zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Báo xấu

51
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của đề tài là hệ thống một số dạng toán áp dụng đồ thị hàm số để giải bài toán cực trị, tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia. Đưa ra những nhận xét, đánh giá và dấu hiệu đặc trưng cho các dạng toán để học sinh nhận dạng phương pháp. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12

Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. LỜI GIỚI THIỆU. 1.1. Lý do chọn đề tài. Đồ thị hàm số là một khái niệm thể hiện hình ảnh trực quan của hàm số, thông qua đồ thị hàm số mà chúng ta nhận ra được một số tính chất: Tính đồng biến, nghịch biến, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, nghiệm (số nghiệm) của một phương trình hay bất phương trình liên quan,... Trong thời gian gần đây, khi hình thức thi THPT Quốc gia chuyển sang thi trắc nghiệm khách quan thì các bài toán liên quan đến đồ thị rất được chú ý và thường xuất hiện trong kỳ thi THPT Quốc gia, thi HSG ở các tỉnh trên cả nước. Các bài toán có yếu tố đồ thị xuất hiện ở nhiều dạng toán khác nhau như: Sự biến thiên của hàm số, điểm cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số, nghiệm của phương trình – bất phương trình, tích phân – diện tích hình phẳng,... Phạm vi của đề tài này chỉ đề cập đến hai dạng toán đó là bài toán về sự biến thiên và bài toán về cực trị của hàm số. Đối với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay các em học sinh thường quen làm việc với các con số, số liệu cụ thể và cố gắng sử dụng máy tính cầm tay để tìm cách chọn được đáp án nhanh nhất. Các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc đọc được các thông tin cần thiết, chính xác về hàm số dựa vào đồ thị của chúng. Chính vì vậy tôi lựa chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” với mục đích giúp các em học sinh lớp 12 làm quen và dần thành thạo các bài toán liên quan đến đồ thị. Trước hết các em thành thạo cách vẽ đồ thị của các hàm số cơ bản, biết cách biến đổi đồ thị để vẽ được đồ thị một số hàm số khác liên quan dựa trên đồ thị của hàm số đã cho. Tiếp đó rèn luyện cho các em kỹ năng đọc các thông tin về hàm số dựa vào đồ thị đã cho. Từ đó các em giải được các bài toán về điểm cực trị, tính đơn điệu của hàm số bằng phương pháp vẽ đồ thị hàm số hoặc khai thác các thông tin trên đồ thị để xét dấu đạo hàm của các hàm số liên quan. Qua thực Năm học 2019 - 2020 Trang 1
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 tế giảng dạy ôn thi THPT Quốc gia tôi đã nghiên cứu, sưu tầm, xây dựng các bài toán theo từng dạng điển hình, từ dễ đến khó để học sinh từng bước tiếp cận, làm quen và thành thạo các dạng toán này. Đề tài này dựa trên cơ sở của chuyên đề “ Áp dụng đồ thị vào bài toán xét sự biến thiên và cực trị của hàm số ” của chính tác giả, đã tham gia báo cáo chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia năm học 2019-2020 và đã được hội đồng thẩm định cấp tỉnh lựa chọn vào nhóm 8 chuyên đề được tham gia báo cáo cấp tỉnh. Trên cơ sở những ghóp ý quý báu của các Thầy giáo, Cô giáo trong các cuộc hội thảo cấp trường, cấp cụm và cấp tỉnh tôi đã có tiếp thu và đã chỉnh sửa, đề xuất thêm các bài tập tự luyện cho học sinh rèn luyện thêm kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị. Xin trân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo, các bạn đồng nghiệp đã có những ý kiến ghóp ý cho đề tài trong thời gian qua. Do còn hạn chế thời gian chuẩn bị cho đề tài cũng như năng lực chuyên môn nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót về nội dung và hình thức trình bày. Kính