Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua tính chất biến thiên và cực trị của hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua tính chất biến thiên và cực trị của hàm số" nhằm làm rõ một số nội dung quan trọng về sự biến thiên và cực trị của hàm số để cho học sinh hiểu đúng, vận dụng đúng vào giải toán. Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi tốt nghiệp THPT 2022-2023.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua tính chất biến thiên và cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA TÍNH CHẤT BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Lĩnh vực: Toán học Nghệ An, tháng 4 năm 2023 0
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: PHÁT TRIỂN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA TÍNH CHẤT BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Lĩnh vực: Toán học Đồng tác giả: Nguyễn Thị Nhung – Hoàng Thị Xoan Số điện thoại: 0343007625 - 0352312555 Trường THPT Diễn Châu 4 Nghệ An, tháng 4 năm 2023
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ..............................................................................................1 1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................................1 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài .............................................................................1 3. Đối tượng nghiên cứu ..............................................................................................1 4. Giới hạn của đề tài..................................................................................................1 5. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................2 6. Tính mới và những đóng góp của đề tài...................................................................2 7. Bố cục của đề tài .....................................................................................................2 PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI ...................................................................................3 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .........................................................3 1.1. Cơ sở lý luận ......................................................................................................3 1.2. Cơ sở thực tiễn..................................................................................................3 1.2.1. Thực trạng của học sinh khi học tính chất biến thiên và cực trị của hàm số. ...3 1.2.2. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài. ........4 1.2.3. Hình thành giả thuyết khoa học và đề xuất giải pháp ......................................6 1.2.3.1. Phân tích và vận dụng tính chất biến thiên và cực trị của hàm số .................6 1.2.3.2. Các bài tập vận dụng trong các kỳ thi HSG và thi TNTHPT ........................6 1.3.3. Tính khả thi và tính cấp thiết ..........................................................................7 1.3.3.1. Nội dung khảo sát ........................................................................................7 1.3.3.2. Kết quả khảo sát ..........................................................................................7 1.3. Mục tiêu của đề tài. ..............................................................................................8 Chương 2. PHÂN TÍCH VÀ VẬN DỤNG TÍNH CHẤT BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ............................................................................................................9 2.1. Một số kiến thức cơ bản .......................................................................................9 2.1.1. Lí thuyết về tính đơn điệu của hàm số ...............................................................9 2.1.1.1. Định nghĩa ...................................................................................................9 2.1.1.2. Các định lí ...................................................................................................9
