Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính Casio giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài này giúp học sinh hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản có thể sử dụng máy tính Casio để giải toán trắc nghiệm về những kiến thức cơ bản của chương như vectơ, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian. Từ đó góp phần phát triển năng lực tính toán, giải quyết vấn đề và sáng tạo, đồng thời hỗ trợ cho học sinh trong việc học toán nói riêng cũng như các môn khoa học tự nhiên nói chung và trong kì thi THPT Quốc gia.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính Casio giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT BÌNH XUYÊN *** BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Tác giả sáng kiến: Lưu Thị Minh Nguyệt Mã sáng kiến: 31.52.11 1
Vĩnh Phúc, năm 2019 MỤC LỤC 1. Lời giới thiệu....................................................................................................................... 3 PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT......................................................................................... 5 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN................................................................................................ 5 II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU....................................................................................... 11 PHẦN 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO................................. 20 I. Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ.............................. 20 II. Bài toán sử dụng chức năng vectơ......................................................................... 27 III. Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”)............................ 36 IV. Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa.......................... 49 PHẦN 3: THỰC NGHIỆM.............................................................................................. 58 CÁC CHỮ CÁI VIẾT TẮT............................................................................................... 66 2
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu “Phương pháp tọa độ trong không gian” là một trong những phần kiến thức quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Phần kiến thức này xuất hiện hàng năm trong các cuộc thi Tốt nghiệp THPT và thi Đại học Cao đẳng trước kia hoặc thi THPT Quốc gia hiện nay. Trong quy chế mới thi THPT Quốc gia từ 2017, môn Toán sẽ chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Với quy chế thi mới, bên cạnh những thuận lợi và hiệu quả mang lại cho giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học cũng như trong các kì thi, thì giáo viên và học sinh cũng gặp không ít những khó khăn. Trước đây, giải toán theo phương thức tự luận đòi hỏi rất cao về tư duy suy luận logic, học sinh cần nắm thật chắc kiến thức và trình bày theo các bước cho đúng trình tự mới đạt kết quả cao thì bây giờ thi theo hình thức trắc nghiệm, ngoài những kĩ năng như học và thi tự luận còn yêu cầu thêm nữa đó là phải học kiến thức trải rộng hơn. Ở bài thi trắc nghiệm thường sẽ là những bài yêu cầu giải nhanh và không quá rườm rà, phạm vi kiến thức rộng và bao quát hơn. Nếu như trước kia học sinh giải toán theo phương châm “chậm và chắc” thì với hình thức thi trắc nghiệm khách quan học sinh phải đổi từ “chậm” thành “nhanh”. Một số câu kiểm tra về kiến thức lí thuyết yêu cầu học sinh phải ghi nhớ nhiều hơn. Trước mọi sự thay đổi, hay nói cách khác là một cách thức thi mới, thì điều tất yếu là học sinh buộc phải tập làm quen với nó. Trong công việc “Trăm hay không bằng tay quen”, trong giải toán cũng vậy, khi giải nhiều đề thi trắc nghiệm học sinh sẽ tìm được những lỗi mà mình thường gặp phải cũng như nhanh tìm được một phương pháp giải tối ưu cho bài toán. Một số bài toán khi giải theo phương thức tự