Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển một số tư duy Toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình Hình học 11

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài nhằm nghiên cứu vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức của học sinh. Đề xuất các bước bước tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở. Đề xuất một số dạng câu hỏi, bài tập được chuyển sang dạng mở để hình thành và củng cố khái niệm; khắc sâu các kiến thức, định lí cho học sinh; Phát triển và nâng cao khả năng giải toán cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển một số tư duy Toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình Hình học 11

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN 1. Đứng trước sự phát triển, đi lên của đất nước và để thực hiện thắng lợi Nghị quyết 29-NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế, đang đòi hỏi Ngành Giáo dục phải đổi mới phương pháp để nâng cao chất lượng dạy và học. Giáo dục phải tạo nên những con người năng động, sáng tạo có năng lực làm chủ vấn đề và giải quyết vấn đề. Phương pháp dạy học đóng vai trò to lớn trong kết quả của quá trình giáo dục. Mỗi phương pháp dạy học sẽ giúp nguời học phát triển trí tuệ và năng lực theo những hướng khác nhau. 2. Trong nhà trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với học sinh có thể xem giải bài tập Toán là một trong các hoạt động chủ yếu của hoạt động Toán học. Theo G. Polya thì hoạt động giải Toán phải thể hiện được: “đặc trưng của phương pháp khoa học đó là dự đoán và kiểm nghiệm”. Cách phát biểu bài toán có thể chỉ ra nhiệm vụ cần thực hiện (như chứng minh mệnh đề), cũng có thể đặt học sinh vào tình huống mò mẫm, dự đoán, thử nghiệm và tìm kết quả tức là dạng bài toán mở. Nhưng hiện nay các bài tập trong sách giáo khoa thường có cấu trúc dạng đóng, đồng thời vấn đề sử dụng bài tập mở như là phương tiện giáo dục Toán học cho học sinh chưa được quan tâm và khai thác một cách hiệu quả, vì thế người giáo viên gặp khó khăn trong việc tạo ra một môi trường học tập mà trong đó học sinh thực sự tích cực, chủ động, sáng tạo trong việc tiếp nhận kiến thức. 3. Qua nghiên cứu lí luận và thực tiễn chúng tôi nhận thấy: nếu người giáo viên biết thiết kế và cấu trúc lại các bài tập trong sách giáo khoa thành dạng bài tập mở, phù hợp với năng lực của học sinh và xem nó như là một phương tiện để tiến hành các phương pháp dạy học hiện đại, thì có thể phát huy được tính tích cực và khơi dậy được những khả năng tiềm tàng của học sinh, đồng thời qua đó giáo viên nhận được nhưng thông tin về năng lực của học sinh một cách chính xác để kịp thời rèn luyện, khắc phục và sửa chữa những sai lầm. 4. Một số tác giả nước ngoài như là Moon và Schulman cũng đã đề cập đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường phổ thông. Ở Việt Nam đã có các công trình nghiên cứu về bài toán mở của các tác giả Tôn Thân, Nguyễn Văn Bàng, Bùi Huy Ngọc, Phan Trọng Ngọ…Tác giả Trần Vui cũng đã nghiên cứu việc “Khảo sát toán học” thông qua bài tập mở. 5. Thực trạng và yêu cầu của việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở các trường THPT Trong dạy học toán ở nước ta hiện nay còn chú trọng nhiều về thuật toán, kiến thức truyền thụ cho học sinh còn có tính chất áp đặt, các câu hỏi đặt ra thường 1
riêng lẻ, mang tính gợi nhớ và nhắc lại về kiến thức. Cách dạy này không phát huy được tính tích cực của học sinh và không đáp ứng được mục đích: Việc giảng dạy toán học phải hướng tới một mục đích lớn hơn là thông qua việc học tập để phát triển trí tuệ chung, hình thành ở học sinh những phẩm chất tư duy cần thiết, một nền tảng kiến thức, kỹ năng cơ bản và chắc chắn qua đó hoàn thiện con người năng động, có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Hiện nay việc xây dựng các giờ học dựa trên câu hỏi, bài tập mở ở các trường THPT còn có khó khăn do cấu trúc chương trình, năng lực của giáo viên và trình độ của học sinh còn nhiều hạn chế và không đồng đều trong cùng một lớp học. Vì thế việc dạy học theo hướng