Phương pháp tìm chữ số cuối cùng

CHUYÊN Đ : TÌM CH S T N CÙNG Ữ Ố Ậ Ề

ộ ữ ố ậ ố ừ ậ ấ ữ I. Tìm m t ch s t n cùng Tính ch t 1:ấ s t n cùng v n không thay đ i. ố ậ a) Các s có ch s t n cùng là 0, 1, 5, 6 khi nâng lên lũy th a b c b t kì thì ch ẫ ữ ố ậ ổ b) Các s có ch s t n cùng là 4, 9 khi nâng lên lũy th a b c l ữ ố ậ ậ ẻ ừ ố ẫ thì ch s t n cùng v n ữ ố ậ không thay đ i. ổ ữ ố ậ c) Các s có ch s t n cùng là 3, 7, 9 khi nâng lên lũy th a b c 4n (n thu c N) thì ch s t n ữ ố ậ ừ ậ ố ộ cùng là 1. ữ ố ậ d) Các s có ch s t n cùng là 2, 4, 8 khi nâng lên lũy th a b c 4n (n thu c N) thì ch s t n ữ ố ậ ừ ậ ố ộ cùng là 6. nhiên có ch s t n cùng là 5 v i b t kì s t nào cũng cho ta nhiên l ữ ố ậ ộ ố ự ớ ấ ố ự ẻ

M t s t ữ ố ậ nhiên b t kì, khi nâng lên lũy th a b c 4n + 1 (n thu c N) thì ch s t n ậ ừ ấ ộ

ữ ố ậ ừ ậ ố ẽ ữ ố ậ ữ ố ậ ừ ẽ ậ e) Tích c a m t s t ủ s có ch s t n cùng là 5. ữ ố ậ ố Tính ch t 2: ộ ố ự ấ cùng v n không thay đ i. ổ ẫ ữ ố ậ Tính ch t 3:ấ a) S có ch s t n cùng là 3 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là 7 ; s có ch s t n cùng là 7 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là ố 3. b) S có ch s t n cùng là 2 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là 8 ; s ữ ố ậ ữ ố ậ ừ ậ ố ố ẽ ừ ậ c) Các s có ch s t n cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s không thay có ch s t n cùng là 8 khi nâng lên lũy th a b c 4n + 3 s có ch s t n cùng là 2. ẽ ậ ẽ ữ ố ậ ừ ữ ố ậ

a) 799 b) c)

141414

6754

9 − 1 = (9 − 1)(98 + 97 + … + 9 + 1) chia

(cid:222) ướ ế 99 = 4k + 1 (k ˛ ủ ố ư ủ N) (cid:222) 799 = 74k + 1 = 74k.7 ữ ố ậ ố đ i ch s t n cùng. ữ ố ậ ổ Bài 1: Tìm ch s t n cùng c a các s : ữ ố ậ ố c h t, ta tìm s d c a phép chia 99 cho 4: 9 i:ả a) Tr Gi h t cho 4 ế (cid:222)

Do 74k có ch s t n cùng là 1 ữ ố ậ 14 = 4k (k ˛ 799 có ch s t n cùng là 7. ữ ố ậ 141414 = 144k có ch s t n cùng là 6. N) (cid:222) ữ ố ậ b) D th y 14 ễ ấ c) Ta có 567 − 1 M 4 (cid:222) 567 = 4k + 1 (k ˛ N) (cid:222) 4567 = 44k + 1 = 44k.4 (cid:222) 44k có ch s t n cùng là 6 ữ ố ậ

1945

1930

a) 71993 ủ c) 31993 g) h)

999

819

23

432

e) b) 175 + 244 − 1321 M 10 i) c) 4343 − 1717 M 10

1 + 35 + 49 + … + 20048009. ọ ừ {2, 3, …, 2004}).

3 + 37 + 411 + … + 20048011. ề ừ 4(n − 2) + 3, n thu c {2, 3, …, 2004}).

