Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là giúp các em học sinh lớp 12 có tham vọng lớn trong kỳ thi THPT quốc gia, tiếp cận được bài toán xác định hàm ẩn, đồng thời trang bị cho các em các hướng phát hiện và tìm giải pháp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông trong thời gian nền giáo dục nước nhà đang từng bước đổi mới với phương châm là phát huy tính tích cực và năng lực chủ động sáng tạo của học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn

SỞ GIAO DUC & ĐAO TAO HÀ TĨNH ́ ̣ ̀ ̣  SANG KIÊN KINH NGHIÊM ́ ́ ̣ ĐÊ TAI: ̀ ̀ PHÁT HIỆN VÀ TÌM GIẢI PHÁP TRONG BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN Lĩnh vực: Toán học
Năm học: 2019 2020 MỤC LỤC A. PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………………….. 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI…………………………………………………………. 1 II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN 1 CỨU…………………………………. III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU………………………………… 2 IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI…………………………………... 2 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN 2 CỨU……………………………………………… VI. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ 2 TÀI………………………… B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………………………………………... 3 I. CƠ SỞ KHOA 3 HỌC…………………………………………………………….. 1. Cơ sở lý 3 luận……………………………………………………………………. 1.1. Một số nguyên hàm đặc 3 biệt………………………………………………….. 1.2. Các quy tắc tính đạo 3 hàm……………………………………………………... 1.3. Một số tính chất của hàm 3 số………………………………………………….. 1.4. Xác định hàm ẩn bằng cách lấy nguyên hàm hai 3 vế …………………………. 1.5. Phương pháp tìm hàm ẩn được xác định bởi tích phân với cận thay 3 đổi ……. 1.6. Các bước thực hiện trong dạy 4 học…………………………………………….. 2. Cơ sở thực 4 tiển………………………………………………………………….. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN………………………………………………………. 5 1. Xác định hàm ẩn bằng cách lấy nguyên hàm hai 5 vế……………………………. 2. Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay 13 đổi……………………………………. BÀI TẬP TƯƠNG 18 TỰ…………………………………………………………….. BÀI TẬP KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM…………………………………………. 23
IV. THỰC 23 NGHIỆM………………………………………………………………. C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………………………………………………….. 25 I. KẾT LUẬN……………………………………………………………………… 25 II. KIẾN NGHỊ…………………………………………………………………….. 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………. 25
A. PHẦN MỞ ĐẦU I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của người thầy. Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” có nhiều ưu điểm cũng như phù hợp với việc giảng dạy và học tập ở trường phổ thông nói chung và dạy học bộ môn toán nói riêng. Tuy nhiên để có thể thành công trong phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” ngoài năng lực chuyên môn và khả năng sư phạm của mỗi giáo viên còn đòi hỏi ở người giáo viên thời gian và tâm huyết. Để có được một bài giảng thu hút học sinh, giúp học sinh phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học sinh tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi cũng như bao giáo viên yêu nghề thường trăn trở với những khó khăn của học sinh trong quá trình tiếp cận từng bài toán. Trong chương trình toán học phổ thông, bài toán xác định hàm ẩn là bài toán thường xuyên có mặt trong các đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT và kỳ thi THPT Quốc gia qua các năm. Vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học sinh, bên cạnh đó nó là một bài toán khó với đại đa số các đối tượng học sinh. Băn khoăn trước những khó khăn đó của học sinh tôi đã tìm tòi và quyết định chọn phương pháp dạy học “Phát hiện và tìm giải pháp” để giúp các em học sinh khá tiếp cận loại toán này một cách hiệu quả nhất. Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 12 trước khi bước vào kỳ thi Quốc Gia với tâm lý thoải mái hơn, hy vọng hơn, tôi chọn viết đề tài: “ Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn”. II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Các vấn đề tôi trình bày trong chuyên đề này sẽ hỗ trợ cho các em học sinh lớp 12 có học lực khá và các em học sinh có học lực giỏi tiếp cận được với các bài toán về nguyên hàm, tích phân thông qua việc xác định hàm ẩn. 4
