Ôn thi môn toán - Hệ phương trình lượng giác

Chia sẻ: Trần Anh Hùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

106
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo ôn tập môn toán về lý thuyết hình học nhận dạng tam giác dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học - cao đẳng tham khảo ôn tập và củng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn thi môn toán - Hệ phương trình lượng giác

C HÖÔNG IX: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏ N G GIAÙ C I. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHEÙP THEÁ ⎧2 cos x − 1 = 0 (1) ⎪ B aø i 173: G iaû i heä phöông trình: ⎨ 3 ( 2) ⎪sin 2x = 2 ⎩ 1 T a coù : (1) ⇔ cos x = 2 π + k2π ( k ∈ Z ) ⇔x=± 3 π x= + k 2π t hay vaø o (2), ta ñöôï c V ôù i 3 ⎛ 2π 3 ⎞ sin 2x = sin ⎜ + k4π ⎟ = ⎝3 2 ⎠ π x = − + k2π t hay vaø o (2), ta ñöôï c V ôù i 3 ⎛ 2π 3 3 ⎞ sin 2x = sin ⎜ − + k4 π ⎟ = − ( loaï i ) ≠ ⎝3 2 2 ⎠ π Do ñoù nghieä m củ a h eä laø : x = + k 2π, k ∈ 3 ⎧sin x + sin y = 1 ⎪ B aø i 174: G iaû i heä phöông trình: ⎨ π ⎪x + y = 3 ⎩ C aù c h 1: x+y x−y ⎧ ⎪2 sin 2 .cos 2 = 1 ⎪ H eä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪x + y = π ⎪ 3 ⎩ x−y x−y π ⎧ ⎧ ⎪2.sin 6 .cos 2 = 1 ⎪cos 2 = 1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = π ⎪x + y = π ⎪ ⎪ 3 3 ⎩ ⎩
π ⎧x− y ⎧ ⎧ x − y = 4k π x = + k 2π = k 2π ⎪ ⎪2 ⎪ ⎪ ⎪ 6 (k ∈ Z ) ⇔⎨ ⇔⎨ π ⇔⎨ π π x+ y = ⎪x + y = ⎪ ⎪ y = − k 2π ⎩ 3 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 3 6 C aù c h 2: H eä ñaõ cho π π ⎧ ⎧ ⎪y = 3 − x ⎪y = 3 − x ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin x + sin ⎛ π − x ⎞ = 1 ⎪ 3 cos x + 1 sin x = 1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ⎝3 ⎠ ⎩2 ⎩ 2 π ⎧ π ⎧ ⎪y = 3 − x ⎪y = 3 − x ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎜ π + x ⎟ = 1 ⎪ π + x = π + k 2π ⎛ ⎞ ⎪3 ⎪ ⎝3 ⎩ ⎠ 2 ⎩ π ⎧ ⎪ x = 6 + k 2π ⎪ ⇔⎨ k∈ ⎪ y = π − k 2π ⎪ ⎩ 6 ⎧sin x + sin y = 2 (1) ⎪ B aø i 175 : G iaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪cos x + cos y = 2 (2) ⎩ C aù c h 1: x+y x−y ⎧ ⎪2 sin 2 cos 2 = 2 (1) ⎪ H eä ñaõ cho ⇔⎨ ⎪2 cos x + y cos x − y = 2 (2) ⎪ 2 2 ⎩ L aá y (1) chia cho (2) ta ñöôï c : ⎛x+ y⎞ x−y tg ⎜ ⎟ = 1 ( do cos = 0 k hoâ n g laø nghieä m cuû a (1) vaø (2) ) ⎝2⎠ 2 x+ y π ⇔ = + kπ 2 4 π π ⇔ x + y = + k 2π ⇔ y = − x + k 2π 2 2 ⎛π ⎞ t hay vaø o (1) ta ñöôï c : sin x + sin ⎜ − x + k2π ⎟ = 2 ⎝2 ⎠ ⇔ sin x + cos x = 2
π⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 2 ⎝ 4⎠ π ⇔ x − = h 2π, h ∈ 4 π ⎧ ⎪ x = 4 + h2π, h ∈ ⎪ D o ñoù : heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ y = π + ( k − h ) 2π, k , h ∈ ⎪ ⎩ 4 ⎧A = B ⎧A + C = B + D C aù c h 2 : Ta coù ⎨ ⇔⎨ ⎩C = D ⎩A − C = B − D H eä ñaõ cho ⎧( sin x − cos x ) + ( sin y − cos y ) = 0 ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + cos x ) + ( sin y − cos y ) = 2 2 ⎩ ⎧ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ 2 sin ⎜ x − ⎟ + 2 sin ⎜ y − ⎟ = 0 4⎠ 4⎠ ⎪ ⎝ ⎝ ⇔⎨ π⎞ π⎞ ⎪ 2 sin ⎛ x + ⎛ ⎟ + 2 sin ⎜ y + ⎟ = 2 2 ⎜ ⎪ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎩ ⎧⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎧⎛ π⎞ π⎞ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎪⎛ π⎞ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎨sin ⎜ x + ⎟ = 1 ⎪sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = 2 4⎠ ⎪⎝ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎛ π⎞ 4⎠ 4⎠ ⎩⎝ ⎝ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = 1 4⎠ ⎩⎝ ⎧ ππ ⎪ x + = + k 2π 42 ⎪ ππ ⎪ ⇔ ⎨ y + = + h 2π 42 ⎪ ⎪⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − 4 ⎟ + sin ⎜ y − 4 ⎟ = 0 ⎩⎝ ⎠ ⎝ ⎠ π ⎧ ⎪ x = 4 + k2π ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h, k ∈ Z ⎪ 4 ⎩ ⎧ tgx − tgy − tgxtgy = 1 (1) ⎪ B aø i 176: G iaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪cos 2y + 3 cos 2x = −1 (2) ⎩
T a coù : tgx − tgy = 1 + tgxtgy ⎧1 + tgxtgy = 0 ⎧tg ( x − y ) = 1 ⎪ ⎪ ∨ ⎨tgx − tgy = 0 ⇔⎨ ⎪1 + tgxtgy ≠ 0 ⎪ ⎩ ⎩1 + tg x = 0 (VN) 2 π π ⇔ x − y = + kπ ( k ∈ Z ) , v ôù i x, y ≠ + kπ 4 2 π π ⇔ x = y + + kπ, v ôù i x, y ≠ + kπ 4 2 π ⎛ ⎞ T hay vaø o (2) ta ñöôï c : cos 2y + 3 cos ⎜ 2y + + k2π ⎟ = −1 2 ⎝ ⎠ ⇔ cos 2 y − 3 s in2 y = −1 π⎞ 1 ⎛ 3 1 1 ⇔ s in2 y − cos 2 y = ⇔ sin ⎜ 2 y − ⎟ = 2 2 2 6⎠ 2 ⎝ ππ π 5π + h 2π ( h ∈ Z ) ⇔ 2 y − = + h 2π hay 2 y − = 66 6 6 π π ⇔ y = + hπ, h ∈ hay y = + hπ, h ∈ ( loïai) 6 2 D o ñoù : 5π ⎧ + ( k + h) π x= ⎪ ⎪ 6 ( h, k ∈ Z ) Heä ñaõ cho ⇔⎨ π ⎪ y = + hπ ⎪ ⎩ 6 ⎧cos3 x − cos x + sin y = 0 (1) ⎪ B aø i 177: G iaû i heä phöông trình ⎨ 3 ⎪sin x − sin y + cos x = 0 (2) ⎩ L aáy (1) + (2) ta ñöôï c : sin 3 x + cos3 x = 0 ⇔ sin 3 x = − cos3 x ⇔ tg 3 x = −1 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) 4 T hay vaø o (1) ta ñöôï c : sin y = cos x − cos3 x = cos x (1 − cos2 x ) 1 = cos x. sin 2 x =sin 2x sin x 2 1 ⎛ π⎞ ⎛π ⎞ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝ 2⎠ ⎝4 ⎠ 1 ⎛π ⎞ = − sin ⎜ − + kπ ⎟ 2 ⎝4 ⎠