luận có thể yêu cầu ở mức độ vận dụng cao nhưng khi ở dạng bài trắc nghiệm thì chúng ta có thể đưa về mức độ thông hiểu hoặc vận dụng thấp bằng cách thử đáp án để loại trừ đáp án không thỏa mãn và chọn đáp án thỏa mãn; hoặc đặc biệt hóa dữ kiện của bài toán để đơn giản hơn rồi so sánh kết quả với các đáp án mà đề bài đã cho để từ đó ta chọn đáp án thỏa mãn,… Khi đó, máy tính Casio là một công cụ hỗ trợ tuyệt vời và hiệu quả cho việc tính toán và thử đáp án. Giải toán bằng máy tính Casio không có nghĩa là học sinh không phải tư duy. Phương pháp giải toán bằng máy tính Casio dựa trên hai cơ sở phát triển: tư duy thuật toán và lý tuyết cơ bản. Đôi khi chúng ta không giải theo phương thức tự luận truyền thống, nhưng vẫn luôn luôn lấy lý thuyết cơ bản làm nền tảng. 3
Máy tính không thể thay thế hoàn toàn con người, chúng ta cần thành thạo cả hai cách giải theo phương thức tự luận và sử dụng máy tính casio để đạt kết quả tốt và tiết kiệm thời gian tối đa. Nếu như học sinh vẫn còn một số hạn chế về năng lực trong việc học môn toán có thể bỏ qua cách giải tự luận với một số dạng bài. Tuy nhiên, học sinh vẫn cần phải rèn luyện kiến thức, kĩ năng, giải thành thạo cả hai phương pháp, không sa đà vào việc nghĩ thuật toán bấm máy cho một câu không làm được. Với mục đích góp phần giúp học sinh hứng thú hơn và học có hiệu quả hơn về chương “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi đã chọn đề tài: Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng máy tính Casio giải toán trắc nghiệm chương “Phương pháp tọa độ trong không gian”. Đề tài sẽ giúp học sinh hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản có thể sử dụng máy tính Casio để giải toán trắc nghiệm về những kiến thức cơ bản của chương như vectơ, mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu trong không gian. Từ đó góp phần phát triển năng lực tính toán, giải quyết vấn đề và sáng tạo, đồng thời hỗ trợ cho học sinh trong việc học toán nói riêng cũng như các môn khoa học tự nhiên nói chung và trong kì thi THPT Quốc gia. 2. Tên sáng kiến: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Lưu Thị Minh Nguyệt Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên Số điện thoại: 0979293373. E_mail: minhnguyetvts180581@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lưu Thị Minh Nguyệt 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Hình học lớp 12 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 20/01/2018 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1. Về nội dung của sáng kiến: Một số dạng toán về tọa độ trong không gian có thể sử dụng máy tính Casio: Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ (cộng, trừ, nhân, chia, lấy căn, lũy thừa, giá trị tuyệt đối, giải hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn,…): tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; tính độ dài vectơ, 4
tích vô hướng của hai vectơ; tìm bán kính, diện tích, thể tích của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài toán sử dụng chức năng vectơ: tính độ dài vectơ; tính tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ; tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, thể tích của khối hộp, thể tích tứ diện; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau. Bài toán sử dụng phím chức năng CALC và dấu hai chấm (“:”): kiểm tra điểm thuộc đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu; điểm là giao của đường thẳng với đường thẳng, mặt phẳng hoặc mặt cầu; điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng; tọa độ hình chiếu của điểm trên mặt phẳng, tọa độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng; tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng hoặc qua đường thẳng; điểm thỏa mãn điều kiện cho trước; phương trình đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu đi qua một số điểm. Bài toán hình học không gian sử dụng phương pháp tọa độ hóa: việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian giúp cho học sinh giải một số bài toán về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng; tính thể tích khối đa diện đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp giải thông thường. Tuy nhiên, việc vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian thường áp dụng để giải một số bài toán có mối liên hệ vuông góc và khi việc dựng khoảng cách hoặc góc gặp khó khăn. PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc v ới nhau từng đôi một và chung một rr r điểm gốc O. Gọi i, j, k là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc hệ tọa độ Oxyz. r2 r2 r2 rr rr r r Chú ý i = j = k =1 và i. j = i.k = k . j = 0 . 2. Tọa độ của vectơ r r r r r a) Định nghĩa: u = ( x; y;z ) � u = xi + y j + zk r r b) Tính chất Cho a = ( x1; y1;z1 ) , b = ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) , k R r r a b = ( x1 x 2 ; y1 y 2 ;z1 z 2 ) r ka = k ( x1; y1;z1 ) = ( kx1;k y1;k z1 ) 5
x1 = x 2 r r a = b � y1 = y 2 z1 = z 2 r r r r 0 = (0;0;0), i = (1; 0; 0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) r r r r r r a cùng phương b (b 0) a = kb (k R ) x1 = kx 2 x1 y1 z1 � y1 = ky 2 � = = , ( x 2 .y 2 .z 2 �0 ) x 2 y2 z 2 z1 = kz 2 rr Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: a.b = x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2 r r a ⊥ b � x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2 = 0 r2 r a = x12 + y12 + z12 ; a = x12 + y12 + z12 rr rr x1.x 2 + y1 .y 2 + z1 .z 2 r r r cos ( ) a,b = r a.b r = ( , a,b 0 ) a.b x12 + y12 + z12 3. Tọa độ của điểm uuuur a) Định nghĩa: M = ( x; y;z ) � OM = ( x; y;z ) (x: hoành độ, y: tung độ, z: cao độ) Chú ý M (Oxy) M(x; y; 0); M (Oyz) M(0; y; z); M (Oxz) M(x; 0; z) M Ox M(x; 0; 0) ; M Oy M(0; y; 0); M Oz M(0; 0; z) b) Tính chất: Cho A ( x A ; y A ;z A ) , B ( x B ; y B ;z B ) uuur AB = ( x B − x A ; y B − y A ;z B − z A ) AB = (x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − z A ) 2 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: �x + x B y A + y B z A + z B � M =�A ; ; � � 2 2 2 � Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: �x + x B + x C y A + y B + y C z A + z B + z C � G =�A ; ; � � 3 3 3 � 6
4. Tích có hướng của hai vectơ r r a) Định nghĩa:Cho a = ( x1; y1;z1 ) , b = ( x 2 ; y 2 ;z 2 ) r r r r �y1 z1 z1 x1 x1 y1 � � � � �= a �b = �y z ; z x ; x a,b � �2 2 2 2 2 y2 � = ( y1z 2 − y 2z1;z1 x 2 − z 2 x1; x1 y 2 − x 2 y1 ) r r r r r r Chú ý: [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b b) Ứng dụng của tích có hướng rr rr r a,b cùng phương � � � � �= 0 a,b uuur uuur r � AB,AC � A, B, C thẳng hàng � � �= 0 rrr rr r Ba vectơ a, b,c đồng phẳng � � a,b � � � .c = 0 uuur uuur uuur A, B, C, D đồng phẳng � � �AB,AC � .AD = 0 � uuur uuur Diện tích hình bình hành ABCD: S = �AB,AD � Y ABCD � � 1 uuur uuur Diện tích tam giác ABC : S = �AB,AC � 2� � ∆ABC uuur uuur uuuur Thể tích khối hộp ABCD.A B C D : VABCD = � �AB,AD � � .AA ' 1 uuur uuur uuur Thể tích tứ diệnABCD: VABCD = . � AB,AC � .AD 6 � � uuur uuur 2S∆ABC � � BA, BC � Đường cao của AH tam giác ABC: AH = = uuur � BC BC Đường cao của AH tứ diện ABCD: 1 uuur uuur�uuur uuur uuur uuur 3. �BC,BD � � .BA � BC, BD � .BA 3VABCD 6 � � AH = = uuur uuur = uuur uuur S∆BCD 1� � BC,BD � BC,BD � � � 2� � 5. Phương trình mặt cầu Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2 Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A 2 + B2 + C2 − D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(– A; – B; – C) và 7