2.1.1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số ..........................................................9 2.1.2. Lí thuyết về cực trị của hàm số ........................................................................ 10 2.1.2.1. Định nghĩa ................................................................................................. 10 2.1.2.2. Các định lí ................................................................................................. 10 2.1.2.3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số. ................................................................. 11 2.2. Phân tích và phân dạng các bài toán. .................................................................. 11 2.3. Phân tích và vận dụng quy tắc I – tìm cực trị của hàm số ................................... 21 2.4. Phân tích và vận dụng quy tắc II - tìm cực trị của hàm số ................................... 28 2.5. Các bài tập vận dụng trong các kỳ thi HSG và TNTHPT .................................... 33 2.6. Phát triển bài toán mới........................................................................................ 37 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................... 41 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm.......................................................................... 41 3.2. Đối tượng thực nghiệm....................................................................................... 41 3.3. Tiến hành thực nghiệm ....................................................................................... 41 3.3.1. Dạy thực nghiệm ............................................................................................. 41 3.3.2.Xử lí kết quả thực nghiệm. ............................................................................... 47 3.3.2.1. Làm bài kiểm tra 15 phút ........................................................................... 47 3.3.2.2. Kết quả kiểm tra ở lớp 12A2 và 12A9 ....................................................... 48 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................. 49 1. Kết luận ................................................................................................................. 49 2. Kiến nghị............................................................................................................... 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 50 PHỤ LỤC ẢNH MINH HỌA THỰC NGHIỆM .......................................................... i ii
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài - Xuất phát từ yêu cầu thực tiễn đổi mới phương pháp dạy học và tiếp cận chương trình giáo dục phổ thông 2018. - Xuất phát từ mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông 2018 về phát triển năng lực người học. - Trong môn giải tích nội dung về sự biến thiên và cực trị của hàm số đóng vai trò quan trọng. Hệ thống các bài toán chứa kiến thức về sự biến thiên và cực trị của hàm số rất phong phú và đa dạng. Việc phân tích, khai thác đúng nội dung các định nghĩa, các định lí, các hệ quả, các chú ý, các nhận xét sẽ giúp học sinh sử dụng hiệu quả kiến thức được lĩnh hội vào việc giải các bài tập. - Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và HSG nội dung về sự biến thiên và cực trị của hàm số thường được đưa vào thông qua các bài toán từ mức nhận biết – thông hiểu đến các mức vận dụng – vận dụng cao. - Nhằm giúp học sinh hiểu đúng và vận dụng đúng kiến thức về sự biến thiên và cực trị của hàm số vào việc giải các bài toán, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập, từ đó phục vụ cho các kỳ thi HSG và tốt nghiệp THPT nên chúng tôi chọn đề tài “Phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua tính chất biến thiên và cực trị của hàm số”. 