7 có ch s t n cùng là 7 ; 4 3 có ch s t n cùng là 8 ; 3 ủ ổ ằ ổ

nhiên n đ n ồ ạ ể 2 + n + 2 chia h t cho 5? ế ữ ố ậ Bài 3: Ch ng minh r ng: a) 8 ứ Bài 4: Tìm các s t ố ự i hay không s t Bài 5: Có t n t Bài 6: Tìm ch s t n cùng c a C = 1.3.5.7…..99 Ch s t n cùng c a m t t ng các lũy th a đ c xác đ nh b ng cách tính t ng các ch s nên 4567 có ch s t n cùng là 4. ữ ố ậ Bài 2: Tìm ch s t n cùng c a các s : ố ữ ố ậ d) 4161 b) 21000 102 − 2102 M 10 ằ ể 10 + 1 M 10 nhiên n đ n ố ự ủ ộ ổ ữ ố ậ ủ ừ ượ ữ ố ằ ổ ị ừ ủ ừ ổ ủ ổ c h t ta có nh n xét: M i lũy th a trong S đ u có s mũ khi chia cho 4 thì d 1 (các i:ả Tr ữ ố ậ ế ề ậ ố ư ướ ừ ề ạ ơ ố ươ ấ ố ng ng đ u có ch s t n cùng gi ng ữ ố ậ ứ ề nhau, b ng ch s t n cùng c a t ng: t n cùng c a t ng lũy th a trong t ng. ậ Bài 2: Tìm ch s t n cùng c a t ng S = 2 Gi 4(n − 2) + 1, n ˛ lũy th a đ u có d ng n Theo tính ch t 2, m i lũy th a trong S và các c s t ừ ọ ủ ổ ữ ố ậ ằ (2 + 3 + … + 9) + 199.(1 + 2 + … + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 200(1 + 2 + … + 9) + 9 = 9009. ậ ủ ổ ữ ố ậ ủ ổ c h t ta có nh n xét: M i lũy th a trong T đ u có s mũ khi chia cho 4 thì d 3 (các ữ ố ậ ế i: ả Tr ậ ố ư V y ch s t n cùng c a t ng S là 9. Bài 3: Tìm ch s t n cùng c a t ng T = 2 Gi lũy th a đ u có d ng n ướ ừ ề ạ Theo tính ch t 3 thì 2 ấ ọ ộ ữ ố ậ ữ ố ậ ữ ố ậ ữ ố ậ ư ậ

ủ ổ

11 có ch s t n ữ ố ậ cùng là 4 ; … Nh v y, t ng T có ch s t n cùng b ng ch s t n cùng c a t ng: (8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 1 + 8 + 7 + 4 = 200(1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 8 + 7 + 4 = 9019. V y: ch s t n cùng c a t ng T là 9. ậ Bài 4: T n t

2 + n + 1 chia h t cho 1995

2000.

ữ ố ậ nhiên n sao cho n i hay không s t ồ ạ ố ự ế

ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1

CHUYÊN Đ : TÌM CH S T N CÙNG Ữ Ố Ậ Ề

2 + n + 1 ữ ố n2 + n + 1

2 + n = n(n + 1), là tích c a hai s t ể ậ

2000.

i:ả 19952000 t n cùng b i ch s 5 nên chia h t cho 5. Vì v y, ta đ t v n đ là li u n ữ ố ế ệ ề ậ ở ố ự ủ ế (cid:222) (cid:222) ặ ấ nhiên liên ti p nên ch s ế n2 + n + 1 ch có th t n cùng là 1; 3; 7 ỉ ủ 2 + n ch có th là 0; 2; 6 ể ỉ

2 + n + 1 chia h t cho 1995 ế ng ch có th t n cùng b i các ch s 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; ở ể ậ

Gi ậ có chia h t cho 5 không? Ta có n t n cùng c a n ậ không chia h t cho 5. ế V y: không t n t ồ ạ ố ự ữ ố ỉ i s t ấ “M t s chính ph i đ ng: nhiên n sao cho n ử ụ ộ ố ươ c Bài sau: 9”, ta có th gi Bài 5: Ch ng minh r ng các t ng sau không th là s chính ph ổ ậ S d ng tính ch t ể ả ượ ằ ố ươ ứ ẵ ớ

8n +3.p4n − 4 chia h t cho 5.