Để hoàn thành đề tài này tôi đã nghiên cứu tài liệu sách giáo khoa, các tài liệu về nguyên hàm và tích phân, các đề thi thử THPT quốc gia, đề thi THPT quốc gia qua các năm và qua các diễn đàn toán học ( strong teem toán VDVDC, nhóm toán VD VDC,…). III. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU + Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu nghiên cứu của đề tài này là giúp các em học sinh lớp 12 có tham vọng lớn trong kỳ thi THPT quốc gia, tiếp cận được bài toán xác định hàm ẩn, đồng thời trang bị cho các em các hướng phát hiện và tìm giải pháp, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông trong thời gian nền giáo dục nước nhà đang từng bước đổi mới với phương châm là phát huy tính tích cực và năng lực chủ động sáng tạo của học sinh. + Nhiệm vụ nghiên cứu: Nghiên cứu qua các tài liệu, sau đó trình bày có hệ thống các dạng, các ví dụ điển hình. IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI Trong quá trình dạy học nếu người giáo viên biết khơi dậy trong học sinh tính tò mò thông qua các phát hiện và biết xây dựng được hệ thống các dạng bài tập, qua các phát hiện đó thì sẽ giúp học sinh phát huy được tính tích cực của mình và từ đó các em sẽ thấy tự tin, vững vàng hơn khi gặp phải dạng toán này. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU + Nghiên cứu luận: Nghiên cứu qua các tài liệu về nguyên hàm và tích phân trong chương trình toán THPT. + Nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát năng lực học sinh trong vấn đề tiếp cận và giải quyết bài toán liên quan đến xác định hàm ẩn. + Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy ôn thi THPT quốc gia một số buổi cho các em học sinh lớp 12 để xem xét tính khả thi, hiệu quả của đề tài. VI. DỰ BÁO NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI Trong thực tiển dạy ôn thi THPT quốc gia cho các em học sinh lớp 12 tôi sử dụng đề tài của mình vào giảng dạy và đã thu được những kết quả khả quan, hầu hết các em tham gia lớp học đã chủ động hơn và hứng thú hơn khi tiếp cận với 5
những bài toán liên quan đến việc xác định hàm ẩn. Từ đó phát huy được tính tích cực, chủ động của mình trong học tập. Đề tài có thể làm tài liệu cho các giáo viên trong việc dạy ôn thi THPT quốc gia và cho các em học sinh lớp 12 tham khảo. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận 1.1. Một số nguyên hàm đặc biệt: + + + 1.2. Các quy tắc tính đạo hàm: + + . 1.3. Một số tính chất của hàm số : a) Tính chất 1: Cho hai hàm số và có nguyên hàm trên . Khi đó, ta có: + Nếu thì . + Nếu thì . b) Tính chất 2: Cho hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, ta có: . 1.4. Xác định hàm ẩn bằng cách lấy nguyên hàm hai vế Bước 1 : Đưa giả thiết về dạng . Bước 2 : Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức . Bước 3 : Kết luận. 1.5. Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi Bước 1 : Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức chứa tích phân với cận thay đổi. Bước 2 : Kết luận. 1.6. Các bước thực hiện trong dạy học 6
Bước 1 : Phân tích và phát hiện vấn đề Bước 2 : Tìm giải pháp Bước 3 : Trình bày giải pháp Bước 4 : Nghiên cứu sâu giải pháp. 2. Cơ sở thực tiển Trong xu thế đổi mới nói chung và dạy học ở bộ môn toán nói riêng, việc vận dụng các phương pháp mới vào dạy học là quan trọng và cần thiết. Nhận thức được vấn đề này nhiều giáo viên đã tích cực nghiên cứu và tìm ra những hình thức dạy học tìm giải pháp. Tuy nhiên phần lớn vẫn còn lúng túng trong việc thực hiện, do đó hiệu quả dạy học là chưa cao và đặc biệt là việc dạy học chủ đề “ Các bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn” chưa có hiệu quả cao nhất. Thông qua trao đổi với giáo viên tổ toán thuộc hai trường X và Y trên địa bàn huyện và khảo sát bằng phiếu điều tra đối với học sinh khi dạy học chủ đề này bằng phương pháp tìm giải pháp, tôi thu được kết quả như sau: Nội dung Số lượng Tỷ lệ (%) Giáo viên biết dạy học tìm giải pháp 15 68,18% Giáo viên dạy học tìm giải pháp nhưng không thường 10 45,45% xuyên Giáo viên dạy học tìm giải pháp thường xuyên 5 22,73% Giáo viên dạy học tìm giải pháp bằng cách phát hiện 2 9,09% Theo số liệu khảo sát trên, số giáo viên biết đến phương pháp dạy học tìm giải pháp là khá nhiều ( chiếm 68,19%) nhưng mới chỉ dừng lại ở mức độ tiếp cận lý thuyết dạy học tìm giải pháp chứ chưa nghiên cứu sâu cho việc tìm giải pháp đó. Về phía học sinh khi giáo viên áp dụng dạy học tìm giải pháp thì các em còn lúng túng, chưa phát huy được tính tích cực của mình, tính hiệu quả khi giải quyết các bài toán cùng dạng chưa cao. Do đó tôi đưa ra hình thức “Phát hiện và tìm giải pháp” để dạy học trong các bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn. 7