2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài - Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo. - Làm rõ một số nội dung quan trọng về sự biến thiên và cực trị của hàm số để cho học sinh hiểu đúng, vận dụng đúng vào giải toán. Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi tốt nghiệp THPT 2022-2023. 3. Đối tượng nghiên cứu - Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, các bài toán chứa tham số liên quan đến sự biến thiên và cực trị của hàm số trong chương trình SGK 12 hiện hành. - Các bài toán trong đề thi tốt nghiệp THPT 2021-2022, đề thi thử của một số trường qua một số năm, đề thi HSG Tỉnh của một số tỉnh trên toàn quốc có liên quan nội dung đề tài. 4. Giới hạn của đề tài Trình bày một cách hệ thống, khoa học: từ lý thuyết liên quan, phân tích lý thuyết, phân dạng toán với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết và các chú ý, nhận xét. 1
5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận. - Phương pháp điều tra quan sát. - Phương pháp thực nghiệm sư phạm. 6. Tính mới và những đóng góp của đề tài. Đề tài phân tích được những nội dung quan trọng để từ đó xây dựng được các dạng toán phù hợp với nội dung vừa phân tích, rèn luyện kĩ năng giải toán và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, giúp học sinh tránh những sai lầm trong giải toán. Qua đó, góp phần giúp học sinh biết tự học, tự sáng tạo để tự tin giải quyết các bài toán trong các đề thi HSG và tốt nghiệp THPT. 7. Bố cục của đề tài Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Phân tích và vận dụng tính chất biến thiên và cực trị của hàm số Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 2
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Cơ sở lý luận Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kĩ năng, phát triển các các kĩ năng giải toán cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên. 1.2. Cơ sở thực tiễn 1.2.1. Thực trạng của học sinh khi học tính chất biến thiên và cực trị của hàm số. Khi học về tính đơn điệu và cực trị của hàm số giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: - Các ví dụ trong sách giáo khoa chưa nhiều để giúp học sinh nắm rõ các nội dung của kiến thức. - Các tài liệu chủ yếu trình bày lời giải mà chưa phân tích được cụ thể các vấn đề mà học sinh dễ bị hiểu nhầm. -Vẫn còn một số học sinh chưa xác định đúng động cơ học tập nên chưa chăm học và chưa chú ý khi học bài và làm bài tập. - Do giáo viên chưa có phương pháp phù hợp với năng lực của học sinh. -Bên cạnh đó học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm như: + Khi dùng định lí mở rộng về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chỉ mới biết áp dụng vào những hàm số thỏa mãn đúng giả thiết của định lí mà chưa biết giải hoặc giải chưa đúng đối với các hàm số chưa thỏa mãn giả thiết của định lí. Đặc biệt khi áp dụng vào các bài toán chứa tham số học sinh dễ mắc sai lầm khi không được hiểu rõ về định lí này. + Khi tìm điểm cực trị của hàm số, học sinh thường tìm x0 để “ f '( x0 )  0 ’’ mà không để ý đến trường hợp đạo hàm không xác định tại x0 dẫn đến xác định sai cực trị hoặc tham số. + Khi áp dụng quy tắc 2 để tìm cực trị của hàm số nhiều học sinh không để ý đến dữ kiện f '( x0 )  0 và f ''( x0 )  0 và thường kết luận x0 không phải là cực trị của hàm số từ đó dẫn đến có thể kết luận sai về cực trị. 3