ể a) M = 19k + 5k + 1995k + 1996k (v i k ch n) b) N = 20042004k + 2003 S d ng tính ch t l n h n 5 ch có th t n cùng b i các ch s 1 ; 3 ; 7 ; ấ “m t s nguyên t ộ ố ử ụ ố ớ ữ ố ể ậ ơ ở ỉ

l n h n 5. Ch ng minh r ng: p ứ ằ ế ố ớ 9” Bài 6: Cho p là s nguyên t ố ơ Bài 7: Tìm s d c a các phép chia: ố ư ủ

ủ ữ ố ậ

Bài 9: Ch ng minh r ng ch s t n cùng c a hai t ng sau gi ng nhau: ứ ằ ủ ổ ố

i các s t nhiên x, y, z th a mãn: ồ ạ ứ ằ ố ự ỏ a) 21 + 35 + 49 + … + 20038005 cho 5 b) 23 + 37 + 411 + … + 20038007 cho 5 Bài 8: Tìm ch s t n cùng c a X, Y: X = 22 + 36 + 410 + … + 20048010 Y = 28 + 312 + 416 + … + 20048016 ữ ố ậ U = 21 + 35 + 49 + … + 20058013 V = 23 + 37 + 411 + … + 20058015 Bài 10: Ch ng minh r ng không t n t 19x + 5y + 1980z = 1975430 + 2004.

m như

˛ N và x = 100k + y, trong đó k; y ˛ N thì hai ch s t n cùng c a x cũng ậ ữ ố ậ ủ II. Tìm hai ch s t n cùng ữ ố ậ N u x Nh n xét: ế chính là hai ch s t n cùng c a y. ữ ố ậ nhiên x thì Hi n nhiên là y ≤ x. Nh v y, đ đ n gi n vi c tìm hai ch s t n cùng c a s t ả ủ ố ự ể ơ ể ủ ư ậ ữ ố ậ ệ ố ệ ủ ố ự ữ ố ậ Rõ ràng s y càng nh thì vi c tìm các ch s t n cùng c a y càng đ n gi n h n. T nh n xét trên, ta đ xu t ph ơ nhiên x = a thay vào đó ta đi tìm hai ch s t n cùng c a s t ỏ ề ả ơ ng pháp tìm hai ch s t n cùng c a s t ủ ố ự ươ ừ ậ ấ ữ ố ậ nhiên y (nh h n). ỏ ơ ủ ữ ố ậ

n − 1 M 25.

sau: Tr nhiên sao cho a

m M 2m. G i n là s t ọ ố

q(apn − 1) M 100. ủ m cũng chính là hai ch s t n cùng c a a

ế n + q (p ; q ˛ N u a ch n thì x = a ẵ N), trong đó q là s nh nh t đ a ố ự ấ ể q M 4 ta có: ỏ ng h p 1: ợ ườ t m = p Vi ế x = am = aq(apn − 1) + aq. apn − 1 M 25. M t khác, do (4, 25) = 1 nên a ặ ữ ố ậ ủ q. Ti p theo, ta tìm hai ế

n − 1 M 100.

