zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian

Chia sẻ: Tran Hung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Báo xấu

118
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian sẽ giúp bạn ôn tập và các dạng bài tập về toán cực trị trong hình học không gian, ôn thi đại học hiệu quả. Tham khảo nội dung tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số dạng toán cực trị trong hình học không gian

TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Khai th¸c c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau vÒ mét sè d¹ng to¸n cùc trÞ trong h×nh häc kh«ng gian PhÇn 1: C¬ së lý thuyÕt 1. Trong kh«ng gian oxyz: XÐt hÖ to¹ ®é §Ò c¸c vu«ng gãc gi¶ sö A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) th× AB  ( x1  x 2 , y 2  y1 , z 2  z1 )  AB  (x1  x 2 )2  (y1  y2 )2  (z1  z 2 )2 2. Cho 2 vect¬: u  ( x1 , y1 , z1 ) , v  ( x2 , y 2 , z 2 ) 2 2 2 2 * u  x1  y1  z 21 v  x2  y 2  z 2 2 dÊu ®¼ng thøc p x¶y ra khi vµ chØ khi u, v cïng chiÒu hoÆc 1 trong 2 vect¬ b»ng 0     * uv  u  v dÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi u, v cïng chiÒu hoÆc 1 trong 2 vect¬ b»ng 0     *§iÒu kiÖn ®Ó hai vÐc t¬ a vµ b cïng ph¬ng lµ t  R ®Ó a =t b       *§iÒu kiÖn ®Ó ba vÐc t¬ a ; c vµ b kh«ng ®ång ph½ng lµ  a; b  .c  0       *§iÒu kiÖn ®Ó ba vÐc t¬ a ; c vµ b ®ång ph½ng lµ  a; b  .c  0 * u  v  u.v  0  x1x2  y1y2  z1z2 0 * Cho  ABC Th× AB+BC  BC vµ AB  BC  AC dÊu ®¼ng thøc s·y ra khi ba ®iÓm A;B;C th¼ng hµng Văn Thời-Văn Hưng 1 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 PhÇn II . C¸c d¹ng to¸n - ph¬ng ph¸p chung vµ vÝ dô minh ho¹ x  x0 y  y0 z  z0 I .D¹ng 1 Cho ®êng th¼ng :   vµ hai ®iÓm A vµ B a b c Sao cho AB//  .H·y t×m trªn  ®iÓm M sao cho : 1. MA+MB nhá nhÊt   2. MA  MB nhá nhÊt   3. MA  k MB ng¾n nhÊt .A .B M x  x0 y  y0 z  z0 C©u 1; Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB //  a b c h·y t×m trªn  ®iÓm M   Sao cho MA+MB nhá nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p chung C¸ch 1: I A B M M' x  x0 y  y0 z  z0 :   a b c A' *chøng minh cho AB //  *Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB .Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn  . Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau : Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua  hiÓn nhiªn 3 ®iÓm A’;M;B lµ th¼ng hµng . Gi¶ sö M’ lµ 1 ®iÓm tuú ý trªn  ta cã M ' A  M ' B  M ' A ' M ' B  A ' B  MA ' MB  MA  MB C¸ch 2: Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua  ,Gäi M lµ giao ®iÓm cña A’B vµ  Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gi¶ sö M’ lµ 1 ®iÓm tuú ý trªn  ta cã M ' A  M ' B  M ' A ' M ' B  A ' B  MA ' MB  MA  MB x 1 y z  1 2 . VÝ dô minh ho¹: cho  :   1 2 1 Văn Thời-Văn Hưng 2 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Víi A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) T×m