Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển một số thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua thiết kế hoạt động dạy học và khai thác ứng dụng chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển một số thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua thiết kế hoạt động dạy học và khai thác ứng dụng chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân" nhằm trình bày cơ sở lý luận về tư duy, năng lực tư duy và lập luận toán học; hệ thống hoá các kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân; đề tài đã thiết kế được một số hoạt động dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng lập luận có căn cứ và theo các quy tắc suy luận logic; giúp học sinh có thói quen kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh phương thức giải quyết vấn đề toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển một số thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua thiết kế hoạt động dạy học và khai thác ứng dụng chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN MỘT SỐ THÀNH TỐ CỦA NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC VÀ KHAI THÁC ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN MỘT SỐ THÀNH TỐ CỦA NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC VÀ KHAI THÁC ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả 1. Nguyễn Viết Cường Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên Số điện thoại: 0976447833 2. Nguyễn Văn Hậu Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên Số điện thoại: 0814271188 3. Nguyễn Đình Trưng Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên Số điện thoại: 0912417626 NGHỆ AN - 2024
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................... 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ...................................................................................... 1 II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI .......................................................... 2 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ........................................................................... 2 VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ......................................................................... 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................... 3 VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI.............................................................................. 3 PHẦN II. NỘI DUNG ............................................................................................. 4 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................................. 4 1. Tư duy ............................................................................................................ 4 1.1. Khái niệm tư duy ..................................................................................... 4 1.2. Đặc điểm của tư duy ................................................................................ 4 1.3. Tư duy toán học ....................................................................................... 4 1.4. Năng lực tư duy toán học ......................................................................... 4 2. Năng lực tư duy và lập luận toán học............................................................. 4 2.1. Khái niệm năng lực lập luận toán học ..................................................... 4 2.2. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ................................ 5 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN ......................................................................................... 5 1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên ............................................................... 5 2. Thực trạng học tập của học sinh..................................................................... 6 III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN .............................................................................................................. 6 1. Biện pháp 1: Củng cố và hệ thống các kiến thức liên quan về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân ................................................................................ 7 1.1. Một số kiến thức về dãy số ...................................................................... 7 1.1.1. Định nghĩa dãy số .............................................................................. 7 1.1.2. Cách cho một dãy số ......................................................................... 7 1.1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm................................................................... 7 1.1.4. Dãy số bị chặn ................................................................................... 8 1.2. Một số kiến thức về cấp số cộng............................................................. 8 1.2.1. Định nghĩa ......................................................................................... 8 1.2.2. Số hạng tổng quát .............................................................................. 8 1.2.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.......................................... 9