, g i n là s t nhiên sao cho a ọ ố ự aun − 1M 100. ủ q. N u a l ẻ ế N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av Vì an − 1M100 (cid:222) ủ m cũng chính là hai ch s t n cùng c a a ế ữ ố ậ ủ v. Ti p theo, ta tìm hai

n − 1 M 25. ấ 23(220 − 1) M 100. M tặ

i đ nhiên ể ả ượ ả ủ v. ng h p trên, chìa khóa đ gi ợ ườ ỏ c Bài là chúng ta ph i tìm đ ữ ố ậ ế ỏ c s t ượ ố ự ủ q và av. a2003 b) 799 ng h p 1, ta tìm s t nhiên n nh nh t sao cho 2

n − 1 M 100.

N). ậ ng h p 2, ta tìm s t ủ 2003 là 08. ợ ườ ấ Vì an − 1 M 25 (cid:222) V y hai ch s t n cùng c a a ậ ữ ố ậ ch s t n cùng c a a ữ ố ậ Tr ng h p 2: ợ ườ n + v (u ; v ˛ t m = u Vi ế V y hai ch s t n cùng c a a ậ ữ ố ậ ch s t n cùng c a a ữ ố ậ Trong c hai tr ả n. N u n càng nh thì q và v càng nh nên s d dàng tìm hai ch s t n cùng c a a ẽ ễ Bài 11: Tìm hai ch s t n cùng c a các s : a) ố ữ ố ậ ủ i:ả a) Do 22003 là s ch n, theo tr Gi ợ ố ẵ ố ự ườ ỏ Ta có 210 = 1024 (cid:222) 220 − 1 = (210 + 1)(210 − 1) M 25 (cid:222) 210 + 1 = 1025 M 25 (cid:222) khác: 22003 = 23(22000 − 1) + 23 = 23((220)100 − 1) + 23 = 100k + 8 (k ˛ V y hai ch s t n cùng c a 2 ữ ố ậ b) Do 799 là s l , theo tr ố ẻ Ta có 74 = 2401 => 74 − 1 M 100. M t khác: 9 nhiên n bé nh t sao cho 7 N) ố ự 9 − 1 M 4 => 99 = 4k + 1 (k ˛ ặ

ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2

CHUYÊN Đ : TÌM CH S T N CÙNG Ữ Ố Ậ Ề

99 = 74k + 1 = 7(74k − 1) + 7 = 100q + 7 (q 517 cho 25.

ậ ữ ố N) t n cùng b i hai ch s 07. ở

n − 1 M 100.

nên theo tr c h t ta tìm hai ch s t n cùng c a 3 ả ng h p 2, ta ph i ợ ố ẻ ườ ủ 517. Do s này l

517 cho 25 là 18. ế

2 chia h t cho 4 ; n u a l

3517 = 320k + 5 = 35(320k − 1) 320 − 1 = (310 + 1) (310 − 1) M 100. 517 = 5(516 − 1) + 5 = 20k + 5 (cid:222) ướ ế ữ ố ậ nhiên n nh nh t sao cho 3 ấ 310 + 1 M 50 (cid:222) 5(516 − 1) M 20 (cid:222) ặ ữ ố ậ ậ ố ư ủ ng h p s đã cho chia h t cho 4 thì ta có th tìm theo cách gián ti p. ườ ợ ố ế ữ ố ậ đó suy ra các kh năng c a hai ch s t n ả ủ ố t chia h t cho 4 đ ch n giá tr đúng. c tiên, ta tìm s d c a phép chia s đó cho 25, t ả ể ừ ể ọ thi ế ế ị ế ố ụ ỏ ặ ấ ấ ấ ộ N u a ế M N và (a, 5) = 1 thì a20 − 1 M 25. ủ