1.2.2. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài. Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, chúng tôi đã tiến hành thiết kế phiếu điều tra đối với giáo viên và học sinh về các vấn đề dạy học tích cực nội dung “tính chất biến thiên và cực trị của hàm số” đã và đang được áp dụng trong chương trình giải tích 12. Trong đó chúng tôi đã tiến hành phát phiếu điều tra đối với 30 giáo viên giảng dạy bộ môn toán và 87 học sinh lớp 12 thuộc hai lớp 12A2 và 12A9 kết quả thu được như sau: Về thực trạng sử dụng các phương pháp dạy học tích cực nội dung “tính chất biến thiên và cực trị của hàm số”, sau khi thống kê kết quả phiếu hỏi số 1 để thăm dò ý kiến giáo viên kết quả như sau: Bảng 1: Kết quả thăm dò ý kiến giáo viên về phương pháp dạy học nội dung sự biến thiên và cực trị của hàm số. Không thường Không sử Thường xuyên TT Phương pháp dạy học xuyên dụng SL TL % SL TL% SL TL% 1 Thuyết trình 12 40 18 60 0 0 Hỏi đáp- Tái hiện thông 2 18 60 11 36,67 1 3.33 báo 3 Hỏi đáp- tìm tòi 21 70 9 30 0 0 Dạy học có sử dụng bài 4 9 30 19 63,33 2 6,67 tập tình huống Dạy học nêu và giải quyết 5 18 60 11 36,67 1 3.33 vấn đề Dạy học có sử dụng phiếu 6 17 56.67 13 43.33 0 0 học tập 7 Dạy học hợp tác theo 22 73.33 8 26.67 0 0 nhóm Bảng 2. Kết quả điều tra thực trạng học tập của học sinh về tính chất biến thiên của hàm số. 4
TT Vấn đề hỏi Câu trả lời Kết quả SL TL% 1 Cảm nhận của em khi học về tính đơn Rất yêu thích 50 57,47 điệu của hàm số? Yêu thích 28 32,18 Bình thường 9 10,35 Không yêu thích 0 0 2 Qua học tập về tính đơn điệu của hàm Dễ tiếp thu 55 63,22 số theo em kiến thức phần này như thế Bình thường 27 31,03 nào? Khó tiếp thu 5 5,75 3 Thầy cô có phân tích, làm rõ định nghĩa, Thường xuyên 82 94,25 định lí, đưa ra hệ thống bài tập phù hợp Không thường 5 5,75 với từng nội dung? xuyên Chưa bao giờ 0 0 Bảng 3. Kết quả diều tra thực trạng học tập của học sinh cực trị của hàm số TT Vấn đề hỏi Câu trả lời Kết quả SL TL% 1 Cảm nhận của em khi học về cực trị của Rất yêu thích 52 59,77 hàm số? Yêu thích 28 32,18 Bình thường 7 8,05 Không yêu thích 0 0 2 Qua học tập về cực trị của hàm số theo Dễ tiếp thu 55 63,22 em kiến thức phần này như thế nào? Bình thường 27 31,03 Khó tiếp thu 5 5,75 3 Thầy cô có phân tích, làm rỏ định nghĩa, Thường xuyên 82 94,25 định lí, đưa ra hệ thống bài tập phù hợp Không thường 5 5,75 với từng nội dung? xuyên Chưa bao giờ 0 0 Thông qua kết quả điều tra cho thấy đa số học sinh yêu thích khi học về tính biến thiên và cực trị của hàm số. 5
1.2.3. Hình thành giả thuyết khoa học và đề xuất giải pháp Trên cơ sở kết quả khảo sát thực trạng xung quanh vấn đề dạy học tính chất biến thiên và cực trị của hàm số chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu và đề xuất giải pháp giúp học sinh tìm hiểu nội dung kiến thức này như sau: 1.2.3.1. Phân tích và vận dụng tính chất biến thiên và cực trị của hàm số a. Một số kiến thức cơ bản - Lí thuyết về tính đơn điệu của hàm số: định nghĩa, các định lí. - Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số. - Lí thuyết về cực trị của hàm số: định nghĩa, các định lí. - Các quy tắc tìm cực trị của hàm số. b. Phân tích và phân dạng các bài toán Phân tích và vận dụng định lí mở rộng về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số - Xét các bài toán thỏa mãn giả thiết định lí mở rộng. - Xét các bài toán không thỏa mãn hoàn toàn định lí mở rộng: “ f '( x)  0 tại vô hạn điểm”. - Rút ra phương pháp giải toán phù hợp. Phân tích và vận dụng quy tắc I – tìm cực trị của hàm số. - Xét các bài toán vận dụng quy tắc I tìm cực trị. - Xét các bài toán liên quan đến f '( x0 ) không xác định. - Rút ra phương pháp giải toán phù hợp. Phân tích và vận dụng quy tắc II - tìm cực trị của hàm số - Xét các bài toán vận dụng quy tắc II tìm cực trị. - Xét các bài toán liên quan đến f ''( x0 )  0 . - Rút ra phương pháp giải toán phù hợp. 1.2.3.2. Các bài tập vận dụng trong các kỳ thi HSG và thi TNTHPT Vận dụng cụ thể vào các bài toán được đưa vào trong các đề thi HSG và TNTHPT. 1.2.3.3. Phát triển bài toán mới 6