sử dụng các bài toán mở cần có sự nỗ lực và cố gắng đồng bộ, đặc biệt giáo viên cần nhận thức vai trò, vị trí của việc dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi bài tập mở trong việc tích cực hoá nhận thức của người học. 6. Khả năng áp dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học toán ở trường THPT Hiện nay sự đổi mới về phương pháp dạy học đã có sự chuyển biến tích cực về chiều sâu lẫn chiều rộng. Điều đó thể hiện ở cách dạy của thầy và cách học của trò. Nhiều giáo viên đã áp dụng đồng thời các phương pháp dạy học mới và các phương pháp “truyền thống” như dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy học khám phá... Đứng trước các tình huống dạy học, mỗi phương pháp đều có thể thực hiện theo nhiều cách khác nhau và ta có thể xem câu hỏi, bài tập mở là một phương tiện để thực hiện các phương pháp dạy học đó. Tuy nhiên để câu hỏi, bài tập mở thực sự mang lại hiệu quả trong các giờ học ta cần lưu ý nguyên tắc cơ bản trong dạy học là: phải đảm bảo tính vừa sức, dạy học phải dựa vào vùng phát triển gần nhất. Vì vậy hệ thống câu hỏi, bài tập mở phải phù hợp với từng đối tượng học sinh. Qua nghiên cứu sách giáo khoa Hình học 11, tôi nhận thấy rằng ngoài các câu hỏi, bài tập củng cố kiến thức, còn có các bài toán hay và khó, đặc biệt là Sách Giáo khoa 11 Nâng cao. Vì vậy với đối tượng học sinh trung bình ta có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở để củng cố các khái niệm và khắc sâu định lí, còn đối với đối tượng học sinh khá trở lên ta có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở thông qua các bài tập bổ sung để rèn luyện năng lực tự phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề, đồng thời phát triển năng lực giải toán và tính sáng tạo cho học sinh. Kết hợp với nghiên cứu đặc điểm sách giáo khoa Hình học 11 và các vấn đề trong giảng dạy hình học không gian, tôi chọn đề tài SKKN là: “Phát triển một số tư duy Toán học cho học sinh THPT thông qua các câu hỏi, bài tập mở trong chương trình Hình học 11”, với đối tượng nghiên cứu là học sinh khá và giỏi. II. NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI 1. Đưa ra khái niệm về câu hỏi, bài tập mở. 2
2. Phân tích được việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học là tương thích với các lí thuyết dạy học tích cực. 3. Nghiên cứu vai trò của câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo, năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức của học sinh. 4. Đề xuất các bước bước tổ chức dạy học Toán theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở. 5. Đề xuất một số dạng câu hỏi, bài tập được chuyển sang dạng mở để hình thành và củng cố khái niệm; khắc sâu các kiến thức, định lí cho học sinh; Phát triển và nâng cao khả năng giải toán cho học sinh. 6. Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả khi áp dụng Đề tài trong việc dạy cho học sinh khá, giỏi. 7. Đề tài cũng nêu lên ưu điểm, hạn chế và khả năng của việc sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong dạy học ở trường THPT. 3
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận a) Câu hỏi, bài tập đóng Câu hỏi, bài tập đóng là dạng câu hỏi có cấu trúc hoàn chỉnh, ở đây một câu trả lời đúng luôn được xác định rõ ràng theo một mục tiêu cố định nào đó từ những giả thiết cần thiết được cho trong tình huống của bài toán.     Ví dụ 1. Cho u  (1;2), v  (4;2). Chứng minh u và v vuông góc. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại B. SA vuông góc với mặt phẳng ABC tại A. Chứng minh BC   ASB  . b) Câu hỏi, bài tập mở Theo Tôn Thân: “Câu hỏi, bài tập mở là dạng bài toán trong đó điều phải tìm hoặc điều phải chứng minh không được nêu lên một cách rõ ràng, người giải phải tự xác định điều ấy thông qua mò mẫm dự đoán và kiểm nghiệm”. Nghiên cứu của Tôn Thân về câu hỏi, bài tập mở chú ý đến bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh.     Ví dụ 3. Cho u  (a; b) , tìm v sao cho u và v vuông góc. Ví dụ 4. Trong không gian cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (O; R). Hãy xét vị trí tương đối của (P) và mặt cầu (O; R)? 