100 − 1 chia h t cho 4 ; n u a ế

thì a ế ễ ấ ế ế ế ẻ V y 7ậ Bài 12: Tìm s d c a phép chia 3 ố ư ủ i:ả Tr Gi tìm s t ỏ ố ự Ta có 310 = 95 = 59049 (cid:222) 16 − 1 M 4 (cid:222) M t khác: 5 + 35 = 35(320k − 1) + 243, có hai ch s t n cùng là 43. V y s d c a phép chia 3 Trong tr Tr ố ư ủ ướ cùng. Cu i cùng, d a vào gi ế ự Các thí d trên cho th y r ng, n u a = 2 ho c a = 3 thì n = 20 ; n u a = 7 thì n = 4. ặ ấ ằ M t câu h i đ t ra là: N u a b t kì thì n nh nh t là bao nhiêu ? Ta có tính ch t sau đây: ỏ ế Tính ch t 4:ấ Bài 13: Tìm hai ch s t n cùng c a các t ng: ổ ữ ố ậ a) S1 = 12002 + 22002 + 32002 + ... + 20042002 b) S2 = 12003 + 22003 + 32003 + ... + 20042003 i:ả a) D th y, n u a ch n thì a ẵ 2 chia h t cho 25. ế ˛ N và (a, 5) = 1 ta có a· 100 − 1 M 25. ấ ớ ọ ˛ tính ch t 4 ta suy ra v i m i a N ta có a2(a100 − 1) M 100. ế ặ ậ

2 + 22 + 32

1 cũng chính là hai ch s t n cùng c a t ng 1

2 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 334 = 2684707030, t n cùng là 30.

Gi chia h t cho 5 thì a M t khác, t ừ V y v i m i a ọ ớ Do đó S1 = 12002 + 22(22000 − 1) + ... + 20042(20042000 − 1) + 22 + 32 + ... + 20042. Vì th hai ch s t n cùng c a t ng S ữ ố ậ ữ ố ậ ủ ổ ủ ổ ế

1 là 30. 2 = 12003 + 23(22000 − 1) + ... + 20043(20042000 − 1) + 23 + 33 + ủ 3 + 23 + 33 2 cũng chính là hai ch s t n cùng c a 1 ủ ổ 2

ậ ậ ng t + ... + 20042. áp d ng công th c: 1 ụ ứ (cid:222) 12 + 22 + ... + 20042 = 2005 · 4009 · V y hai ch s t n cùng c a t ng S ủ ổ ữ ố ậ b) Hoàn toàn t nh câu a, S ự ư ươ 20043. Vì th , hai ch s t n cùng c a t ng S ữ ố ậ ế ữ ố ậ

3 1

3 3

3 2

Ø ø + = + + + + ... + 20043. Áp d ng công th c: ... n + + + (1 2 ... n) ứ ụ œ º ß + n(n 1) 2 (cid:222) ậ = Œ 13 + 23 + ... + 20043 = (2005 · 1002)2 = 4036121180100, t n cùng là 00. ậ ủ ổ nhiên A không ph i là s chính ph ng n u: ế ươ ố

2 là 00. ả + A có ch s t n cùng là 2, 3, 7, 8 ; + A có ch s t n cùng là 6 mà ch s hàng ch c là ch s ch n ; ữ ố ẵ ; + A có ch s hàng đ n v khác 6 mà ch s hàng ch c là l ẻ + A có ch s hàng đ n v là 5 mà ch s hàng ch c khác 2 ; + A có hai ch s t n cùng là l ẻ

ữ ố ụ ữ ố ụ V y hai ch s t n cùng c a t ng S ữ ố ậ S t Tính ch t 5:ấ ố ự ữ ố ậ ữ ố ậ ữ ố ữ ố ữ ố ơ ơ ụ ị ị

. ữ ố ậ N và n − 1 không chia h t cho 4. CMR: 7 ng. ế ươ ˛

n + 2 không th là s chính ph ố ể {0, 2, 3}). Ta có 74 − 1 = 2400 M 100. Ta ủ n + 2 cũng chính là hai n