⎧2 (neáu k chaün) ⎪ ⎪4 =⎨ ⎪− 2 (neáu k leû) ⎪4 ⎩ 2 ( vôù i 0 < α < 2π ) Ñ aët sin α = 4 π π ⎧ ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π, m ∈ ⎪ x = − 4 + 2mπ, m ∈ ⎪ ⎪ Vaä y nghieä m heä ⎨ ∨⎨ y = α + h2π, h ∈ y = −α + 2hπ, h ∈ ⎪⎡ ⎪⎡ ⎢ y = π − α + h2π, h ∈ ⎢ y = π + α + h2π, h ∈ ⎪⎣ ⎪⎣ ⎩ ⎩ II. GIAÛI HEÄ BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP COÄNG 1 ⎧ (1 ) ⎪sin x.cos y = − 2 B aø i 178: G iaû i heä phöông trình: ⎨ ( 2) ⎪tgx.cotgy = 1 ⎩ cos x.sin y ≠ 0 Ñ ieà u kieä n : ⎧1 1 ⎪ 2 ⎡sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ⎤ = − 2 ⎣ ⎦ ⎪ C aù c h 1 : Heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ sin x.cos y − 1 = 0 ⎪ cos x.sin y ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x cos y − sin y cos x = 0 ⎩ ⎧sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ ⎧sin ( x + y ) = −1 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ⎩ π ⎧ ⎪ x + y = − + k2π, k ∈ 2 ⇔⎨ ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ π π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 , k, h ∈ ⎪ ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π , k, h ∈ ⎪ 4 2 ⎩ (nhaän do sin y cos x ≠ 0)
sin x cos y ( 2) ⇔ = 1 ⇔ sin x cos y = cos x sin y C aù c h 2 : cos x sin y ⎧ 1 ( 3) ⎪sin x cos y = − 2 ⎪ Theá (1) vaøo ( 2 ) ta ñöôïc: ⎨ ⎪cos x sin y = − 1 ( 4) ⎪ ⎩ 2 ⎧sin ( x + y ) = −1 ( 3) + ( 4 ) ⎪ ⇔⎨ ⎪sin ( x − y ) = 0 ( 3) − ( 4 ) ⎩ π ⎧ ⎪ x + y = − + k 2π, k ∈ ⇔⎨ 2 ⎪ x − y = hπ, h ∈ ⎩ π π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2k + h ) 2 ⎪ ( h, k ∈ Z ) ⇔⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π ⎪ ⎩ 4 2 III. GIAÛ I HEÄ BAÈN G AÅ N PHUÏ B aø i 179: G iaû i heä phöông trình: ⎧ 23 (1) ⎪tgx + tgy = ⎪ 3 ⎨ ⎪cotgx + cotgy = −2 3 ( 2) ⎪ ⎩ 3 X = tgx, Y = tgy Ñ aët ⎧ ⎧ 23 23 ⎪X + Y = ⎪X + Y = 3 3 ⎪ ⎪ H eä ñaõ cho thaø n h: ⎨ ⇔⎨ ⎪1 + 1 = −2 3 ⎪Y + X = − 2 3 ⎪X Y ⎪ YX 3 3 ⎩ ⎩ ⎧ 23 ⎪X + Y = ⎧ 23 ⎪X + Y = 3 ⎪ ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ⎪X 2 − 2 3 X − 1 = 0 ⎪ XY = −1 ⎩ ⎪ 3 ⎩ ⎧X = 3 ⎧ 3 ⎪X = − ⎪ 3 ⇔⎨ 3∨⎨ Y=− ⎪ ⎪Y = 3 3 ⎩ ⎩ D o ñoù :
⎧tgx = 3 ⎧ 3 ⎪tgx = − ⎪ H eä ñaõ cho : ⇔ ⎨ 3 3∨⎨ ⎪tgy = − ⎪tgy = 3 3 ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = 3 + k π, k ∈ ⎪ x = − 6 + k π, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = − π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 6 3 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = B aø i 180: C ho heä phöông trình: ⎨ 2 ⎪cos 2x + cos 2y = m ⎩ 1 a / Giaû i heä phöông trình khi m = − 2 b / Tìm m ñeå heä coù nghieä m . 