1.3. Một số kiến thức về cấp số nhân.............................................................. 9 1.3.1. Định nghĩa ......................................................................................... 9 1.3.2. Số hạng tổng quát ............................................................................ 10 1.3.3. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân ............................................... 10 2. Biện pháp 2: Thiết kế hoạt động dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng lập luận có căn cứ và theo các quy tắc suy luận logic ........................ 10 2.1. Mục đích của biện pháp ......................................................................... 10 2.2. Cơ sở khoa học của biện pháp ............................................................... 10 2.3. Tổ chức thực hiện .................................................................................. 10 3. Biện pháp 3. Thiết kế hoạt động dạy học nhằm rèn luyện thói quen kiểm tra đánh giá, điều chỉnh phương thức giải quyết vấn đề toán học .......... 14 3.1. Mục đích của biện pháp ......................................................................... 14 3.2. Cơ sở khoa học của biện pháp ............................................................... 15 3.3. Tổ chức thực hiện .................................................................................. 15 4. Biện pháp 4: Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải một số bài toán về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân ................................... 18 5. Biện pháp 5: Phát triển năng lực tư duy và lập luận cho học sinh thông qua việc sử dụng dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân vào các bài toán có nội dung thực tiễn ............................................................................................. 28 5.1. Quy trình thực hiện biện pháp ............................................................... 28 5.2. Bài toán sử dụng công thức số hạng tổng quát của CSC và CSN ......... 29 5.3. Bài toán sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của CSC và CSN. ..... 30 5.4. Bài toán lãi suất liên quan đến CSN ...................................................... 35 IV. THỰC NGHIỆM ĐỀ TÀI ............................................................................. 37 1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 37 2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .................................................................. 37 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................. 37 3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm............................................ 37 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................. 37 3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá.................................................................... 38 4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm ................................................................. 38 4.1. Một số nhận xét chung ........................................................................... 38 4.2. Phân tích định tính ................................................................................. 39 4.3. Phân tích định lượng .............................................................................. 39 V. KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT ................................................................................................. 41 1. Mục đích khảo sát......................................................................................... 41
2. Nội dung và phương pháp khảo sát .............................................................. 41 2.1. Nội dung khảo sát .................................................................................. 41 2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá .............................................. 41 3. Đối tượng khảo sát ....................................................................................... 41 4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất .......... 41 4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất .............................................. 41 4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất .................................................. 43 PHẦN III. KẾT LUẬN ......................................................................................... 45 I. KẾT LUẬN ...................................................................................................... 45 1. Tính mới của đề tài ....................................................................................... 