Parabol
Một parabol
Parabol như một giao tuyến giữa một mặt nón và mặt
phẳng song song với đường sinh của nó.
Một hình miêu tả tính chất đối xứng, đường chuẩn (xanh lá
cây), và các đường thẳng nối tiêu điểm và đường chuẩn với parabol (xanh nước biển)
Trong toán học, parabol (Tiếng Anh là parabola, bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp παραβολή)
là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với
đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các
điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho
trước (đường chuẩn).
Trường hợp đặt biệt xảy ra khi mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic. Trong trường hợp
này, giao tuyến sẽ suy biến thành một đường thẳng.
Parabol là một khái niệm quan trọng trong toán học trừu tượng. Tuy nhiên, nó cũng được
bắt gặp với tần suất cao trong thế giới vật lý, và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý,
và các lĩnh vực khác.
Các phương trình hình giải tích của parabol
Trong Hệ tọa độ Descartes, một parabol với trục đối xứng song song với trục và có đỉnh
, tiêu cự , và đường chuẩn , với là khoảng cách từ đỉnh
tới tiêu cự, sẽ có phương trình như sau:
hoặc, với trục song song với trục x
Tổng quát hơn, một parabol là một đường cong trên mặt phẳng Decartes định nghĩa bởi
phương trình tối giản có dạng
trong đó , tất cả các hệ số điều là số thực và hoặc , và có
nhiều hơn một nghiệm, xác định tất cả các cặp (x, y) trên parabol, tồn tại. Phương trình
được gọi là tối giản nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng tích hai phương trình
tuyến tính (không nhất thiết khác nhau).
Các định nghĩa hình học khác
Một parabol cũng có thể được định nghĩa là một đường conic với tâm sai bằng 1. Là một
kết quả của định nghĩa này, các parabol đều đồng dạng. Một parabol có thể được dựng
bằng cách tìm giới hạn của một chuỗi elip trong đó mộttiêu điểm,được giữ nguyên trong
khi cái còn lại được di chuyển ra xa. Với nghĩa này, một parabol có thể được coi là một
elip với một tiêu cự ở vô hạn. Parabol là một ảnh nghịch đảo của một cardioid (đường
hình tim).
Một parabol chỉ có một trục đối xứng duy nhất, đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường
chuẩn của nó. Giao điểm của trục này và parabol được gọi là đỉnh. Một parabol quanh
xung quanh trục của nó trong không gian ba chiều sẽ tạo ra một hình paraboloid.
Parabol được tìm thấy trong rất nhiều tình huống của thế giới vật lý (xem phía dưới).
Các phương trình
(với đỉnh (h, k) và khoảng cách p giữa đỉnh và tiêu điểm - lưu ý rằng nếu đỉnh ở dưới tiêu
điểm và tương ứng ở trên đường chuẩn thi p dương, còn không thì p âm; tương tự, với
trục đối xứng ngang, p dương nếu đỉnh nằm bên trái tiêu điểm và bên phải đường chuẩn).
Descartes
Trục đối xứng dọc
trong đó :
.
Trục đối xứng ngang
trong đó :
.
Parabol tổng quát
Dạng tổng quát của một phương trình parabol là:
được rút ra từ phương trình tổng quát của các đường conic và tính chất của parabol B =
4AC
2
.
Bán kính qua tiêu, bán tiêu và hệ trục tọa độ cực
Trong hệ tọa độ cực, một parabol với tiêu điểm tại gốc và đường chuẩn trên trục dương x
được cho bởi phương trình
trong đó, l là bán tiêu: khoảng cách từ tiêu điểm đến bản thân parabol, đo dọc theo đường
thẳng vuông góc với trục đối xứng. Lưu ý rằng đoạn này gấp đôi khoảng cách từ tiêu
điểm tới đỉnh của parabol và bằng một nửa bán kính qua tiêu.
Bán kính qua tiêu và một dây cung đi qua tiêu điểm chính và vuông góc với trục đối
xứng, nó có độ dài bằng 4a.
Dạng Gauss-mapped
Theo dạng Gauss-mapped: (tan φ,2tanφ)
2 với pháp tuyến (cosφ,sinφ).
Tìm tiêu điểm
Đường parabol với đường
chuẩn (L) và tiêu điểm (F). Khoảng cách từ một điểm cho trước Pn tới tiêu điểm luôn
bằng khoảng cách từ Pn tới chân đường vuông góc của nó xuống đường chuẩn Qn.