mong các Thầy, Cô đọc và góp ý để báo cáo này được hoàn chỉnh hơn. 1.2. Mục đích nghiên cứu. - Hệ thống một số dạng toán áp dụng đồ thị hàm số để giải bài toán cực trị, tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong các kỳ thi THPT Quốc gia. - Đưa ra những nhận xét, đánh giá và dấu hiệu đặc trưng cho các dạng toán để học sinh nhận dạng phương pháp. 1.3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: * Đối tượng nghiên cứu: Một số dạng toán về các phép biến đổi đồ thị thường gặp, các bài toán nhận dạng, đọc thông tin và xử lý thông tin về hàm số khi biết đồ thị của hàm số liên quan. Áp dụng đồ thị vào các bài toán về cực trị, tính đơn điệu của hàm số thường gặp trong chương trình THPT. * Phạm vi nghiên cứu: Năm học 2019 - 2020 Trang 2
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Bám sát nội dung, chương trình giáo dục phổ thông, có sự mở rộng phù hợp với nội dung chương trình thi THPT Quốc gia môn toán trung học phổ thông. 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu: - Đề xuất, tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự từ dễ đến khó một cách hợp lý để học sinh tiếp nhận chúng một cách tự nhiên, không gặp nghiều khó khăn và theo một hệ thống. Từ đó tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp dạng toán này. - Đưa ra một số nhận xét, đánh giá chủ quan có hệ thống về cách tiếp cận lời giải trong các dạng toán cơ bản, điển hình. 1.5. Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu lý luận. - Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu. - Phân tích, đề xuất phương án giải quyết bài toán. - Thực nghiệm sư phạm qua công tác giảng dạy học sinh đại trà, công tác bồi dưỡng ôn luyện thi THPT QG của cá nhân tôi trong thời gian 3 năm học, từ năm 2017 – 2018 đến năm học 2019 – 2020. Với mục đích, nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu đã nêu ở trên, đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 ” chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản, thường gặp như phần phạm vi đề tài đã nêu ra. Vì lý do còn hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy, đề tài này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót trong cấu trúc cũng như nội dung. Kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho nhận xét, góp ý đề đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn ! Năm học 2019 - 2020 Trang 3
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 2. TÊN SÁNG KIẾN. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO HỌC SINH LỚP 12 3. TÁC GIẢ SÁNG KIẾN - Họ và tên: Nguyễn Minh Hải - Địa chỉ: Trường THPT Lê Xoay - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0912898797 - E_mail: haimathlx@gmail.com 4. CHỦ ĐẦU TƯ TẠO RA SÁNG KIẾN. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là tác giả của sáng kiến 5. LĨNH VỰC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Đối tượng, phạm vi áp dụng: Giảng dạy cho học sinh lớp 12, ôn thi trung học phổ thông quốc gia. - Vấn đề sáng kiến giải quyết: Hình thành kỹ năng áp dụng đồ thị giải các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số cho học sinh lớp 12. Giúp các em nắm chắc kiến thức môn học và đạt kết quả tốt hơn trong kỳ thi tốt nghiệp THPTQG. 6. NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU. - Sáng kiến được tác giả áp dụng lần đầu: Tháng 06 năm 2018 - Sau mỗi năm sáng kiến đã được tác giả bổ sung, chỉnh sửa để đáp ứng với yêu cầu giảng dạy của giáo viên cũng như yêu cầu học tập của học sinh. 7. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN PHẦN 1. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN. I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Vai trò của hoạt động giải bài tập toán Trong quá trình dạy học nói chung, cũng như dạy học môn Toán nói riêng, việc phát triển tư duy cho học sinh là một trong những khâu quan trọng và xuyên suốt trong nội dung, chương trình giảng dạy. Người giáo viên không chỉ Năm học 2019 - 2020 Trang 4