1.2.4. Tính khả thi và tính cấp thiết 1.2.4.1. Nội dung khảo sát Với các nội dung đã được đề xuất ở trên, Thầy cô hãy cho biết tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp như thế nào (Tại thời điểm này chúng tôi chỉ khảo sát các giáo viên tham gia ở mục 1 mà không khảo sát từ học sinh). 1.2.4.2. Kết quả khảo sát Kết quả khảo sát tính cấp thiết của các giải pháp đề xuất đối với giáo viên môn toán 12 (M1 không cấp thiết, M2 ít cấp thiết, M3 Cấp thiết, M4 rất cấp thiết). Trong đó M1 (1đ), M2 (2đ), M3 (3đ), M4 (4đ) TT Các giải pháp Thang đánh giá các Các thông số giải pháp M1 M2 M3 M4 X Mức 1 Phân tích và vận dụng định lí 0 1 12 17 3.53 4 mở rộng về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 Phân tích và vận dụng quy tắc I- 0 1 11 18 3.57 4 tìm cực trị của hàm số 3 Phân tích và vận dụng quy tắc 0 1 8 21 3.67 4 II- tìm cực trị của hàm số 4 Các bài tập vận dụng trong các 0 1 9 20 3.63 4 kì thi HSG và TNTHPT 5 Phát triển bài toán mới 0 2 13 15 3.43 3 Nhận xét: Từ số liệu thu được ở bảng trên cho thấy đa số giáo viên cho rằng các giải pháp được đề xuất ở trên có tính cấp thiết và rất cấp thiết. Kết quả khảo sát tính khả thi của các giải pháp đề xuất đối với giáo viên môn toán THPT (M1 không khả thi, M2 ít khả thi, M3 khả thi, M4 rất khả thi). Trong đó M1 (1đ), M2 (2đ), M3 (3đ), M4 (4đ) TT Các giải pháp Thang đánh giá các Các thông số giải pháp M1 M2 M3 M4 X Mức 1 Phân tích và vận dụng định lí 0 1 12 17 3.53 4 mở rộng về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 Phân tích và vận dụng quy tắc I- 0 1 9 20 3.63 4 tìm cực trị của hàm số 7
3 Phân tích và vận dụng quy tắc 0 1 6 23 3.73 4 II- tìm cực trị của hàm số 4 Các bài tập vận dụng trong các 0 2 9 19 3.56 4 kì thi HSG và TNTHPT 5 Phát triển bài toán mới 0 2 13 15 3.43 3 Nhận xét: Từ số liệu thu được ở bảng trên có thể rút ra những kết luận: đa số các giáo viên đều cho rằng việc dạy học phân tích tính chất biến thiên và cực trị của hàm số đang có tính khả thi cao. 1.3. Mục tiêu của đề tài. - Chỉ rõ những nội dung quan trọng mà học sinh dễ nhầm lẫn hay bỏ qua. - Phân tích và vận dụng cụ thể vào các dạng toán. - Hình thành các bài toán tương tự. 8
Chương 2. PHÂN TÍCH VÀ VẬN DỤNG TÍNH CHẤT BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 2.1. Một số kiến thức cơ bản 2.1.1. Lí thuyết về tính đơn điệu của hàm số 2.1.1.1. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoặc hoặc đoạn nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x) xác định trên K. Ta nói: Hàm số y  f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f ( x1 ) nhỏ hơn f ( x2 ) , tức là: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số y  f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f ( x1 ) lớn hơn f ( x2 ) , tức là: x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. 2.1.1.2. Các định lí Định lí Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K. b) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K. Định lí mở rộng Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K. Nếu f '( x)  0( f '( x)  0) , với mọi x thuộc K và f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K. 2.1.1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số 1. Tìm tập xác định. 9
2. Tính đạo hàm f '( x) . Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2.1.2. Lí thuyết về cực trị của hàm số 2.1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng  a; b  ( có thể a là −∞; b là +∞) và điểm x0   a; b  . a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x  x0 và K  ( x0  h; x0  h) thì ta nói hàm số f ( x) đạt cực đại tại x0. b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x  x0 và K  ( x0  h; x0  h) thì ta nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x0. 2.1.2.2. Các định lí Định lí 1 Giả sử hàm số y  f ( x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đaọ hàm trên K hoặc trên K\{x0}, với h > 0. a) Nếu f '( x)  0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f '( x)  0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x) . b) Nếu f '( x)  0 trên khoảng (x0 – h; x0) và f '( x)  0 trên khoảng (x0; x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x) . Định lí 2 Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( x0  h; x0  h) với h  0 . Khi đó: a) Nếu f '( x0 )  0, f "( x0 )  0 thì x0 là điểm cực tiểu. b) Nếu f '( x0 )  0, f "( x0 )  0 thì x0 là điểm cực đại. 10