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 H eä ñaõ cho ⇔⎨ ⎪(1 − 2 sin 2 x ) + (1 − 2 sin2 y ) = m ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin2 x + sin 2 y = 2 − m ⎪ 2 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪( sin x + sin y )2 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪ 2 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪ 1 − 2 sin x sin y = 1 − m ⎪4 2 ⎩ 1 ⎧ ⎪sin x + sin y = 2 ⎪ ⇔⎨ ⎪sin x sin y = − 3 + m ⎪ 84 ⎩ Ñ aët X = sin x, Y = sin y vôùi X , Y ≤ 1 t hì X, Y laø nghieä m cuû a heä phöông trình 1 m3 − = 0 ( *) t2 − t + 2 48 1 a / Khi m = − thì ( *) thaønh : 2
1 1 t2 − t− =0 2 2 ⇔ 2t − t − 1 = 0 2 1 ⇔ t =1∨ t = − 2 ⎧sin x = 1 1 ⎧ ⎪sin x = − ⎪ V aä y heä ñaõ cho ⇔ ⎨ 2 1∨⎨ sin y = − ⎪ 2 ⎪sin y = 1 ⎩ ⎩ π hπ ⎧ ⎧ ⎪ x = 2 + k 2π, k ∈ ⎪ x = −(−1) 6 + hπ, h ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −(−1) h π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + k 2π, k ∈ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 6 2 m 1 3 b / Ta coù : ( *) ⇔ = −t 2 + t + 4 2 8 1 3 X eù t y = − t 2 + t + ( C ) treân D = [ −1,1] 2 8 1 y ' = −2t + t hì: 2 1 y' = 0 ⇔ t = 4 H eä ñaõ cho coù nghieä m ⇔ ( *) coù 2 nghieäm treân [ -1,1] m c aé t (C) taï i 2 ñieå m hoặ c ti ế p xúc treân [ -1,1] ⇔ (d ) y = 4 1m 7 ⇔− ≤ ≤ 8 4 16 1 7 ⇔− ≤m≤ 2 4 C aù c h khaù c ycbt ⇔ f (t ) = 8t 2 − 4t − 3 + 2m = 0 coù 2 nghieä m t 1 , t 2 t hoû a ⇔ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ 1
⎧ Δ / = 28 − 16m ≥ 0 ⎪ ⎪ af (1) = 1 + 2m ≥ 0 ⎪ 1 7 ⇔ ⎨ af (−1) = 9 + 2m ≥ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 2 4 ⎪ S1 ⎪ −1 ≤ = ≤ 1 ⎪ ⎩ 24 ⎧sin 2 x + mtgy = m ⎪ B aø i 181 : Cho heä phöông trình: ⎨2 ⎪ tg y + m sin x = m ⎩ a/ Giaû i heä khi m = -4 b/ Vôù i giaù trò naø o cuû a m thì heä coù nghieä m . X = sin x v ôù i X ≤ 1 Ñ aët Y = tgy (1 ) ⎧ X 2 + mY = m ⎪ Heä thaø nh: ⎨2 ( 2) ⎪ Y + mX = m ⎩ L aáy (1) – (2) ta ñöôï c : X 2 − Y 2 + m ( Y − X ) = 0 ⇔ ( X − Y ) ( X + Y − m) = 0 ⇔ X = Y∨Y =m−X ⎧Y = m − X ⎧X = Y ⎪ H eä thaø nh ⎨2 hay ⎨ 2 ⎪X + m(m − X ) = m ⎩ X + mX = m ⎩ ⎧X = Y ⎧Y = m − X ⎪ ⎪ ⇔⎨ 2 ∨⎨ 2 ⎪ X + mX − m = 0 ( * ) ⎪ X − mX + m − m = 0 ( * *) 2 ⎩ ⎩ a /Khi m = -4 ta ñöôï c heä ⎧ Y = −4 − X ⎧X = Y ⎪ ∨⎨ 2 ⎨2 ⎩ X − 4X + 4 = 0 ⎪ X + 4X + 20 = 0 ( voâ nghieäm ) ⎩ ⎧ X = 2 ( loaïi do X ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪Y = 2 ⎩ V aä y heä ñaõ cho voâ nghieä m khi m = 4. b/ Ta coù (*) ⇔ X 2 + mX − m = 0 vôùi X ≤ 1 ⇔ X 2 = m (1 − X ) X2 = m ( do m khoâng laø nghieäm cuûa *) ⇔ 1−X X2 − X 2 + 2X treân [ −1,1) ⇒ Z ' = X eù t Z = ; 1− X 2 (1 − X ) Z' = 0 ⇔ X = 0 ∨ X = 2
