Parabol

Parabol

Một parabol

Parabol như một giao tuyến giữa một mặt nón và mặt

phẳng song song với đường sinh của nó.

Một hình miêu tả tính chất đối xứng, đường chuẩn (xanh lá

cây), và các đường thẳng nối tiêu điểm và đường chuẩn với parabol (xanh nước biển)

Trong toán học, parabol (Tiếng Anh là parabola, bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp παραβολή)

là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với

đường sinh của hình đó. Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các

điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho

trước (đường chuẩn).

Trường hợp đặt biệt xảy ra khi mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic. Trong trường hợp

này, giao tuyến sẽ suy biến thành một đường thẳng.

Parabol là một khái niệm quan trọng trong toán học trừu tượng. Tuy nhiên, nó cũng được

bắt gặp với tần suất cao trong thế giới vật lý, và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý,

và các lĩnh vực khác.

Các phương trình hình giải tích của parabol

Trong Hệ tọa độ Descartes, một parabol với trục đối xứng song song với trục và có đỉnh

, tiêu cự , và đường chuẩn , với là khoảng cách từ đỉnh

tới tiêu cự, sẽ có phương trình như sau:

hoặc, với trục song song với trục x

Tổng quát hơn, một parabol là một đường cong trên mặt phẳng Decartes định nghĩa bởi

phương trình tối giản có dạng

trong đó , tất cả các hệ số điều là số thực và hoặc , và có

nhiều hơn một nghiệm, xác định tất cả các cặp (x, y) trên parabol, tồn tại. Phương trình

được gọi là tối giản nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng tích hai phương trình

tuyến tính (không nhất thiết khác nhau).

Các định nghĩa hình học khác

Một parabol cũng có thể được định nghĩa là một đường conic với tâm sai bằng 1. Là một

kết quả của định nghĩa này, các parabol đều đồng dạng. Một parabol có thể được dựng

bằng cách tìm giới hạn của một chuỗi elip trong đó mộttiêu điểm,được giữ nguyên trong

khi cái còn lại được di chuyển ra xa. Với nghĩa này, một parabol có thể được coi là một

elip với một tiêu cự ở vô hạn. Parabol là một ảnh nghịch đảo của một cardioid (đường

hình tim).

Một parabol chỉ có một trục đối xứng duy nhất, đi qua tiêu điểm và vuông góc với đường

chuẩn của nó. Giao điểm của trục này và parabol được gọi là đỉnh. Một parabol quanh

xung quanh trục của nó trong không gian ba chiều sẽ tạo ra một hình paraboloid.

Parabol được tìm thấy trong rất nhiều tình huống của thế giới vật lý (xem phía dưới).

Các phương trình

(với đỉnh (h, k) và khoảng cách p giữa đỉnh và tiêu điểm - lưu ý rằng nếu đỉnh ở dưới tiêu

điểm và tương ứng ở trên đường chuẩn thi p dương, còn không thì p âm; tương tự, với

trục đối xứng ngang, p dương nếu đỉnh nằm bên trái tiêu điểm và bên phải đường chuẩn).

Descartes

Trục đối xứng dọc

trong đó :

.

Trục đối xứng ngang

trong đó :

.

Parabol tổng quát

2

Dạng tổng quát của một phương trình parabol là:

được rút ra từ phương trình tổng quát của các đường conic và tính chất của parabol B =

. 4AC

Bán kính qua tiêu, bán tiêu và hệ trục tọa độ cực

Trong hệ tọa độ cực, một parabol với tiêu điểm tại gốc và đường chuẩn trên trục dương x

được cho bởi phương trình

trong đó, l là bán tiêu: khoảng cách từ tiêu điểm đến bản thân parabol, đo dọc theo đường

thẳng vuông góc với trục đối xứng. Lưu ý rằng đoạn này gấp đôi khoảng cách từ tiêu

điểm tới đỉnh của parabol và bằng một nửa bán kính qua tiêu.