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LIÊN QUAN ĐẾN XÁC ĐỊNH HÀM ẨN 1. Xác định hàm ẩn bằng cách lấy nguyên hàm hai vế Ví dụ 1 Cho hàm số xác định dương trên thỏa mãn và . Xác định hàm . Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Ta thấy và . Bước 2. Tìm giải pháp Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức. Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có . Do nên . Suy ra . Vậy (do ). Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Với giải pháp trên nếu ta thay đẳng thức bởi đẳng thức với hàm số tính được nguyên hàm thì ta có bài toán tổng quát hơn, cụ thể: Bài toán: Cho hàm số xác định và có đạo hàm trên khoảng và hàm số xác định trên khoảng thỏa mãn và . Xác định hàm . Ví dụ 2 Cho hàm số thỏa mãn và với mọiTính giá trị của Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề 8
Hàm số cho ta sự tương ứng mỗi giá trị của thuộc tập xác định có duy nhất một giá trị của hàm số . Do đó vấn đề đặt ra ở đây là nếu xác định được hàm thì công việc còn lại là dễ dàng. Bước 2. Tìm giải pháp Nhận thấy nguyên hàm là tìm được. Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có . Do nên . Suy ra . Vậy Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Với giải pháp trên ta thấy, nếu hai vế của đẳng thức lấy nguyên hàm không tính được nguyên hàm hoặc tính nguyên hàm gặp nhiều khó khăn thì giải pháp trên là không thực hiện được. Do đó ta đề xuất hướng mỡ rộng bài toán như sau: Thay bởi hàm số tính được nguyên hàm; thay bởi . Bài toán: Cho hai hàm số và xác định trên tập thỏa mãn , và . Xác định hàm . * Chú ý: Từ giải pháp của hai bài toán trên ta đi đến bài toán tổng quát hơn như sau: Cho hai hàm số có nguyên hàm trên tập ; hàm sốthỏa mãn và với mọi Tìm hàm số . Ví dụ 3 Cho hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng thỏa mãn và Tính giá trị của Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Ta thấy từ công thức tính đạo hàm ta suy ra Do đó để tìm được hàm thì ta phải tìm được hàm . Bước 2. Tìm giải pháp Nhận thấy nguyên hàm là tìm được. 9
Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức ta tìm được hàm và bài toán trở về bài toán tương tự ví dụ 1. Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có Suy ra Theo giả thiết ta có . Suy ra Vậy Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Nếu ta thay bởi hàm số xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới. Ví dụ 4 Cho hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên thỏa mãn và Tính giá trị của Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Ta thấy từ công thức tính đạo hàm ta suy ra Do đó để tìm được hàm thì ta phải tìm được hàm . Bước 2. Tìm giải pháp Nhận thấy nguyên hàm là tìm được. Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức ta tìm được hàm và bài toán trở về bài toán tổng quát của ví dụ 1. Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có Suy ra Theo giả thiết ta có . Suy ra Vậy 10
Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Nếu ta thay bởi hàm số xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới. Từ đẳng thứcnếu ta thay hàm bằng hàm thì ta được bài toán mới. Chú ý: Từ các hướng mở của ví dụ 3 và ví dụ 4, ta có bài toán tổng quát sau: Cho hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên khoảng thỏa mãn ( trong đó là hàm số tính được nguyên hàm trên ) và Xác định hàm . Ví dụ 5 Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn thỏa mãn và Tính giá trị của Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Từ công thức tính đạo hàm ta đặt ra ý tưởng chia hai vế của đẳng thức cho thì ta có Do đó để tìm được hàm thì ta phải xác định được hàm Bước 2. Tìm giải pháp Nhận thấy nguyên hàm là tìm được. Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức. ta tìm được hàm . Bài toán đưa về dạng toán của ví dụ 2. Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có hàm số đồng biến trên đoạn và suy ra . Do đó Suy ra Theo giả thiết ta có Suy ra . 11