⎧ X = Y ( X ≤ 1) ⎪ coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 D o ñoù heä ⎨2 ⎪ X + mX − m = 0 ⎩ X 2 − mX + m 2 − m = 0 X eù t (**): T a coù Δ = m 2 − 4 ( m 2 − m ) = −3m 2 + 4m 4 Δ≥0⇔0≤m≤ 3 K eá t luaä n : K hi m ≥ 0 t hì (I) coù nghieä m neâ n heä ñaõ cho coù nghieä m K hi m < 0 thì (I) voâ nghieä m maø (**) cuø n g voâ nghieä m (do Δ < 0) n eâ n heä ñaõ cho voâ nghieä m Do ñoù : Heä coù nghieä m ⇔ m ≥ 0 C aù c h khaù c H eä coù nghieä m ⇔ f (X) = X 2 + mX − m = 0 (*)hay g(X) = X 2 − mX + m2 − m = 0 ( **) coù nghieä m treâ n [-1,1] ⎧Δ1 = m 2 + 4m ≥ 0 ⎪ ⎪af (1) ≥ 0 ⎪ ⇔ f ( −1) f (1) ≤ 0 hay ⎨af (−1) ≥ 0 ⎪ ⎪−1 ≤ S = − m ≤ 1 ⎪ ⎩ 2 2 ⎧Δ 2 = −3m + 4m ≥ 0 2 ⎪ ⎪ag (−1) = m + 1 ≥ 0 2 ⎪ h ay g (−1) g (1) ≤ 0 hay ⎨ag ( 1) = (m − 1) 2 ≥ 0 ⎪ ⎪−1≤ S = m ≤ 1 ⎪ ⎩ 22 ⎧Δ1 = m + 4m ≥ 0 2 4 ⎪ hay m = 1 hay 0 ≤ m ≤ ⇔ 1 − 2m ≤ 0 hay ⎨1 − 2m ≥ 0 3 ⎪−2 ≤ m ≤ 2 ⎩ ⇔m≥0
IV. HEÄ KHOÂNG MAÃU MÖÏC ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ B aø i 182: G iaû i heä phöông trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ C aù c h 1: sinα cos α sin2 α + cos2 α 2 T a coù : tgα + cotgα= + = = cosα sin α sin α cos α sin 2α ⎧1 π⎞ ⎛ ⎪ sin 2x = sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎝ ⎠ ⎪ V aä y heä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪ 1 = sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ sin 2y 4⎠ ⎝ ⎩ ⎧ π⎞ ⎛ ⎪1 = sin 2x sin ⎜ y + 4 ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 = sin 2y. sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪ 4⎠ ⎝ ⎩ ⎧sin 2x = 1 ⎧sin 2x = −1 ⎪ ⎪ T a coù : (1) ⇔ ⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎪ 4 4 ⎩ ⎩ π ⎧ ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ T hay ⎨ v aø o (2) ta ñöôï c π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪ 4 ⎩ π⎞ π ⎛ sin 2y.sin ⎜ x − ⎟ = sin .sin kπ = 0 ≠ 1 ( loaï i ) 4⎠ 2 ⎝ −π ⎧ x= + kπ, k ∈ ⎪ 4 ⎪ Thay ⎨ v aø o (2) ta ñöôï c 3π ⎪y = − + h2π, h ∈ ⎪ 4 ⎩ ⎛ 3π ⎞ π⎞ ⎛π ⎛ ⎞ sin 2y. sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 ⎝ ⎠ ⎞ ⎧1 ( neáu k leû) ⎛π = sin ⎜ − + kπ ⎟ = ⎨ ⎝2 ⎠ ⎩−1 ( neáu k chaün)