bán kính R = A 2 + B2 + C 2 − D . 6. Phương trình mặt phẳng a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: mp ( α ) có phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0thì ( α ) có r một vectơ pháp tuyến là n = ( A;B;C ) r Mặt phẳng (P) qua điểm M(xo; yo; zo) nhận vectơ n = ( A;B;C ) làm VTPT có phương trình dạng A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng qua ba điểm (a, 0, 0), (0, b, 0) và (0, 0, c) với abc 0 có x y z phương trình + + = 1 a b c b) Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (P) cắt Q A : B : C A’ : B’: C’ A B C D ( P) / / ( Q) � = = � A ' B' C' D ' A B C D ( P ) �( Q ) � = = = A ' B' C' D ' c) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M(xo; yo; zo) đến mặt phẳng ( ):Ax + By + Cz + D = 0 xác định bởi công thức: Ax o + By o + Cz o + D d(M;(α)) = A 2 + B2 + C 2 d) Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0; (Q):A’x + B’y + C’z + D’ r ur = 0 có vectơ pháp tuyến tương ứng là n,n ' . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì ta có: r ur | AA '+ BB'+ CC' | ( cos ϕ = cos n,n ' = ) A 2 + B2 + C2 . A '2 + B'2 + C'2 7. Phương trình đường thẳng a) Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng 8
r Đường thẳng (d) qua M(xo; yo; zo) nhận a = ( a;b;c ) là một vectơ chỉ x = x o + at phương có phương trình tham số là: y = y o + bt z = z o + ct Nếu abc 0 thì (d) có phương trình chính tắc là: x − x o y − yo z − zo = = a b c b) Vị trí tương đối của hai đường thẳng uur Cho hai đường thẳng: d1 đi qua M1 và có vectơ chỉ phương là u1 , d2 đi qua uur M2 và có vectơ chỉ phương là u 2 uur uur uuuuuur � �.M1 M 2 = 0 ��1 , u 2 � u + (d1) cắt (d2) uur uur r � � �1 , u 2 � 0 u uur uur uuuuuur + (d1) chéo (d2) ۹ � �u1 ,u 2 �.M1 M 2 0 � uur uur r � � ��1 ,u 2 �= 0 u + (d1) // (d2) uur uuuuuur r � � �1 ,M1M 2 � 0 u uur uur uur uuuuuur r � � u1 ,u 2 �= ��u1 , M1M 2 � + (d1) trùng (d2) � � �= 0 c) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng x = x o + at (d) : y = yo + bt (*) Cho (P):Ax +By +Cz +D =0 va� z = z o + ct Thay (*) vào (P) ta có phương trình ẩn t. A(xo + at) + B(yo + bt) + C(zo + ct) + D = 0 (1) + Nếu phương trình (1) có duy nhất nghiệm thì (d) cắt (P) tại một điểm. + Nếu (1) vô nghiệm thì (d) // mp(P). + Nếu (1) có vô số nghiệm thì (d) nằm trong mp(P). Chú ý: Nếu to là nghiệm của phương trình (1) thì tọa độ giao điểm của (d) và (P) là M ( x o + at o ; yo + bt o ;z o + ct o ) r d) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua Mo có VTCP u : 9
r uuuuur � � � MM o � u, d ( M,d ) = r u e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 (d1 đi qua M1 và uur uur có VTCP là u1 , d2 đi qua M2 và có VTCP là u 2 ): uur uur uuuuuur � � �1 ,u 2 � u .M1M 2 d ( d1 ,d 2 ) = uur uur � � �1 ,u 2 � u uur f) Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 (d1 đi qua M1 và có VTCP là u1 , d2 đi uur qua M2 và có VTCP là u 2 ): uur uur uur uur u1.u 2 ( ) cos ( d1 ,d 2 ) = cos u1 ,u 2 = uur uur u1 . u 2 r r g) Góc giữa đường thẳng d có VTCP u và mặt phẳng (P) có VTPT n : rr rr u.n ( ) sin ϕ = cos u,n = r r u.n 10
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU A. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG uur uur Kí hiệu: vectơ pháp tuyến của mp(P), mp(α),... tương ứng là n P , n α ,... uur uur Vectơ chỉ phương của đường thẳng d, ∆ ,... tương ứng là u d ,u ∆ ,... r Dạng 1: Phương trình mặt phẳng đi qua M(xo; yo ;zo) và có 1VTPT n =(A;B;C) là: A ( x − x o ) +B ( y − y o ) +C ( z − z o ) =0 v v 1.1: (P) // (Q) : Ax + By + Cz + D = 0 VTPT n P = n Q = (A;B;C) � (Q) : A ( x − x o ) +B ( y − y o ) +C ( z − z o ) =0 x = x1 + at uur uur 1.2: (P) ⊥ (d): y = y1 + bt VTPT nP = ud =(a; b; c) z = z1 + ct � (P) : a ( x − x o ) +b ( y − y o ) +c ( z − z o ) =0 1.3: (P) là mặt phẳng trung trực của AB (P) đi qua M là trung điểm của AB uuur và nhận AB làm VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và có 2 vectơ không uur uur cùng phương u1, u 2 co gia song song hoăc năm trên (P) (t ́ ́ ̣ ̀ ức là có cặp vectơ uur uur chỉ phương u1, u 2 ) uur uur uur (P) đi qua A và có 1VTPT là n P = � u1, u 2 � � � uur uur uur 2.1: (P) vuông góc với 2 mặt phẳng(Q) , (R) n P = [ n Q , n R ] uur uuur uuur 2.2 : (P) song song với 2 đường thẳng d1, d2 nP = ��u d1 ,u d 2 � � uur uur uur 2.3 : (P) ⊥ (Q),(P) / /d nP = � n Q ,u d � � � uur uuur uuur 2.4 : (P) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng n P = [ AB , AC ] uur uuur uur 2.5 : (P) đi qua A, B và ⊥ (Q) n P =[ AB , n Q ] uur uuur uur 2.6 : (P) chứa (d) và đi qua A � n P = � AB,u d � � �với B là 1 điểm bất kì thuộc d Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và ( ∆ )( hoặc // ( ∆ )hoặc ⊥ (Q) ) uur Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) 11