trªn  ®iÓm M. sao cho :MA+MB nhá nhÊt  C¸ch 1: NhËn xÐt ®êng th¼ng  cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v  (1, 2,1)   2 2 3 Vµ AB  (2, 4, 2) // v Thay to¹ ®é A vµo ph¬ng tr×nh  ®îc:   1 2 1 V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc  nªn AB//  x  1 t Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  2t (t  R)  z  1  t  Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th× I=(0,0,0) Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn  th×  M=(1-t, 2t , t-1) (1) VËy: IM  (1  t , 2t , t  1) Ta cã:   1 1  2 2 2  v .IM  0  t  1  4t  t  1  0  t  Thay t  vµo (1) ta ®îc M  , ,  3 3 3 3 3  Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua  v× AB//  nªn A’,M, B th¼ng hµng vµ MA’=MB. LÊy ®iÓm M’ tuú ý thuéc  . Ta cã: M’A +M’B=M’A’+M’B  A’B= MA’+ MB = MA+ MB C¸ch 2:    NhËn xÐt ®êng th¼ng  cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v  (1, 2,1) Vµ AB  (2, 4, 2) // v 2 2 3 Thay to¹ ®é A vµo ph¬ng tr×nh  ®îc:   V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc  nªn 1 2 1 x  1 t AB//  Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  2t (t  R)  z  1  t  Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A trªn  Th× H=(1-t,2t,-1+t) (1)    4 VËy AH  (t  2, 2t  2, t  2) Ta cã v . AH  0  t  2  4t  4  t  2  0  6t  8  t  3 4 1 8 1 Thay t  vµo (1) ®îc to¹ ®é ®iÓm H   , ,  3  3 3 3  2 16 2   Gäi A '   x1 , y1 , z1  lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua  Ta cã: A ' B   , ,  // v  (1, 8, 1) 3 3 3  x  1 y  2 z  1 8 x  y  6  0 8 x  y  6 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng A’B lµ:     1 8 1  y  2  8z  8  y  8z  6 2 x  2   y 2 x  y  2 VËy ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña  lµ:    y  2z  2  y  2z  2 Văn Thời-Văn Hưng 3 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Gäi M=(x,y,z) lµ giao ®iÓm cña A’B vµ  th× to¹ ®é M lµ nghiÖm cña hÖ:  2 8 x  y  6 x  3  y  8z  6    2 2 2 2   y  vËy M   , ,  2 x  y  2  3 3 3 3   y  2 z  2  2 z  3  NhËn xÐt M lµ ®iÓm cÇn t×m. thËt vËy lÊy ®iÓm M tuú ý trªn  Ta cã: M’A+M’B=M’A’+M’B  A’B=MA’+MB=MA+MB. x  x0 y  y0 z  z0 C©u 2 : Cho ®êng th¼ng :   vµ hai ®iÓm A vµ B a b c   Sao cho AB//  .H·y t×m trªn  ®iÓm M sao cho : MA  MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p chung C¸ch 1: A I B x  x0 y  y0 z  z0 M M' :   a b c Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB .Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn  T×m to¹ ®é M vµ chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau .Gäi M' lµ ®iÓm tuú ý trªn  ta cã     M ' A  M ' B =2M'I  2MI = MA  MB   C¸ch 2: LÊy M ( x0  at ; y0  bt; z0  ct ) tÝnh ®é dµi cña MA  MB tõ ®ã t×m ®îc GTNN x 1 y z 1 2.vÝ dô minh ho¹: cho  :   Víi A=(-1,2,1); B =(1,-2,-1) T×m trªn  ®iÓm 1 2 1   M. sao cho : MA  MB nhá nhÊt  C¸ch 1: NhËn xÐt ®êng th¼ng  cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v  (1, 2,1)   Vµ AB  (2, 4, 2) // v 2 2 3 Thay to¹ ®é A vµo ph¬ng tr×nh  ®îc:   1 2 1 Văn Thời-Văn Hưng 4 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 V©þ ®iÓm A kh«ng thuéc  nªn AB//  x  1 t Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  2t (t  R)  z  1  t  Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th× I=(0,0,0). Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn  th× M=(1-t , 2t, t-1) (1)  VËy: IM  (1  t , 2t , t  1)   1 1  2 2 2  Ta cã: v .IM  0  t  1  4t  t  1  0  t  . Thay t  vµo (1) ta ®îc M  , ,  3 3 3 3 3  Ta chøng minh ®iÓm M cÇn t×m: ThËt vËy. Gäi M’ lµ ®iÓm tuú ý thuéc       Ta cã: M ' A  M ' B  2 M ' I  2 M ' I  2 MI  MA  MB x  1 t C¸ch 2: Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  2t (t  R) LÊy ®iÓm  z  1  t    M ( 1  t ; 2t ; 1  t ) Ta cã AM  ( 2-t;2t-2;t-2) vµ BM  (t ; 2t  2; t )     Nªn AM  BM  (2-2t;4t;2t-2) vËy MA  MB  (2-2t) 2 +16t 2 +(2t-2) 2  24t 2  16t  8   1 2 2 2 MA  MB nhá nhÊt khi t= tøc M   , ,  3 3 3 3  x  x0 y  y0 z  z0 C©u 3: Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB //  a b c   h·y t×m trªn  ®iÓm M   Sao cho MA  k MB ng¾n nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i  x  x0  at *ViÕt ph¬ng tr×nh  vÒ tham sè  y  y0  bt (t  R)  z  z  ct  0 *LÊy M tuú ý thuéc  : M=( x0  at ; y0  bt ; z0  ct )   Thay vµo P= MA  k MB = f (t ) víi f(t) lµ tam thøc bËc hai tõ ®ã ta t×m ®îc GTNN cña P 2. VÝ dô minh ho¹: cho  : x 1 y z 1 Víi A=(-1,2,1); B=(1,-2,-1) T×m trªn  ®iÓm   1 2 1   M. Sao cho : MA  3MB nhá nhÊt Văn Thời-Văn Hưng 5 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 x  1 t Ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  2t (t  R) Gäi M lµ ®iÓm tuú ý thuéc  ®iÓm  z  1  t  M=(1-t , 2t , t-1)(*)    Ta cã MA  (t  2, 2  2t , 2  t ); MB  (t , 2  2t , t )  3MB  (3t , 6t  6,3t )   P  MA  3MB  (2t  2, 4t  8, 2t  2) VËy   P  MA  3MB  4t 2  8t  4  16t 2  64t  64  4t 2  8t  4  24t 2  80t  72 5 5 8 10 8  P nhá nhÊt  t  Khi t  vµo (*) ta ®îc M   , ,  3 3 3 3 3  x  x0 y  y0 z  z0 II .D¹ng 2 Cho ®êng th¼ng :   vµ hai ®iÓm A vµ B a b c Sao cho AB c¾t  .H·y t×m trªn  ®iÓm M sao cho : 1.MA+MB nhá nhÊt B   2. MA  MB nhá nhÊt A   3. MA  k MB ng¾n nhÊt  x  x0 y  y0 z  z0 C©u1: Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ  a b c c¾t nhau ,vµ A;B n»m cïng phÝa so víi  . h·y t×m ®iÓm M   Sao cho MA+MB nhá nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i C¸ch 1: *chøng minh cho AB vµ  c¾t nhau vµ A;B n»m cïng phÝa so víi  . Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua  ,Gäi M lµ giao ®iÓm cña A’B vµ  Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau Gi¶ sö M’ lµ 1 ®iÓm tuú ý trªn  ta cã M ' A  M ' B  M ' A ' M ' B  A ' B  MA ' MB  MA  MB C¸ch 2: *LÊy M tuú ý thuéc  : M=( x0  at ; y0  bt ; z0  ct ) ta tinh MA vµ MB P  MA  MB  f (t )  g (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc GTNN cña P 2.vÝ dô minh ho¹: x2 y5 z VÝ dô 1: Trong kh«ng gian Oxyz cho ®êng th¼ng :   (d) 1 5 3 Văn Thời-Văn Hưng 6 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 vµ 2 ®iÓm M1(2 ; 1; 5) ; M2(4 ; 3 ; 9). T×m ®iÓm I  (d) sao cho IM1 + IM2 nhá nhÊt.  (d) cã vÐc t¬ chØ ph¬ng lµ : a  1, 5, 3 vµ ®i qua ®iÓm A(2 ; -5 ; 0) Ph¬ng tr×nh tham sè cña : x  2  t  (d) : y   5  5 t ( t  R) z   3t   Ta cã M 1M 2   2, 2, 4  nªn ph¬ng tr×nh tham sè ®êng th¼ng M1 M2 lµ : x  2  m  y  1  m (m  R) z  5  2 m  To¹ ®é giao ®iÓm nÕu cã cña (d) vµ ®êng th¼ng M1 M2 lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh : 2  t  2  m t  m    5  5 t  1  m  m   1  3 t  5  2 m t   1   Giao ®iÓm E (1, 0, 3).     Ta cã : E M1  1, 1, 2; E M 2  3, 3 , 6 VËy : E M 2  3 E M1 nªn M1 vµ M2 ë vÒ cïng 1 phÝa ®èi víi ®êng th¼ng (d). Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua M1 vµ ()  (d) nªn ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng () lµ : 1(x - 2) - 5(y - 1) - 3(z - 5) = 0  x - 5y - 3z + 18 = 0 Giao ®iÓm H cña (d) víi mÆt ph¼ng () :  9 t   7 x  5y  3z  18  0   x  5  x  2  t  7  5 10 27    H , ,   y  5  5 t y  10 7 7 7  z   3t  7  27 z   7 Gäi M' lµ ®iÓm ®èi xøng cña M1 qua (d) nªn H lµ trung ®iÓm M1M', do ®ã :  4 x'  2xH  x1  7   13  4 13 19 y' 2yH  y1  M'  , ,   7  7 7 7  19 z'  2zH  z1  7  Văn Thời-Văn Hưng 7 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 Khi ®ã mäi ®iÓm trªn (d) c¸ch ®Òu 2 ®iÓm M1 vµ M'. Nªn : FM1 + FM2 = FM' + FM2, F  (d) Tæng nµy nhá nhÊt khi vµ chØ khi F lµ giao ®iÓm cña (d) víi ®êng th¼ng M2M' (v× M2  32 8 44  vµ M' ë hai bªn ®êng th¼ng (d)). Ta cã : M 1M 2   ; ;   7 7 7  Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua M' M2 lµ: x  4  8t'  y  3  2t' (t' R) z  9  11t'  Giao ®iÓm cña (d) víi M'M2 lµ nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh : M2 M1  2  t  4  8t' 3 t'     7  5  5t  3  2t'  (d) E I  3t  9  11t't   10   7 M' 4 15 30 To¹ ®é ®iÓm I cÇn t×m lµ : I ( ; ; ) 7 7 7 x 1 y z 1 VÝ dô 2: cho  :   víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ 1 2 1 ®iÓm B=(5;2;-3) t×m M thuéc  sao cho MA  MB lín nhÊt. Gi¶i: x  1 t C¸ch 1: Ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  2t (t  R)  z  1  t    Do M    M  (1  t , 2t , t  1) . Suy ra AM  (2  t , 2t  1, t  1) , BM  ( 4  t , 2t  2, t  2) ®Æt P  MA  MB  (2  t )2  (2t  1)2  (t  1) 2  (t  4)2  (2t  2) 2  (t  2)2  6t 2  2t  6  6t 2  4t  24 2 2 P  1  35  1  35   t     t    6  6  36  3 9 1 35   1 35  P Chän M’= (t, 0) ; A '   ,  ; B '   ,    MA ' MB '  A ' B ' 6 6   3 3  6 DÊu  ®¼ng  thøc  x¶y ra khi 3 ®iÓm M’,A’,B’ th¼ng hµng. Hay MA '  k MB '(k  R)   1 35    1 35  VËy MA '    t ,  ; MB '    t ,   6 6   3 3  Văn Thời-Văn Hưng 8 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 1   t 1 1 1 2 Mµ MA ' // MB '  6    2t  t  t  1 3 3 3 t 2 3  1 4 1  VËy M   , ,  lµ ®iÓm cÇn t×m. 3 3 3   C¸ch 2: §êng th¼ng  ®i qua ®iÓm C=(1, 0, -1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v  (1, 2,1)   Suy ra: AB  (6,3, 3) vµ AC  (2,1, 1)    3 3   3 6   6 3       Ta cã:  AB, v      ,  ,    (9, 3,15) vµ  AB, v  . AC  18  3  15  0   2 1   1 1   1 2   VËy 2 ®êng th¼ng AB vµ  ®ång ph¼ng x 1 y 1 z x 1 y 1 z x 1  2 y  2 Ta cã ph¬ng tr×nh AB:       6 3 3 2 1 1  y  z  1 2 x  2   y 2 x  y  2 Ph¬ng tr×nh  :    x  1   z 1 x  z  0 Gäi D lµ giao ®iÓm cña AB vµ . To¹ ®é D lµ nghiÖm cña hÖ: 2 x  y  2 x  z  0 x  1      y  0  D  (1, 0, 1)  y  z  1  z  1  x  2 y  1  Ta cã : x A  xD  xB vËy A vµ B n»m kh¸c phÝa so víi ®êng th¼ng  . Gäi H lµ h×nh chiÕu cña cña B trªn ®êng th¼ng  . To¹ ®é H=(1-t, 2t, t-1) lµ 1 ®iÓm thuéc  . Tacã:    HB  (t  4, 2  2t , 2  t ) , HB.v  0  (t  4)  2(2  2t )  2  t  0 1 4 2 4  t  4  4  4t  2  t  0  6t  2  t  VËy H   , ,  3 3 3 3  Gäi B lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua ®êng th¼ng  th× H lµ trung ®iÓm cña BB’. Nªn to¹ 7 10 1    4 7 1   ®é B '   , ,   AB '   , ,  // v AB '  (4, 7, 1)  3 3 3  3 3 3 x  1 y 1 z 7 x  7  4 y  4  7 x  4 y  3 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB’ lµ:     4 7 1  x  1  4 z  x  4 z  1 Gäi M’ lµ ®iÓm bÊt kú trªn ®êng th¼ng  th×: M ' A  M ' B  M ' A  M ' B '  AB '  MA  MB '  MA  MB Văn Thời-Văn Hưng 9 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134  1 7 x  4 y  3 x  3  x  4 z  1  4  1 4 1  VËy to¹ ®é M lµ nghiÖm cña hÖ:    y   H   , ,  2 x  y  2  3 3 3 3   x  z  0  1 z  3  x  x0 y  y0 z  z0 C©u2: Cho ®êng th¼ng  :   vµ hai ®iÓm A vµ B a b c   Sao cho AB c¾t  .H·y t×m trªn  ®iÓm M sao cho : . MA  MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p chung A I B x  x0 y  y0 z  z0 M M' :   a b c C¸ch 1: Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB .Gäi M lµ h×nh chiÕu cña I trªn  T×n to¹ ®é M vµ chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau .Gäi M' lµ ®iÓm tuú ý trªn  ta cã     M ' A  M ' B =2M'I  2MI = MA  MB   C¸ch 2: LÊy M ( x0  at ; y0  bt; z0  ct ) tÝnh ®é dµi cña MA  MB tõ ®ã t×m ®îc GTNN x 1 y z 1 cho  :   víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ ®iÓm B=(5;2;-3) 1 2 1   t×m M thuéc  sao cho : MA  MB nhá nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u 2 d¹ng 1) x  x0 y  y0 z  z0 C©u3: Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB c¾t  a b c   h·y t×m trªn  ®iÓm M   Sao cho MA  k MB ng¾n nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i  x  x0  at * ViÕt ph¬ng tr×nh  vÒ tham sè  y  y0  bt (t  R)  z  z  ct  0 * LÊy M tuú ý thuéc  : M=( x0  at ; y0  bt ; z0  ct )   Thay vµo P= MA  k MB = f (t ) víi f(t) lµ tam thøc bËc hai tõ ®ã ta t×m ®îc GTNN cña P Văn Thời-Văn Hưng 10 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 x 1 y z 1 cho  :   víi ®iÓm A=(-1;-1;0) vµ ®iÓm B=(5;2;-3) 1 2 1   t×m M thuéc  sao cho : MA  2MB nhá nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u 3 d¹ng 1) x  x0 y  y0 z  z0 III. D¹ng 3 : Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho a b c AB vµ  chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M   Sao cho 1. P=MA+MB nhá nhÊt 2. P= MA  MB §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt   3. P= MA  2MB ng¾n nhÊt (t¬ng tù c©u 3 d¹ng 2) x  x0 y  y0 z  z0 C©u 1: Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ  a b c chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M   Sao cho P=MA+MB nhá nhÊt 1.Ph¬ng ph¸p: LÊy M tuú ý thuéc  : M=( x0  at ; y0  bt ; z0  ct ) ta tinh MA vµ MB P  MA  MB  f (t )  g (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc GTNNcña P x 1 y z 1 2.VÝ dô minh ho¹ : cho ®êng th¼ng  :   vµ 2 ®iÓm A=(0,1,1), B=(1,0,0) 1 1 1 .T×m ®iÓm M sao cho: MA+MB nhá nhÊt T×m ®iÓm M sao cho: MA+MB nhá nhÊt Gi¶i:  NhËn xÐt ®êng th¼ng  ®i qua ®iÓm C=(1,0,-1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ v  (1,1, 1) .   Ta cã AC  (1, 1, 2) vµ AB  (1, 1, 1)    1 1   1 1 1 1       Vµ  AB, v     ,   ,      (  2,0, 2)    AB, v  . AC  2  4  2  0   1 1   1 1 1 1   nªn ®êng th¼ng chøa AB vµ  chÐo nhau VËy ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ: x  1 t  y  t (t  R) LÊy ®iÓm M=(t+1, t, -t-1) (*) lµ ®iÓm tuú ý thuéc   z  1  t   Ta cã: AM  (t  1, t  1, t  2)  AM  (t  1)2  (t  1) 2  (t  2) 2  3t 2  4t  6  Vµ BM  (t , t , t  1)  BM  t 2  t 2  (t  1)2  3t 2  2t  1 Văn Thời-Văn Hưng 11 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 C¸ch 1: ta cã P  MA  MB = 3t 2  4t  6 + 3t 2  2t  1 P 4t 2t 1  2 4  1 2 2 2 (1)   t2   2  t2    t     t    3 3 3 3  3 9  3 9  2 14   1  2  Chän A '   ,  , B '   ,  , M '  (t ,0)  3 3   3 3  P Thay vµo (1) cã:  M ' A ' M ' B '  A ' B ' 3 VËy P nhá nhÊt khi vµ chØ khi 3 ®iÓm A’, B’, M’ th¼ng hµng  1 2  14    2 14  Ta cã: A ' B '   ,   , A ' M '   t  ,   3 3   3 3  ®Ó 3 ®iÓm A’, M’, B’ th¼ng hµng ®iÒu kiÖn lµ 2 t 3 14 14  2 7 7 7  7 5  7 5   3t  2   3t  t  1 14  2 12 6 6 18 3  13  7  7  5 7  13  Thay vµo (*) ®îc: M   , ,   18 18 18  x  1 t C¸ch 2: ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng  lµ:  y  t (t  R)  z  1  t  Ta lÊy ®iÓm M   , to¹ ®é M=(t+1, t, -t-1). Gäi E lµ h×nh chiÕu cña B trªn  . ®iÓm E=(t+1,t,-1-t).  Ta cã BE  (t , t , t  1)   V× E lµ h×nh chiÕu cña B trªn ®êng th¼ng  nªn. v .BE  0  t  t  t  1  0 1 2 1 2  4 1 1 6 t  VËy to¹ ®é ®iÓm E   , ,   BE     3 3 3 3  9 9 9 3 Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn ®êng th¼ng  th× I=(t+1, t, -1-t)    2 Vµ AI  (t  1, t  1, t  2). nªn AI .v  0  t  1  t  1  t  2  0  t  3  1 2 1  1 25 16 42 Ta cã I   , ,   AI     3 3 3  9 9 9 9 Văn Thời-Văn Hưng 12 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 MI AI   AI    VËy