ữ ố ậ i:ả Do n − 1 không chia h t cho 4 nên n = 4k + r (r ế t 7ế n + 2 = 74k + r + 2 = 7r(74k − 1) + 7r + 2. V y hai ch s t n cùng c a 7 ữ ố ậ ấ ậ ỉ ng khi n không chia h t cho 4. ể ế

m nh sau: ư

ủ r + 2 (r = 0, 2, 3) nên ch có th là 03, 51, 45. Theo tính ch t 5 thì rõ ràng 7 ố ữ ố ậ ng t T ữ ố ậ ữ ố ậ ự ệ ng h p tìm hai ch s t n cùng, vi c tìm ba ch s t n cùng c a ủ ợ ố ư ủ ˛ N u x = 1000k + y, trong đó k ; y Bài 14: Cho n ˛ Gi vi ch s t n cùng c a 7 + 2 không th là s chính ph ể ươ III. Tìm ba ch s t n cùng nh tr Nh n xét: ư ườ ươ ậ nhiên x chính là vi c tìm s d c a phép chia x cho 1000. s t ệ ố ự ế N thì ba ch s t n cùng c a x cũng chính là ba ch s ủ ữ ố ậ ữ ố t n cùng c a y (y ≤ x). ủ ậ ng pháp tìm ba ch s t n cùng c a s ề ấ ươ ữ ố ậ ủ ố Do 1000 = 8 x 125 mà (8, 125) = 1 nên ta đ xu t ph nhiên x = a t ự

ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 3

m. G i n là s t

CHUYÊN Đ : TÌM CH S T N CÙNG Ữ Ố Ậ Ề

n − 1 chia

m chia h t cho 2 ế

nhiên sao cho a N u a ch n thì x = a ẵ ố ự ọ ế

n + q (p ; q ˛ x = am = aq(apn − 1) + aq.

q(apn − 1)

pn − 1 chia h t cho 125. M t khác, do (8, 125) = 1 nên a ặ

N), trong đó q là s nh nh t đ a Vi ấ ể q chia h t cho 8 ta có: ế ố ỏ ng h p 1: Tr ợ ườ h t cho 125. ế t m = p ế

ế Vì an − 1 chia h t cho 125 => a ế chia h t cho 1000. ế ủ m cũng chính là ba ch s t n cùng c a a ữ ố ậ ủ q. Ti p theo, ta tìm ba ế

n − 1 chia h t cho 1000. , g i n là s t nhiên sao cho a ế N, 0 ≤ v < n) ta có: x = am = av(aun − 1) + av. un − 1 chia h t cho 1000. ế

ọ ố ự

101. 123100 − 1 M 125 (1).

ế ủ v. Ti p theo, ta tìm ba c suy ra t ủ v. Tính ch t sau đ ủ m cũng chính là ba ch s t n cùng c a a ừ ượ ˛ ữ ố ậ tính ch t 4. ấ N và (a, 5) = 1 thì a100 − 1 chia h t cho 125. ế V y ba ch s t n cùng c a a ữ ố ậ ậ ủ q. ch s t n cùng c a a ữ ố ậ N u a l ng h p 2: Tr ẻ ế ườ ợ n + v (u ; v ˛ Vi t m = u ế Vì an − 1 chia h t cho 1000 => a ế V y ba ch s t n cùng c a a ữ ố ậ ậ ch s t n cùng c a a ữ ố ậ ấ Tính ch t 6: ấ Ch ng minh: ứ ố ư N u a ế Do a20 − 1 M 25 nên a20, a40, a60, a80 khi chia cho 25 có cùng s d là 1 (cid:222) a20 + a40 + a60 + a80 + 1 M 5. V y aậ 100 − 1 = (a20 − 1)( a80 + a60 + a40 + a20 + 1) M 125. ủ

100 − 1 = (12325 − 1)(12325 + 1)(12350 + 1) (cid:222)

100 − 1 M 1000

101 có ba ch s t n cùng là 123.

