Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển lăng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác một bài toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển lăng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác một bài toán" nhằm nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh thông qua các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số trong chương trình giải tích lớp 12

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển lăng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác một bài toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN =====  ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Năm học: 2021 - 2022
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ 3 =====  ===== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Tác giả : Nguyễn Văn Bản - THPT Tân Kỳ 3 Số điện thoại : 0974754825 Đồng tác giả : Cao Thị Thanh Huyền - THPT Tân Kỳ 3 Số điện thoại : 0855120159 Tổ bộ môn : Toán - Tin Năm thực hiện : 2021 - 2022
MỤC LỤC Trang I. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................... 1 1.1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1 1.2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................... 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2 1.5. Tính mới và những đóng góp của đề tài ....................................................... 2 II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ............................................................................ 2 2.1. Cơ sở khoa học ............................................................................................ 2 2.1.1. Cơ sở lý luận .......................................................................................... 2 2.1.2. Cơ sở thực tiễn ....................................................................................... 5 2.2. Các giải pháp thực hiện ................................................................................ 8 2.2.1. Khai thác và phát triển các bài toán từ bài toán gốc ............................... 9 2.2.2. Bài tập tự luyện .................................................................................... 37 2.2.3. Thực nghiệm sư phạm. ......................................................................... 40 III. KẾT LUẬN .................................................................................................. 41 3.1. Kết luận...................................................................................................... 41 1. Đề tài đã giải quyết được các vấn đề sau: ...................................................... 41 2. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................... 42 3. Một số kinh nghiệm rút ra: ............................................................................ 42 3.2. Kiến nghị ................................................................................................. 422 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 444 PHỤ LỤC.......................................................................................................... 455
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Trong bối cảnh nền kinh tế nước ta đang trên đà phát triển, để duy trì được sự phát triển nhanh và bền vững thì yếu tố con người đóng vai trò rất quan trọng. Trong những năm gần đây nước ta đã không ngừng đổi mới giáo dục để nâng cao chất lượng nguồn nhân lực, trang bị cho các thế hệ tương lai nền tảng tri thức vững chắc và năng lực thích ứng cao. Hội nghị lần thứ 8 BCH TW Đảng Cộng Sản Việt Nam khoá XI, đã thông qua nghị quyết số 29/NQ - TW ngày 4 tháng 11 năm 2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh, trong đó phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo được xác định là một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục, đây là năng lực cốt lõi cần phải bồi dưỡng và phát triển cho người học. Trong dạy học bộ môn toán ở trường phổ thông, để phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thì giáo viên cần xây dựng các tình huống và đưa học sinh vào các tình huống có vấn đề, các vấn đề cần liên tục phát triển và liên kết với nhau tạo nhu cầu và hứng thú để học sinh giải quyết và sáng tạo. Trong chương trình giải tích lớp 12, chủ đề ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số