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 truyền thụ những tri thức dưới dạng sẵn có mà cần phải quan tâm nhiều đến việc dạy phương pháp, dạy cách đi tới tri thức mới cho học sinh. Một trong những biện pháp để phát triển tư duy học sinh đó là giải các bài tập toán. Giải các bài toán đóng vai trò trung tâm trong hoạt động dạy học. Chức năng của bài toán không chỉ bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Chính học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán học cho chính bản thân mình thông qua hoạt động giải các bài toán. 1.2. Các bước của hoạt động giải toán Hoạt động giải toán thường diễn ra theo năm bước sau đây: Bước 1: Tìm hiểu bài toán - Đọc kĩ đề, nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích rõ được các dữ kiện đã cho, điều kiện gắn liền với bài toán và hiểu được vấn đề mà bài toán yêu cầu giải quyết. - Tóm tắt bài toán, đổi đơn vị các đại lượng cho phù hợp. - Vẽ hình trong các bài toán hình học, hoặc mô hình minh họa. Bước 2. Tìm kiếm phương hướng giải (Chương trình giải) Đây là vấn đề khó khăn lớn nhất đối với đa số học sinh khi đứng trước một bài toán, học sinh thường không biết “ khởi động ” như thế nào, không biết bắt đầu từ đâu. Thông thường học sinh biến đổi một cách tùy tiện, cầu may, mà không có định hướng cụ thể, mặc dù các em có thể đã hiểu được những dữ kiện và yêu cầu của bài toán. Một số biện pháp giúp học sinh tìm phương hướng: - Nhận biết kiến thức: Huy động mọi kiến thức liên quan đến giả thiết và kết luận của bài toán. Phân tích theo hướng có lợi, sắp xếp và chắp nối các kiến thức để tìm ra cách giải. - Quy lạ về quen. - Nghiên cứu một vài trường hợp đặc biệt, từ đó dự đoán cách giải cũng như kết quả bài toán. - Phân tích đi lên, đi xuống: Tăng, giảm các điều kiện để tìm ra các dấu hiệu đặc biệt Bước 3: Lựa chọn phương hướng giải và tiến hành giải theo hướng đã chọn. Trong trường hợp có nhiều cách giải, giáo viên có thể đề nghị học sinh Năm học 2019 - 2020 Trang 5
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 tiến hành giải theo các cách khác nhau đã phát hiện ra. Từ đó phân tích để đi đến một cách giải tối ưu cho bài toán. Bước 4. Tiến hành soạn lời giải. Đây cũng là một bước khó khăn đối với học sinh, nhiều học sinh không biết cách trình bày lời giải một cách ngắn gọn, rõ ràng và chính xác, không những thế đôi khi họ còn mắc sai lầm. Chính vì thế việc rèn luyện kỹ năng trình bày cho học sinh là rất quan trọng. Bước 5. Kiểm tra, đánh giá kết quả. Thông thường học sinh không quan tâm nhiều đến việc kiểm tra, đánh giá kết quả, hoặc đơn giản chỉ dừng lại ở việc đối chiếu một cách rất trực quan các đáp số với nhau. Khâu kiểm tra, đánh giá kết quả là rất quan trọng vì nó bao hàm nhiều mục đích khác: - Kiểm tra các công thức và kết quả tính toán. - Kiểm tra các suy luận có hợp logic và chặt chẽ không, kết quả có thích đáng không. - Phát hiện cách giải khác đôi khi ngắn gọn hơn, hay hơn. - Đánh giá phương pháp giải, hệ thống dạng toán điển hình. - Phát hiện các trường hợp đặc biệt, khái quát hay mở rộng bài toán. II. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT 2.1. Hàm số liên tục 2.1.1. Định lí về mối liên hệ giữa tính liên tục và sự tồn tại nghiệm của phương trình. Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a) f (b)  0 , thì phương trình f ( x)  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b) . 2.1.2. Chú ý về đồ thị hàm số liên tục - Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó. - Đồ thị của hàm số liên tục nối hai điểm khác phía so với trục Ox thì luôn phải cắt trục Ox tại ít nhất một điểm. Năm học 2019 - 2020 Trang 6
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 2.2. Hàm số đồng biến, nghịch biến 2.2.1. Định nghĩa 1. Cho hàm số y  f ( x) xác định trên tập D (D là một khoảng, nửa khoảng, đoạn). - Hàm số y  f ( x) gọi là đồng biến trên tập D nếu x1 , x2  D và x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) . - Hàm số y  f ( x) gọi là nghịch biến trên tập D nếu x1 , x2  D và x1  x2 thì f ( x1 )  f ( x2 ) . 2.2.2. Nhận xét về đồ thị - Đồ thị hàm số đồng biến trên tập D là một đường đi lên từ trái sang phải trên tập D. - Đồ thị hàm số nghịch biến trên tập D là một đường đi xuống từ trái sang phải trên tập D. 2.2.3. Định lí 1 Cho hàm số y  f ( x) xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó: - Nếu f '( x)  0, x  D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D. - Nếu f '( x)  0, x  D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D. - Nếu f '( x)  0, x  D thì hàm số là hàm hằng số trên tập D. 2.2.4. Định lí 2 Cho hàm số y  f ( x) xác định và có đạo hàm trên tập D. Khi đó: - Nếu f '( x)  0, x  D và f '( x)  0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm số là hàm đồng biến trên tập D. - Nếu f '( x)  0, x  D và f '( x)  0 tại một số hữu hạn điểm trên D thì hàm số là hàm nghịch biến trên tập D. 2.3. Điểm cực trị của hàm số 2.3.1. Định nghĩa. Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) ( trong đó a có thể là  , b có thể là  ), x0  (a; b). a) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ), x  ( x0  h; x0  h) \ {x0 } thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0 . b) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ), x  ( x0  h; x0  h) \{x0 } thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x0 . 2.3.2. Nhận xét - Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại điểm x0  (a; b) thì f '( x0 )  0 . 2.3.3. Định lí 1 Năm học 2019 - 2020 Trang 7
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc K |{x0 } , với h > 0. a) Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y  f ( x) . Bảng biến thiên b) Nếu f '( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) . Bảng biến thiên 2.3.4. Định lí 2 Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( x0  h; x0  h ) ( h  0 ). Khi đó: a) Nếu f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x) . b) Nếu f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y  f ( x) . 2.4. Các dạng đồ thị của các hàm số cơ bản thường gặp 2.4.1. Đồ thị hàm bậc 2: y  ax 2  bx  c (a  0) 0 0 0 a>0 a
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 2.4.2. Đồ thị hàm bậc 3: y  ax3  bx 2  c (a  0) y '  0 có hai nghiệm y '  0 có nghiệm kép y '  0 vô nghiệm phân biệt a>0 a0 a
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 2.5. Một số phép biến đổi đồ thị hàm số Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C). Khi đó đồ thị của một số hàm số liên qua đến hàm số y  f ( x) được xác định như sau: 2.5.1. Đồ thị hàm số y  f ( x) Đồ thị hàm số y  f ( x) có được bằng cách lấy đối xứng với đồ thị (C) qua trục Oy. 2.5.2. Đồ thị hàm số y   f ( x) Đồ thị hàm số y   f ( x) có được bằng cánh lấy đối xứng với đồ thị (C) qua trục Ox. 2.5.3. Đồ thị hàm số y | f ( x) |  f ( x) khi f ( x)  0 Ta có: y | f ( x) |    f ( x) khi f ( x)  0 Do đó đồ thị hàm số y | f ( x ) | gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên trên của trục