mét sè ph¬ng ph¸p sö dông diÖn tÝch trong chøng minh
h×nh häc
1. Ph¬ng ph¸p 1
Sö dông diÖn tÝch ®Ó chøng minh quan hÖ ®é dµi cña c¸c ®o¹n
th¼ng
VÝ dô1
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Tõ ®iÓm B vÏ mét c¸t tuyÕn c¾t c¹nh CD
t¹i ®iÓm M. Tõ ®iÓm D vÏ mét c¸t tuyÕn c¾t c¹nh BC t¹i ®iÓm N sao
cho BM=DN. Gäi I lµ giao ®iÓm cña BM vµ DN. Chøng minh kho¶ng
c¸ch tõ A ®Õn BM b»ng kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn D N.
NhËn xÐt
§èi víi bµi to¸n nµy nÕu kh«ng dïng ph¬ng ph¸p sö dông diÖn
tÝch th× khã mµ gi¶i quyÕt ®îc. Nhng ®Ó ph¸t hiÖn ra bµi to¸n nµy
ph¶i dïng ph¬ng ph¸p sö dông diÖn tÝch ®Ó chøng minh 2 ®o¹n
th¼ng b»ng nhau l¹i cµng khã h¬n.
Gi¸o viªn ph¶i gîi më cho häc sinh thÊy r»ng gi¶ thiÕt ®· cã
BM=DN mµ ph¶i chøng minh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn BM vµ DN b»ng
nhau l¹i cã hai tam gi¸c BAM vµ tam gi¸c DAN kh«ng thÓ b»ng nhau ®-
îc.
VËy ph¶i ch¨ng
BAM DAN
S S
=
V V
§ã lµ ®iÒu mµ ngêi muèn gi¶i quyÕt bµi to¸n ph¶i nghÜ tíi.
l êi gi¶i ( theo h×nh 1)
( )
BAM ABCD ADM BMC
S S S S= − +
V V V
kÎ EF ®i qua M lµ EF vu«ng gãc víi BC th×
1 1
. .
2 2
1 1
.
2 2
ADM BMC
ABCD
S S ME AD MF BC
AD EF S
+ = +
= =
V V
VËy A
BC
D
N
M
F
E
I
1 1
2 2
BAM ABCD ABCD ABCD
S S S S= − =
H×nh 1
T¬ng tù qua N kÎ PQ
⊥
AB . Ta còng chøng minh ®îc diÖn tÝch
tam gi¸c AND b»ng mét nöa diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh ABCD
VËy
1
2
BAM ADN ABCD
S S S= =
Suy ra 2 ®êng cao h¹ tõ A tíi BM, h¹ tõ A xuèng DN b»ng nhau ( v× hai
®¸y BM = DN theo gi¶ thiÕt)
VÝ dô 2
Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM, mét ®êng th¼ng song song
víi c¹nh BC c¾t c¸c c¹nh AB, AC vµ trung tuyÕn AM lÇn lît t¹i D,E,F.
Chøng minh r»ng FD = FE.
NhËn xÐt
Bµi nµy cã thÓ gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau nhng ë ®©y t«i
xin phÐp tr×nh bÇy ph¬ng ph¸p sö dông diÖn tÝch ®Ó chøng minh.
Lêi gi¶i (theo h×nh 2)
H¹ DK vµ EH vu«ng gãc víi AM (K,H
∈
AM). Ta cã SABM = SACM (1) (cã
chung ®êng cao vµ hai ®¸y b»ng nhau BM = MC).
SDBM = SECM (2) (Cã ®êng cao DI = EN vµ hai ®¸y b»ng nhau).
Tõ (1) vµ (2) suy ra SABM - SDBM = SACM - SECM
hay SADM = SAEM.
H×nh 2
mµ tam gi¸c ADM vµ tam gi¸c AEM
cã chung ®¸y AM
nªn hai ®êng cao thuéc ®¸y AM b»ng nhau tøc lµ: DK = EH.
MÆt kh¸c tam gi¸c DKF vµ EHF cã
∠
K=
∠
H = 900;
DK = EH (chøng minh trªn)
∠
KDF =
∠
HEF (so le trong do DK // EH )
Do ®ã
∆
DKF =
∆
EHF (g.c.g)
⇒
FD = FE.
2. Ph¬ng ph¸p 2
Sö dông diÖn tÝch ®Ó chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng.
VÝ dô
Cho tam gi¸c ABC, Trung tuyÕn AM. Mét ®êng th¼ng song song víi
BC c¾t AB, AC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng minh r»ng BE vµ CD c¾t
nhau trªn AM.
Lêi gi¶i: (theo h×nh 3)
Gäi giao ®iÓm cña AM víi DE lµ F. Theo vÝ dô 2 ë ph¬ng ph¸p 1 th×
FD = FE
Suy ra SBDFM = SBFD + SBFM = SCFE + SCFM = SCEFM (1)
Gäi giao ®iÓm cña BE vµ CD lµ I, nèi IF, IM ta cã :
SDIF = SEIF ( V× FD = FE )
Vµ SBIM = SCIM h×nh 3
SBDI = SCEI ( Do SBDC = SCEB )
Suy ra SBDFIM = SCEFIM Hay ®êng gÊp khóc FIM chia ®«i diÖn tÝch
h×nh thang BDEC (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: SFIM = 0 Suy ra F, I, M th¼ng hµng suy ra I thuéc
FM
L u ý §Ó chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng b»ng ph¬ng ph¸p sö dông
diÖn tÝch ta ph¶i chøng minh tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ 3 ®iÓm Êy cã
diÖn tÝch b»ng 0.