2. Cơ sở thực tiễn a) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Tình huống gợi vấn đề là một tình huống tạo ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải là ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điểu chỉnh kiến thức sẵn có. Như vậy, một tình huống có vấn đề cần thoả mãn các điều kiện sau: - Tồn tại một vấn đề: Tính huống phải bộc lộ mâu thuẫn giữa thực tiễn với trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức được một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua. - Gợi nhu cầu nhận thức: Người học sinh phải cảm thấy sự cần thiết, thấy mình có nhu cầu giải quyết. Tốt nhất là tình huống gây được "cảm xúc" làm cho học sinh ngạc nhiên, thấy hứng thú mà mong muốn giải quyết. - Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình 4
thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết. Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức, kỹ năng liên quan đến vấn đề đặt ra và họ tin rằng nếu tích cực suy nghĩ thì sẽ giải quyết được. Như vậy trong dạy học giải quyết vấn đề ta thấy: + Học sinh được đặt vào tình huống gợi vấn đề chứ không phải là thông báo tri thức dưới dạng có sẵn. + Học sinh hoạt động tích cực, chủ động, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để phát hiện và giải quyết vấn đề. + Mục tiêu dạy học không phải là chỉ làm cho học sinh lĩnh hội kết quả của quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy. Nói cách khác học sinh được học bản thân của việc học. Điều quan trọng trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề không phải là nêu lên các câu hỏi, mà là cách đặt câu hỏi như thế nào để tạo ra các tình huống có vấn đề. Ví dụ 5. Sau khi học khái niệm hai véctơ cùng phương, giáo viên có thể nêu câu hỏi sau: Cho hai vectơ u , v và hai số thực a, b thoả mãn a.u  b.v  o . Hai vectơ u , v có cùng phương không? Với câu hỏi này giáo viên có thể nhận được nhiều phản hồi từ phía học sinh bởi qua những câu trả lời khác nhau. Có những học sinh trả lời vectơ u , v cùng phương, còn có những học sinh cho rằng hai vectơ u , v không cùng phương, và có thể có những học sinh xét được những trường hợp của các số a, b và đưa ra được kết luận đúng trong từng trường hợp. Điều quan trọng là qua đó giáo viên đánh giá được khả năng phân tích, suy luận của học sinh và khắc sâu được khái niệm vectơ không và hai vectơ cùng phương. Trong giờ luyện tập về quan hệ vuông góc giáo viên có thể nêu cho học sinh câu hỏi với độ mở lớn như sau: Ví dụ 6. Trong một tứ diện các đường cao có đồng quy không? Với câu hỏi này học sinh có thể liên tưởng tới tính đồng quy của 3 đường cao trong tam giác và cho rằng các đường cao trong tứ diện đồng quy. Tuy nhiên, có những học sinh đưa ra ví dụ về những tứ diện mà đường cao không đồng quy. Khi đó vấn đề mới đặt ra cho học sinh là “tứ diện nào thì các đường cao đồng quy?” Ví dụ 7. Ta xét ví dụ về dạy học giải quyết vấn đề với câu hỏi mở. Bài toán 1. (Hình 1) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD). Dựng đường vuông góc chung của AD và SB. 5 Hình 1
Trong bài toán này học sinh có thể nhìn thấy S AD  SB . Từ A dựng AK  SB suy ra AK là đoạn vuông góc chung của AD và SB. K Bài toán 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình A D bình hành, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Hãy xác B Hình 1 C định đường vuông góc chung của AD và SB. (Hình S 2) Trong Bài toán 2, AD không vuông góc với SB. Vì vậy, không dựng trực tiếp được đoạn AK như trong Bài toán 1, nên tình huống gợi ra thực sự là M K tình huống có vấn đề. A D Trong Bài toán 1 ta thấy AK   SBD  , suy ra AK N sẽ vuông góc với mọi đường nằm trong mặt phẳng B B' C Hình 2 (SBD). Từ nhận xét đó ta có thể xác định được phương của đường vuông góc chung của AD và SB trong Bài toán 2 không? Với câu hỏi này học sinh có thể sẽ nghĩ đến dựng B’ trên BC sao cho AB'  BC . Gọi AK là đoạn vuông góc chung của SB và AD . Khi đó đường ' vuông góc chung của AD và SB sẽ song song với AK. Ta có thể dựng đoạn vuông góc chung của AD và BS như thế nào? Từ K dựng đường thẳng song song với AD cắt BS tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song AK cắt đường thẳng AD tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD và SB. Trong bước vận dụng bài toán, ta có thể nêu các câu hỏi sau: d2 N Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (SAB ) và AD? d1 M ’ Đường SB và SB có mối quan hệ gì ?  Từ đó có thể nêu quy trình dựng đoạn vuông góc Hình 3 chung của hai đường thẳng d1 , d2 chéo nhau không ? 6