2.1.2.3. Quy tắc tìm cực trị của hàm số. Quy tắc 1 1. Tìm tập xác định. 2. Tính f '( x) . Tìm các điểm tại đó f '( x) bằng 0 hoặc f '( x) không xác định. 3. Lập bảng biến thiên. 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. Quy tắc 2 1. Tìm tập xác định. 2. Tính f '( x) . Giải phương trình f '( x)  0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, …, n) là các nghiệm của nó. 3. Tính f ''( x) và f ''( xi ) . 4. Dựa vào dấu của f ''( xi ) suy ra tính chất cực trị của điểm xi 2.2. Phân tích và phân dạng các bài toán. Phân tích và vận dụng định lí mở rộng về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Từ định lí mở rộng, chúng ta rút ra các kết luận: +) Nếu hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K và f '( x)  0( f '( x)  0) , với mọi x thuộc K và f '( x)  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K. +) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K và f '( x)  0( f '( x)  0) , với mọi x thuộc K và f '( x)  0 tại vô hạn điểm trên K thì chưa thể kết luận ngay hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K, trong trường hợp này sẽ tùy thuộc vào dạng hàm số để xét tính đơn điệu của hàm số. Bài toán 1. Áp dụng cho các hàm đa thức bậc n (n∈ ℕ∗ ) Phân tích: Đối với hàm đa thức bậc n (n∈ ℕ∗ ), đạo hàm của nó cũng là hàm đa thức và mọi phương trình đa thức luôn có hữu hạn nghiệm trên tập ℝ, do đó hàm đa thức luôn thỏa mãn giả thiết của định lí mở rộng. Kết luận: Nếu hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc n (n∈ ℕ∗ ) thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K  f '( x)  0( f '( x)  0), x  K . Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  2 x3  6 x2  6 x  7 . Lời giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x∈ ℝ. Ta có y '  6 x2  12 x  6  6( x  1)2 . 11
Do đó, y '  0  x  1; y '  0, x  1 . Theo định lí mở rộng, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến. Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  20; 2 để hàm số y  x3  x2  3mx  1 đồng biến trên ℝ ? A. 20 . B. 2 . C. 3 . D. 23 . Ví dụ 3. Tìm giá trị m để hàm số y  x3  x2  mx  1 nghịch biến trên đoạn  2;3 . Lời giải. Tập xác định D = ℝ. Ta có y  3x2  2 x  m  y  0  3x2  2 x  m  0 (1) Để hàm số nghịch biến trên đoạn  2;3 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  2  3  x2 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi :    0 1  3m  0   3 f  2   0  3 16  m   0  m  33 . 3 f  3  0 3  33  m   0   Vậy với m  33 thì hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn  2;3 . Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m sao cho hàm số y   x 4   2m  3 x 2  m nghịch biến trên đoạn 1; 2 ? A. 2 . B. Vô số. C. 3 . D. 4 . Lời giải Tập xác định D = ℝ. Ta có y  4 x3  2  2m  3 x  x  4 x 2  4m  6  . Hàm số nghịch biến trên đoạn 1; 2 khi y  0, x  1; 2  4 x  4m  6  0 , 2 3  3 5 x  1; 2  m  x 2  , x  1; 2  m  min  x 2    2 1;2  2 2 Kết hợp với m nguyên không âm suy ra m  0;1; 2 Vậy có ba giá trị nguyên không âm của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn C. ax  b Bài toán 2. Áp dụng cho hàm số dạng y  (c  0) . cx  d 12
