các v n liên quan trong trư ng h p bi n ng u nhiên hai chi u (X1, X2). i v i BNN n chi u (X1, X2, …, Xn), chúng ta cũng có bi u th c tương t . 5. HÀM PHÂN PH I, HÀM M T NG TH I 5.1. nh nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) trên m t không gian xác su t. Hàm F : 2 → ư c xác nh b i: F (x1, x2) = P ( X1 < x1, X 2 < x2 ) ư c g i là hàm phân ph i (tích lũy) ng th i c a các BNN X1, X2 hay hàm phân ph i (h.p.p.) c a VTNN X. Tương t như trư ng h p BNN, h.p.p. F c a VTNN X = (X1, X2) có các tính ch t sau: (i) V i m i a = (a1, a2) và b = (b1, b2) thu c 2,
  11. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 43 (a1 ≤ b1 và a2 ≤ b2) ⇒ F (a) ≤ F (b) (ii) F liên t c bên trái i v i m i bi n (iii) lim F ( x1, x2 ) = 0 ; lim F ( x1, x2 ) = 0 x1 →− ∞ x2 →− ∞ và lim F ( x1, x2 ) = 1 x1 →+ ∞ x2 →+ ∞ 5.2. nh nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) r i r c trên m t không gian xác su t. Hàm f : 2 → ư c xác nh b i:  P( X1 = x1 , X 2 = x2 ) nÕu ( x1 , x2 ) ∈ Im ( X) f (x1, x2) =  0 n¬i kh¸c ư c g i là h.m. . ng th i c a các BNN X1, X2 hay h.m. . c a VTNN X. N u F là h.p.p. c a X thì v i m i (x1, x2) ∈ 2, F (x1, x2) = ∑ ∑ f (u1, u2 ) u1 < x1 u2 < x2 Rõ ràng, f (x1, x2) ≥ 0 v i m i (x1, x2) ∈ 2 và ∑ f ( x1, x2 ) = 1 . 2 5.3. nh nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) liên t c có h.p.p. F . Có m t hàm f : 2 → không âm và kh tích trên 2 sao cho v i m i (x1, x2)∈ 2, x1 x2 F (x1, x2) = ∫ ∫ f (u1, u2 ) du1 du2 − ∞ −∞ Hàm f ư c g i là h.m. . ng th i c a các BNN X1, X2 hay h.m. . c a VTNN X. 5.4. nh lý. N u VTNN X = (X1, X2) liên t c có h.m. . f và h.p.p. F thì (a) f (x1, x2) ≥ 0 v i m i (x1, x2) ∈ 2 +∞ +∞ (b) ∫ ∫ f ( x1, x2 ) dx1 dx2 = 1 − ∞ −∞ ∂ 2 F ( x1, x2 ) (c) ∀(x1, x2) ∈ 2 , f (x1, x2) = ∂x1 ∂x2 • Ngư c l i, n u cho trư c hàm f : 2 → th a hai tính ch t
  12. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 44 (a) f (x1, x2) ≥ 0 v i m i (x1, x2) ∈ 2 , và +∞ +∞ (b) ∫ ∫ f ( x1, x2 ) dx1 dx2 = 1 −∞ −∞ thì t n t i m t không gian xác su t M và m t BNN 2 chi u X trên M sao cho f là h.m. . c a X. 6. HÀM M T BIÊN, M T I U KI N 6.1. nh nghĩa. Cho VTNN X = (X1, X2) có h.m. . f . V i hai s th c a và b (a < b), bi n c {a < X1 < b} x y ra n u và ch n u bi n c {a < X1 < b} và {- ∞ < X2 < + ∞} cùng x y ra. Do ó: P ( a < X1 < b) = ∑ ∑ f ( x1 , x2 ) , n u X1 và X2 r i r c, a < x1 < b x2 hay b +∞ P (a < X1 < b) = ∫ ∫ f ( x1 , x2 ) dx2 dx1 , n u X1 và X2 liên t c. a −∞ V i m i x1∈ , t: f1(x1) = ∑ f ( x1, x2 ) , n u X1 và X2 r i r c, x2 +∞ hay f1(x1) = ∫ f ( x1, x2 ) dx2 , n u X1 và X2 liên t c −∞ Khi ó, f1 là m t hàm theo bi n x1. Ngoài ra, v i m i a và b th a a < b, chúng ta có  ∑ f 1 ( x1 ) ( tr−êng hîp rêi r¹c )  a < x1 < b  P( a < X1 < b ) =  b  ∫ f 1 ( x1 ) dx1 ( tr−êng hîp liª n tôc )   a Như v y, f1 là h.m. . c a riêng BNN X1 và ư c g i là h.m. . biên c a X1. • Tương t , hàm f2 ư c xác nh v i m i x2 ∈ b i: f2(x2) = ∑ f ( x1, x2 ) , n u X1 và X2 r i r c, x1
  13. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 45 +∞ hay f2(x2) = ∫ f ( x1, x2 ) dx1 , n u X1 và X2 liên t c, −∞ là h.m. . c a riêng BNN X2 và ư c g i là h.m. . biên c a X2. (h.m. . biên còn ư c g i là h.m. . l ) Chú ý. Xét trư ng h p c bi t: Hai BNN X1 và X2 có mi n giá tr h u h n. Gi s Im(X1) = {a1, a2, …, an}; Im(X2) = {b1, b2, …, bm}, và f là h.m. . c a VTNN (X1,X2). Phân ph i xác su t c a (X1,X2) có th ư c trình bày dư i d ng b ng: X2 b1 b2 ... bm f1 (aj) X1 a1 p11 p12 ... p1m p1* a2 p21 p22 ... p2m p2* ... ... ... ... ... ... ... an pn1 pn1 pnm pn* f2 (bk) p*1 p*2 ... p*m 1 trong ó: pjk = f (aj,bk), m n p j* = ∑ p j k = f1 (aj) và p*k = ∑ pjk = f2 (bk) , k =1 j =1 v i m i j ∈ {1,…,n} và k ∈ {1,…,m}. • Tương t , cho VTNN (X1, X2, …, Xn ) (n > 2), có h.m. . f ; chúng ta có th nh nghĩa các h.m. . biên f1, f2, … và fn, theo th t , c a các BNN X1, X2, …và Xn. H.m. .biên f1 c a X1 ư c xác nh b i: +∞ +∞ f 1 ( x1) = ∫ ... ∫ f ( x1, x2 ,. . . ., xn ) dx2 . . . dxn −∞ −∞ n u các BNN ã cho là liên t c, ho c
  14. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 46 f 1 ( x1 ) = ∑ . . . ∑ f ( x1, x2 ,. . . ., xn ) x2 xn n u các BNN ã cho là r i r c. ………………………... 6.2. Thí d . 6.2.1. Cho hai BNN X1 và X2 trên cùng m t không gian xác su t, có h.m. . ng th i f ư c cho b i:  x1 + x2 ,  x1∈{1, 2,3}; x2 ∈{1, 2}, f ( x1, x2 ) =  21 0  n¬i kh¸c Khi ó, P(X1 = 3) = f (3,1) + f (3,2) = 3 , 7 P(X2 = 2) = f (1,2) + f (2,2) + f (3,2) = 4 . 7 H.m. . biên f 1 c a X1 ư c xác nh b i:  2 x1 + x2 2 x1 + 3  ∑ = , x1∈ {1, 2,3} f 1( x1) =  x2 =1 21 21   0 n¬i kh¸c Tương t , b n c hãy tìm h.m. .biên f 2 c a X2 . 6.2.2. Cho hai BNN X và Y trên cùng m t không gian xác su t, có h.p.p. ng th i F ư c cho b i:  1− e − x − e− y + e− ( x + y )  víi ( x, y ) ∈ ( + ) 2 F ( x, y ) =   0 n¬i kh¸c  (a) Tìm h.m. . ng th i c a X và Y (b) Tìm các h.m. . biên c a X và Y (c) Tính xác su t: P(0 ≤ X < 1, 0 ≤ Y < 1). Gi i. (a) H.m. . ng th i f c a X và Y ư c xác nh v i m i (x,y) ∈ 2 b i: ∂ 2 F ( x, y )  e− ( x + y ) víi ( x, y ) ∈ ( ) 2  f ( x, y ) = =  + ∂x ∂y 0  n¬i kh¸c (b) H.m. . biên f1 c a X ư c xác nh v i m i x ∈ b i:
