Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian
lượt xem 20
download
Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian sẽ giúp bạn ôn tập và các dạng bài tập về toán cực trị trong hình học không gian, ôn thi đại học hiệu quả. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Khai th¸c c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau vÒ mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ trong h×nh häc kh«ng gian PhÇn 1: C¬ së lý thuyÕt 1. Trong kh«ng gian oxyz: XÐt hÖ to¹ ®é §Ò c¸c vu«ng gãc gi¶ sö A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) th× AB ( x1 x 2 , y 2 y1 , z 2 z1 ) AB (x1 x 2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z 2 )2 2. Cho 2 vect¬: u ( x1 , y1 , z1 ) , v ( x2 , y 2 , z 2 ) 2 2 2 2 * u x1 y1 z 21 v x2 y 2 z 2 2 dÊu ®¼ng thøc p x¶y ra khi vµ chØ khi u, v cïng chiÒu hoÆc 1 trong 2 vect¬ b»ng 0 * uv u v dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi u, v cïng chiÒu hoÆc 1 trong 2 vect¬ b»ng 0 *§iÒu kiÖn ®Ó hai vÐc t¬ a vµ b cïng ph¬ng lµ t R ®Ó a =t b *§iÒu kiÖn ®Ó ba vÐc t¬ a ; c vµ b kh«ng ®ång ph½ng lµ a; b .c 0 *§iÒu kiÖn ®Ó ba vÐc t¬ a ; c vµ b ®ång ph½ng lµ a; b .c 0 * u v u.v 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 * Cho ABC Th× AB+BC BC vµ AB BC AC dÊu ®¼ng thøc s·y ra khi ba ®iÓm A;B;C th¼ng hµng Văn Thời-Văn Hưng 1 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 PhÇn II . C¸c d¹ng to¸n - ph¬ng ph¸p chung vµ vÝ dô minh ho¹ x x0 y y0 z z0 I .D¹ng 1 Cho ®êng th¼ng : vµ hai ®iÓm A vµ B a b c Sao cho AB// .H·y t×m trªn ®iÓm M sao cho : 1. MA+MB nhá nhÊt 2. MA MB nhá nhÊt 3. MA k MB ng¾n nhÊt .A .B M x x0 y y0 z z0 C©u 1; Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB // a b c h·y t×m trªn ®iÓm M Sao cho MA+MB nhá nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p chung C¸ch 1: I A B M M' x x0 y y0 z z0 : a b c A' *chøng minh cho AB // *Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB .Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn . Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau : Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua hiÓn nhiªn 3 ®iÓm A’;M;B lµ th¼ng hµng . Gi¶ sö M’ lµ 1 ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B M ' A ' M ' B A ' B MA ' MB MA MB C¸ch 2: Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua ,Gäi M lµ giao ®iÓm cña A’B vµ Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gi¶ sö M’ lµ 1 ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B M ' A ' M ' B A ' B MA ' MB MA MB x 1 y z 1 2 . VÝ dô minh ho¹: cho : 1 2 1 Văn Thời-Văn Hưng 2 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Víi A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) T×m trªn ®iÓm M. sao cho :MA+MB nhá nhÊt C¸ch 1: NhËn xÐt ®êng th¼ng cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v (1, 2,1) 2 2 3 Vµ AB (2, 4, 2) // v Thay to¹ ®é A vµo ph¬ng tr×nh ®îc: 1 2 1 