M   sao cho   MI  .ME Hay MI   7.ME (1) ME BE BE  2 2 2  1 1 1 Ta cã: MI    t ,  t , t   , ME    t ;  t ,  t   3 3 3  3 3 3  2 7 2  7 Thay vµo (1) ta cã: t  t 7   ( 7  1)t   3 3 3 2  7 (2  7)( 7  1)  7  5 t   3( 7  1) 18 18  13  7  7  5 7  13  Thay t vµo to¹ ®é M ta ®îc: M   , ,   18 18 18  Ta chøng minh M lµ ®iÓm cÇn t×m nh sau. Gäi P lµ mÆt ph¼ng chøa I vµ P vu«ng gãc víi  . Trªn mp dùng ®êng trßn t©m I, b¸n kÝnh IA, trªn ®êng trßn nµy lÊy ®iÓm A’ sao cho A’, B n»m vÒ hai phÝa so víi  vµ A, B ®ång ph¼ng. LÊy ®iÓm M tuú ý trªn  . Ta cã : M’A+M’B=M’A’+M’B  A’B=MA’+MB=MA+MB x  x0 y  y0 z  z0 C©u 2: Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ  a b c chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M   Sao cho P= MA  MB §¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p :LÊy M tuú ý thuéc  : M=( x0  at ; y0  bt ; z0  ct ) ta tinh MA vµ MB P  MA  MB  f (t )  g (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc GTL cña P x 1 y z  1 2.VÝ dô minh ho¹: cho ®êng th¼ng  :   vµ 2 ®iÓm A=(0,1,1), B=(1,0,0) 1 1 1 T×m ®iÓm M sao cho: MA  MB lín nhÊt. Gi¶i : NhËn xÐt ®êng th¼ng  ®i qua ®iÓm C=(1,0,-1) vµ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ    v  (1,1, 1) . Ta cã AC  (1, 1, 2) vµ AB  (1, 1, 1)    1 1   1 1 1 1       Vµ  AB, v       ,   ,      (  2,0, 2)  AB, v  . AC  2  4  2  0   1 1   1 1 1 1   nªn ®êng th¼ng chøa AB vµ  chÐo nhau x  1 t VËy ph¬ng tr×nh tham sè cña  lµ:  y  t (t  R)  z  1  t  LÊy ®iÓm M=(t+1, t, -t-1) (*) lµ ®iÓm tuú ý thuéc  Văn Thời-Văn Hưng 13 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134  Ta cã: AM  (t  1, t  1, t  2)  AM  (t  1)2  (t  1) 2  (t  2) 2  3t 2  4t  6  Vµ BM  (t , t , t  1)  BM  t 2  t 2  (t  1)2  3t 2  2t  1 C¸ch 1: ta cã P  MA  MB = 3t 2  4t  6  3t 2  2t  1 P 4t 2t 1 2 2 (1)  2 4  1 2   t   2  t2    2 t     t    3 3 3 3  3 9  3 9  2 14   1 2  P Chän A '   ,  , B '   ,  , M '  (t , 0) . Thay vµo (1) cã:  M ' A ' M ' B '  A ' B '  3 3   3 3  3 VËy P lín nhÊt khi vµ chØ khi 3 ®iÓm A’, B’, M’ th¼ng hµng  1 2  14    2 14  Ta cã: A ' B '   ,  , A ' M '   t  ,   3 3   3 3  ®Ó 3 ®iÓm A’, M’, B’ th¼ng hµng ®iÒu kiÖn lµ 2 t 3 14 14  2 7 7 7  7  13  7  13   3t  2    3t  t 1 2  14 12 6 6 18 3  5  7  7  13 7  5  Thay vµo (*) ®îc: M   , ,   18 18 18  x  x0 y  y0 z  z0 C©u 3: Cho ®êng th¼ng  :   Vµ hai ®iÓm A vµ B sao cho AB vµ  a b c chÐo nhau ; h·y t×m ®iÓm M   Sao cho   MA  2 MB ng¾n nhÊt   1. Ph¬ng ph¸p: LÊy M tuú ý thuéc  : M=( x0  at ; y0  bt ; z0  ct ) ta tinh MA; 2MB   P  MA  2 MB  f (t ) Dïng ph¬ng ph¸p ®¸ng gi¸ ta t×m ®îc gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P x 1 y z  1 2.VÝ dô minh ho¹ : cho ®êng th¼ng  :   vµ 2 ®iÓm A=(0,1,1), B=(1,0,0) 1 1 1   T×m ®iÓm M sao cho: MA  2 MB ng¾n nhÊt (Ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng tù c©u 3 d¹ng 1) IV.D¹ng 4 :Trong kh«ng gian