ax  b ad  bc Phân tích: Hàm số y  (c  0) có y  . cx  d (cx  d )2 d Nếu ad – bc = 0 thì y’ = 0 tại vô hạn điểm và lúc này y = a , x  và đó là hàm không c đổi , bởi vậy không áp dụng định lí mở rộng cho bài toán xét tính đơn điệu của hàm số này. ax  b Kết luận: Hàm số y  (c  0) đồng biến ( nghịch biến) trên K cx  d d  y '  0( y '  0), x  K và K . c x2 Ví dụ 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  đồng biến x  5m trên khoảng  ; 10  ? A. 2 . B. Vô số. C. 1. D. 3 . Lời giải. Tập xác định D  \ 5m . Ta có y  5m  2 2 .  x  5m  Hàm số đồng biến trên khoảng (; 10)   y  0, x   ; 10   2 5m  2  0 m  2    5  m2 5m   ; 10  5m  10 m  2  5 Do m là số nguyên nên m  1; 2 . Chọn A. Bài toán 3. Áp dụng cho hàm số dạng y  f ( x) , trong đó f ( x) là một hàm đa thức bậc n Phân tích: Hàm số 𝑦 = √𝑓(𝑥) xác định khi 𝑓(𝑥) ≥ 0 . 𝑓′(𝑥) Ta có y’ = , đạo hàm y’ không xác định khi 𝑓(𝑥) ≤ 0. 2√𝑓(𝑥) Khi đó, y '  0  f '( x)  0 tại hữu hạn điểm nên hàm số thỏa mãn giả thiết của định lí mở rộng. Kết luận: Nếu y  f ( x) , trong đó f ( x) là một hàm đa thức bậc n thì hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K  f '( x)  0( f '( x)  0) , với x  K . ( K không chứa những điểm làm cho f ( x)  0 và trên K hàm số đã cho xác định). 13
Ví dụ 6. Cho hàm y  x 2  6 x  5 . Hàm số đồng biến trên khoảng nào ? Lời giải. Tập xác định D   ;1  5;   . x 3 Ta có y   0, x   5;   . x  6x  5 2 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng  5;   . Nhận xét: Khoảng đồng biến của hàm số thỏa mãn các điều kiện: y ' không âm và hàm số đã cho phải xác định. Ví dụ 7. Xác định các giá trị thực của m để hàm số x 2  2mx  4 đồng biến trên khoảng  0;   . Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên khoảng  0;   .  x 2  2mx  4  0, x   0;   x2  4 m , x   0;    m  2 . 2x xm Ta có, y '  . x 2  2mx  4 Hàm số đồng biến trên khoảng  0;    y '  0, x   0;    x  m  0, x   0;    m  0 . Vậy các giá trị m cần tìm là: m  0 . Ví dụ 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2018; 2018 để hàm số y  x 2  1  mx  1 đồng biến trên  ;   . A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 . Lời giải. Tập xác định D = ℝ. x Ta có y  m x 1 2 x x Theo yêu cầu bài toán y   m  0 , ∀𝑥 ∈ ℝ  m  , ∀𝑥 ∈ ℝ. x 1 2 x 1 2 14
x x Xét hàm số g  x   ; g  x  0 x2  1 x 2  1  x 2  1 Bảng biến thiên x  1  g  x  0  g  x 1 1 Vậy m  1 mà m   2018; 2018 nên có 2018 giá trị nguyên. Bài toán 4. Áp dụng cho hàm số dạng y | f ( x) | , trong đó f ( x) là một hàm đa thức bậc n Phân tích : Hàm số y | f ( x) | , trong đó f(x) là một hàm đa thức bậc n xác định và liên tục trên ℝ. f '( x) f ( x) Ta có, y | f ( x) | f 2 ( x) nên y '  , do đó y’ không xác định tại những điểm | f ( x) | làm cho f(x) = 0. Chú ý rằng, nếu trên một khoảng hay nửa khoảng K , hàm số f(x) đổi dấu thì hàm số 𝑦 = |𝑓(𝑥)| không đơn điệu trên K. Kết luận: Cho hàm số y | f ( x) | , trong đó f(x) là một hàm đa thức bậc n Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a; b)  f '( x) f ( x)  0( f '( x) f ( x)  0) và f ( x)  0, x  (a; b) . Ví dụ 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y | x5  5x2  5(m 1) x  8 | nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). A. 2. B. 0. C. 4. D.1. Lời giải. Đặt f ( x)  x5  5x2  5(m  1) x  8 .  f '( x) f ( x)  0 Ta có, hàm số đã cho nghịch biến trên (;1)   , x  (;1)  f ( x)  0  f '( x)  0  x  (;1) ( Vì lim f ( x)   )  f ( x)  0 x  15
5 x 4  10 x  5(m  1)  0, x  (;1)  m3  f (1)  5m  17  0  3 m   x 4  2 x  1, x  (;1)  m  2 3 2  1   17  m  m  17  5   5 Chọn đáp án D. Ví dụ 10. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x 4  2 x3  mx  2 đồng biến trên khoảng (1; ) ? A. m  1 . B. m . C. 0  m  1 D. m  0 Lời giải. Đặt f ( x)  x4  2 x3  mx  2  f '( x)  4 x3  6 x2  m . y  x 4  2 x 3  mx  2  f ( x) . Ta có: xlim f ( x)   nên hàm số đồng biến trên khoảng (1; ) khi và chỉ khi   f '( x)  0, x  (1; ) 4 x3  6 x 2  m  0, x  (1; ) m  4 x3  6 x 2 , x  (1; )     f (1)  0 1  m  0 1  m  0 m  max(4 x3  6 x 2 )  m  0  (1; )   0  m  1. m  1  m  1 ax  b Bài toán 5. Áp dụng cho hàm số dạng y | f ( x) | , trong đó f ( x)  (c  0) cx  d Ví dụ 11.Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn  10;10 để mx  3 hàm số y  đồng biến trên (1; ) . xm2 A. S  55 . B. S  54 . C. S  3 . D. S  5. mx  3 m 2  2m  3 Lời giải. Xét hàm số : y  với x  m  2 , có y '  . xm2 ( x  m  2) 2 mx  3 Hàm số y  đồng biến trên khoảng (1; ) khi xảy ra một trong hai trường hợp xm2 sau: 16