thường chiếm tỉ lệ cao trong cấu trúc đề thi THPT hàng năm, trong đó các bài toán về cực trị của hàm số dạng y  f  u( x)  ở mức vận dụng và vận dụng cao là dạng câu hỏi mà nhiều giáo viên và học sinh còn gặp khó khăn trong định hướng phương pháp giải. Ví dụ: Câu: 50 (Mã đề 101, Thi TNTHPT năm 2021 lần 1) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  ( x  7)( x 2  9) , x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương   của tham số m để hàm số g ( x)  f x3  5x  m có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 5. D. 4. Từ những lý do đó, chúng tôi đã lựa chọn đề tài: “ Phát triển lăng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác một bài toán”. Nhằm bồi dưỡng và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh trong quá trình dạy ôn thi THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12. 1.2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài chúng tôi nghiên cứu về phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh thông qua các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số trong chương trình giải tích lớp 12 1.3. Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp dạy học hình thành và phát triển năng lực của học sinh. - Học sinh khá giỏi thi tốt nghiệp THPT và thi học sinh giỏi. 1
1.4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Nghiên cứu tài liệu từ sách, báo, mạng internet về cách thức tổ chức dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh. - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Phân tích các định hướng của từng bài toán, thay đổi giải thiết, thay đổi cách phát biểu để tạo ra nhiều tình huống mới giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. - Phương pháp điều tra, thực nghiệm: Tìm hiểu thực tế giảng dạy, trao đổi kinh nghiệm với giáo viên, thăm dò học sinh để tìm hiểu tình hình học tập của các em. 1.5. Tính mới và những đóng góp của đề tài Thứ nhất đề tài đã xây dựng và phát triển thành hệ thống bài tập tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng y  f  u( x)  từ thông hiểu đến vận dụng cao có sự liên kết với nhau. Thứ hai đề tài đã đưa ra được cách giải bài toán tìm cực trị của hàm số dạng y  f  u( x)  bằng nhiều phương pháp khác nhau và được trình bày dễ hiểu. Thứ ba đề tài đã giúp học sinh làm quen với việc sáng tạo, sáng tác các bài toán từ những bài toán mình đã giải quyết được. Thứ tư đề tài đã tạo được hứng thú và sự yêu thích môn toán với học sinh trong dạy và học bộ môn toán khi áp dụng tại đơn vị. II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1. Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận a. Khái niệm về năng lực Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, khái niệm năng lực được định nghĩa như sau: “ Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, … thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. b. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Khái niệm năng lực Giải quyết vấn đề và sáng tạo trong chương trình giáo dục phổ thông - chương trình tổng thể được mô tả ở cấp trung học phổ thông như sau: - Nhận ra ý tưởng mới: Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau; biết phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy của ý tưởng mới. 2
- Phát hiện và làm rõ vấn đề: Phân tích được tình huống trong học tập, trong cuộc sống; phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống. - Hình thành và triển khai ý tưởng mới: Nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc sống; suy nghĩ không theo lối mòn; tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau; hình thành và kết nối các ý tưởng; nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh; đánh giá rủi ro và có dự phòng. - Đề xuất lựa chọn giải pháp: Biết thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề; biết đề xuất và phân tích một số giải pháp giải quyết vấn đề; lựa chọn được giải pháp phù hợp nhất. - Thiết kế và tổ chức hoạt động: Lập được kế hoạch hoạt động có mục tiêu, nội dung, hình thức, phương tiện hoạt động phù hợp. Tập hợp và điều phối được nguồn lực cần thiết cho hoạt động. Biết điều chỉnh kế hoạch và thực hiện kế hoạch, cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề cho phù hợp với hoàn cảnh để đạt hiệu quả cao. Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động. - Tư duy độc lập: Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp nhận thông tin một chiều; không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề; biết quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục; sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề. c. Cực trị của hàm số - Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên khoảng  a ; b  (có thể a là  ; b là  ) và điểm x0   a ; b  . + Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x   x0  h ; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f ( x) đạt cực đại tại x0 . + Nếu tồn tại số h  0 sao cho f ( x)  f ( x0 ) với mọi x   x0  h ; x0  h  và x  x0 thì ta nói hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x0 . - Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí: Giả sử hàm số y  f  x  liên tục trên khoảng K   x0  h ; x0  h  và có đạo hàm trên K hoặc trên K \  x0  , với h  0. + Nếu f '( x)  0 trên khoảng  x0  h ; x0  và f '( x)  0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f ( x). + Nếu f '( x)  0 trên khoảng  x0  h ; x0  và f '( x)  0 trên khoảng  x0 ; x0  h  thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x). 3
- Quy tắc tìm cực trị Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính f '( x). Tìm các điểm tại đó f '( x)  0 hoặc f '( x) không xác định. Bước 3: Lập bảng biến thiên. Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. d. Đồ thị hàm số y  f ( x )  f  x  u x0 neá   Ta có y  f  x  là hàm số chẵn, f x    f   x  neá u x 0 Từ đó suy ra đồ thị hàm số y  f  x  gồm hai phần Phần 1: Lấy phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm bên phải trục tung  C1  Phần 2: Lấy đối xứng  C1  qua trục tung. Từ đo suy ra số điểm cực trị của hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f  x  4
2.1.2 Cơ sở thực tiễn a. Thực tế giảng dạy Qua quá trình dạy học tại đơn vị chúng tôi nhận thấy: - Đa phần các em học sinh yếu môn toán là do hổng kiến thức từ các lớp dưới, dẫn đến các em mất dần niềm tin và sự tự tin khi học môn toán ở trường trung học phổ thông, các em ít tư duy, chưa chịu khó suy nghĩ khi gặp vấn đề; - Trong học tập thì các em chỉ biết áp dụng máy móc, rập khuôn theo bài mẫu mà ít có liên kết, suy luận, sáng tạo, thiếu tính tích cực; - Một số học sinh có thói quen giải các bài tập trắc nghiệm bằng mẹo, công thức tính nhanh, bấm máy tính nên mất dần khả năng lập luận lôgic và sự tìm tòi khi giải một bài toán để phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo của bản thân; - Trong tìm kiếm tài liệu tự học thì các em thường tìm kiếm một bài toán cụ thể mà không quan tâm phương pháp giải cho dạng toán tổng quát, các em cũng chưa được tiếp cận với hệ thống bài tập theo cấp độ tư duy; - Trong dạy học một số giáo viên còn truyền thụ kiến thức theo lối thụ động một chiều, chỉ nêu bài tập rồi hướng dẫn cách giải và cho học sinh làm bài tập áp dụng mà chưa chú trọng khai thác, sáng tạo bài toán mới. Do đó chưa tạo hứng thú và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. b. Phiếu điều tra và phân tích tình hình học tập của học sinh Để tìm khảo sát và tìm hiểu tình hình học tập của học sinh, chúng tôi đã phát phiếu khảo sát cho 80 học sinh ở hai lớp 12A1 và 12A2 để các em trình bày ý kiến của mình khi học các nội dung liên quan. Nội dung khảo sát như sau: PHIẾU KHẢO SÁT Họ và tên học sinh: ………………………………..............................…………….. Lớp 12 ……. Trường THPT…..…………………………...............................…….. Em hãy trả lời các câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ô trống của câu hỏi tương ứng. Không Câu Nội dung Có /Chưa 1 Em có biết cách vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) không? 2 Em có biết cách tìm cực trị của hàm số y  f ( u( x) ) không? 5