45 2. Tính khoa học ............................................................................................... 45 3. Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng ............................................................... 45 4. Hướng phát triển của đề tài .......................................................................... 46 II. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT .................................................................. 46 1. Đối với giáo viên .......................................................................................... 46 2. Đối với học sinh ........................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 47 PHỤ LỤC ............................................................................................................... 48 Phụ lục 1. Phiếu khảo sát thực trạng dành cho giáo viên .................................... 48 Phụ lục 2. Phiếu câu hỏi dành cho học sinh ........................................................ 49 Phụ lục 3. Phiếu điều tra tính cấp thiết của các giải pháp trong đề tài ................ 50 Phụ lục 4. Phiếu điều tra tính khả thi của các giải pháp trong đề tài................... 52
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt Từ dầy đủ 1 CSC Cấp số cộng 2 CSN Cấp số nhân 3 GV Giáo viên 4 HS Học sinh 5 LLCCC Lập luận có căn cứ 6 THPT Trung học phổ thông
DANH MỤC BẢNG, BIỂU Bảng Bảng 1. Phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC)........................................................................................................ 39 Bảng 2. Phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra ................................... 39 Bảng 3. Phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra ................................................ 40 Bảng 4. Khảo sát tính cấp thiết của giáo viên môn Toán Trường THPT Nguyễn Trường Tộ - Hưng Nguyên........................................................................ 42 Bảng 5. Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất ........................................ 42 Bảng 6. Khảo sát tính khả thi của giáo viên môn Toán Trường THPT Nguyễn Trường Tộ - Hưng Nguyên ..................................................................................... 43 Bảng 7. Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất ........................................ 44 Biểu Biểu đồ 1. Biểu đồ hình cột phân bố tần số điểm bài kiểm tra ............................... 40 Biểu đồ 2. Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra ................................................ 40
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Ban Chấp hành Trung ương về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Quyết định 131/QĐ-TTg ngày 25 tháng 01 năm 2022 phê duyệt Đề án Nghị quyết Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”. Như vậy, dạy học theo định hướng phát triển năng lực và phẩm chất của người học là mục tiêu quan trọng và chủ yếu trong công cuộc đổi mới giáo dục hiện nay. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu: “Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát; Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018). Do đó, năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong các năng lực đòi hỏi quá trình giáo dục cần phải hình thành và rèn luyện cho các em nếu muốn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới nói chung và đổi mới trong môn Toán nói riêng. Trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, Chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân đóng một vai trò quan trọng. Chúng thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông. Đặc biệt là câu khó trong đề thi học thi học sinh giỏi. Không những thế mà đây là chủ đề đa dạng về dạng toán hay, có nhiều cách giải và có tiềm năng lớn trong việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh. Hơn nữa chủ đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân là chủ đề có thế mạnh mà nhiều giáo viên chưa khai thác trong việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua các bài toán có nội dung thực tiễn. Theo đó góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh. Tuy nhiên thời lượng chủ đề này không nhiều do đó giáo viên và học sinh khó khai thác hết các ứng dụng của chủ đề này vào các bài toán thực tiễn. Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phát triển một số thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua thiết kế hoạt động dạy học và khai thác ứng dụng chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân”. 1
II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn mới chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh. Thứ hai, đề tài đã trình bày cơ sở lý luận về tư duy, năng lực tư duy và lập luận toán học; hệ thống hoá các kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân. Thứ ba, đề tài đã thiết kế được một số hoạt động dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng lập luận có căn cứ và theo các quy tắc suy luận logic; giúp học sinh có thói quen kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh phương thức giải quyết vấn đề toán học. Thứ tư, đề tài đã xây dựng được lớp các bài toán về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, đồng thời định hướng xử lý lớp các bài toán trên bằng các phương pháp cụ thể dễ hiểu, dễ sử dụng. Đặc biệt khai thác bài toán có nội dung thực tế để giải từ đó tập luyện cho học sinh thói quen khai thác đề bài để sáng tạo bài toán mới giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như giúp các em hiểu rõ mối quan hệ chặt chẽ và gần gũi giữa Toán học và thực tiễn. Thứ năm, luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán. Thứ sáu, đề tài đã góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 11 và lớp 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ôn thi học sinh giỏi cấp Tỉnh và tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học vấn đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân ở trường trung học phổ thông Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến vấn đề về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân qua sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo. Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán trong chủ đề phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng HS giỏi. Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, và đồng nghiệp qua đó thấy được sự hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung khoảng cách cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói riêng cũng như học môn Toán nói chung. 2
VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh bậc trung học phổ thông. - Giáo viên dạy toán bậc trung học phổ thông. - Tài liệu về phương pháp dạy học, dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân. - Các bài toán có nội dung thực tiễn có liên quan. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp phân tích - tổng hợp - Phương pháp điều tra, phân tích. - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp phỏng vấn. - Phương pháp thực nghiệm. VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận 3
PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Tư duy 1.1. Khái niệm tư duy Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận,… (dẫn theo [3]). Trong Đề tài này, chúng tôi thống nhất với quan điểm về tư duy của tác giả Phạm Minh Hạc trong [2]: “Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chủ thể nhận thức chưa biết”. 1.2. Đặc điểm của tư duy Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề; Tư duy có tính khái quát; Tư duy có tính gián tiếp; Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,... (dẫn theo [4]). 1.3. Tư duy toán học Trong Đề tài này, chúng tôi sử dụng định nghĩa tư duy toán học: Tư duy toán học được hiểu là hình thức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật, kinh tế,… Tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi tính chất của khoa học toán học vì có sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. 1.4. Năng lực tư duy toán học Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. 2. Năng lực tư duy và lập luận toán học 2.1. Khái niệm năng lực lập luận toán học Môn Toán vừa có tính trừu tượng cao và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic và tính thực nghiệm; môn Toán có vai trò quan trọng trong phát triển năng lực trí tuệ cho HS: 4
Một là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. Hai là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hoá,… Ba là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng thông qua việc làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen… Từ những đặc điểm trên, có thể thấy, trong dạy học môn Toán, việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS là một việc rất quan trọng. Trong đó, năng lực tư duy toán học là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải của bài toán, khái quát, mở rộng, phát triển bài toán, còn lập luận được xem là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy và là một thành phần của năng lực toán học. Khi dạy học hình học không gian, việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS để giải bài toán càng rất cần thiết. Bởi vì một bài toán, một bài tập cụ thể chỉ có thể giải được khi HS có hướng tư duy đúng và lập luận logic 2.2. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018, xác định: Ở cấp THPT, biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học được biểu hiện qua việc HS: + Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát. + Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề. + Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN Để có cái nhìn đầy đủ và tìm hiểu cụ thể, chính xác thực trạng việc phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS THPT thông qua thiết kế hoạt động dạy học và khai thác ứng dụng chủ đề dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân, chúng tôi tiến hành điều tra, khảo sát bằng phiếu câu hỏi (Phiếu dành cho GV ở phụ lục 2; phiếu dành cho HS ở Phụ lục 3) với đối tượng là 100 học sinh và 25 giáo viên của các trường THPT tại địa bàn huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận. Sau khi điều tra tôi thu được kết quả cụ thể sau: 1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên - Hầu hết giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc nghiên cứu sâu và khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS. 5