Ox, kể cả trục Ox. Phần 2: Phần đối xứng qua Ox với phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox. 2.5.4. Đồ thị hàm y  f (| x |)  f ( x) khi x  0 Ta có: y  f (| x |)   và hàm số y  f (| x |) là hàm chẵn  f ( x) khi x  0 Do đó đồ thị hàm số y  f (| x |) gồm hai phần Phần 1: Phần đồ thị (C) nằm phía bên phải của trục Oy, kể cả trục Oy. Phần 2: Phần đối xứng với Phần 1 qua trục Oy 2.5.5. Đồ thị hàm y  f ( x)  a Đồ thị hàm y  f ( x)  a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo vectơ  u  (0; a ) . + Nếu a  0 tịnh tiến (C) lên phía trên a đơn vị. + Nếu a  0 tịnh tiến (C) xuống phía dưới a đơn vị. 2.5.6. Đồ thị hàm số y  f ( x  a) Đồ thị hàm số y  f ( x  a) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo  vectơ u  (a;0) . + Nếu a  0 tịnh tiến (C) sang trái a đơn vị. + Nếu a  0 tịnh tiến (C) sang phải a đơn vị. 2.5.7. Đồ thị hàm số y  f ( x  a )  b Đồ thị hàm số y  f ( x  a)  b có được bằng cách tịnh tiến đồ thị (C) theo  vectơ u  (a; b) . Hoặc: - Vẽ đồ thị hàm số y  f ( x  a) từ đồ thị (C) được đồ thị ( C1 ) - Vẽ đồ thị y  f ( x  a )  b từ đồ thị ( C1 ) Năm học 2019 - 2020 Trang 10
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 2.6. Một số điểm cần chú ý khi đọc các thông tin trên một đồ thị hàm số 2.6.1. Khi biết đồ thị của hàm số y  f  x  - Khi biết đồ thị của hàm số (hoặc bảng biến thiên ) chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây: + Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x  + Điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f  x  . + Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. + Sự tương giao của đồ thị hàm số y  f  x  với một số đường đặc biệt: các trục tọa độ, các đồ thị hàm số khác liên quan,... 2.6.2. Khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x  - Khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x  (hoặc bảng xét dấu của f '  x  ) chúng ta cần phải nhận dạng được các yếu tố sau đây: + Dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định. + Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  x  + Điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f  x  . III. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Định hướng chung khi giải bài toán về sự biến thiên, cực trị của hàm số bằng phương pháp đồ thị. Hướng 1. – Từ đồ thị hàm số (hàm số) đã cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm số liên quan bằng các cách biến đổi đồ thị. - Dựa vào đồ thị rút ra kết luận. Hướng 2. – Căn cứ vào đồ thị hàm số đã cho chúng ta lập được bảng xét dấu của hàm số liên quan. - Dựa vào bảng xét dấu rút ra kết luận 3.1. Bài toán về sự biến thiên của hàm số 3.1.1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  u ( x)   v( x) khi biết đồ thị của hàm số y  f  x  Chú ý: Khi biết đồ thị (hoặc bảng biến thiên của hàm số) hàm số y  f  x  thì khoảng đơn điệu của hàm số dựa trên cơ sở sau: - Khoảng đồng biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là đường đi lên kể từ trái qua phải. - Khoảng nghịch biến của hàm số tương ứng với những phần đồ thị là đường đi xuống kể từ trái qua phải. Năm học 2019 - 2020 Trang 11
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Ví dụ 1. (NB) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;0  . B.  2;    . C.  0; 2  . D.  0;    . Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng (; 2) và  0; 2  . Chọn phương án C. Ví dụ 2. (NB) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. (2; 6) . B. (0; 4) . C. (3; 4) . D. (1; 4) . Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng (2; 4) do đó đồng biến trên (3; 4) . Chọn phương án C. Ví dụ 3. (TH) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có đồ thị như hình vẽ. Xét tính đơn điệu của hàm số y  f  x  ? Hướng dẫn giải  f  x  khi x  0 Ta có: y  f  x    . Mặt khác hàm số y  f  x  là hàm số chẵn  f   x  khi x  0 trên tập  . Nên đồ thị của hàm số y  f  x  nhận trục Oy làm trục đối xứng. Do đó đồ thị hàm y  f  x  gồm 2 phần: - Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía bên phải trục Oy , kể cả Oy. - Phần 2: Lấy đối xứng Phần 1 qua trục Oy . Năm học 2019 - 2020 Trang 12