3 Em có gặp khó khăn khi giải các bài toán cực trị của hàm số y  f ( u( x) ) chứa tham số không? 4 Em có hứng thú khi học chủ đề hàm số lớp 12 không? 5 Em thấy môn toán có giúp em phát triển năng lực sáng tạo không? 6 Em có thích học bộ môn toán không? (Ngoài những câu hỏi trên em có thể đề xuất thêm khó khăn cần được hỗ trợ thêm khi học chủ đề hàm số của lớp 12). Qua việc khảo sát và tìm hiểu thực tiễn chúng tôi thu được một số vấn đề như sau: - Đa phần các em chưa biết hoặc còn gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến hàm hợp y  f ( u( x) ) và các bài toán có chứa tham số. - Nhiều em đang còn thụ động trong việc tiếp nhận kiến thức trong học tập dẫn đến không có hứng thú khi học bộ môn toán. - Cách dạy học truyền thống của một số giáo viên đã không kích thích sự sáng tạo của học sinh dẫn đến không phát triển được năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo ở học sinh trong học tập. c. Kiểm tra đánh giá và số liệu thực tế trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh còn lúng túng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp. Cụ thể tháng 11 năm 2021, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, chúng tôi cho học sinh các lớp 12A1, 12A2 làm bài khảo sát, kết quả như sau: Lớp Số Điểm 9 - 10 Điểm 7 - 8 Điểm 5 - 6 Điểm < 5 HS SL TL % SL TL % SL TL % SL TL % 12A1 41 1 2,4% 20 48.8% 15 36.6% 5 12.2% 12A2 39 0 0% 14 35.9% 17 43.6% 8 20.5% d. Ví dụ Câu: 50 (Mã đề 101, Thi TNTHPT năm 2021 lần 1) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '( x)  ( x  7)( x 2  9) , x  . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương   của tham số m để hàm số g ( x)  f x3  5x  m có ít nhất 3 điểm cực trị? A. 6. B. 7. C. 5. D. 4. 6
Giải: Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị x  7 + Ta có f '( x)  ( x  7)( x  9)  f '( x)  0   x  3 2   x  3   + Ta có g ( x)  f x  5x  m  g '( x)  (3x  5). 3 2 x3  5 x x3  5 x  . f ' x3  5 x  m  với x  0. x  0 x  0  3  3  x  5x  m  7  x  6 x  m  7 + g '( x)  0 và không xác định tại  3   3 (*)  x  5x  m  3  x  6 x  m  3    x 3  5 x  m  3  x3  6 x  m  3   Ta có bảng biến thiên x  0    x  6x 3 0 Ta có m  7  m  3  m  3   + Hàm số g ( x)  f x3  5x  m có ít nhất 3 điểm cực trị  hệ (*) có ít nhất 3 nghiệm đơn hoặc bội lẻ  m  7  0  m  7. Do m nguyên dương nên có 6 giá trị m thoả mãn bài toán, m1;2;3;4;5;6. Cách 2: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên (Chúng ta lập bảng biến thiên của hàm số u  x3  5 x  m và hàm số y  f (u ) trên cùng một bảng biến thiên). Xét hàm số u  x3  5 x  m , x  . (3x 2  5)( x3  5 x)  u'  x3  5 x 7
Suy ra u '  0 và không xác định tại x  0. Ta có bảng biến thiên của hàm số u  x3  5 x  m Ta có bảng biến thiên của hàm số y  f (u ) u  7 Ta có f '(u )  0  u  3  u  3 Giả sử hàm số y  f (u ) có các điểm cực trị x1  x2  x3 thuộc khoảng (m; ). Ta có bảng biến thiên   Vậy để hàm số g ( x)  f x3  5x  m có ít nhất 3 điểm cực trị  m  7. Do m nguyên dương nên có 6 giá trị m thoả mãn bài toán, m1;2;3;4;5;6. 2.2. Các giải pháp thực hiện Từ những cơ sở thực tiễn trên chúng tôi đã khai thác bài toán tìm cực trị hàm số y  f  x  và giúp học sinh phát triển và sáng tạo thành các bài toán cực trị hàm số y  f  u( x)  bằng cách thay đổi giải thiết và yêu cầu của bài toán. Để phát huy tính tích cực, chủ động và phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học chúng tôi chú trọng định hướng học sinh tìm tòi và phát hiện nhiều cách giải khác nhau và đặt ra nhiều tình huống mới cho bài toán từ đó có thể sáng tạo ra nhiều bài toán mới. 8
2.2.1. Khai thác và phát triển các bài toán từ bài toán gốc Bài toán 1: (Bài toán cơ bản) Cho biết cực trị của hàm số y  f  x  . Tìm cực trị của hàm số y  f  x . Phân tích: Giáo viên cần tổ chức để - Học sinh phát hiện vấn đề: Muốn tìm số điểm cực trị của một hàm số nào đó chúng ta cần biết đồ thị của hàm số đó hoặc xét dấu được đạo hàm của hàm số đó. - Học sinh thu thập và làm rõ thông tin: + Bài toán cho biết cực trị của hàm số y  f  x  bằng cách nào: Cho bằng đồ thị; cho bằng bảng biến thiên; cho biết hàm số f '( x) ; cho bằng bảng xét dấu của f '( x) . + Chúng ta có thể vẽ được đồ thị của hàm số y  f  x  , hoặc lập được bảng biến thiên của hàm số y  f  x  không? - Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề: Định hướng 1: Dùng phép biến đổi đồ thị hoặc bảng biến thiên  f  x  u x0 neá   Ta có y  f  x  là hàm số chẵn, f x    f   x  neá u x 0 Từ đó suy ra đồ thị hàm số y  f  x  gồm hai phần Phần 1: Lấy phần đồ thị hàm số y  f  x  nằm bên phải trục tung  C1  Phần 2: Lấy đối xứng C1  qua trục tung ta được đồ thị của hàm số y  f  x . Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y  f  x  (Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số y  f  x  và cộng thêm điểm x  0 ) Định hướng 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị Ta có y  f  x   y '  . f '( x ) x x Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  bằng số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình f '( x )  0 và x  0 . Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  x  kết hợp với hàm số u  x (Ghép bảng biến thiên của hai hàm số u  x và y  f  u  ) - Học sinh đánh giá và kết luận: Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  có liên hệ với số điểm cực trị của hàm số y  f  x  , nếu hàm số y  f  x  có a điểm cực trị dương thì hàm số y  f  x  có 2a  1 điểm cực trị. 9