- Trong tiết bài tập, giáo viên cơ bản chỉ tập trung vào việc chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết đã học. Không ít giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác và chưa giúp học sinh xâu chuỗi các kiến thức với nhau. - GV cũng chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không có thói quen để HS tự do tranh luận. Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Do đó không phát huy được các yếu tố để rèn luyện và phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS. 2. Thực trạng học tập của học sinh Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên địa bàn tỉnh huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận chúng tôi thu được các thông tin: - Rất nhiều HS yếu về kiến thức dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân; hạn chế về năng lực tư duy và lập luận toán học: nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế. - Hầu hết HS thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, rất ít HS nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan. - Đa số HS có kiến thức rất yếu và không hứng thú học chủ đề dãy số và cấp số cộng, cấp số nhân vì sự trừu tượng và tâm lý nghĩ rằng chủ đề này rất khó nên không thể chinh phục được. Vậy làm thế nào để khắc phục được thực trạng đó? Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp cụ thể đã được áp dụng có hiệu quả tại đơn vị - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ - Hưng Nguyên. III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Trong nội dung này chúng tôi sẽ củng cố các kiến thức liên quan đến dãy số, cấp số công và cấp số nhân, định hướng giúp HS vận dụng các kiến thức về dãy số và cấp số để giải các bài toán từ dễ đến khó và tìm cách khai thác mở rộng thành các bài toán mới với các mức độ khác nhau trong đó có nhiều bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao; giúp HS nắm được quy trình tổng thể, phương pháp giải 6
một số bài toán về dãy số, cấp số. Thông qua việc phân tích, khai thác giúp cho học sinh có thói quen, kỹ năng luôn tìm nguồn gốc của bài toán cũng như nhìn bài toán dưới dạng động, luôn có ý thức tìm tòi, khai thác bài toán nhiều khía cạnh. Từ đó hình thành, phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS. 1. Biện pháp 1: Củng cố và hệ thống các kiến thức liên quan về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân Để giải được bài tập toán nói chung và các bài toán về dãy số nói riêng người học phải nắm chắc kiến thức lý thuyết về nội dung đó. Do đó trước hết giáo viên tổ chức cho học sinh hệ thống lại các kiến thức về dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân cho học sinh. Yêu cầu học sinh tóm tắt bằng sơ đồ tư duy. 1.1. Một số kiến thức về dãy số 1.1.1. Định nghĩa dãy số * Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u ( n ) . Ta thường viết tắt un thay cho u ( n ) và kí hiệu dãy số u = u ( n ) bởi ( un ) Dạng khai triển của dãy số ( un ) là u1 , u2 , u3 ,…, un ,… Số u1 gọi là số hạng đầu, un gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số. Chú ý: Dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau gọi là dãy số không đổi. * Mỗi hàm số u xác định trên tập M {1; 2;3;…; m} , ( m ∈ * ) được gọi là một = dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u1 , u2 , u3 ,…, um . Số u1 gọi là số hạng đầu, um gọi là số hạng cuối. 1.1.2. Cách cho một dãy số Một dãy số có thể cho bằng: +) Liệt kê các số hạng (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng). +) Công thức của số hạng tổng quát. +) Phương pháp mô tả. +) Phương pháp truy hồi, tức là: - Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu tiên); - Cho một công thức tính un theo un−1 (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó). 1.1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm +) Dãy số ( un ) được gọi là dãy số tăng nếu un +1 > un với mọi n ∈ * . 7