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Đồ thị hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  Từ đồ thị suy ra: Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng  3; 1 và  0;1 và  3;   . Hàm số y  f  x  nghịch biến trên các khoảng  ; 3  và  1; 0  và 1;3  . Ví dụ 4. (TH) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 . B. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng 1; +  . C. Hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  1; 0  . D. Hàm số y  f  x  đồng biến biến trên khoảng  1;1 . Hướng dẫn giải Đồ thị hàm y  f  x  cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ x  a (a  1); x  b(0  b  1); x  c(c  1). Cách vẽ đồ thị hàm số  C  : y  f  x   f  x khi f  x   0 Ta có y  f  x    .   f  x  khi f  x   0 Từ đó suy ra cách vẽ đồ thị hàm số  C  từ đồ thị hàm số y  f  x  gồm 2 phần sau: Phần 1: Giữ nguyên đồ thị y  f  x  phần nằm phía trên trục Ox, kể cả Ox. Phần 2: Lấy đối xứng với phần 1 qua trục Ox. Đồ thị hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  Từ đồ thị suy ra: Năm học 2019 - 2020 Trang 13
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Hàm số y  f  x  nghịch biến trên các khoảng (; a),  1; b  , (1; c). Hàm số y  f  x  đồng biến trên các khoảng (a; 1),  b;1 , (c; ). Đối chiếu với các điều kiện của a, b, c ta nhận thấy (1; 0)  (1; b) nên hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 0  . Ví dụ 5.(VDT) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Xét tính đơn điệu của hàm số g  x  f  x 1  ? Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số g  x   f  x  1  - Từ đồ thị hàm số y  f  x  vẽ đồ thị hàm số y  f  x  (đường nét đứt trên hình vẽ) - Từ đồ thị hàm số y  f  x  vẽ đồ thị hàm số y  f  x  1  bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang trái 1 đơn vị (đường nét liền trên hình vẽ). Dựa vào đồ thị ta thấy: Hàm số g  x   f  x  1  đồng biến trên các khoảng (4; 2), (1; 0), (2; ). Hàm số g  x   f  x  1  nghịch biến trên các khoảng (; 4), (2; 1), (0; 2). Ví dụ 6. (VDC) Cho hàm số y  f ( x)  ax 4  bx 2  c, (a  0) có đồ thị (C) như hình vẽ. Hàm số 3 2 g ( x)   f    x2 1   3  f     x2  1   đồng biến trên khoảng nào? A.  0;   . B. (1;0) C. (;0) D. (1;1) Hướng dẫn giải Năm học 2019 - 2020 Trang 14
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Do hàm y  f  x  có đạo hàm trên  nên hàm y  g  x  cũng có đạo hàm trên  . f '  x   0  x  1; 0; f '  x   0 x  ( 1; 0)  (1; ); f '  x   0 x  ( ; 1)  (0;1). 2   Ta có g ( x)  3  f    x2  1  .  f     x2  1   6 f     x2 1 .  f   x2 1  .    3 f ( x 2  1).  f ( x 2  1)  .  f ( x 2  1)  2      x  3 f ( x 2  1). . f '( x 2  1).  f ( x 2  1)  2  . 2 x 1   Từ đồ thị  C  có f  x   2 , x   . Suy ra f   x 2  1  2  0, x   . Mặt khác x 2  1  1, x   nên dựa vào  C  suy ra f  x  1   0 . Do đó g '( x )  0  x  0 . 2 Ta có bảng xét dấu của y  g '( x) ( Thông qua xét dấu của g '(1) ) Do đó hàm số y  g ( x) đồng biến trên [0; ) . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) . Ví dụ 7. (VDC) Cho hàm số y  f  x   ax3  bx 2  cx  d với a, b, c, d ; a  0 là các số thực, có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng (2019; 2019) để hàm số g ( x)  f  x3  3x 2  m  nghịch trên khoảng  2;   ? A. 2012 B. 2013 C. 4028 D. 4026 Hướng dẫn giải Ta có g ( x)  (3x 2  6 x) f ( x 3  3x 2  m) . Với mọi x  (2; ) ta có 3x 2  6 x  0 nên để hàm số g ( x)  f  x3  3x 2  m  nghịch biến trên khoảng  2;    g '( x)  0, x  (2; )  f ( x 3  3x 2  m)  0, x  (2; ) . x 1 x 1 Từ đồ thị ta nhận thấy: f ( x)  0   ; f '( x)  0   x  3 x  3 Do đó: f ( x3  3x 2  m)  0, x  (2; )  h( x)  x 3  3 x 2  m  (;1]  [3; ), x  (2; ). (*) Xét hàm số h( x)  x3  3x 2  m trên khoảng x  (2; ) . Năm học 2019 - 2020 Trang 15