Vậy Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Nếu ta thay bởi hàm số xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán tổng quát sau: Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn và Xác định hàm Ví dụ 6 Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn thỏa mãn và Tính giá trị của Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Từ việc tổng quát ví dụ 3 ta dự đoán hàm . Do đó ta chia hai vế của đẳng thức cho . Thật vậy ch. Do đó để tìm được hàm thì ta phải xác định được hàm Bước 2. Tìm giải pháp Nhận thấy nguyên hàm là tìm được. Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy nguyên hàm hai vế đối với đẳng thức ta tìm được hàm . Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có . Do đó Suy ra Theo giả thiết ta có . Suy ra Vậy Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Từ hướng phân tích của giải pháp trên, ta có thể thay bằng một hàm số hợp xác định trên và tính được nguyên hàm thì ta có bài toán mới. 12
Chú ý: Từ các hướng mở của ví dụ 5 và ví dụ 6, ta đề suất bài toán tổng quát sau: Cho hàm số đồng biến và có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên đoạn và hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn và Xác định hàm 2. Xác định hàm ẩn với cận tích phân thay đổi Ví dụ 1 Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn Tính Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Để tính được thì ta phải xác định được hàm . Đây là biểu thức tích phân với cận thay đổi và đương nhiên là ta cũng không tìm được nguyên hàm của hàm để đưa vế trái của đẳng thức trên qua biến . Do đó ta phải tìm một giải pháp khác đủ mạnh chứ không phải là đi tính tích phân . Bước 2. Tìm giải pháp Từ tính chất ta có Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức. Bước 3. Trình bày giải pháp Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức ta có . Vậy. Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Với giải pháp trên ta thấy, nếu ta thay biểu thức bởi một biểu thức thì ta có bài toán mới. Bài toán: Cho hai hàm số và liên tục trên thỏa mãn . Xác định hàm . 13
Ví dụ 2 Cho hàm số dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn. Tính . Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Nếu chúng ta thay vào đẳng thức trên thì vấn đề đặt ra ở đây là tích phân chưa tính được do chưa xác định được hàm . Do vậy cần phải xác định được hàm trước khi thay vào. Bước 2. Tìm giải pháp Từ tính chất ta có Qua đó ta đề xuất giải pháp lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức theo biến . Bước 3. Trình bày giải pháp Lấy đạo hàm hai vế theo biến của đẳng thức ta có . Mặt khác 2 Suy ra. Vậy. Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Với giải pháp trên ta thấy, nếu ta thay các hệ số của và sao cho sau khi đạo hàm hai vế ta được phương trình đẳng cấp bậc hai đối với và có nghiệm thì ta được bài toán tổng quát hơn. Bài toán: Cho hàm số dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn, với và. Tính. Ví dụ 3 Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn . Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Ta thấy hàm số phụ thuộc vào hàm nên để tìm giá trị lớn nhất của hàm thì ta phải đi xác định hàm hoặc đi tìm các đặc tính của nó. 14
Do hàm có mặt cả hai giả thiết của bài toán nên tính chất đặc trưng của nó được kết hợp cả hai giả thiết nêu trên. Bước 2. Tìm giải pháp Từ tính chất , ta có Kết hợp với giả thiết ta đi tìm các thuộc tính của . Bước 3. Trình bày giải pháp Ta có và suy ra . Lấy đạo hàm hai vế theo biến của đẳng thức , ta có. Mặt khác Vậy giá trị lớn nhất của trên đoạn bằng . Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Với giải pháp trên ta thấy bị triệt tiêu, do đó nếu ta thay ddosbawngf một biểu thức nào đó sao cho việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là thực hiện được thì ta có bài toán mới. Nếu chúng ta thay đổi cận tích phân và các hệ số trong đẳng thức thì có lớp các bài toán của dạng này. Ví dụ 4 Cho hàm số có giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên đoạn thỏa mãn. Biết giá trị lớn nhất của tích phân có dạng với . Tính . Bước 1. Phân tích và phát hiện vấn đề Để tìm được giá trị lớn nhất của thì ta phải tìm được miền giá trị của hàm trên đoạn Do nên ta cần đánh giá vế phải của bất đẳng thức nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức chứa biến nào? Bước 2. Tìm giải pháp 15