100 − 1 chia h t cho 8

100 − 1 chia h t cho 1000 ế

399...98 cũng chính là ba ch s t n cùng c a 9 ủ 100 là 001 mà 999 = 9100: 9 (cid:222) ủ

99 là 9, sau đó d a vào phép nhân ự

100 − 1 99. L i vì 9 ạ ba ch s t n cùng c a ủ ữ ố ậ · = ???9 9 ...001

123100 − 1 M 8 (2). ặ (1) và (2) suy ra: 123 ừ (cid:222) Bài 15: Tìm ba ch s t n cùng c a 123 ữ ố ậ i:ả Theo tính ch t 6ấ , do (123, 5) = 1 (cid:222) Gi M t khác: 123 Vì (8, 125) = 1, t 123101 = 123(123100 − 1) + 123 = 1000k + 123 (k ˛ ữ ố ậ N). V y 123 ậ ữ ố ậ ủ 399...98. Bài 12: Tìm ba ch s t n cùng c a 3 Gi (1). bài 11, ta có 9 ế (2). ng t ươ (cid:222) i:ả Theo tính ch t 6ấ , do (9, 5) = 1 => 9100 − 1 chi h t cho 125 T ự Vì (8, 125) = 1, t 3399...98 = 9199...9 = 9100p + 99 = ừ ế (1) và (2) suy ra: 9 N). ậ ữ ố ậ ủ (cid:222) ế

999(9100p − 1) + 999 = 1000q + 999 (p, q ˛ V y ba ch s t n cùng c a 3 ủ ữ ố ậ ữ ố ậ ữ ố ậ ậ ). V y ba ch s t n cùng c a 3 ữ ố ậ chia h t cho 1000 ba ch s t n cùng c a 9 999 là 889 (d ki m tra ch s t n cùng c a 9 ễ ể = đ xác đ nh ể ??9 889 ủ 399...98 là 889. ữ ố ậ ế ế ộ ị ế ố ướ N u s đã cho chia h t cho 8 thì ta cũng có th tìm ba ch s t n cùng m t cách gián ti p theo ể ữ ố ậ đó suy ra các kh năng c a ba ch s t n ủ ị ề ừ ể ọ c: Tìm d c a phép chia s đó cho 125, t ố ế 200. ệ ủ 2004100 chia cho 125 d 1 ư (cid:222) 2004200 = (2004100)2 chia cho 200 M 8 nên 2004200 ch có th t n cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004 ỉ ể ậ ỉ

n + 2n + 3n + 4n chia h t cho 5 khi và ch khi n không chia h t cho 4. ế 20002003, 720002003 có ch s t n cùng gi ng nhau. ữ ố ậ

ế ỉ ố ữ ố ậ ủ

ữ ố ậ ủ

200.

ữ ố ậ ằ ủ 101 cũng b ng ba ch s t n ữ ố ậ ằ ủ ộ ố ẵ ữ ố ậ ủ các b ả ố ư ủ cùng, cu i cùng ki m tra đi u ki n chia h t cho 8 đ ch n giá tr đúng. ể Bài 16: Tìm ba ch s t n cùng c a 2004 ữ ố ậ i:ả do (2004, 5) = 1 (tính ch t 6ấ ) (cid:222) Gi 125 d 1 ư (cid:222) ch có th t n cùng là 376. ể ậ Bài t p v n d ng: ậ ậ ụ Bài 17: Ch ng minh 1 ứ Bài 18: Ch ng minh 9 ứ Bài 19: Tìm hai ch s t n cùng c a: a) 3999 b) 111213 Bài 20: Tìm hai ch s t n cùng c a: S = 23 + 223 + ... + 240023 Bài 21: Tìm ba ch s t n cùng c a: S = 12004 + 22004 + ... + 20032004 Bài 22: Cho (a, 10) = 1. Ch ng minh r ng ba ch s t n cùng c a a ứ cùng c a a. Bài 23: Cho A là m t s ch n không chia h t cho 10. Hãy tìm ba ch s t n cùng c a A ế Bài 24: Tìm ba ch s t n cùng c a s : ữ ố ậ ủ ố