  15. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 47 +∞  +∞ − ( x + y )  ∫ e dy víi x ≥ 0 f1(x) = ∫ f ( x, y ) dy =  0 −∞   0 víi x < 0  e− x víi x ≥ 0  =  0  víi x < 0 B n c t tìm h.m. . biên c a BNN Y và gi i câu (c). 6.3. nh lý và nh nghĩa. Cho hai BNN X và Y trên cùng m t không gian xác su t có h.m. . ng th i f và hai h.m. . biên c a X và Y l n lư t là f 1 và f 2. Gi s x là m t s th c sao cho f1 (x) > 0. Hàm f ( . / x) ư c xác nh v i m i y thu c b i P ( X = x , Y = y) f ( x, y ) f ( y / x) = P(Y = y / X = x) = = P ( X = x) f 1( x) th a các i u ki n c a m t h.m. . và ư c g i là h.m. . i u ki n c a Y, khi bi t X l y giá tr x. Tương t , Gi s y là m t s th c sao cho f2 (y) > 0. Hàm f ( . / y) ư c xác nh v i m i x ∈ b i P ( X = x , Y = y) f ( x, y ) f ( x / y) = P(X = x / Y = y) = = P (Y = y ) f 2 ( y) th a các i u ki n c a m t h.m. . và ư c g i là h.m. . i u ki n c a X, khi bi t Y l y giá tr y. Các hàm f ( . / x) và f ( . / y) là các h.m. . c a m t BNN, nên cũng có các tính ch t c a m t h.m. . Ch ng h n, n u X và Y là hai BNN liên t c thì xác su t b P ( a
  16. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 48 H.m. . biên f 1 và f 2 , theo th t , c a hai bi n X và Y ư c xác nh b i: 1 f 1( x) = ∫ 2 dy = 2(1 − x) , v i 0 < x < 1; x f 1(x) = 0 nơi khác y f 2 ( y ) = ∫ 2 dx = 2 y , v i 0 < y < 1; 0 f 2(y) = 0 nơi khác H.m. . i u ki n c a X, bi t r ng Y l y giá tr y, là f ( x / y ) = 2 = 1 , v i 0 < x < y, 0 < y < 1; 2y y f (x/y) = 0 nơi khác. Xác su t i u ki n: 1/ 2 1/ 2 P (0 < X < 1 / Y = 3 ) = ∫ f ( x / 3 ) dx = ∫ 4 dx = 2 , 2 4 4 3 3 0 0 trong khi ó, 1/ 2 1/ 2 P (0 < X < 1 ) = ∫ f 1 ( x) dx = ∫ 2(1 − x) dx = 3 . 2 4 0 0 6.4. nh nghĩa. Cho các BNN X1, X2, …và Xn (n > 1), có h.m. . ng th i f và các h.m. . biên f1, f2, … và fn, theo th t , c a các BNN X1, X2, …và Xn. Các BNN X1, X2, …và Xn ư c g i là c l p n u v i m i (x1, x2,…, xn) thu c n, chúng ta có: f (x1, x2,…, xn) = f1(x1). f2(x2). … . fn(xn). T nh nghĩa trên, chúng ta có ngay: n P(a1 < X1 < b1, a2 < X2 < b2, …, an < Xn < bn ) = ∏ P (a i < X i < bi ) i =1 7. KỲ V NG, PHƯƠNG SAI VÀ L CH CHU N C A M T BI N NG U NHIÊN