V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc nªn AB// x 1 t Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y 2t (t R) z 1 t Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th× I=(0,0,0) Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn th× M=(1-t, 2t , t-1) (1) VËy: IM (1 t , 2t , t 1) Ta cã: 1 1 2 2 2 v .IM 0 t 1 4t t 1 0 t Thay t vµo (1) ta ®îc M , , 3 3 3 3 3 Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua v× AB// nªn A’,M, B th¼ng hµng vµ MA’=MB. LÊy ®iÓm M’ tuú ý thuéc . Ta cã: M’A +M’B=M’A’+M’B A’B= MA’+ MB = MA+ MB C¸ch 2: NhËn xÐt ®êng th¼ng cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v (1, 2,1) Vµ AB (2, 4, 2) // v 2 2 3 Thay to¹ ®é A vµo ph¬ng tr×nh ®îc: V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc nªn 1 2 1 x 1 t AB// Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y 2t (t R) z 1 t Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn Th× H=(1-t,2t,-1+t) (1) 4 VËy AH (t 2, 2t 2, t 2) Ta cã v . AH 0 t 2 4t 4 t 2 0 6t 8 t 3 4 1 8 1 Thay t vµo (1) ®îc to¹ ®é ®iÓm H , , 3 3 3 3 2 16 2 Gäi A ' x1 , y1 , z1 lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua Ta cã: A ' B , , // v (1, 8, 1) 3 3 3 x 1 y 2 z 1 8 x y 6 0 8 x y 6 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng A’B lµ: 1 8 1 y 2 8z 8 y 8z 6 2 x 2 y 2 x y 2 VËy ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña lµ: y 2z 2 y 2z 2 Văn Thời-Văn Hưng 3 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Gäi M=(x,y,z) lµ giao ®iÓm cña A’B vµ th× to¹ ®é M lµ nghiÖm cña hÖ: 2 8 x y 6 x 3 y 8z 6 2 2 2 2 y vËy M , , 2 x y 2 3 3 3 3 y 2 z 2 2 z 3 NhËn xÐt M lµ ®iÓm cÇn t×m. thËt vËy lÊy ®iÓm M tuú ý trªn Ta cã: M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB. x x0 y y0 z z0 C©u 2 : Cho ®êng th¼ng : vµ hai ®iÓm A vµ B a b c Sao cho AB// .H·y t×m trªn ®iÓm M sao cho : MA MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p chung C¸ch 1: A I B x x0 y y0 z z0 M M' : a b c Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB .Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn T×m to¹ ®é M vµ chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau .Gäi M' lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B =2M'I 2MI = MA MB C¸ch 2: LÊy M ( x0 at ; y0 bt; z0 ct ) tÝnh ®é dµi cña MA MB tõ ®ã t×m ®îc GTNN x 1 y z 1 2.vÝ dô minh ho¹: cho : Víi A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) T×m trªn ®iÓm 1 2 1 M. sao cho : MA MB nhá nhÊt C¸ch 1: NhËn xÐt ®êng th¼ng cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v (1, 2,1) Vµ AB (2, 4, 2) // v 2 2 3 Thay to¹ ®é A vµo ph¬ng tr×nh ®îc: 1 2 1 Văn Thời-Văn Hưng 4 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc nªn AB// x 1 t Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y 2t (t R) z 1 t Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th× I=(0,0,0). Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn th× M=(1-t , 2t, t-1) (1) VËy: IM (1 t , 2t , t 1) 1 1 2 2 2 Ta cã: v .IM 0 t 1 4t t 1 0 t . Thay t vµo (1) ta ®îc M , , 3 3 3 3 3 Ta chøng minh ®iÓm M cÇn t×m: ThËt vËy. Gäi M’ lµ ®iÓm tuú ý thuéc Ta cã: M ' A M ' B 2 M ' I 2 M ' I 2 MI MA MB x 1 t C¸ch 2: Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y 2t (t R) LÊy ®iÓm z 1 t M ( 1 t ; 2t ; 1 t ) Ta cã AM ( 2-t;2t-2;t-2) vµ BM (t ; 2t 2; t ) Nªn AM BM (2-2t;4t;2t-2) vËy MA MB (2-2t) 2 +16t 2 +(2t-2) 2 24t 2 16t 8 1 2 2 2 MA MB nhá nhÊt khi t= tøc M , , 3 3 3 3 x x0 y y0 z z0 C©u 3: Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB // a b c h·y t×m trªn ®iÓm M Sao cho MA k MB ng¾n nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i x x0 at *ViÕt ph¬ng tr×nh vÒ tham sè y y0 bt (t R) z z ct 0 *LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) Thay vµo P= MA k MB = f (t ) víi f(t) lµ tam thøc bËc hai tõ ®ã ta t×m ®îc GTNN cña P 2. VÝ dô minh ho¹: cho : x 1 y z 1 Víi A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) T×m trªn ®iÓm 1 2 1 M. Sao cho : MA 3MB nhá nhÊt Văn Thời-Văn Hưng 5 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 x 1 t Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y 2t (t R) Gäi M lµ ®iÓm tuú ý thuéc ®iÓm z 1 t M=(1-t , 2t , t-1)(*) Ta cã MA (t 2, 2 2t , 2 t ); MB (t , 2 2t , t ) 3MB (3t , 6t 6,3t ) P MA 3MB (2t 2, 4t 8, 2t 2) VËy P MA 3MB 4t 2 8t 4 16t 2 64t 64 4t 2 8t 4 24t 2 80t 72 5 5 8 10 8 P nhá nhÊt t Khi t vµo (*) ta ®îc M , , 3 3 3 3 3 x x0 y y0 z z0 II .D¹ng 2 Cho ®êng th¼ng : vµ hai ®iÓm A vµ B a b c Sao cho AB c¾t .H·y t×m trªn ®iÓm M sao cho : 1.MA+MB nhá nhÊt B 2. MA MB nhá nhÊt A 3. MA k MB ng¾n nhÊt x x0 y y0 z z0 C©u1: Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ a b c c¾t nhau ,vµ A;B n»m cïng phÝa so víi . h·y t×m ®iÓm M Sao cho MA+MB nhá nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i C¸ch 1: *chøng minh cho AB vµ c¾t nhau vµ A;B n»m cïng phÝa so víi . Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua ,Gäi M lµ giao ®iÓm cña A’B vµ Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gi¶ sö M’ lµ 1 ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B M ' A ' M ' B A ' B MA ' MB MA MB C¸ch 2: *LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA vµ MB P MA MB f (t ) g (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc GTNN cña P 2.vÝ dô minh ho¹: x2 y5 z VÝ dô 1: Trong kh«ng gian Oxyz cho ®êng th¼ng : (d) 1 5 3 Văn Thời-Văn Hưng 6 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 vµ 2 ®iÓm M1(2 ; 1; 5) ; M2(4 ; 3 ; 9). T×m ®iÓm I (d) sao cho IM1 + IM2 nhá nhÊt. (d) cã vÐc t¬ chØ ph¬ng lµ : a 1, 5, 3 vµ ®i qua ®iÓm A(2 ; -5 ; 0) Ph¬ng tr×nh tham sè cña : x 2 t (d) : y 5 5 t ( t R) z 3t Ta cã M 1M 2 2, 2, 4 nªn ph¬ng tr×nh tham sè ®êng th¼ng M1 M2 lµ : x 2 m y 1 m (m R) z 5 2 m To¹ ®é giao ®iÓm nÕu cã cña (d) vµ ®êng th¼ng M1 M2 lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh : 2 t 2 m t m 5 5 t 1 m m 1 3 t 5 2 m t 1 Giao ®iÓm E (1, 0, 3). Ta cã : E M1 1, 1, 2; E M 2 3, 3 , 6 VËy : E M 2 3 E M1 nªn M1 vµ M2 ë vÒ cïng 1 phÝa ®èi víi ®êng th¼ng (d). Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua M1 vµ () (d) nªn ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng () lµ : 1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0 x - 5y - 3z + 18 = 0 Giao ®iÓm H cña (d) víi mÆt ph¼ng () : 9 t 7 x 5y 3z 18 0 x 5 x 2 t 7 5 10 27 H , , y 5 5 t y 10 7 7 7 z 3t 7 27 z 7 Gäi M' lµ ®iÓm ®èi xøng cña M1 qua (d) nªn H lµ trung ®iÓm M1M', do ®ã : 4 x' 2xH x1 7 13 4 13 19 y' 2yH y1 M' , , 7 7 7 7 19 z' 2zH z1 7 Văn Thời-Văn Hưng 7 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Khi ®ã mäi ®iÓm trªn (d) c¸ch ®Òu 2 ®iÓm M1 vµ M'. Nªn : FM1 + FM2 = FM' + FM2, F (d) Tæng nµy nhá nhÊt khi vµ chØ khi F lµ giao ®iÓm cña (d) víi ®êng th¼ng M2M' (v× M2 32 8 44 vµ M' ë hai bªn ®êng th¼ng (d)). Ta cã : M 1M 2 ; ; 7 7 7 Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua M' M2 lµ: x 4 8t' y 3 2t' (t' R) z 9 11t' Giao ®iÓm cña (d) víi M'M2 lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh : M2 M1 2 t 4 8t' 3 t' 7 5 5t 3 2t' (d) E I 3t 9 11t't 10 7 M' 4 15 30 To¹ ®é ®iÓm I cÇn t×m lµ : I ( ; ; ) 7 7 7 x 1 y z 1 VÝ dô 2: cho : víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ 1 2 1 ®iÓm B=(5;2;-3) t×m M thuéc sao cho MA MB lín nhÊt. Gi¶i: x 1 t C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y 2t (t R) z 1 t Do M M (1 t , 2t , t 1) . Suy ra AM (2 t , 2t 1, t 1) , BM ( 4 t , 2t 2, t 2) ®Æt P MA MB (2 t )2 (2t 1)2 (t 1) 2 (t 4)2 (2t 2) 2 (t 2)2 6t 2 2t 6 6t 2 4t 24 2 2 P 1 35 1 35 t t 6 6 36 3 9 1 35 1 35 P Chän M’= (t, 0) ; A ' , ; B ' , MA ' MB ' A ' B ' 6 6 3 3 6 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi 3 ®iÓm M’,A’,B’ th¼ng hµng. Hay MA ' k MB '(k R) 1 35 1 35 VËy MA ' t , ; MB ' t , 6 6 3 3 Văn Thời-Văn Hưng 8 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 1 t 1 1 1 2 Mµ MA ' // MB ' 6 2t t t 1 3 3 3 t 2 3 1 4 1 VËy M , , lµ ®iÓm cÇn t×m. 3 3 3 C¸ch 2: §êng th¼ng ®i qua ®iÓm C=(1, 0, -1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v (1, 2,1) Suy ra: AB (6,3, 3) vµ AC (2,1, 1) 3 3 3 6 6 3 Ta cã: AB, v , , (9, 3,15) vµ AB, v . AC 18 3 15 0 2 1 1 1 1 2 VËy 2 ®êng th¼ng AB vµ ®ång ph¼ng x 1 y 1 z x 1 y 1 z x 1 2 y 2 Ta cã ph¬ng tr×nh AB: 6 3 3 2 1 1 y z 1 2 x 2 y 2 x y 2 Ph¬ng tr×nh : x 1 z 1 x z 0 Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ . To¹ ®é D lµ nghiÖm cña hÖ: 2 x y 2 x z 0 x 1 y 0 D (1, 0, 1) y z 1 z 1 x 2 y 1 Ta cã : x A xD xB vËy A vµ B n»m kh¸c phÝa so víi ®êng th¼ng . Gäi H lµ h×nh chiÕu cña cña B trªn ®êng th¼ng . To¹ ®é H=(1-t, 2t, t-1) lµ 1 ®iÓm thuéc . Tacã: HB (t 4, 2 2t , 2 t ) , HB.v 0 (t 4) 2(2 2t ) 2 t 0 1 4 2 4 t 4 4 4t 2 t 0 6t 2 t VËy H , , 3 3 3 3 Gäi B lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua ®êng th¼ng th× H lµ trung ®iÓm cña BB’. Nªn to¹ 7 10 1 4 7 1 ®é B ' , , AB ' , , // v AB ' (4, 7, 1) 3 3 3 3 3 3 x 1 y 1 z 7 x 7 4 y 4 7 x 4 y 3 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB’ lµ: 4 7 1 x 1 4 z x 4 z 1 Gäi M’ lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®êng th¼ng th×: M ' A M ' B M ' A M ' B ' AB ' MA MB ' MA MB Văn Thời-Văn Hưng 9 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 1 7 x 4 y 3 x 3 x 4 z 1 4 1 4 1 VËy to¹ ®é M lµ nghiÖm cña hÖ: y H , , 2 x y 2 3 3 3 3 x z 0 1 z 3 x x0 y y0 z z0 C©u2: Cho ®êng th¼ng : vµ hai ®iÓm A vµ B a b c Sao cho AB c¾t .H·y t×m trªn ®iÓm M sao cho : . MA MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p chung A I B x x0 y y0 z z0 M M' : a b c C¸ch 1: Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB .Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn T×n to¹ ®é M vµ chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau .Gäi M' lµ ®iÓm tuú ý trªn ta cã M ' A M ' B =2M'I 2MI = MA MB C¸ch 2: LÊy M ( x0 at ; y0 bt; z0 ct ) tÝnh ®é dµi cña MA MB tõ ®ã t×m ®îc GTNN x 1 y z 1 cho : víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ ®iÓm B=(5;2;-3) 1 2 1 t×m M thuéc sao cho : MA MB nhá nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u 2 d¹ng 1) x x0 y y0 z z0 C©u3: Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB c¾t a b c h·y t×m trªn ®iÓm M Sao cho MA k MB ng¾n nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i x x0 at * ViÕt ph¬ng tr×nh vÒ tham sè y y0 bt (t R) z z ct 0 * LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) Thay vµo P= MA k MB = f (t ) víi f(t) lµ tam thøc bËc hai tõ ®ã ta t×m ®îc GTNN cña P Văn Thời-Văn Hưng 10 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 x 1 y z 1 cho : víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ ®iÓm B=(5;2;-3) 1 2 1 t×m M thuéc sao cho : MA 2MB nhá nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u 3 d¹ng 1) x x0 y y0 z z0 III. D¹ng 3 : Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho a b c AB vµ chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho 1. P=MA+MB nhá nhÊt 2. P= MA MB §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 3. P= MA 2MB ng¾n nhÊt (t¬ng tù c©u 3 d¹ng 2) x x0 y y0 z z0 C©u 1: Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ a b c chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho P=MA+MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p: LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA vµ MB P MA MB f (t ) g (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc GTNNcña P x 1 y z 1 2.VÝ dô minh ho¹ : cho ®êng th¼ng : vµ 2 ®iÓm A=(0,1,1), B=(1,0,0) 1 1 1 .T×m ®iÓm M sao cho: MA+MB nhá nhÊt T×m ®iÓm M sao cho: MA+MB nhá nhÊt Gi¶i: NhËn xÐt ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm C=(1,0,-1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v (1,1, 1) . Ta cã AC (1, 1, 2) vµ AB (1, 1, 1) 1 1 1 1 1 1 Vµ AB, v , , ( 2,0, 2) AB, v . AC 2 4 2 0 1 1 1 1 1 1 nªn ®êng th¼ng chøa AB vµ chÐo nhau VËy ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: x 1 t y t (t R) LÊy ®iÓm M=(t+1, t, -t-1) (*) lµ ®iÓm tuú ý thuéc z 1 t Ta cã: AM (t 1, t 1, t 2) AM (t 1)2 (t 1) 2 (t 2) 2 3t 2 4t 6 Vµ BM (t , t , t 1) BM t 2 t 2 (t 1)2 3t 2 2t 1 Văn Thời-Văn Hưng 11 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 C¸ch 1: ta cã P MA MB = 3t 2 4t 6 + 3t 2 2t 1 P 4t 2t 1 2 4 1 2 2 2 (1) t2 2 t2 t t 3 3 3 3 3 9 3 9 2 14 1 2 Chän A ' , , B ' , , M ' (t ,0) 3 3 3 3 P Thay vµo (1) cã: M ' A ' M ' B ' A ' B ' 3 VËy P nhá nhÊt khi vµ chØ khi 3 ®iÓm A’, B’, M’ th¼ng hµng 1 2 14 2 14 Ta cã: A ' B ' , , A ' M ' t , 3 3 3 3 ®Ó 3 ®iÓm A’, M’, B’ th¼ng hµng ®iÒu kiÖn lµ 2 t 3 14 14 2 7 7 7 7 5 7 5 3t 2 3t t 1 14 2 12 6 6 18 3 13 7 7 5 7 13 Thay vµo (*) ®îc: M , , 18 18 18 x 1 t C¸ch 2: ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng lµ: y t (t R) z 1 t Ta lÊy ®iÓm M , to¹ ®é M=(t+1, t, -t-1). Gäi E lµ h×nh chiÕu cña B trªn . ®iÓm E=(t+1,t,-1-t). Ta cã BE (t , t , t 1) V× E lµ h×nh chiÕu cña B trªn ®êng th¼ng nªn. v .BE 0 t t t 1 0 1 2 1 2 4 1 1 6 t VËy to¹ ®é ®iÓm E , , BE 3 3 3 3 9 9 9 3 Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®êng th¼ng th× I=(t+1, t, -1-t) 2 Vµ AI (t 1, t 1, t 2). nªn AI .v 0 t 1 t 1 t 2 0 t 3 1 2 1 1 25 16 42 Ta cã I , , AI 3 3 3 9 9 9 9 Văn Thời-Văn Hưng 12 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 MI AI AI VËy M sao cho MI .ME Hay MI 7.ME (1) ME BE BE 2 2 2 1 1 1 Ta cã: MI t , t , t , ME t ; t , t 3 3 3 3 3 3 2 7 2 7 Thay vµo (1) ta cã: t t 7 ( 7 1)t 3 3 3 2 7 (2 7)( 7 1) 7 5 t 3( 7 1) 18 18 13 7 7 5 7 13 Thay t vµo to¹ ®é M ta ®îc: M , , 18 18 18 Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau. Gäi P lµ mÆt ph¼ng chøa I vµ P vu«ng gãc víi . Trªn mp dùng ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh IA, trªn ®êng trßn nµy lÊy ®iÓm A’ sao cho A’, B n»m vÒ hai phÝa so víi vµ A, B ®ång ph¼ng. LÊy ®iÓm M tuú ý trªn . Ta cã : M’A+M’B=M’A’+M’B A’B=MA’+MB=MA+MB x x0 y y0 z z0 C©u 2: Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ a b c chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho P= MA MB §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p :LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA vµ MB P MA MB f (t ) g (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc GTL cña P x 1 y z 1 2.VÝ dô minh ho¹: cho ®êng th¼ng : vµ 2 ®iÓm A=(0,1,1), B=(1,0,0) 1 1 1 T×m ®iÓm M sao cho: MA MB lín nhÊt. Gi¶i : NhËn xÐt ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm C=(1,0,-1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v (1,1, 1) . Ta cã AC (1, 1, 2) vµ AB (1, 1, 1) 1 1 1 1 1 1 Vµ AB, v , , ( 2,0, 2) AB, v . AC 2 4 2 0 1 1 1 1 1 1 nªn ®êng th¼ng chøa AB vµ chÐo nhau x 1 t VËy ph¬ng tr×nh tham sè cña lµ: y t (t R) z 1 t LÊy ®iÓm M=(t+1, t, -t-1) (*) lµ ®iÓm tuú