+) Dãy số ( un ) được gọi là dãy số giảm nếu un +1 < un với mọi n ∈ * . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số ( un ) với un = (−1)n có dạng khai triển: −1,1, −1,1, −1,… không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm. 1.1.4. Dãy số bị chặn +) Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho un ≤ M với mọi n ∈ * . +) Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn duới nếu tồn tại một số m sao cho un ≥ m với mọi n ∈ * . +) Dãy số ( un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho m ≤ un ≤ M với mọi n ∈ * . 1.2. Một số kiến thức về cấp số cộng 1.2.1. Định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số d không đổi, nghĩa là un +1 = n + d , n ∈ * u (1) Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng. Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có: 1) Cấp số cộng ( un ) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0 . 2) Cấp số cộng ( un ) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0 . 3) Trong một cấp số cộng ( un ) , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là uk −1 + uk +1 uk = với k ≥ 2 . 2 Chú ý: Để chứng minh dãy số ( un ) là một cấp số cộng, chúng ta cần chứng minh un +1 − un là một hằng số với mọi số nguyên dương n . 1.2.2. Số hạng tổng quát Nếu cấp số cộng ( un ) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức: un = u1 + (n − 1)d , ∀n ≥ 2. (2) Từ kết quả trên, ta rút ra nhận xét sau: 8
Cho cấp số cộng ( un ) biết hai số hạng u p và uq thì số hạng đầu và công sai được tính theo công thức: u p − uq (1 : d = p−q (2 : u1 = u p − ( p − 1)d . 1.2.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng Cho một cấp số cộng ( un ) . Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un . Khi đó: n(u1 + un ) n(n − 1) Sn = (3) hoặc S n nu1 + = d. (4) 2 2 Chú ý 1) Chúng ta thường sử dụng công thức (3) để tính Sn khi biết số hạng đầu và số hạng thứ n của cấp số cộng. 2) Để tính được Sn , thì công thức (4) được sử dụng mọi trường hợp. Cụ thể là, chúng ta cần tìm được số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng. 3) Các bài toán về cấp số cộng thường đề cập đến 5 đại lượng u1 , d , n, un , Sn . Chúng ta cần biết ba đại lượng trong năm đại lượng là có thể tìm được hai đại lượng còn lại. Tuy nhiên, theo các công thức tính un , Sn thì các bài toán về cấp số cộng sẽ quy về việc tính ba đại lượng u1 , d , n . 1.3. Một số kiến thức về cấp số nhân 1.3.1. Định nghĩa * Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q . Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. * Cấp số nhân ( un ) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi un = un −1.q với n ≥ 2 . Chú ý: + Nếu ( un ) là cấp số nhân với công bội q và un ≠ 0 với mọi n ≥ 1 thì với số un tự nhiên n ≥ 2 , ta có: =q un −1 + Nếu ba số uk −1 , uk , uk +1 lập thành một cấp số nhân thì uk2 = uk −1 .uk +1 với k ≥ 2 Đặc biệt: + Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau). + Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng u1 , 0, 0, 0, , 0, + Khi u1 = 0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, , 0, 9
1.3.2. Số hạng tổng quát Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức un = u1.q n −1 với n ≥ 2 . 1.3.3. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân Cho cấp số nhân ( un ) với công bội q ≠ 1 . Đặt Sn= u1 + u2 +…+ un . Khi đó Sn = ( u1 1 − q n ). 1− q Chú ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u1 , u1 , u1 , ..., u1 , ... khi đó Sn = nu1 . 2. Biện pháp 2: Thiết kế hoạt động dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng lập luận có căn cứ và theo các quy tắc suy luận logic 2.1. Mục đích của biện pháp Mục đích của biện pháp là rèn cho HS kĩ năng sử dụng các phương pháp lập luận, các quy tắc suy luận, chỉ ra được chứng cứ, lĩ lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận: Giúp HS tự phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình lập luận; phát huy tính sáng tạo, cách trình bày, cách diễn đạt chặt chẽ logic trong giải toán đại số; phát triển năng lực tự học, tư duy tích cực, độc lập và kích thích tò mò, ham tìm hiểu, đem lại niềm vui trong học tập cho HS. 2.2. Cơ sở khoa học của biện pháp Mối quan hệ giữa dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân là rất gần gũi, cấp số cộng và cấp số nhân là trường hợp riêng của dãy số, tuy nhiên ta cần dùng biện pháp lập luận, các quy tắc suy luận hợp lí để tìm ra những mối quan hệ trên. Rèn luyện kĩ năng lập luận có căn cứ (LLCCC), hợp logic là bước đầu tiên cần được thực hiện khi giảng dạy nội đại số từ đó tiếp cận được toán giải tích một cách tự nhiên cho HS. LLCCC là sắp xếp lí lẽ theo một hệ thống để trình bày, nhằm chứng minh cho một kết luận về một vấn đề. Căn cứ là ''dựa vào'', ''làm cơ sở'' để lập luận hoặc hành động. Căn cứ của lập luận là các tiên đề, định lý, tính chất, hệ quả, định nghĩa đã biết, các giả thiết đã cho của bài toán. Kĩ năng LLCCC là kĩ năng xây dựng và trình bày lí lẽ dựa trên các điều kiện đã biết thông qua việc sử dụng các quy tắc, quy luật logic. 2.3. Tổ chức thực hiện Vận dụng vào chủ đề dãy số - Cấp số cộng - Cấp số nhân ở lớp 11, để rèn luyện kĩ năng LLCCC và theo các quy tắc suy luận, chúng tôi đề xuất các bước thực hiện như sau: Bước 1: GV chuẩn bị các phiếu học tập là các bài toán chứa sai lầm, các bài chứng minh chưa có đầy đủ chứng cứ hoặc các bài trắc nghiệm lựa chọn đúng - sai. 10