Ta đi đến quy trình sau: Trường hợp 1: Nếu d1  d2 . (Hình 3) Gọi   là mặt phẳng qua d1 và vuông góc với d2 tại M. Dựng MN vuông góc với d1 ta suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 d2 d1 và d2. N M Trường hợp 2: d1 , d2 không vuông góc. (Hình 4) d3 A K Từ Bài toán 2, học sinh có thể nêu ra cách dựng đoạn vuông góc chung của d1 , d2 như sau.  + Bước 1. Xác định   vuông góc với d1 và Hình 4 cắt d1 tại điểm A. Gọi d3 là hình chiếu của d2 lên   . + Bước 2. Dựng đoạn vuông góc chung AK của d1 và d3 như Trường hợp 1. + Bước 3. Dựng đường thẳng qua K song song với d1 cắt d2 tại N. Từ N kẻ đường thẳng song song với AK cắt d1 tại M. Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2. Khi đó giáo viên yêu cầu học sinh nhìn lại Bài toán 2 theo cách dựng vừa nêu. Như vậy dạy học theo hướng sử dụng câu hỏi, bài tập mở tương thích với dạy học giải quyết vấn đề. Các câu hỏi, bài tập mở thông thường chứa đựng các tình huống có vấn đề trong Toán học. b) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy học kiến tạo Theo lí thuyết kiến tạo nhận thức của Jean Piaget: Học tập là quá trình cá nhân hình thành các tri thức. Tri thức được học sinh tiếp thu một cách chủ động, sáng tạo và phát triển chứ không phải tiếp nhận một cách thụ động từ bên ngoài. Nhận thức là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của mỗi người nhưng không phải khám phá một thế độc lập tồn tại bên ngoài ý thức con người. - Jean Piaget cho rằng: “cấu trúc nhận thức có chức năng tạo sự thích ứng của cá thể với các kích thích của môi trường. Các cấu trúc nhận thức có được hình thành theo cơ chế đồng hoá và điều ứng”. + Đồng hoá là quá trình chủ thể tái lập lại một số đặc điểm của khách thể được nhận thức vào các cấu trúc đã có trước đó. 7
+ Điều ứng là quá trình thích nghi và biến đổi những đặc điểm của khách thể vào cái đã có tạo ra cấu trúc mới. Đồng hoá dẫn đến sự tăng trưởng các cấu trúc đã có trước đó còn điều ứng tạo các cấu trúc kiến thức mới Quá trình thu nhận tri thức mới của học sinh có được theo sơ đồ sau: Tri thức đã có  Dự đoán  Kiểm nghiệm  Thích nghi (nếu thành công)  Kiến thức mới Thất bại  Dự đoán khác Ta thấy rằng những câu hỏi, bài tập mở có “độ mở ít” tạo điều kiện củng cố các khái niệm hoặc khắc sâu kiến thức cho học sinh. Ví dụ 8. Xác định góc giữa hai vectơ u , v biết u.v  0 Với câu hỏi này thì giáo viên sẽ cũng cố được cho học sinh khái niệm hai vectơ vuông góc và vectơ không. Còn những câu hỏi, bài tập mở với “độ mở nhiều” sẽ tạo điều kiện để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến thức và thu nhận kiến thức mới. Ví dụ 9. Cho ABCD là tứ diện gần đều AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c. Tìm thể tích tứ diện ABCD theo a, b, c. (Hình 5) Rõ ràng có nhiều định hướng tìm lời giải cho bài toán trên. Tuy nhiên ta giả sử bài toán trên được nêu lên sau khi học sinh biết cách tính thể tích của tứ diện DMNP có 3 góc phẳng ở đỉnh D vuông. Ban đầu học sinh có thể nghĩ tới tính thể 1 tích ABCD theo công thức V  S .h nhưng sẽ D 3 gặp khó khăn với việc tính đường cao buộc học sinh phải cấu trúc lại kiến thức để tìm cách tính. M C P Khi đó giáo viên có thể nêu các câu hỏi mở B A để học sinh thực hiện quá trình điều ứng kiến Hình 5 N thức. Có thể tìm sự liên hệ giữa tứ diện ABCD với một hình nào đó đã tính được thể tích hay không? 8