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Ta có: h '( x)  3 x 2  6 x  3 x( x  2)  0, x  2  Hàm h( x) đồng biến trên khoảng x  (2; ) . Lại có h(2)  m  4; lim h( x)  . x  Suy ra tập giá trị của hàm h( x) trên khoảng x  (2; ) là T  (m  4; ) Do đó (*)  (m  4; )  (;1]  [3; )  m  4  3  m  7 . Do m nguyên thuộc khoảng (2019; 2019) nên các giá trị nguyên của m là 7;8;9;...; 2018. Vậy có 2012 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn phương án A 3.1.2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  f  u ( x)   v( x) khi biết đồ thị của hàm số y  f '  x  . Chú ý: Khi cho đồ thị của hàm y  f '  x  thì chúng ta cần nhận ra được các khoảng đồng biến ( f '  x   0 ) tương ứng với phần đồ thị y  f '  x  nằm phía bên trên trục Ox, còn các khoảng nghịch biến ( f '  x   0 ) tương ứng với phần đồ thị y  f '  x  nằm phía dưới trục Ox. Ví dụ 1. (NB) Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị của hàm y  f   x  như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số f  x  nghịch biến trên  1; 0  . B. Hàm số f  x  đồng biến trên 1;   . C. Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  . D. Hàm số f  x  đồng biến trên  2;   . Hướng dẫn giải Từ đồ thị ta thấy f   x   0, x   ; 2  ; f   x   0, x   2;   ; f   x   0  x  1; 2. Từ đó suy ra các mệnh đề A, C, D đúng và B sai. Ví dụ 2. (TH) (Dựa theo Mã 102- Đề thi THPT Quốc gia năm 2018-2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị hàm y  f '  x  như hình bên. Hàm số y  f  5  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;3 . B.  0; 2  . C.  3;5  . D.  5;   . Hướng dẫn giải Ta có y  f  5  2 x   y  2 f   5  2 x  . Hàm số nghịch biến  y  0  2 f   5  2 x   0  f   5  2 x   0 . Năm học 2019 - 2020 Trang 16
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 5  2 x  1 x  2 Dựa vào đồ thị hàm y  f '  x  ta có f   5  2 x   0    .  3  5  2 x  1 3  x  4 Vậy hàm số y  f  5  2 x  nghịch biến trên các khoảng  3; 4  ,  ; 2  . Chọn phương án B. Ví dụ 3. (VDT) ( Đề thi HSG lớp 12 Tân Yên – Bắc Giang năm 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục và có đạo hàm trên  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y  f 1  x 2  nghịch biến trên khoảng nào sau đây ? 1 A. (1; 2). B.   ;   C. (2; 1) D. (1;1)  2  Hướng dẫn giải. Ta có y  f 1  x   y '  2 xf '(1  x 2 ); Khi đó y '  0  xf '(1  x 2 )  0 2  x0  2 x0  Khi đó y '  0  xf '(1  x )  0   2   1  x 2  1  x  0 .  f '(1  x )  0  1  x 2  2  Ta có bảng biến thiên của hàm y  f 1  x 2  Từ BBT suy ra hàm y  f 1  x 2  nghịch biến trên [0; ) . Chọn phương án A. Ví dụ 4. (VDT) Cho hàm số y  f  x  với đạo hàm f   x  có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt g  x   3 f  x   x3  3 x 2  3 x  2019 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? A. Hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng 1; 2  . B. Hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  1; 0  . C. Hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  0;1 . D. Hàm số y  g  x  nghịch biến trên khoảng  2;   . Hướng dẫn giải Ta có: g   x   3 f   x   3x 2  6 x  3 ; g   x   0  3 f   x   3x 2  6 x  3  0  f   x   x 2  2 x  1 Năm học 2019 - 2020 Trang 17