3. Ph ¬ng ph¸p 3
Sö dông diÖn tÝch h×nh häc ®Ó chøng minh hai ®êng th¼ng
song song
v Ý dô 1
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. C¸c ®iÓm E,F,G,H thø tù thuéc c¸c c¹nh
AB,BC,CD,DA sao cho EG kh«ng song song víi AD. Cho biÕt diÖn
tÝch EFGH b»ng nöa diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh. Chøng minh
FH//CD.
NhËn xÐt
§èi víi bµi to¸n nµy th× tõ gi¶ thiÕt diÖn tÝch EFGH b»ng nöa
diÖn tÝch h×nh b×nh hµnh th× ngêi gi¶i to¸n cã thÓ nhËn ra ngay ®îc
sö dông ph¬ng ph¸p diÖn tÝch ®Ó chøng minh. Nhng chng minh nh
thÕ nµo? vËn dông diÖn tÝch nh thÕ nµo? ®Ó cã ®îc FH//CD . ®ã lµ
mét vÊn ®Ò h¬i khã
Lêi gi¶i: (theo h×nh 4)
KÎ EM // AD ( M
CD )
Nèi F víi H; H víi M; F víi M
Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng
th¼ng song song EM vµ AD
lµ h th× :
H×nh 4
1.
2
1.
2
AEH
HDM
S h AH
S h HD
=
=
suy ra
1 1
.( ) .
2 2
AEH HDM
S S h AH HD h AD+ = + =
Mµ AD=EM (v× AEMD lµ h×nh b×nh hµnh do cã EM//AD; AE//MD)
VËy
1.
2
AEH HDM
S S h EM+
L¹i cã
(1)
1.
2
EHM EHM AEH HDM
S h EM S S S= = +�
T¬ng tù ta còng cã
(2)
MFE EBF FMC
S S S= +
Tõ biÓu thøc (1) vµ (2) suy ra
1
2
HEFM EHM FME AEH HDM EBF FMC ABCD
S S S S S S S S= + = + + + =
VËy
1
2
HEFM ABCD
S S=
Mµ
1
2
EFGH ABCD
S S=
(theo gi¶ thiÕt) ⇒ SEFMH = S EFGH ⇒ S FGH = S FMH (V×
cã phÇn chung lµ tam gi¸c EFH ) ⇒ kho¶ng c¸ch tõ G vµ M ®Õn HF
b»ng nhau
⇒ HF // CD
VÝ dô 2
Cho tam gi¸c ABC , mét ®êng th¼ng song song víi BC c¾t c¸c
c¹nh AB, AC lÇn lît t¹i D vµ E. Qua D ,E lÇn lît kÎ c¸c ®êng th¼ng song
song víi AC , AB c¾t BE, DC lÇn lît t¹i M vµ N.
A
B
D
C
F
G
M
H
E
Chøng minh r»ng MN // BC
Lêi gi¶i (theo h×nh 5)
gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD v× EN // AB nªn SBEN = SDEN(1),
(V× chung ®¸y EN vµ cã ®êng cao thuéc EN b»ng nhau)
mµ SBIN = SBEN - SIEN (2)
SDIE = SDEN - SIEN (3)
Tõ (1),(2)Vµ(3)
⇒
SBIN = SDIE (4)
Tt¬ng tù SCIM = SDIE (5)
Tõ (4) vµ (5)
⇒
SBIN = SCIM
mÆt kh¸c SBMN = SBIN - SMIN
SCMN = SCIM - SMIN do ®ã SBMN = SCMN
⇒
hai ®êng cao BH vµ CK t¬ng øng thuéc MN b»ng nhau
Nªn BHKC lµ h×nh ch÷ nhËt do ®ã MN // BC
VÝ dô 3
Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm. Gäi I lµ
giao ®iÓm cña c¸c ph©n gi¸c; G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC.
Chøng minh r»ng IG//BC
Lêi gi¶i (theo h×nh6)
Ta cã SGBM = 1/3 SABM (V× 2 tam gi¸c cã chung ®êng cao thuéc AM vµ
®¸y
GM =1/3 AM). T¬ng tù SGCM =1/3 SACM nªn SGBM + SGCM = 1/3(SABM+
SACM) = 1/3 SABC tøc lµ SGBC =1/3SABC (*)
KÎ ID vu«ng gãc víi AB, IK Vu«ng gãc víi BC; IE vu«ng gãc víi AC th×
ID = IK = IE
®Æt chóng b»ng r ta cã :SIBC = 1/2 BC.IK = 1/2.5.r = 2,5r (1).
mµ SABC = SIBC + SICA + SIAB = 1/2BC.IK + 1/2CA.IE + 1/2AB.ID =2,5.r +
1/2.6.r +1/2.4.r = 2,5r + 3r + 2r = 7,5r (2).
Tõ (1) vµ (2) suy ra SIBC = 1/3SABC (**).
Tõ (*) vµ (**) suy ra SIBC = SGBC
H×nh
5