uur uur r uur uur Từ ( ∆ ) (hoặc mp(Q)) VTCP u ∆ (VTPT n Q ) và tính n = [ u d , u ∆ ] r uur uur (hoặc n = � �ud , nQ � � r mp (P) đi qua M và có VTPT n Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) //(Q) và d(A;(P))=h Vì (P) // (Q): Ax + By +Cz + D = 0 nên phương trình mp(P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’ D) Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’suy ra phương trình mp(P) Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và d(A,(P))=h r Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2>0 uur Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) uur uur Vì (d) nằm trong (P) u d . n P =0 (1) PT mp (p) đi qua M: A(xx0) + B(yy0) + C(zz0) = 0 d(A,(P)) = h (2) Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được phương trình mp(P). B. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M(xo; yo ;zo) và có VTCP r u =(a; b; c) + Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = x o + at d: y = yo + bt với t R z = z o + ct x − x o y − yo z − z o + Nếu a.b.c 0 thì d có phương trình chính tắc : = = a b c uur uuur 1.1: (d) đi qua 2 điểm A, B � u d = AB uur uur 1.2: d đi qua M(xo; yo; zo) và (d) // ( ∆ ) � u d = u ∆ x − x o y − yo z − z o �d: = = a b c 12
1.3 : d đi qua M(xo; yo ;zo) và uur uur d ⊥ ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 � u d = n P = ( A;B;C ) x − x o y − yo z − z o �d: = = A B C Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(xo; yo; zo) và vuông uur uur góc với giá của 2 vectơ không cùng phương u1 ,u 2 r uur uur d có 1VTCP là u = � u1,u 2 � � � uur uuur uuur 2.1. d ⊥ d1 , d (⊥ d 2 1d)/ / d 2 � u d =� � u d1 ,u d 2 � � uur uur uur ( ) 2.2. d / /(P) hoặc d (P) , d / /(Q) hoặc d (Q) (P) / / (Q) � u d = � n P ,n Q � � � 2.3. d = ( P ) ( Q ) ,(P):Ax + By + Cz + D = 0 và (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0 uur uur uur uur Từ (P) và (Q) n � P , nQ , �n P , nQ �� Ax + By + Cz +D =0 Xét hệ . A'x + B' y + C'z + D' = 0 Chọn một nghiệm (xo; yo ;zo) từ đó M(xo; yo ;zo) d r r r (d) đi qua M và có VTCP u d =[ n P , n Q]. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: Viết phương trình mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) Hình chiếu cần tìm d' = (P) I (Q) Cách 2: Tìm A = d I ( P) ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) ) Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) Viết phương trình d' đi qua M, H Dạng 4: Tọa độ hình chiếu 4.1. Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên mp(P): Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với (P) H = ∆ I( P ) 4.2. Xác định tọa độ H là hình chiếu của của M trên ∆ : Viết phương trình mp(Q) đi qua M và vuông góc với ∆ H= ∆ I (Q) 13
Chú ý: nếu M’ đối xứng với M qua (P)(hoặc qua ∆ ) thì H là trung điểm MM’ Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : Viết pt mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 Tìm B = (α ) I d 2 Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2: Gọi M, N là giao diểm của d và d1, d2 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) d1 , N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') d 2 uuur uuur AM , AN cùng phương suy ra t và t’. Từ đó tìm được tọa độ M, N d đi qua M, N Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 Gọi M, N là giao điểm của d và d2, d3 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) d 2 , và N ( x0' + a ' t ', y0' + b ' t ', z0' + c ' t ') d 3 uuuur uur Cho MN,ud1 cùng phương suy ra t và t’. Từ đó tìm được tọa độ M, N d đi qua M, N Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 Cách 1: Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc d1 Tìm giao điểm B = (α ) I d 2 Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2: Gọi M là giao của d và d2 ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) d 2 uuuur uur uuuur uur d ⊥ d1 � AM ⊥ u d1 � AM.u d1 = 0 � t . Từ đó tìm được tọa độ M d đi qua M, A Dạng 8 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song mp (α ) , cắt đường thẳng d' 14