  17. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 49 +∞ 7.1. nh nghĩa. Gi s X là BNN có h.m. . f. sao cho ∫ x . f ( x) dx −∞ t n t i n u X là BNN liên t c ho c ∑ x . f ( x) t n t i n u X là BNN r i r c. Khi x ó, ngư i ta nói r ng BNN X có kỳ v ng, và s th c +∞ ∫ x. f ( x ) dx (n u X liên t c) −∞ hay ∑ x. f ( x ) (n u X r i r c) x ư c g i là giá tr kỳ v ng ( hay nói g n là kỳ v ng ) c a X, và ư c ký hi u là E(X) hay µX hay µ, n u không có s l m l n. 7.2. nh lý. Gi s X và Y là hai BNN trên cùng m t không gian xác su t, có h.m. . l n lư t là f và g; k là m t s th c, ϕ là m t hàm th c liên t c trên Im(X). Ngoài ra, X và Y có kỳ v ng. Khi ó, (i) N u P(X = k) = 1 thì E(X) = k +∞ (ii) Bi n ng u nhiên ϕoX có kỳ v ng n u và ch n u ∫ ϕ ( x) . f ( x) dx −∞ t n t i khi X là BNN liên t c ho c ∑ ϕ ( x) . f ( x) t n t i n u X là BNN r i x r c. Trong trư ng h p ó,  +∞  ∫ ϕ ( x). f ( x) dx nÕu X liª n tôc  E (ϕ X ) =  −∞  ∑ ϕ ( x). f ( x). nÕu X rêi r¹c  x  (iii) BNN kX có kỳ v ng và E(kX ) = kE(X) (iv) BNN X + Y có kỳ v ng và E(X + Y) = E(X) + E(Y). (v) N u X và Y c l p thì E(XY) = E(X).E(Y) Ch ng minh. Gi s ch X và Y r i r c. (i) Hi n nhiên. (ii) Gi s ϕoX có mi n giá tr là {z1, z2, ... }; v i m i zk, t Ak = {xi Im(X) / ϕ(xi) = zk)},
  18. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 50 chúng ta có, P(ϕoX = zk) = ∑ f ( xi ) . xi ∈ Ak Do ó, ∑ zk .P(ϕoX = zk ) = ∑ zk ∑ f ( xi ) k k xi ∈ Ak = ∑ ∑ zk f ( xi ) k xi ∈ Ak = ∑ ∑ ϕ( xi ) . f ( xi ) k xi ∈ Ak Vì các Ak r i nhau và h p các Ak b ng Im(X) nên ∑ zk .P(ϕoX = zk ) = ∑ ϕ( xi ) f ( xi ) . k i V y, ϕoX có kỳ v ng n u và ch n u chu i ∞ ∑ ϕ ( xi ). f ( xi ) i =1 h i t tuy t i. Khi ó: ∞ E(ϕoX) = ∑ ϕ( xi ). f ( xi ) . i =1 (iii) Vì kX = ϕoX, v i ϕ(x) = kx (x ), và k ∑ xi . f ( xi ) = ∑ kxi . f ( xi ) i i nên E(kX) = kE(X) (iv) Ký hi u fX.Y là h.m. . ng th i c a X và Y, chúng ta có: E( X ) + E(Y ) = ∑xj f (x j ) + ∑ yk g ( yk ) j k = ∑∑ x j f X .Y ( x j , yk ) + ∑∑ yk f X .Y ( x j , yk ) j k k j = ∑∑ ( x j + yk ) f X .Y ( x j , yk ) j k = E(X + Y) (v) Vì X và Y c l p nên
  19. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 51 E( XY ) = ∑ x j yk f ( x j ). g ( yk ) j, k E(XY) = ∑xj f ( x j ). ∑ yk . g ( yk ) = E(X).E(Y). j k Trư ng h p BNN liên t c dư c ch ng mih tương t .(Dành cho b n c). H qu . Cho các BNN X1, X2, . . ., Xn (n > 2) có kỳ v ng trên M (a) E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn). (b) N u X1, X2, . . ., Xn c l p thì E(X1X2... Xn) = E(X1)E(X2)... E(Xn). 7.3. nh nghĩa. Gi s X là B NN có h.m. . f. Ngư i ta g i Mode c a X, ký hi u Mod(X), là giá tr xo Im(X) sao cho: f ( xo ) = max f ( x) 7.4. nh nghĩa. Gi s X là m t BNN có h.m. . f và có kỳ v ng . N u t n t i E(X − )2 thì ngư i ta g i nó Phương sai c a X, ký hi u Var(X) hay D(X) hay σ 2 hay 2. V y, X +∞ D(X) = ∫ ( x − µ ) 2 f ( x ) dx n u X là m t BNN liên t c, −∞ ho c D(X) = ∑ ( x − µ)2 f ( x ) n u X là m t BNN r i r c. x v i i u ki n là tích phân ho c chu i nêu trên h i t tuy t i. Khi có D(X), s th c σ X = D(X ) ư c g i là l ch chu n c a X. • Chú ý r ng: E(( X − µ) 2 ) = E ( X 2 − 2µX + µ 2 ) = E( X ) 2 − 2µE( X ) + µ 2 nên: D(X) = E(X2) − µ2. T bi u th c c a phương sai và tính ch t c a kỳ v ng, chúng ta có: 7.5. nh lý. Gi s X và Y là hai bi n ng u nhiên có phương sai; a và b là hai s th c. Khi ó: (i) N u P(X = a) = 1 thì D(X) = 0 (ii) D(aX + b) = a2D(X) (iii) N u X và Y c l p thì D(X + Y) = D(X) + D(Y).
  20. Chng 2 BI N NG U NHIÊN 52 H qu . Gi s X là bi n ng u nhiên có kỳ v ng và l ch chu n > 0. Bi n ng u nhiên X* xác nh b i X −µ X*= σ có kỳ v ng b ng 0 và phương sai b ng 1, i.e. E(X*) = 0 và D(X*) = 1. X* ư c g i là Bi n ng u nhiên chu n hóa c a X. 7.6. Thí d . 7.6.1. Gieo 2 con xúc x c vô tư và quan sát s nút xu t hi n m t trên c a hai con xúc x c. G i X là BNN ch s l n nh t trong hai s xu t hi n, và Y là BNN ch s m t 1 xu t hi n. (a) Tìm lu t phân ph i xác su t, kỳ v ng, phương sai và l ch chu n c a các BNN X và Y. (b) Tìm lu t phân ph i xác su t c a VTNN (X,Y). X và Y có c l p không? Gi i. Không gian m u g m 36 i m ng kh năng. (a) B ng phân ph ijj xác su t c a X: x 1 2 3 4 5 6 P(X = x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 Kỳ v ng c a X: µX = E(X) = xi P(X = xi) µ X = 1 × 1 + 2 × 3 + 3 × 5 + 4 × 7 + 5 × 9 + 6 × 11 = 161 36 36 36 36 36 36 36 Phương sai c a X: σ2 = D ( X ) = E( X 2 ) − µ 2 X X 2 D ( X ) = (12 × 1 + 22 × 3 + 32 × 5 + 42 × 7 + 52 × 9 + 62 × 11 ) − 161 36 36 36 36 36 36 ( 36 ) D( X ) = 1,97145 l ch chu n c a X: σX = D( X ) = 1, 40408 • Im(Y) = {0,1,2}. Trong không gian m u, có 25 c p không ch a m t 1 nào; có 10 c p ch ch a 1 m t 1 và ch có 1 c p ch a 2 m t 1. B ng phân ph i xác su t c a Y: yk 0 1 2
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2