Bước 2: GV tổ chức cho HS: - Đối với bài toán chứa sai lầm: chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm, biện pháp khắc phục. - Đối với bài toán thiếu căn cứ: bổ sung căn cứ, chỉ rõ căn cứ cho từng bước lập luận. - Đối với dạng toán lựa chọn đúng - sai: giải thích lí do, chỉ ra ví dụ phản mệnh đề. Bước 3: GV tổ chức đánh giá, kết luận Ví dụ 2.1. Chứng minh rằng dãy số ( un ) với u= 2n + 3 là một cấp số cộng. n Tìm công sai của cấp số cộng. Nếu u= 2n + 3 thì dãy số ( un ) có phải là cấp số n cộng nữa hay không? Bước 1: Giáo viên phát phiếu học tập có dạng như sau Hãy điền vào chỗ trống để hoàn chỉnh việc giải bài tập sau: Các khẳng định Các căn cứ lập luận Với u= 2n + 3 thì un +1 2n + 5 n = + Vì …. un +1 − un = 3 + Vì ….. Hiệu un +1 − un là một số không phụ thuộc n + Vì…. ( un ) là cấp số cộng Với u= 2n + 3 thì un +1 2.2n + 3 n = …. un +1 − un = 2n ….. Hiệu un +1 − un là một số còn phụ thuộc n ….. Khi đó ( un ) không phải là cấp số cộng ……. Bước 2: GV tổ chức cho HS thảo luận, điền căn cứ cho các bước lập luận Các khẳng định Các căn cứ lập luận Với u= 2n + 3 thì un +1 2n + 5 n = + Vì un +1 = 2(n + 1) + 3 = 2n + 5 un +1 − un = 2 un +1 − un = (2n + 5) − (2n + 3) + Vì = 2, ∀n ∈ * ( un ) là cấp số cộng Vì un +1 − un =là một số không đổi ∀n ∈ * 2 nên ( un ) là cấp số cộng có công sai d = 2 Với u= 2n + 3 thì un +1 2.2n + 3 n = Vì un +1= 2n +1 + 3 2.2n + 3 = un +1 − un = 2n un +1 − u= (2.2n + 3) − (2n + 3) n Vì = 2n , ∀n ∈ * Khi đó ( un ) không phải là cấp số cộng Vì un +1 − un = là một số còn phụ thuộc n 2n nên ( un ) không phải là cấp số cộng 11
Bước 3: GV tổ chức cho HS nhận xét bài làm của nhóm bạn, chỉnh sửa, hoàn thiện phiếu học tập. Thông qua ví dụ này, mục đích của biện pháp là nhằm rèn luyện cho HS kĩ năng LLCCC; hiểu quy tắc suy luận diễn dịch; hiểu cách sắp xếp các chứng cứ theo trình tự trong trình bày lời giải bài toán; nhận xét đánh giá, điều chỉnh bài làm cho hoàn thiện. Từ đó, góp phần hình thành và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học. Đồng thời cũng thông qua ví dụ này HS rút ra được phương pháp chứng minh một dãy số đã cho là cấp số cộng. Ví dụ 2.2. Rèn luyện kĩ năng LLCCC và theo các quy tắc suy luận qua việc sửa chữa sai lầm của lời giải bài toán sau: Bước 1: Lời giải bài toán chứa sai lầm Phiếu học tập 1 Phiếu học tập 2 Cho cấp số cộng có dạng khai triển: Cho cấp số nhân có dạng khai triển: −3,1,5,9,13,..., x,... 3, 6,12, 24, ... Biết x là số hạng thứ 15 của cấp số Hỏi số 384 là số hạng thứ mấy của cấp cộng. Hãy tìm x và tính số hạng thứ số nhân. Hãy tính số hạng thứ 10 của 2024 của cấp số cộng đó. cấp số nhân đó. Lời giải: Lời giải: Ta có u1 =3, d = − u1 = − u2 4 Ta có u1 3, = = 2 = q 2 u u1 Đặt un = x . Vì x là số hạng thứ 15 nên ta Đặt un = 384 . Áp dụng công thức số có u15 = x . Áp dụng công thức số hạng tổng hạng tổng quát của CSN ta có quát của CSC ta có un 384 un = u1 .q n ⇒ q n = ⇔ 2n = = 128 = 27 u15 =u1 + 15.d =−3 + 15.4 =57 u1 3 Vậy x = 57 Suy ra n = 7 . Vậy 384 là số hạng thứ 7 của CSN Số hạng thứ 2024 của cấp số cộng là Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là u2024 =u1 + 2024.d =−3 + 2024.4 =8093 = u1= 3.210 3072 u10 .q10 = Nhiệm vụ: Nhiệm vụ: + Hãy kiểm tra xem lời giải đúng hay + Hãy kiểm tra xem lời giải đúng hay sai? Giải thích lí do. sai? Giải thích lí do. + Nếu sai, hãy nêu các cách sửa lại cho + Nếu sai, hãy nêu các cách sửa lại cho đúng đúng 12
Bước 2: GV tổ chức cho HS chỉ ra sai lầm, nguyên nhân sai lầm + Phân tích sai lầm trong phiếu học tập 1: Trong lời giải bài toán trên do HS áp dụng sai công thức tính số hạng tổng quát của CSC u= u1 + n.d . Do đó, lời giải n bài toán trên là chưa chính xác. Lời giải đúng. Ta có u1 =3, d = − u1 = − u2 4 Đặt un = x . Vì x là số hạng thứ 15 nên ta có u15 = x . Áp dụng công thức số hạng tổng quát của CSC ta có : un =u1 + (n − 1).d ⇒ u15 =−3 + 14.4 =53 Vậy x = 53 Số hạng thứ 2024 của cấp số cộng là: u2024 =u1 + 2023.d =−3 + 2023.4 =8089. + Phân tích sai lầm trong phiếu học tập 2: Trong lời giải bài toán trên cũng do HS áp dụng sai công thức tính số hạng tổng quát của CSN un = u1 .q n . Do đó, lời giải bài toán trên là chưa chính xác. Lời giải đúng. u Ta có u1 3, = = 2 = q 2 u1 Đặt un = 384 . Áp dụng công thức số hạng tổng quát của CSN ta có u 384 un = 1 .q n −1 ⇒ q n −1 = n ⇔ 2n −1 = u = =7 128 2 u1 3 Suy ra n − 1 = 7 ⇒ n = 8 . Vậy 384 là số hạng thứ 8 của CSN Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là: = u1 .q= 3.29 1536 . u10 10 −1 = Việc rèn luyện kĩ năng LLCCC và theo các quy tắc suy luận qua việc sửa chữa sai lầm của lời giải bài toán giúp HS kiểm tra các bước lập luận, kiểm tra căn cứ của lập luận, chỉnh sửa lời giải cho đúng, do đó, góp phần rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp suy luận, giải thích, chỉnh sửa phương án giải quyết vấn đề. Biện pháp này thường được sử dụng ở bước củng cố kiến thức, luyện tập… Ví dụ 2.3. Rèn luyện kĩ năng LLCCC thông qua bài tập dạng trắc nghiệm đúng - sai và yêu cầu giải thích cho kết luận của mình, sắp xếp lại thứ tự các bước lập luận cho hợp lí, như sau: Bước 1: GV phát phiếu bài tập trắc nghiệm: 13