Cách 1: Viết phương trình mp(P) đi qua A và song song với (α ) Tìm B = ( P ) I d ' Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Cách 2: Gọi M là giao của d và d’ ta có M ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) d ' uuur uuur uuur uuur d / /(α ) � AM ⊥ n( α ) � AM.n( α ) = 0 � t . Từ đó tìm được tọa độ M d đi qua M, A Dạng 9 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. Tìm giao điểm A=d1 I( P ) và B=d2 I( P ) Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 10: Viết phương trình đường vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 : Gọi M(x o + at, y o + bt,z o + ct) d1 , N(x 'o + a 't ', y'o + b 't ',z 'o + c't ') d 2 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2 uuuur r MN ⊥ d1 MN.u1 = 0 Ta có hệ � � �uuuur r � t, t ' . MN ⊥ d 2 MN.u 2 = 0 Thay t, t' tìm M, N =>Viết phương trình d đi qua M,N. Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 . r (P) có 1VTPT n Gọ i A(x o + at, yo + bt,z o + ct) = d d1 , uuur B ( xo' + a 't ', yo' + b ' t ', zo' + c 't ') = d d 2 . Tìm tọa độ AB r uuur Vì d vuông góc với mp(P) nên n và AB cùng phương. Từ đó tìm được t, t’=>A, B Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, B Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . Cách 1: 15
Viết phương trình mp (α ) qua A và vuông góc d1 Tìm giao điểm B = (α ) I d1 Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2: Gọi B ( x0 + at , y0 + bt , z0 + ct ) = d d1 uuur uur Tìm tọa độ AB, u1 : vtcp của d1 uuur uur uuur Vì d ⊥ d 1 nên AB.u 1 = 0 �� t AB uuur d đi qua A và có vtcp AB C. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT CẦU VỚI MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1 : Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính 1.1. (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R ( S ) :( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 1.2 . (S) có tâm A và đi qua B => (S) có bán kính R=AB 1.3. (S) có đường kính AB => (S) có tâm I là trung điểm AB, bán kính R= IA=AB/2 Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm : Viết phương trình của (S) dạng x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0 (*) Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình . Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d Thay bốn ẩn tìm được vào (*) ta suy ra phương trình của (S). Chú ý: Khi viết được phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D ta cũng xác định được tâm I(a; b; c), bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d , 4 diện tích S = 4π R 2 , thể tích V = π R3 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 3 ABCD Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 3 điểm A, B, C và có tâm nằm trên mp(P). Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát x2 +y2+z22ax2by 2cz+d=0 (*) , sau đó cho (S) đi qua ba điểm A,B,C ta được ba phương trình 16
Thay tọa độ tâm I (a; b; c) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương trình thứ tư .Vậy ta có hệ bốn phương trình bậc nhất bốn ẩn a, b, c, d . Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng quát ta có phương trình của (S) . Dạng 4 : Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a, b, c) và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) hoặc đường thẳng d cho trước . Tính bán kính của (S): R=d(I ;(P)) ( hoặc R=d(I,d) ) ( S ) :( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 Dạng 5: Mặt phẳng(P) cắt mặt cầu (S). Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến. Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) Tính d=d(I; (P)). d (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên (P). Ta có H là tâm của đường tròn ( C) bán kính của đường tròn ( C) : r = R 2 − d 2 Dạng 6: Viết phương trình mp(P) vuông góc với đường thẳng d cho trước ( hoặc song song với một mp(Q) cho trước ) và tiếp xúc với cầu (S). Xác định tâm I(a; b; c), bán kính R của mặt cầu (S) (P) vuông góc với d (hoặc //(Q)) thì uur uur uur n P = u d (= n Q ) = ( A;B;C ) � ( P ) : Ax + By + Cz + m = 0 ( *) aA + bB + cC + m (P) tiếp xúc với cầu (S) � d ( I,(P) ) = R � =R ( 1) A +B +C 2 2 2 Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P) Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P)//(Q): Ax + By + Cz + D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D’=0 (trong đó D’ D). Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D’ Từ đó ta có phương trình mp(P) cần tìm 17
Dạng 8: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với mặt cầu (S) Cach 1: ́ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) uur Gọi VTPT của mp(P) là n P = (A;B;C) với điều kiện là A2 + B2 + C2>0 uur Từ (d) VTCP u d và điểm M (d) uur uur d (P) u d . n P =0 (1) Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2) Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C phương trình mp(P). Cach 2: ́ Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng . Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm mặt phẳng sau đó chuyển về dạng Ax+By+Cz+D=0 Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì d(I,(P)) = R , ta sẽ thu được phương trình của mặt phẳng (P) Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I(a; b; c) đồng thời cắt (P) theo một đường tròn xác định( Biết bán kính r, hoặc chu vi, hoặc diện tích) Tính d=d(I; (P)) Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C ) ta tính được r.Bán kính của (S) là R = d2 + r2 ( S ) :( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = R 2 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r (hoặc diện tích, chu vi cho trước). Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) Chu vi đường tròn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r. d ( I ,( P ) ) = R 2 − r 2 (1) Vì (P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (trong đó D' D) Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D' (P). 18
Dạng 11: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước) Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) Áp dụng công thức, chu vi đường tròn: C = 2π r và diện tích: S = π r 2 tính r. uur uur Vì d (P) u d . n P =0 (1) r Gọi VTPT của mp (P) là n P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2>0, chọn M ( x o ; yo ;z o ) trên đường thẳng d => phương trình mp(P): A ( x − x o ) + B ( y − y o ) + C ( z − z o ) = 0 Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) Giải hệ (1) và (2) tìm được A, B theo C Phương trình mp(P). Dạng 12: Viết phương trình mp(P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) Bán kính r = R 2 − d 2 ( I ,( p)) để r min d(I,(P)) max Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên (d) ; K là hình chiếu vuông góc của I lên (P) Ta có: d(I,(P))= IK IH ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó: d(I,(P)) max AK = AH K H uuur (P) đi qua H và nhận IH làm VTPT 19
PHẦN 2: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO (CASIO fx570ES, CASIO fx570ESPLUS, CASIO fx570VN PLUS, VINACAL 570ES PLUS II) I. Bài toán sử dụng tính toán thông thường và chức năng giải hệ Ví dụ 1: Cho mặt phẳng ( P ) : 2x + 3y + z − 4 = 0 . Tính khoảng cách từ điểm A ( 2;3; −1) đến mặt phẳng (P). 12 8 A. d ( A, ( P ) ) = . B. d ( A, ( P ) ) = . 14 14 1 8 C. d ( A, ( P ) ) = . D. d ( A, ( P ) ) = . 14 6 Hướng dẫn: 2.2 + 3.3 − 1 − 4 d ( A, ( P ) ) = 22 + 32 + 12 Ấn máy tính: SHIFT hyp 2 2 + 3 3 1 4 2 X 2 + 3 X 2 + 1 = 4 14 8 Kết quả: = 7 14 Vậy chọn đáp án B r r Ví dụ 2: Cho a(1;2;3) . Tính độ dài a . A. 11 . B. 12 . C. 13 . D. 14 . Hướng dẫn: r a = x 2 + y 2 + z 2 = 12 + 22 + 32 Ấn máy tính: 20