- Học sinh đưa ra ý tưởng mới: Cách làm trên có thể tìm được số điểm cực trị của hàm số y  f  x   a ; các hàm số y  f  x  có chứa tham số; các hàm số hợp chứa dấu giá trị tuyệt đối phức tạp hơn. Từ những phân tích đó, bằng cách thay đổi giả thiết và cách phát biểu khác nhau ta có được các dạng toán như sau: Dạng 1: Cho biết đồ thị hàm số y  f  x  , tìm cực trị của hàm số y  f  x  . Bài 1.1: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị  C  như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x  . Lời giải: Cách 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta vẽ đồ thị hàm số y  f  x  như sau + Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải trục tung và bỏ phần đồ thị bên trái trụng tung. + Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị bên phải trục tung Ta thu được đồ thị hàm số y  f  x  10
Từ đồ thị suy ra hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị. Cách 2: Sử dụng điều kiện đủ đề hàm số có cực trị Ta có y  f  x   y '  . f '( x ) x x x  0  x  0  y '  0 và không xác định tại  x  1   x  1  x  1   Ta có bảng xét dấu đạo hàm Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y  f  x  có 3 điển cực trị. Cách 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên x Đặt u  x  u '  x  u ' không xác định tại x  0 Ta có bảng biến thiên Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y  f  x  có 3 điển cực trị. Nhận xét: Bài toán cho đồ thị nên chúng ta chọn cách biến đổi đồ thị để tìm số điểm cực trị nhanh và trực quan hơn. Với giả thiết bài toán trên chúng ta có thể thay đổi yêu cầu để học sinh tiếp tục nhớ lại các phép biến đổi đồ thị như sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số dạng y  f  x   a. Đối với bài toán này chúng ta cũng có thể sử dụng cả ba hướng để tìm số điểm cực trị. Tuy nhiên do đã có đồ thị hàm số y  f  x  nên ta chọn cách suy đồ thị. Đồ thị hàm số y  f  x   a có được bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  lên a đơn vị theo trục tung nếu a  0 , xuống a đơn vị nếu a  0 . 11
Số điểm cực trị của hàm số y  f  x   a bằng số điểm cực trị của hàm số y  f  x . Cho học sinh làm một ví dụ như sau: Bài 1.2: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  x   2. Nhận xét: Thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho bảng biến thiên chúng ta được bài toán mới Dạng 2: Cho biết bảng biến thiên của hàm số y  f  x  , tìm cực trị của hàm số y  f  x  . Bài 1.3: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ. x  1 3  f ( x )  0  0  5  f ( x)  1 Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  bằng A. 5. B. 2. C. 3. D. 4. Phân tích: Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Lời giải: Từ bảng biến thiên của hàm số y  f  x  ta vẽ được bảng biến thiên của hàm số y  f  x  như sau 12
x  3 0 3  f ( x )  0   0   f (0)  f ( x) 1 1 Do đó trên hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị. Nhận xét: Thay đổi giả thiết của bài toán bằng cách cho f '  x  của hàm số y  f  x  ta được bài toán mới như sau. Dạng 3: Cho biết đạo hàm của hàm số y  f  x  , tìm cực trị của hàm số y  f  x . Bài 1.4: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  x3( x  1)( x  2), x  . Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  là A. 1. B. 3. C. 5. D. 2. Nhận xét: Bài toán cho đạo hàm cụ thể nên ta sử dụng điểu kiện đủ để hàm số có cực trị: f '( x) đổi dấu khi qua x0 thì hàm số có điểm cực trị là x0 . x  0  Lời giải: Ta có f '( x)  x3( x  1)( x  2)  0   x  1 x  2  y  f  x   y '  . f '( x ) x x x  0 x  0  Hàm số y ' bằng 0 và không xác định tại  x  1   x  1  x 2  x  2  Ta có bảng xét dấu của y ' Từ bảng xét dấu suy ra hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị. Bài 1.5: (Trích đề thi thử trường THPT Lê Lợi - Thanh Hoá 2021) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '( x)  x2 ( x  1)( x2  2mx  m  1) với x  .   Có bao nhiêu số nguyên m  10 để hàm số g( x)  f x có 5 điểm cực trị ? A. 6. B. 7. C. 9. D. 8. 13