Nếu DMNP là tứ diện vuông đỉnh D ta có thể dựng được một tứ diện gần đều có quan hệ đặc biệt với tứ diện đã cho không? Từ đó học sinh có thể tìm ra nhận xét. Gọi A, B, C lần lượt là trung điểm của MN, NP, MP. 1 Khi đó ta có ABCD là tứ diện gần đều và V ABCD  VDMNP . 4 Mặt khác nếu AB = CD = a, BC = AD = b, CA = BD = c Sử dụng hệ thức Pitago ta tính được DM  2(a 2  b 2  c 2 ) , DN  2(c 2  b 2  a 2 ) , DP  2(c 2  a 2  b 2 ) 1 Suy ra V ABCD  2(a 2  b 2  c 2 )(b 2  c 2  a 2 )(a 2  c 2  b 2 ) . 12 Ta thấy câu hỏi, bài tập mở là tình huống mang tính kiến tạo, đặt ra cơ hội kiến tạo kiến thức cho học sinh. Có thể nói rằng dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở là tương thích với dạy học kiến tạo. c) Dạy học sử dụng câu hỏi, bài tập mở nhìn theo quan điểm của lí thuyết dạy học khám phá Jerome Bruner đã đễ xuất mô hình dạy học khám phá được đặc trưng bởi các yếu tố cơ bản sau đây: a. Hành động tìm tòi khám phá của học sinh. b. Cấu trúc của vấn đề c. Đánh giá quá trình khám phá của học sinh Khác với khám phá trong nghiên cứu khoa học, khám phá trong học tập không phải là một quá trình tự phát mà là một quá trình có hướng dẫn của giáo viên, trong đó giáo viên khéo léo đặt học sinh ở địa vị người phát hiện, người khám phá lại những tri thức. Giáo viên không cung cấp những kiến thức mới bằng phương pháp thuyết trình, giảng giải mà bằng phương pháp tổ chức các hoạt động khám phá để học sinh tự lực khám phá tri thức mới. Hoạt động khám phá trong học tập có nhiều dạng khác nhau, từ trình độ thấp lên trình độ cao tùy theo năng lực tư duy của người học và được tổ chức thực hiện theo cá nhân, nhóm nhỏ hoặc nhóm lớn, tùy theo mức độ phức tạp của vấn đề cần khám phá. Các dạng hoạt động khám phá trong học tập có thể là: - Trả lời câu hỏi. - Thử nghiệm, đề xuất giả thuyết, phân tích nguyên nhân, thông báo kết quả. 9
- Thảo luận, tranh luận một vấn đề nêu ra hoặc giải các bài toán. Mỗi câu hỏi, bài tập mở là một tình huống toán học và kích thích hoạt động khám phá của học sinh và mở ra nhiều hướng của một chủ đề có ý nghĩa. Giáo viên sử dụng câu hỏi, bài tập mở giúp học sinh phát huy được hết khả năng toán học của mình và cho phép học sinh tiếp cận và khám phá vấn đề theo cách mà các em chọn. Ví dụ 10. Ta xét ví dụ sau về dạy học khám phá nhờ các câu hỏi mở. Bài tập 72 trang 64 sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao. (Hình 6) Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M lần lượt song song với các đường thẳng SA, SB, SC, cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 . a. Gọi N là giao điểm của SA1 và BC , chứng minh các điểm A, M, N thẳng hàng, từ đó suy ra cách dựng điểm A1 . MA1 NM b. Chứng minh  S SA NA MA1 MB1 MC1 c. Chứng minh + + =1. SA SB SC Ta phát biểu bài toán trên thành bài toán C1 A1 K A mở như sau: C N M E Cho hình chóp S. ABC và điểm M nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M lần lượt Hình 6 B song song với các đường thẳng SA, SB, SC, cắt các mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) tại A1 , B1 , C1 . a. Hãy nêu cách dựng điểm A1 , B1 , C1 , và giải thích cách dựng đó. MA1 MB1 MC1 b. Tìm mối liên hệ giữa các hệ thức , , với S MAB , S MAC , SA SB SC S MCB , S ABC ? Có nhận xét gì về tổng MA1 + MB1 + MC1 ? SA SB SC MA1 MB1 MC1 c. Tồn tại hay không điểm M để cho tích . . đạt giá trị SA SB SC lớn nhất? Để giải quyết bài toán trên giáo viên có thể kết hợp nhiều câu hỏi dưới các hình thức kiến tạo, giải quyết vấn đề hoặc khám phá. 10
Do MA1 // SA nên có mp( MA1 , SA ), gọi N là giao điểm của mp( MA1 , SA ) và BC. Từ đó suy ra cách dựng điểm A1 . Do MA1 // SA ta suy ra điều gì ? MA1 NM Khi đó học sinh có thể tìm ra được hệ thức  SA NA NM Tìm hệ thức liên hệ giữa với S MAB , S MAC , S MCB và S ABC ? Hãy chứng NA minh hệ thức đó. NM S MBC Khi đó học sinh đưa ra và chứng minh được hệ thức  NA S ABC MA1 S MBC MB1 S MAC MC1 S MBA Suy ra  . Tương tự  .  . SA S ABC SB S ABC SA S ABC Từ đó học sinh đi đến kết luận MA1 MB1 MC1 S MBC S MAC S MBA MA1 MB1 MC1 + + = + +  + + =1 SA SB SC S ABC S ABC S ABC SA SB SC MA1 MB1 MC1 MA1 MB1 MC1 Do tổng + + =1 nên để tìm GTLN của . . ta sẽ SA SB SC SA SB SC liên hệ đến BĐT nào? Với câu hỏi đó học sinh có thể tìm ra cách sau nhờ BĐT Cauchy. 3  MA1 MB1 MC1    MA1 MB1 MC1  SA  3  SB SC    1   1 . .   SA SB SC  3  3 27     MA1 MB1 MC1 1 Dấu = xảy ra khi = = = SA SB SC 3 NM KM EM 1 Suy ra = =  . Hay M là trọng tâm của tam giác ABC. NA KB EC 3 Qua ví dụ ta thấy giáo viên có thể kết hợp câu hỏi, bài tập mở cùng với các câu hỏi định hướng để dẫn dắt học sinh tìm tòi và khám phá kiến thức. 11
II. MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ TƯ DUY TOÁN HỌC THÔNG QUA DẠY HỌC HÌNH HỌC LỚP 11 BẰNG CÂU HỎI, BÀI TẬP MỞ 1. Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực, phát triển năng lực kiến tạo và khám phá kiến thức cho học sinh a) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở trong việc phát huy tính tích cực học tập của học sinh Người ta phân tính tích cực theo ba cấp độ khác nhau trong hoạt động nhận thức. - Tính tích cực tái hiện dựa vào trí nhớ và tư duy tái hiện. Tính tích cực này chỉ phát huy trong khi hoạt động có ý thức, hoạt động này phục vụ cho sự vận động tiếp theo nào đó. - Tính tích cực tìm tòi được đặc trưng bằng sự bình phẩm, phê phán. cố gắng cao về mặt nhận thức, sự khao khát hiểu biết, vươn lên trong học tập. Tính tích cực này không bị hạn chế bởi yêu cầu của giáo viên trong giờ học. - Tính tích cực sáng tạo là mức độ cao nhất của tính tích cực. Nó đặc trưng bằng sự khẳng định con đường riêng của mình mang tính sáng tạo, không chấp nhận theo con đường củ, phát kiến những giá trị mới trong nhận thức. Trong dạy học toán tính tích cực đều có thể biểu hiện ở ba cấp độ tuỳ thuộc vào nội dung, phương pháp dạy học và đối tượng học sinh. Chúng tôi cho rằng câu hỏi, bài tập mở có thể phát huy tốt cấp độ tìm tòi và sáng tạo. Tính tích cực của nhận thức chỉ được bắt đầu khi mà ta đặt học sinh trước một hình huống có vấn đề. Vì thế trong giờ học giáo viên chú ý nảy sinh thường xuyên các vấn để kích thích tính tích cực học tập của học sinh. Nếu như bài tập đóng thường áp dụng trực tiếp kiến thức, vận dụng các phép tính, công thức, hoặc dễ định hướng lời giải thì câu hỏi, bài tập mở thường đưa học sinh đến thình huống mới lạ, kích thích sự tìm kiếm kết quả và cách thức giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học giáo viên có thể tìm cách thay đổi cấu trúc của bài toán từ bài toán từ dạng đóng sang dạng mở để phát huy tính tích cực của học sinh. Ví dụ 11. Trong hình học phẳng ta có: O Bài toán 1. Cho tam giác OBC, đường thẳng d cắt OB, OC lần lượt tại các điểm B1, C1. (Hình 7) C1 B1 SOB1C1 OB1 OC1 Chứng minh  . SOBC OB OC B C Hãy phát biểu bài toán tương tự trong không gian? Hình 7 12
Câu hỏi này sẽ kích thích học sinh đi tìm sự tương O ứng từ phẳng lên không gian. Đường thẳng tương ứng với mặt phẳng; C1 Tam giác tương ứng với chóp; A1 B1 Diện tích tương ứng với thể tích. A C Học sinh có thể nghĩ đến mệnh đề sau: Bài toán 2. Cho hình chóp O.ABC, nếu mặt phẳng (P) B Hình 8 cắt các cạnh OA, OB, OC lần lượt tại A1, B1, C1 thì VOA1B1C1 OA1 OB1 OC1  . . . (Hình 8) VOABC OA OB OC Ta thấy câu hỏi, bài tập mở nếu được sử dụng một cách hợp lí sẽ góp phần gợi động cơ, tích cực hoá các hoạt động học tập của học sinh . Ví dụ 12: Bài toán 1. Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. b  Tồn tại hay không mặt phẳng ( ) , ( ) lần lượt chứa a, b và song song với nhau ? (Hình 9). a  Học sinh có thể trả lời câu hỏi này bằng cách dựng Hình 9 ( ) và ( ) . Từ đó giáo viên có thể tiếp tục nêu các câu hỏi mở để phát huy tính tích cực cho học sinh như: Cho tứ diện ABCD, qua các cặp cạnh đối của tứ diện tương ứng vẽ các cặp mặt phẳng song song (mỗi mặt chứa cạnh thứ nhất và song song với cạnh thứ hai và ngược lại). Hình tạo bởi giao tuyến của 6 mặt phẳng trên là hình gì? Hãy giải thích kết luận đó. Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì hình tạo thành có đặc điểm gì ? Qua các câu hỏi mở học sinh đã chủ động và tích cực tìm kiếm và đi đến kết quả sau: Cho hình tứ diện ABCD với cách dựng đã nêu ta được hình hộp AEBFHDGC và gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD. Nếu ABCD là tứ diện gần đều thì AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật. (Hình 10) 13