Bán kính qua tiêu và một dây cung đi qua tiêu điểm chính và vuông góc với trục đối

xứng, nó có độ dài bằng 4a.

2

Dạng Gauss-mapped

Theo dạng Gauss-mapped: (tan φ,2tanφ) với pháp tuyến (cosφ,sinφ).

Tìm tiêu điểm

Đường parabol với đường

chuẩn (L) và tiêu điểm (F). Khoảng cách từ một điểm cho trước Pn tới tiêu điểm luôn

bằng khoảng cách từ Pn tới chân đường vuông góc của nó xuống đường chuẩn Qn.

Đường parabol với đường thằng bất kì (L) vuông góc với trục đối xứng, tiêu điểm (F), và

đỉnh (V). Độ dài của đoạn F - Pn - Qn luôn không đổi. Như vậy parabol tương đương với

elíp có một tiêu điểm ở vô cực.

Cho một parabol có tiêu điểm là (0,0) và công thức là

Cho điểm có tọa độ (0,f) — tiêu điểm — chắc chắn với một điểm P nằm trên parabol

luôn có khoảng cách đến tiêu điểm và đường thẳng vuông góc với trục đối xứng của

parabol (đường chuẩn), đường này song song với trục x. Vì điểm P có thể trùng với đỉnh,

cho nên nó kéo theo rằng đường chuẩn đi qua điểm có tọa độ là (0,-f). Nên với điểm

P=(x,y), điểm đó cách đều hai điểm (0,f) và điểm (x,-f). Nên cần tính được giá trị f thỏa

mãn điều kiện trên.

Đặt điểmF là tiêu điểm, và điểm Q là điểm có tọa độ là (x,-f). Đoạn FP bằng đoạn QP.

Bình phương cả hai vế,

Rút gọn hai vế, ta có,

Chia cả hai vế cho x² ( khác không), x

Đặt p=f và công thức của parabol trở thành

Tổng quát cho mọi parabol, với công thức ở dạng tiêu chuẩn

y = ax2 + bx + c,

có tọa độ là đỉnh sẽ

có thể viết lại thành

và đường chuẩn được xác đinh bởi công thức

có thể viết lại thành

Tính phản xạ tại tiếp điểm

Phát biểu một cách toán học, mọi tia xuất p hát từ một điểm cho trước song song với trục

đối xứng của parabol đều đối xứng với tia x uất phát từ điểm đó đi qua đỉnh qua đường

thẳng vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Phát biểu theo cách vật lý, mọi tia sáng truyền dọc theo trục đối xứng vào phần lõm của

một gương có dạng parabol đều có tia phản x ạ qua tiêu điểm.

Khi b thay đổi

Tìm tung độ của đỉnh parabol

Ta đã biết hoành độ của đỉnh para , rồi thay vào phương trình y = ax2 + bol là

bx + c

đơn giản hóa

Vì vậy, đỉnh có tọa độ là…

Parabol trong thế giới vật lý

Hình ảnh một quả bóng nảy trên mặt đất

được chụp lại bởi một đèn flash với tốc độ 25 hình mỗi giây. Chú ý rằng quả bóng không

mang dạng hình cầu sau mỗi lần nảy đặc biệt l à lần đầu tiên. Cùng với chuyển động quay

và lực cản không khí, quỹ đạo mà quả bóng vạch ra sẽ không chính xác là một parabol.

Trong tự nhiên, các hình gần giống các parabol và các vật có hình paraboloid xuất hiện ở

nhiều nơi. Ví dụ của hình parabol được biết đến nhiều nhất trong lịch sử vật lí là quĩ đạo

ném xiên tạo ra bởi một chất điểm hoặc một vật thể dưới tác dụng của một trọng trường

không đổi khi không có lực cản của không khí (ví dụ như: một quả bóng chày bay trong

không trung, bỏ qua lực cản của không khí). Đường bay hình parabol tạo ra bởi chuyển

động ném xiên được phát hiện ra nhờ các thí nghiệm của Galileo vào đầu thế kỉ 17, ngườ i