Để đơn giản ta đặt Từ tính chất , ta có Kết hợp với giả thiết ta tìm được mối liên hệ của với. Qua đó ta lấy tích phân hai vế cận từ đến của liên hệ đó. Bước 3. Trình bày giải pháp Đặt , ta có. Theo giả thiết . Suy ra . Do đó . Vậy . Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp Với giải pháp trên ta thấy nếu chúng ta thay đổi chiều của bất đẳng thức thì ta sẽ được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất. Nếu chúng ta thay đổi cận tích phân và các hệ số trong bất đẳng thức thì có lớp các bài toán của dạng này. Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy được tầm quan trọng của các tính chất về nguyên hàm, tích phân và đạo hàm được nêu trên. Việc định hướng và áp dụng nó cần có một số kỷ thuật phân tích khéo léo và tinh tế, một khi đã phân tích đúng hướng thì việc lựa chọn công cụ ( tính chất) để giải quyết là đơn giản. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu 1: Cho hàm số xác định trên thỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng A. B. C. D. Câu 2: Cho hàm số xác định trênthỏa mãn và . Giá trị của biểu thức bằng A. B. C. D. Câu 3: Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính . 16
A. B. C. D. Câu 4: Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Khi đó phương trình có bao nhiêu nghiệm ? A. B. C. D. Câu 5: Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn, thỏa mãn và. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm trên đoạn . A. B. C. D. Câu 6: Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn . Biết và .Tìm các giá trị của tham số để phương trìnhcó hai nghiệm phân biệt. A. B. C. D. Câu 7: Cho hàm số xác định và có đạo hàm liên tục trên , . Biết , và với và tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. B. C. D. Câu 8: Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính . A. B. C. D. Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính A. B. C. D. Câu 10: Cho hàm số đồng biến, có đạo hàm đến cấp hai trên đoạn và thỏa mãn . Biết . Khi đó bằng A. B. C. D. Câu 11: Cho hàm số thỏa mãn điều kiện: với mọi . Tính . 17
A. B. C. D. Câu 12: Cho . Tìm A. B. C. D. Câu 13: Cho . Tính . A. B. C. D. Câu 14: Cho . Tính A. B. C. D. Câu 15: Cho . Tính . A. B. C. D. Câu 16: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Tìm . A. B. C. D. Câu 17:Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn .Tính A. B. C. D. Câu 18: Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. B. C. D. Câu 19: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. B. C. D. Câu 20: Cho hàm số dương và có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. B. 18
C. D. Câu 21: Cho hàm số thỏa mãn . Tính . A. B. C. D. Câu 22: Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng A. B. C. D. Câu 23: Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng A. B. C. D. Câu 24: Cho hàm số xác định không âm và có đạo hàm liên tục trên . Đặt . Biết . Tích phân có giá trị lớn nhất bằng A. B. C. D. BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.D 8.D 9.B 10.C 11.A 12.B 13.C 14.A 15.D 16.B 17.A 18.A 19.B 20.D 21.D 22.B 23.B 24.B BÀI TẬP KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM Thời gian: 45 phút Câu 1:Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên sao cho và . Tính . A. B. C. D. 19
Câu 2:Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm liên tục trên sao cho và . Tính . A. B. C. D. Câu 3:Cho hàm số xác định dương và có đạo hàm cấp hai liên tục trên sao cho và. Tính . A. B. C. D. Câu 4: Cho . Mệnh đề nào sau đúng ? A. B. C. D. Câu 5: Cho . Tính . B. C. D. A. BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.A 3.D 4.B 5.C IV. THỰC NGHIỆM 1. Mục đích thực nghiệm: Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài. 2. Nội dung thực nghiệm Triển khai đề tài: “ Phát hiện và tìm giải pháp trong bài toán nguyên hàm và tích phân liên quan đến xác định hàm ẩn”. Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 khá, giỏi môn toán. Thời gian thực hiện: 2 buổi ( 6 tiết). 3. Kết quả thực nghiệm Tôi được phân công hỗ trợ giảng dạy lớp khối A, khối B và khối D trong nhiều năm nay, do đó có điều kiện thử nghiệm đề tài này trong nhiều lần. Tùy theo mức độ kiến thức của từng lớp khối tôi đưa ra hệ thống ví dụ cũng như bài tập phù hợp nên đã tạo ra được hứng thú học tập trong khi các em tiếp 20