Nếu ABCD là tứ diện gần đều. Hãy so sánh thể tích của ABCD và thể tích của hình hộp? E B VABCD  VAEBFHDGC  VAHDC  VBDGC  VABFC  VABED Mặt khác ta thấy A F 1 VAHDC  VBDGC  VABFC  VABED  VAEBFHDGC G 6 D 1 H C  VABCD  VAEBFHDGC . Hình 10 3 Nếu biết AB = CD = b, AC=BD=c, AD=BC=a, hãy tính thể tích ABCD? Do AEBFHDGC là hình hộp chữ nhật nên tính được a 2  b2  c2 b2  c2  a 2 a 2  c2  b2 HD  , HC  , HA  2 2 2 2  a 2  b 2  c 2  a 2  c 2  b 2  b 2  c 2  a 2  . 1 Suy ra VABCD  12 Học sinh có thể thấy rằng đây cũng là một phương pháp tính thể tích của tứ diện gần đều. Ví dụ 13. Cho hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau, gọi AB là đoạn vuông góc chung ( A  d1 , B  d2 ). Trên d1, d2 lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM  x, BN  y . Tìm mối liên hệ của MN và AB với x, y khi MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB . (Hình 11) Giáo viên có thể định hướng cho học sinh bằng câu hỏi sau: Khi MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB ta suy ra điều gì ? Gọi H là tiếp điểm của mặt cầu đường kính AB với MN. M Suy ra OH  OA  OB A d1  OAM  OHM  AM  HM . Tương tự NB  HN  MN  x  y . O H Độ dài AB và x, y có mối liên hệ gì không? d2 B Các yếu tố vuông góc trong bài toán đã sử dụng N Hình 11 chưa? Quá trình tìm kiếm của học sinh có thể thu được kết quả sau. MN 2  AN 2  AM 2 , AN 2  AB2  BN 2 14
 MN 2  AM 2  AB2  BN 2   x  y   x  y  AB . 2 2 2 2 Suy ra AB2  2xy . b) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực dự đoán và phát hiện vấn đề; khả năng liên tưởng và chuyển di các liên tưởng Xuất phát từ cách hiểu mô hình dạy học theo quan điểm kiến tạo: Tri thức đã có  Dự đoán  Kiểm nghiệm  Thích nghi (nếu thành công)  Kiến thức mới Thất bại  Dự đoán khác Đồng thời căn cứ vào các yếu tố về năng lực tư duy, chúng tôi nhận thấy rằng để phát bồi dưỡng các năng lực Toán học cho học sinh được thì cần chú trọng phát triển các năng lực sau: - Năng lực dự đoán và phát hiện vấn đề, khả năng liên tưởng và chuyển di các liên tưởng. - Năng lực định hướng và tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài toán. - Năng lực huy động kiến thức để giải quyết vấn đề Toán học. Qua nghiên cứu và thực tiễn chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển các năng lực trên. Để có năng lực này học sinh cần được rèn luyện các năng lực thành tố như xem xét các đối tượng Toán học, các quan hệ Toán học trong mối quan hệ giữa cái chung, cái riêng; nắm được mối quan hệ nhân quả, cần có năng lực so sánh phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, tổng quát hoá, năng lực liên tưởng các đối tượng, quan hệ tương tự. Ví dụ 14. Khi học về tích vô hướng của hai véctơ ta có : a.b  a b cos(a, b) . Nếu học sinh xét trường hợp đặc biệt: i, j là các véctơ đơn vị i  1; j  1 và gọi  là góc tạo bởi 2 véctơ A này khi đó ta có i. j  cos . B1 Như vậy khi gặp giá trị lượng giác cosin của một C1 O góc  ta cũng có thể chuyển di sự liên tưởng đến tích vô hướng của hai véctơ đơn vị tạo với nhau một góc  . B A1 C Xét bài toán chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC Hình 12 3 ta có: cosA + cosB + cosC  . 2 15
Gợi ý: Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; A1, B1, C1 là các điểm tiếp xúc của đường tròn (O) với BC, CA, AB.(Hình 12) Gọi , ,  lần lượt là các góc: (OB 1 , OC 1 ) , (OC 1 , OA 1 ) , (OA 1 , OB 1 ) . Khi đó A    B      C  1800 Đặt: OA  e1 , OB  e2 , OC  e3 là các vectơ đơn vị.   Ta có   e2 , e3 ,    e1 , e3  ,   e2 , e1   e  e  e   0 2 Rõ ràng 1 2 3  e    e    e   2e .e  2e .e 2 2 2  1 2 3 1 2 3 2  2e1.e3  0  3 + 2(cos + cos + cos)  0  3 - 2(cosA + cosB + cosC)  0 3  cosA + cosB + cosC  2 Hãy đặt các mối quan hệ tương ứng từ phẳng lên không gian và tìm bất đẳng thức tương tự ? Khi đó học sinh sẽ đặt mối quan hệ tương ứng từ phẳng lên không gian như sau: Tam giác  Tứ diện. Tâm đường tròn nội tiếp  Tâm mặt cầu nội tiếp. Góc ở đỉnh của tam giác  Góc phẳng nhị diện cạnh là các cạnh của tứ diện. Gọi i (i = 1,6 ) là độ lớn sáu góc nhị diện các cạnh A của tứ diện ABCD. D1 O Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD; A1, B1, C1, D1 là các điểm tiếp xúc của mặt cầu (O) với các mặt (BCD), B D A1 (CDA), (DAB), (ABC). (Hình 13) I Kẻ A1I  BC thì OI  BC (Định lý ba đường vuông C Hình 13 góc), từ đó lại theo định lý ba đường vuông góc ta có D1I BC. Vậy D1IA1 là góc nhị diện cạnh BC. Ký hiệu (BC) là độ lớn góc nhị diện cạnh BC Ta có:  BC   D1OA1  180 . 