đã tiến hành các thí nghiệm về chuyển động của quả bóng trên mặt phẳng nghiêng. Ông

ta sau đó đã chứng minh thành công bằng phương pháp toán học trong cuốn 'Đối thoại về

hai ngành khoa học mới'. Với vật thể có kích thước lớn , ví dụ như một vật dộng viên lặn

nhảy xuống từ ván nhảy, vật thể sẽ chuyển động phức tạp như chuyển động quay, nhưng

trọng tâm của vật vẫn chuyển động theo hình parabol. Trong mọi trường hợp, đường bay

của một vật khi bị ném vào không trung luôn là một hình parabol. Sự có mặt của lực cản

không khí, luôn làm biến dạng quĩ đạo chuyển động của vật, ở tốc độ chậm, dạng của quĩ

đạo là một hình gần giống hình parabol. Ở tốc độ cao hơn, ví dụ như quĩ đạo chuyển

động của một viên đạn, dạng của quĩ đạo sẽ bị biến đổi mạnh và không còn giống mộ t

hình parabol nữa.

Hình parabol của bề mặt một chất lỏng Newton trong chuyển động quay.

Một số trường hợp khác hình parabol có thể xuất hiện trong tự nhiên là quĩ đạo của hai

thiên thể, ví dụ như, một tiểu hành tinh hay vật thể khác dưới tác dụng của trọng trường

do mặt trời tạo ra. Quĩ đạo của vật mang hình dạng parabol là một trường hợp đặc biệt và

rất hiếm gặp trong tự nhiên. Quĩ đạo mang hình dạng hyperbol hay elíp thì phổ biến hơn.

Trong thực tế, quĩ đạo hình parabol là dạng chuyển tiếp giữa hai dạng quĩ đạo này. Vật

thể di chuyển theo quĩ đạo parabol sẽ chuyển động tại đúng tốc độ tới hạn để thoát khỏi

vật thể mà nó đang quay quanh, tốc độ tới hạn của parabol thì nhanh hơn so với hình elíp

và chậm hơn so với hyperbol.

Các cây cầu treo cũng có các sợi cáp mang hình dạng giống như hình parabol. Các cáp đỡ

vốn không mang hình parabol, mà chúng có hình vòng cung. Dưới tác dụng của các lực

không đổi (ví dụ như trọng lực của thân cầu) các sợi cáp bị biến dạng và dần mang hình

parabol.

Các hình paraboloid xuất hiện trong một vài trong một vài trường hợp. Ví dụ điển hình

nhất của nó là gương paraboloid, nó là một tấm gương hoặc các mảnh kim loại có khả

năng phản chiếu và hội tụ ánh sáng hay các loại sóng điện từ khác tại một điểm. Tính

ên chất này của gương paraboloid đã được phát hiện ra vào thế kỉ thứ ba trước công nguy

bởi nhà khoa học Archimedes, ông là người đã ghi lại một truyền thuyết ,mà tính chính

xác của nó còn tranh cãi, về việc sử dụng các tấm gương parabol để bảo vệ Syracuse khỏi

đế chế La Mã, bằng cách: hội tụ ánh sáng mặt trời và đốt thuyền chiến của La Mã. Tính

chất này cũng được áp dụng để tạo ra kính viễn vọng vào thế kỉ 17. Ngày nay, gương

mang hình paraboloid được sử dụng rất rông rãi như ăng ten vi sóng và chảo vệ tinh.

Các hình xoay paraboloid được quan sát thấy tại mặt các chất lỏng được đặt trong một vật

chứa xoay xung quanh một trục trung tâm. Trong trường hợp này, lực li tâm làm cho ước

chờm lên thành vật chứa, tạo thành mặt parabol. Đây là nguyên tắc của gương chất lỏng.

Các máy bay dùng để tạo môi trường phi trọng lực cho mục đích thí nghiệm, ví dụ như

các “Vomit Comet” của NASA bay theo một quĩ đạo parabol đứng trong một thời gian

ngắn, bằng cách đó tạo ra môi trường không trọng lực.