D o ñoù heä coù nghieä m π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π ⎪ ( m, h ∈ Z) • ⎨ ⎪ y = − 3π + h2π ⎪ 4 ⎩ C aù c h 2 : D o baá t ñaú n g thöù c Cauchy tgx + cotgx ≥ 2 1 d aá u = xaû y ra ⇔ tgx = cotgx ⇔ tgx= tgx ⇔ tgx = ±1 D o ñoù : π⎞ ⎛ tgx+cotgx ≥ 2 ≥ 2 sin ⎜ y + ⎟ 4⎠ ⎝ D aá u = taï i (1) chæ xaû y ra khi ⎧tgx = 1 ⎧tgx = −1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = 1 ⎪sin ⎜ y + 4 ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪ x = 4 + kπ, k ∈ ⎪ x = − 4 + kπ, k ∈ ⎪ ⎪ (I) ∨ ⎨ (II) ⇔⎨ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ ⎪ 4 4 ⎩ ⎩ ⎛ π⎞ t hay (I) vaø o (2): tgy + cotgy=2sin ⎜ x - ⎟ ⎝ 4⎠ t a thaá y 2 = 2sin kπ = 0 khoâ n g thoû a ⎛π ⎞ thay (II) vaø o (2) ta thaá y 2 = 2 sin ⎜ − + k π ⎟ ⎝2 ⎠ c hæ thoû a khi k leû π ⎧ ⎪ x = − 4 + ( 2m + 1) π ⎪ , m, h ∈ Vaä y : heä ñaõ cho ⇔ ⎨ 3π ⎪y = − + 2hπ ⎪ 4 ⎩ B aø i 183: C ho heä phöông trình: ⎪x − y = m (1) ⎧ ⎨ ⎪2 ( cos 2x + cos 2y ) − 1 − 4 cos m = 0 (2) 2 ⎩ T ìm m ñeå heä phöông trình coù nghieä m . ⎧x − y = m ⎪ H eä ñaõ cho ⇔ ⎨ ⎪4 cos ( x + y ) cos ( x − y ) = 1 + 4 cos m 2 ⎩
⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪−4 cos ( x + y ) cos m + 4 cos m + 1 = 0 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + 1 − cos ( x + y ) = 0 2 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔⎨ ⎪[2 cos m − cos ( x + y )] + sin ( x + y ) = 0 2 2 ⎩ ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨cos ( x + y ) = 2 cos m ⎪ ⎩sin ( x + y ) = 0 ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨ x + y = kπ , k ∈ ⎪cos(kπ) = 2 cos m ⎩ 2π π D o ñoù heä coù nghieä m ⇔ m = ± + h2π ∨ m = ± + h2π, h ∈ 3 3 BAØI TAÄP 1 . Giaû i caù c heä phöông trình sau: ⎧sin x + sin y = 2 ⎧tgx + tgy + tgxtgy = 1 f /⎨ a/ ⎨ 2 ⎩3sin 2y − 2 = cos 4x ⎩sin x + sin y = 2 2 1 ⎧ 3 ⎧ ⎪sin x sin y = − 2 ⎪sin x − sin 2y = ⎪ ⎪ 2 b/⎨ g/⎨ ⎪cos x cos y = 1 ⎪cos x + cos 2y = 1 ⎪ 2 ⎪ ⎩ 2 ⎩ ⎧cos ( x + y ) = 2 cos ( x − y ) ⎧ 2 cos x = 1 + cos y ⎪ ⎪ c/⎨ h/⎨ 3 ⎪cos x.cos y = ⎪ 2 sin x = sin y ⎩ 4 ⎩ 1 ⎧ ⎧sin x = 7 cos y ⎪sin x cos y = d/⎨ k/⎨ 4 ⎩5 sin y = cos x − 6 ⎪3tgx = tgy ⎩ ⎧tgx + tgy = 1 ⎧sin 2 x = cos x cos y ⎪ ⎪ e/ ⎨ 2 l/⎨ x y ⎪tg 2 + tg 2 = 2 ⎪cos x = sin x sin y ⎩ ⎩ cos x cos y = m + 1 ⎧ 2 . Cho heä phöông trình: ⎨ ⎩sin x sin y = 4m + 2m 2 1 a / Giaû i heä khi m = − 4
3 1 ⎛ ⎞ b / Tìm m ñeå heä coù nghieä m ⎜ ÑS − ≤ m ≤ − hay m=0 ⎟ 4 4 ⎝ ⎠ 3 . T ìm a ñeå heä sau ñaâ y coù nghieä m duy nhaá t : ⎧ y 2 + tg 2 x = 1 ⎪ ⎨ ( ÑS a= 2) ⎪ y + 1 = ax + a + sin x 2 ⎩ 4 . Tìm m ñeå caù c heä sau ñaâ y coù nghieä m . ⎪cos x = m cos y 3 ⎧sin x cos y = m 2 ⎧ a/⎨ b/⎨ ⎩sin y cos x = m ⎪sin x = m cos y 3 ⎩ ⎛ 1+ 5 ⎞ 1- 5 ( ÑS 1 ≤ m ≤ 2) ⎜ ÑS ≤m≤ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ Th.S Phạm Hồ ng Danh T T luyệ n thi đại họ c V ĩ nh Vi ễn