cho 3 ®iÓm A,B,C vµ mÆt ph¼ng P .T×m trªn P ®iÓm M    sao cho Q = aMA  bMB  cMC §¹t GTNN    1.Ph¬ng ph¸p : Gäi M = (x,y,z) thuéc P ta tÝnh a MA ; b MB vµ c MC Văn Thời-Văn Hưng 14 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134  X  ax  b       Ta cã a MA + b MB + c MC = (ax  b; ay  c; az  d ) ®Æt Y  ay  c VËy Q= aMA  bMB  cMC  Z  az  d  = X 2  Y 2  Z 2 =OM’ víi M’=(X,Y,Z) víi O lµ gèc to¹ OM’ nhá nhÊt khi M’ lµ h×nh chiÕu cña O trªn mÆt ph¼ng (P) 2.VÝ dô minh ho¹ : Cho ΔABC Víi A=(-1,1,0) B =(1,-1,1) C =(0,1,2) vµ mÆt ph¼ng    P:2x-y+z-1 =0 H·y t×m ®iÓm M thuéc P sao cho Q = MA  2 MB  3MC §¹t GTNN  Gi¶i Gäi M = (x,y,z) thuéc P ta cã MA =(-1-x,1-y,-z)   MB  (1  x, 1  y,1  z ); MC  ( x,1  y, 2  z ) Ta cã  X  6 x  1      v  MA  2MB  3MC = (-6x+1,-6y+2,-6z+8) ®Æt Y  6 y  2  Z  6 z  8  Ta cã Q = X 2  Y 2  Z 2 =OM’ víi M’=(X,Y,Z) víi O lµ gèc to¹ ®é vµ mÆt ph¼ng P trë  thµnh 2X-Y+Z-2=0 Ta cã nq  (2, 1,1) Gäi (d) lµ ®êng th¼ng ®i qua O vµ vg gãc víi P X Y 1 7 23 th× pt®t d lµ   Z Gäi M lµ giao ®iÓm cña d vµ P th× M = ( , , ) 2 1 18 18 18 V.D¹ng 5 : Cho hÖ thøc ( x  x0 )2  ( y  y0 )2  ( z  z0 ) 2 = R2 (1) H·y t×m cÆp (x;y;z) tho¶ m·n hÖ thøc (1) sao cho biÓu thøc P= ax+by+cz (2) lµ lín nhÊt vµ nhá nhÊt 1. Ph¬ng ph¸p: C¸ch 1: NhËn xÐt (1) lµ ph¬ng tr×nh mÆt cÇu T©m I(x0;y0;z0) b¸n kÝnh R ;cßn (2) lµ ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) §Ó tån t¹i cÆp (x;y;z) th× mÆt ph¼ng (Q) ph¶i c¾t mÆt cÇu T©m I(x0;y0;z0) b¸n kÝnh R.Khi vµ chØ khi d(I;(P))  R  m  P  M VËy m  min P vµ M=MacP C¸ch 2: P= ax+by+cz (2)  A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  P  Ax  By  Cz  D 2  P  Ax0  By0  Cz0  D   ( A2  B 2  C 2 )  ( x  x0 )2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 )2  = = ( A2  B 2  C 2 ) R 2  m  P  M VÝ dô minh ho¹: Cho ®¼ng thøc ( x  1)2  y 2  ( z  2) 2  4 (1) vµ biÓu thøc P=2x-y+z h·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña P víi x;y;z tho¶ m·n (1) C¸ch 1: NhËn xÐt (1)lµ mÆt cÇu cã t©m I(-1.0.2) vµ b¸n kÝnh R=2 cßn Văn Thời-Văn Hưng 15 2010
TT LTĐH, GIA SƯ PHI HƯNG PHÚ YÊN 0984124134 P=2x-y+z  2 x  y  z  P  0 lµ ph¬ng tr×nh mÆt (Q) §Ó tån t¹i cÆp (x;y;z) th× mÆt ph¼ng (Q) ph¶i c¾t mÆt cÇu T©m I(-1.0.2) b¸n kÝnh R=2 .Khi vµ chØ khi P d(I;(Q))  2   2  P  2 6  2 6  P  2 6 .VËy Min P= 2 6 vµ 6 MaxP= 2 6 Tõ lý luËn trªn hiÓn nhiªn x¶y ra dÊu ®¼ng thøc C¸ch 2: Ta cã A=2(x-1)+y+(z-2) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacoxki Ta cã P 2  (2 2  1  1)  ( x  1) 2  y 2  ( z  2)2   24 .VËy 2 6  P  2 6  2 6  x  1   3  x 1 y z  2    6 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P lµ 2 6   2 1  1  y   2 x  y  z  2 6  3   6 z  2   3  2 6  x  1   3  x 1 y z  2    6 VËy GTNNcña P lµ - 2 6   2 1 1  y   2 x  y  z  2 6  3   6 z  2   3 Văn Thời-Văn Hưng 16 2010

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.