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 - Xét sự tương giao của hai đồ thị hàm số y  f   x  và y  x2  2x  1. Nhận thấy đồ thị hàm số y  f   x  và đồ thị hàm số y  x 2  2 x  1 cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt B, C , D có hoành độ lần lượt là x  0; x  1; x  2 . Khi x  0 đó g '( x)  0  f   x   x  2 x  1   x  1 . 2  x  2 Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;1 Chọn phương án C. Ví dụ 5. (VDC) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  có f  0   0 và đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ bên. Hàm số y  3 f  x   x 3 đồng biến trên khoảng nào sau đây? A.  1;0  . B.  0;1 . C. 1;   . D. 1;3  . Hướng dẫn giải Xét hàm số g  x   3 f  x   x 3  g '  x   3  f '  x   x 2  . Ta có: g '  x   0  f '  x   x 2 (1). Nhận thấy đồ thị hàm số y  x 2 đi qua 3 điểm O(0; 0), A(1;1), B (2; 4) và hai đồ thị hàm số y  f '  x  , y  x 2 cắt nhau tại đúng 3 điểm O(0; 0), A(1;1), B(2; 4) . x  0 Khi đó g '  x   0  f '  x   x   x  1 . 2  x  2 Từ đồ thị hàm số y  f '  x  và y  x 2 trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ ta thấy: Với x   ;0  hoặc x   2;   thì f '  x   x 2  f '  x   x 2  0  g '  x   0. Năm học 2019 - 2020 Trang 18
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Với x   0; 2   f '  x   x 2  f '  x   x 2  0  g '  x   0. Có f  0   0  g  0   0 và lim g ( x)  lim (3 f  x   x3 )  . Suy ra đồ thị hàm x  x  y  g  x  cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt có hoành độ x  0; x  a (a  2). Từ đó ta có bảng biến thiên Minh họa bằng đồ thị: Đồ thị hàm số y  g  x  Đồ thị hàm số y | g  x  | Từ đồ thị hàm số y  g  x  vẽ đồ thị hàm số y  g  x  . Suy ra hàm số y  3 f  x   x 3 đồng biến trên khoảng  0; 2  và  a;   với g  a   0, a  2. Chọn phương án B. 1.3. Bài tập tự luyện Bài tập 1. (NB) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số f  x  đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A.  0;   . B.  0; 2  . C.  2; 0 . D.  ; 2  . Bài tập 2. (NB) (Khảo sát 12 lần 1-THPT Yên Lạc - năm học 2019-2020) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. ; 1 B. 1;1 C. 0;1 D. 1; Năm học 2019 - 2020 Trang 19
Rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán về đồ thị hàm số cho học sinh lớp 12 Bài tập 3. (NB) (Khảo sát 12 lần 1-THPT Lê Xoay-năm học 2019-2020) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  như hình bên dưới. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số f  x  đồng biến trên 1;   . B. Hàm số f  x  đồng biến trên  2;1 . C. Hàm số f  x  nghịch biến trên  1;1 . D. Hàm số f  x  nghịch biến trên  ; 2  . Bài tập 4. (NB) (KSCL trường Lý Thánh Tông – Hà nội lần 2 năm 2019-2020) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào? A.  ; 1 B.  1;1 C.  2;   D.  0;1 Bài tập 5. (NB) (KSCL trường Lê Quý Đôn – Quảng Ninh năm 2019-2020) Cho hàm số y  f x  có đồ thị như hình vẽ Hàm số đồng biến trên khoảng: A.  2; 0  B.  2; 1 . C.  1; 0  . D.  0;2  . Bài tập 6. (NB) (KSCL lần 1- THPT Quốc Thái – An Giang năm 2019-2020) Cho hàm số y  f (x ) liên tục trên . và có đồ thị y  f '(x ) như hình vẽ. Hàm số y  f (x ) nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? A. ; 1 . B. 0; 2 . C. 1; 0. D. 2; . Bài tập 7. (NB) (KSCL lần 1- THPT Ngô Quyền – Hải Phòng năm 2019-2020) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên tập số thực  và có đồ thị như hình vẽ bên và f  2   f (2)  0 . Hàm số y  f  3  x  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ? A. (;1) B. (1; 2) C. (5; ) D. (2;3) Năm học 2019 - 2020 Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.