ý thuéc Văn Thời-Văn Hưng 13 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Ta cã: AM (t 1, t 1, t 2) AM (t 1)2 (t 1) 2 (t 2) 2 3t 2 4t 6 Vµ BM (t , t , t 1) BM t 2 t 2 (t 1)2 3t 2 2t 1 C¸ch 1: ta cã P MA MB = 3t 2 4t 6 3t 2 2t 1 P 4t 2t 1 2 2 (1) 2 4 1 2 t 2 t2 2 t t 3 3 3 3 3 9 3 9 2 14 1 2 P Chän A ' , , B ' , , M ' (t , 0) . Thay vµo (1) cã: M ' A ' M ' B ' A ' B ' 3 3 3 3 3 VËy P lín nhÊt khi vµ chØ khi 3 ®iÓm A’, B’, M’ th¼ng hµng 1 2 14 2 14 Ta cã: A ' B ' , , A ' M ' t , 3 3 3 3 ®Ó 3 ®iÓm A’, M’, B’ th¼ng hµng ®iÒu kiÖn lµ 2 t 3 14 14 2 7 7 7 7 13 7 13 3t 2 3t t 1 2 14 12 6 6 18 3 5 7 7 13 7 5 Thay vµo (*) ®îc: M , , 18 18 18 x x0 y y0 z z0 C©u 3: Cho ®êng th¼ng : Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ a b c chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M Sao cho MA 2 MB ng¾n nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p: LÊy M tuú ý thuéc : M=( x0 at ; y0 bt ; z0 ct ) ta tinh MA; 2MB P MA 2 MB f (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P x 1 y z 1 2.VÝ dô minh ho¹ : cho ®êng th¼ng : vµ 2 ®iÓm A=(0,1,1), B=(1,0,0) 1 1 1 T×m ®iÓm M sao cho: MA 2 MB ng¾n nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u 3 d¹ng 1) IV.D¹ng 4 :Trong kh«ng gian cho 3 ®iÓm A,B,C vµ mÆt ph¼ng P .T×m trªn P ®iÓm M sao cho Q = aMA bMB cMC §¹t GTNN 1.Ph¬ng ph¸p : Gäi M = (x,y,z) thuéc P ta tÝnh a MA ; b MB vµ c MC Văn Thời-Văn Hưng 14 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 X ax b Ta cã a MA + b MB + c MC = (ax b; ay c; az d ) ®Æt Y ay c VËy Q= aMA bMB cMC Z az d = X 2 Y 2 Z 2 =OM’ víi M’=(X,Y,Z) víi O lµ gèc to¹ OM’ nhá nhÊt khi M’ lµ h×nh chiÕu cña O trªn mÆt ph¼ng (P) 2.VÝ dô minh ho¹ : Cho ΔABC Víi A=(-1,1,0) B =(1,-1,1) C =(0,1,2) vµ mÆt ph¼ng P:2x-y+z-1 =0 H·y t×m ®iÓm M thuéc P sao cho Q = MA 2 MB 3MC §¹t GTNN Gi¶i Gäi M = (x,y,z) thuéc P ta cã MA =(-1-x,1-y,-z) MB (1 x, 1 y,1 z ); MC ( x,1 y, 2 z ) Ta cã X 6 x 1 v MA 2MB 3MC = (-6x+1,-6y+2,-6z+8) ®Æt Y 6 y 2 Z 6 z 8 Ta cã Q = X 2 Y 2 Z 2 =OM’ víi M’=(X,Y,Z) víi O lµ gèc to¹ ®é vµ mÆt ph¼ng P trë thµnh 2X-Y+Z-2=0 Ta cã nq (2, 1,1) Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua O vµ vg gãc víi P X Y 1 7 23 th× pt®t d lµ Z Gäi M lµ giao ®iÓm cña d vµ P th× M = ( , , ) 2 1 18 18 18 V.D¹ng 5 : Cho hÖ thøc ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2 = R2 (1) H·y t×m cÆp (x;y;z) tho¶ m·n hÖ thøc (1) sao cho biÓu thøc P= ax+by+cz (2) lµ lín nhÊt vµ nhá nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p: C¸ch 1: NhËn xÐt (1) lµ ph¬ng tr×nh mÆt cÇu T©m I(x0;y0;z0) b¸n kÝnh R ;cßn (2) lµ ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) §Ó tån t¹i cÆp (x;y;z) th× mÆt ph¼ng (Q) ph¶i c¾t mÆt cÇu T©m I(x0;y0;z0) b¸n kÝnh R.Khi vµ chØ khi d(I;(P)) R m P M VËy m min P vµ M=MacP C¸ch 2: P= ax+by+cz (2) A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) P Ax By Cz D 2 P Ax0 By0 Cz0 D ( A2 B 2 C 2 ) ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ( z z0 )2 = = ( A2 B 2 C 2 ) R 2 m P M VÝ dô minh ho¹: Cho ®¼ng thøc ( x 1)2 y 2 ( z 2) 2 4 (1) vµ biÓu thøc P=2x-y+z h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña P víi x;y;z tho¶ m·n (1) C¸ch 1: NhËn xÐt (1)lµ mÆt cÇu cã t©m I(-1.0.2) vµ b¸n kÝnh R=2 cßn Văn Thời-Văn Hưng 15 2010
- TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 P=2x-y+z 2 x y z P 0 lµ ph¬ng tr×nh mÆt (Q) §Ó tån t¹i cÆp (x;y;z) th× mÆt ph¼ng (Q) ph¶i c¾t mÆt cÇu T©m I(-1.0.2) b¸n kÝnh R=2 .Khi vµ chØ khi P d(I;(Q)) 2 2 P 2 6 2 6 P 2 6 .VËy Min P= 2 6 vµ 6 MaxP= 2 6 Tõ lý luËn trªn hiÓn nhiªn x¶y ra dÊu ®¼ng thøc C¸ch 2: Ta cã A=2(x-1)+y+(z-2) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacoxki Ta cã P 2 (2 2 1 1) ( x 1) 2 y 2 ( z 2)2 24 .VËy 2 6 P 2 6 2 6 x 1 3 x 1 y z 2 6 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ 2 6 2 1 1 y 2 x y z 2 6 3 6 z 2 3 2 6 x 1 3 x 1 y z 2 6 VËy GTNNcña P lµ - 2 6 2 1 1 y 2 x y z 2 6 3 6 z 2 3 Văn Thời-Văn Hưng 16 2010
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Chuyên đề cực trị - giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất
115 p | 1746 | 562
-
Chuyên đề: Bài toán cực trị trong hình học giải tích
41 p | 2151 | 559
-
một số phương pháp cực trị hình học
23 p | 1027 | 284
-
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ TỔ HỢP, RỜI RẠC VÀ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI
31 p | 947 | 155
-
Tài liệu ôn thi Đại học: Chuyên đề về cực trị
17 p | 224 | 39
-
SKKN: Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
26 p | 167 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Một số sai lầm và phương pháp khắc phục khi giải bài toán cực trị đại số
25 p | 39 | 7
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học
54 p | 8 | 6
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Hệ thống một số bài toán cực trị trong hình học không gian “nhằm nâng cao hiệu quả học hình học giải tích của học sinh lớp 12 trường THPT Nguyễn Du”
17 p | 109 | 6
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Áp dụng phương pháp tiếp tuyến vào một số bài toán cực trị
20 p | 30 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12
42 p | 51 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh qua việc giải các dạng toán Cực trị số phức bằng phương pháp hình học
55 p | 7 | 5
-
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số cách trong giải bài toán cực trị trong Vật lý sơ cấp trung học phổ thông
19 p | 79 | 4
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số
35 p | 24 | 4
-
SKKN: Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực cải trị hình học trong hình tọa độ không gian
17 p | 62 | 3
-
SKKN: Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối
30 p | 51 | 3
-
SKKN: Áp dụng phương pháp tiếp tuyến vào một số bài toán cực trị
20 p | 34 | 2
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn