MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chia sẻ: Vudinhthang Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

1.707
lượt xem 253
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình toán rời rạc dành cho sinh viên đại học, cao đẳng tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1. KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN Bài 1: Thực hiện các phép tính sau ⎛1 3⎞ ⎛1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 1 0 2⎞⎜ ⎟ 6 5⎟ ⎛ 2 11 5⎞ ⎛ 1 2 −3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ 2 1⎟ 1. ⎜ ⎜ ⎟ 4. ⎜ ⎟⎜0 1 1 0⎟⎜ ⎜0 0⎟ ⎝ −7 3 2⎠ ⎝3 0 4 ⎠⎜1 0 2 1⎟ 3 2⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ 4 ⎟ ⎝2 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ cos ϕ − sin ϕ ⎞ n ⎛ 2 −1 1⎞ ⎜ ⎟ 5. ⎜ ⎟ (n ∈ , 0 ≤ ϕ < 2π ) 2. ⎜ ⎟ 2 (1 2) ⎝ sin ϕ cos ϕ ⎠ ⎝ 1 2 1⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎛1 a⎞n ⎜ 0 1 ⎟ , a ∈ R và n ∈ 3. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1⎞ Bài 2: Cho A = ⎜ ⎟ và f ( x ) = 3x + 2 x − 4 . Tính f ( A) . 2 ⎝ 0 3⎠ Bài 3: ⎛x y⎞ ⎛ x 6 ⎞ ⎛ 4 x + y⎞ 1. Tìm các số thực x, y , z , w sao cho 3 ⎜ ⎟=⎜ ⎟+⎜ ⎟. ⎝ z w ⎠ ⎝ −1 2 w ⎠ ⎝ z + w 3 ⎠ ⎛ 2 1⎞ 2. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với ma trận A = ⎜ ⎟. ⎝ 0 1⎠ ⎛ 1 1 3⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 −2 ⎞ Bài 4: Cho các ma trận A = ⎜ 1 2 2 ⎟ , B = ⎜ −1 2 ⎟ , C = ⎜ ⎟ . Tính C B A . t t t ⎜ 2 2 5⎟ ⎜ 3 2⎟ ⎝ 2 3 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Bài 5: Tìm ma trận X trong các trường hợp sau ⎛ 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 1 2⎞ 1. ⎜ ⎟ . X. ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 4 5⎠ ⎝ 5 3⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 −1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 2. ⎜ ⎟ . X − X .⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 1 2⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 −1⎠ ⎛ 1 2 2⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3. ⎜ 2 5 4⎟ X - ⎜ 7 6⎟ = 3 ⎜ 2 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 5⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎝ −2 1⎠ §2. ĐỊNH THỨC
Bài 6: Tính các định thức sau đây 7 6 5 2 3 4 1 2 3 4 1. 1 2 −1 2. 5 6 7 2 3 4 1 3. 3 −2 2 8 9 1 3 4 1 4 4 1 2 3 1 2 3 4 a+x x x x2 + 1 xy xz 2 3 4 1 5. x b+x x 6. xy y +1 2 yz 4. 3 4 1 4 x x c+x xz yz z +1 2 4 1 2 3 Bài 7: Tính các định thức cấp n sau đây 1 2 3 ....... n − 1 n 1 2 3 ....... n −1 n 1 0 3 ....... n − 1 n 2 2 3 ....... n −1 n 1 2 0 ........ n − 1 n 3 3 3 ....... n −1 n 1. 3. ...................................... .... ..... ..... ....... ....... ... 1 2 3 ............ 0 n n −1 n −1 n −1 ....... n −1 n 1 2 3 ........ n − 1 0 n n n ....... n n 1 1 1 ....... 1 1 x a a a 1 2 2 ....... 2 2 a x a a 1 2 3 ....... 3 3 3. 4. a a x a ... ... ... ....... .... .... 1 2 3 ....... n − 1 n − 1 a a a x 1 2 3 ....... n − 1 n Bài 8:Giải các phương trình sau đây 1 x x 2 x3 x x +1 x + 2 1 2 4 8 1. =0 2. x + 3 x + 4 x + 5 = 0 1 3 9 27 x+6 x+7 x+8 1 4 16 64 §3. HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 9: Tìm hạng của các ma trận sau
⎛ 1 3 5 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1 3 −2 4 ⎞ 1. ⎜ 2 −1 −3 4 ⎟ ⎜ 2. ⎜ 4 −2 5 1 7⎟ ⎟ ⎜ 5 1 −1 7 ⎟ ⎜ 2 −1 ⎜ ⎟ ⎝ 1 8 2⎟ ⎠ ⎝ 7 7 9 1⎠ ⎛ 0 2 −4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −4 3 1 0⎞ ⎜ −1 −4 5 ⎟ ⎜ 1 −2 1 −4 ⎟ 2⎟ 3. ⎜ 3 1 7 ⎟ 3. ⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 1 −1 3 1⎟ ⎜ 0 5 −10 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜2 3 ⎟ ⎝ 1 −7 4 −4 5⎠ ⎝ 0 ⎠ Bài 10: Tùy theo tham số m , hãy tìm hạng của các ma trận sau ⎛ 1 2 3⎞ ⎛3 1 1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. ⎜ 4 5 6⎟ 2. ⎜ 2 2 4 3⎟ ⎜ 7 8 9⎟ ⎜m 4 10 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝10 m 12⎠ ⎝1 7 17 3⎠ ⎛m 1 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Bài 11: Cho ma trận A = ⎜ 1 m 1 m ⎟ . Tìm m để r ( A) < 3 . ⎜ 1 1 1 m2 ⎟ ⎝ ⎠ §4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 12: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau đây bằng phương pháp biến đổi sơ cấp ⎛1 0 3⎞ ⎛1 3 2⎞ ⎛1 3 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1. ⎜ 2 1 1 ⎟ 2. ⎜ 2 1 3 ⎟ 3. ⎜ 5 0 1 ⎟ ⎜ 3 2 2⎟ ⎜3 2 1⎟ ⎜3 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 2 0 1⎞ ⎛ 2 1 0 2⎞ ⎛1 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4. ⎜1 1 2 0⎟ 5. ⎜ 2 2 1 0⎟ 6. ⎜0 1 1 0⎟ ⎜ 0 1 1 2⎟ ⎜0 2 2 1⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝2 0 1 1⎠ ⎝ 1 0 2 2⎠ ⎝1 0 0 1⎠ §5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 13: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau ⎧ x1 − 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 1 ⎧ x1 + 3x 2 + 5 x3 + x 4 = 0 ⎪ ⎪ 1. ⎨ x 1 + x 2 − x 3 + x 4 = 2 2. ⎨ 4 x1 − 7 x 2 − 3x3 − x 4 = 0 ⎪x + 7x − 5x − x = 0 ⎪3x + 2 x + 7 x + 8 x = 0 ⎩ 1 2 3 4 ⎩ 1 2 3 4 Bài 14: Giải và biện luận các hệ phương trình sau
⎧mx + y +z = 1 ⎧ x + y + (1 − m )z = m + 2 ⎪ ⎪ 1. ⎨ x + my + z = m 2. ⎨(1 + m )x − y +2 z = 0 ⎪ x + y + mz = m 2 ⎪ 2x − my +3z = m+2 ⎩ ⎩ ⎧ x1 +3x 2 +2 x 3 +4 x 4 = 1 ⎧x 1 −2 x 2 +x 3 +2 x 4 = 1 ⎪2 x ⎪ ⎪ 1 +5x 2 +2 x 3 +9 x 4 = 1 3. ⎨x 1 +x 2 −x 3 +x 4 = m 4. ⎨ ⎪x +7x 2 −5x 3 −x 4 = 4m ⎪ x1 +5x 2 +6 x 3 + mx 4 = 3 ⎩ 1 ⎪ x1 +3x 2 +4 x 3 +3x 4 = 2 ⎩ ⎧ x1 +2 x 2 −x3 = 2 ⎧ 2x1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪2 x ⎪ ⎪ 1 −3x 2 +7x 3 = −1 5. ⎨ x 1 + 2 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2 6. ⎨ ⎪x + 7x − 4 x + 11x = m ⎪− x 1 +x 2 +3x 3 = 6 ⎩ 1 2 3 4 ⎪ 5x 1 +x 2 +2 x 3 = m ⎩ ⎧ x1 +2 x 2 +3x 3 + mx 4 = m+2 ⎪x +x 2 +x 3 + mx 4 = m +1 ⎪ 1 ⎪ 7. ⎨2 x 1 +3x 2 +4 x 3 +2 mx 4 = 2m + 3 ⎪3 x +4 x 2 +2 x 3 +3mx 4 = 3m + 1 ⎪ 1 ⎪ x1 ⎩ +x 2 +2 x 3 +2 mx 4 = m2 + m + 2 ⎧mx +y +z = m ⎪ Bài 15: Cho hệ phương trình ⎨ 2 x + (1 + m )y + (1 + m )z = m − 1 . Tìm tham số m ⎪ x +y + mz = 1 ⎩ để hệ phương trình trên có nghiệm. ⎧ax −3y + z = −2 ⎪ Bài 16: Cho hệ phương trình ⎨ax + y +2 z = 3 (I), trong đó a, b là tham số. ⎪3x +2 y + z = b ⎩ 1. Xác định a, b để hệ (I) là hệ Cramer. Khi đó hãy tìm nghiệm của hệ theo a, b . 2. Tìm a, b để hệ (I) vô nghiệm. 3. Tìm a, b để hệ (I) có vô số nghiệm và tìm nghiệm tổng quát của hệ. ⎧ x 1 − 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 0 ⎪ ⎪2 x1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 0 Bài 17: Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình ⎨ . ⎪3x1 − 2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 0 ⎪ x 1 + 4 x 2 − 6 x 3 + 3x 4 = 0 ⎩