Lời giải:   Hàm số g( x)  f x là hàm số chẵn nên g( x) có 5 điểm cực trị khi f ( x) có đúng 2 điểm cực trị dương, hay phương trình x2( x  1)( x2  2mx  m  1)  0 (1) có đúng 2 nghiệm bội lẻ dương.  x  0(keù p)  Ta có (1)   x  1  x2  2mx  m  1  0 (* )  Yêu cầu bài toán  (* ) có hai nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm dương   '  0 m2  (m  1)  0   khác 1.  m  1  0  m  1  m  1. 2  1  2m.1  m  1  0 m   2  3 Vậy với m 1 thì g( x) có 5 điểm cực trị Vì m  10 và m nên m 9;  8;  7;  6;  5;  4;  3;  2;  1 , có 9 giá trị m thoả mãn. Bài 1.6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 y  x  (2m  1) x2  3m x  5 có 3 điểm cực trị. Lời giải: Xét hàm số f ( x)  x3  (2m  1) x2  3mx  5 Ta có f '( x)  3x2  2(2m  1) x  3m Để hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị  hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị trong đó có đúng 1 điểm cực trị dương  f '( x)  0 có 2 nghiệm phân biệt và chỉ có 1 nghiệm dương m  1  '  0   4m2  5m  1  0  1     m   m  0.  a.c  0  9m  0    4 m  0 3 Vậy với m 0 thì hàm số y  x  (2m  1) x2  3m x  5 có 3 điểm cực trị. Nhận xét: Bằng cách thay đổi yêu cầu của bài toán hàm số y  f  x  sang hàm số y  f  x  a  ta có bài toán mới sau Bài toán 2: Cho biết cực trị của hàm số y  f  x  . Tìm cực trị của hàm số y  f  x  a . Phân tích: Giáo viên cần tổ chức để 14
- Học sinh phát hiện vấn đề: + Chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số y  f  x  a  không? + Chúng ta có thể lập được bảng xét dấu của đạo hàm của hàm số y  f  x  a  không? - Học sinh thu thập và làm rõ thông tin: + Giả thiết bài toán cho biết cực trị của hàm số y  f  x  bằng cách nào? Cho biết đồ thị hàm số y  f  x  . Cho biết bảng biến thiên của hàm số y  f  x  . Cho bảng xét dấu đạo hàm. Cho công thức đạo hàm. - Học sinh thực hiện giải quyết vấn đề: Định hướng 1: Sử dụng phép biến đổi đồ thị + Vẽ đồ thị hàm số y  f  x  a  : Từ đồ thị hàm số y  f  x  , ta tịnh tiến sang trái a đơn vị nếu a  0 , sang phải a đơn vị nếu a  0 ta được (C1) + Giữ nguyên phần bên phải trục tung của đồ thị (C1) và bỏ phần bên trái trục tung của (C1) rồi lấy đối xứng qua trục tung phần ta được đồ thị hàm số y  f  x  a . Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y  f  x  a . Định hướng 2: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị x + Đặt t  x  a  t x,  . x + Ta có y  f (t). x   y,x  t x, . ft'  . f ' x  a x  Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  a  bằng số nghiệm của phương trình   f ' x  a  0 và điểm x  0 . Định hướng 3: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên Kết hợp hai bảng biến thiên của hàm số u  x  a và hàm số y  f (u ) trên cùng một bảng. - Học sinh đánh giá và kết luận: Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  a  bằng số điểm cực trị của hàm số y  f  x  . - Học sinh đưa ra ý tưởng mới: Nếu thay đổi yêu cầu của bài toán thành hàm số y  f  u( x)  hoặc y  f  u( x)  a  chúng ta có làm được như trên không? 15
Từ những phân tích trên ta có thể xây dựng một số dạng toán như sau Dạng 1: Cho đồ thị hàm số y  f  x  . Tìm số cực trị của hàm số y  f  x  a . Bài 2.1: Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số y  f  x  1 có bao nhiêu điểm cực trị? Phân tích: Bài toán cho đồ thị hàm số y  f  x  nên ta chọn cách suy đồ thị để tìm cực trị hàm số y  f  x  1 . Lời giải: + Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y  f  x  1 + Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y  f  x  1 và lấy đối xứng nó qua trục tung ta được đồ thị hàm số y  f  x  1 16
Từ đồ thị suy ra hàm số y  f  x  1 có 5 điểm cực trị. Nhận xét: Nếu thay đổi giả thiết của Bài 2.1 bằng cách cho bảng biến thiên của hàm số y  f  x  ta được dạng toán khác như sau Dạng 2: Cho bảng biến thiên của hàm số y  f  x  . Tìm số cực trị của hàm số y  f  x  a . Bài 2.2: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ x  1 3  f ( x )  0  0  5  f ( x)  3 Số điểm cực trị của hàm số y  f  x  3 là A. 1. B. 5. C. 0. D. 3. Nhận xét: Bài toán này cho biết cụ thể các điểm cực trị của hàm số y  f  x  nên chúng ta có thể tìm cụ thể điểm cực trị của hàm số y  f  x  3 Cách 1: Sử dụng điều kiện đủ để hàm số có cực trị   + Ta có y  f  x  3  y '  . f ' x  3 với x  0 x x  x  3  1 + y'  0    x  0 (loại).  x  3  3 17