0 Nếu thực hiện phép biến đổi như Bài toán 1 ta thu được điều gì? Khi đó bằng cách chuyển di các liên tưởng đã được học qua Bài toán 1, học sinh biến đổi như sau: Đặt OA1  e1 , OB1  e2 , OC1  e3 , OD1  e4 là các vectơ đơn vị. 16
e  e  2 Khi đó: 1 2  e3  e4 0 4   e i 2 +2 e1 e2 +2 e1 e3 +2 e1 e 4 +2 e2 e3 +2 e2 e 4 +2 e3 e 4 0 i 1  4+2[cos(AB)+cos(BC)+cos(CD)+cos(DA)+cos(AC)+cos(BD)]  0 6  4 - 2 ( cos i )  0 i 1 6  ( cos i )  2. i 1 Qua ví dụ ta thấy có thể sử dụng các câu hỏi, bài tập mở để rèn luyện học sinh năng lực liên tưởng các đối tượng, khả năng tương tự hoá, di chuyển các kĩ năng tương ứng. Đó cũng là một cách thức để rèn luyện năng lực dự đoán và phát hiện vấn đề. c) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực định hướng và tìm tòi cách thức giải quyết vấn đề, tìm lời giải bài toán Theo G.Polya "Có thể coi khát vọng muốn đạt được mục đích là một nhân tố kích thích; nó gợi cho chúng ta những hoạt động có thể dẫn đến mục đích. Kết quả mong muốn sẽ gợi ra những phương tiện. Cho nên, bạn hãy nhằm vào kết quả, đừng lúc nào lơi khỏi mục đích của bạn; mục đích sẽ chỉ hướng cho sự suy nghĩ của bạn". Trong khi ngẫm nghĩ về điểm cuối cùng (kết quả) của một bài toán, chúng ta hy vọng sẽ nãy ra ý về những phương tiện thích hợp để giải bài toán đó, phải vận dụng những cố gắng, phân tích để gợi ra trong trí tưởng tượng của mình những phương tiện thích hợp đó. A Ví dụ 15. Cho tứ diện ABCD, xác định mối liên hệ giữa AB và CD khi CA2  DB2  CB2  AD2 (1).. (Hình 14) Khi gặp bài toán này có thể sử dụng câu hỏi mở để D học sinh tìm tòi phương pháp giải quyết vấn đề như sau: B Hệ thức (1) có đặc điểm gì? E Học sinh có thể nhận thấy hai vế gồm bình phương Hình 14 C những độ dài. Ta có thể khai thác hệ thức (1) như thế nào? Khi đó học sinh có thể nghĩ tới dùng hệ thức Pitago hoặc sử dụng tích vô hướng. 17
Sử dụng theo tích vô hướng ta có. CA2  DB2  CB2  AD2  CA  CB  AD  DB  0 2 2 2 2     BA CA  CB  BA AD  DB     BA CA  AD  CB  DB  0  BA.DC  0 . Suy ra AB  DC . Nếu sử dụng hệ thức Pitago ta cần tạo thêm các yếu tố nào? Dựng AE  CD . Suy ra AC 2  AE 2  CE 2 và AD 2  AE 2  ED 2 (1)  AE 2  CE 2  BD2  AE 2  ED2  BC 2  CE 2  ED2  BC 2  BD2 . Hệ thức cuối chứng tỏ B, E thuộc vào quỹ tích những điểm thuộc mặt phẳng (BCD) mà hiệu bình phương khoảng cách từ đó tới hai điểm C và D không đổi. Vì quỹ tích đó là đường thẳng vuông góc với CD nên BE  CD . Suy ra CD   ABE   CD  AB . Như vậy câu hỏi mở có thể rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện ý tưởng, khả năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau; khả năng nhận dạng các đối tượng và các phương pháp để giải toán. d) Sử dụng câu hỏi, bài tập mở để phát triển năng lực huy động kiến thức giải quyết vấn đề Nhờ quá trình biến đổi vấn đề trong tình huống mới, các bài toán lạ có thể đưa về các vấn đề quen thuộc, các bài toán tương tự đã giải. Quá trình biến đổi chính là quá trình điều ứng để học sinh thích nghi chuyển đến sơ đồ nhận thức mới tương hợp với tình huống mới. S Ví dụ 16. Bài toán 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến (SBD) và K I A D khoảng cách từ trung điểm I của SC đến (SBD). (Hình 15) HO Gợi ý phân tích bài toán: B C Có những cách nào có thể tính được khoảng cách Hình 15 từ A đến mặt phẳng (SBD)? Thông thường học sinh nghĩ đến dựng điểm K là hình chiếu của A lên (SBD) và tính đoạn AK. Hãy nêu cách dựng điểm K và tính đoạn AK? 18
Dựng AH  BD  H  BD  dựng AK  SH . Khi đó K là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD). 1 1 1 1 1 1 2  2  2 . Mặt khác 2  2  AH AS AK AH AB AD 2 1 1 1 1 2a Suy ra 2     AK  . AK AB 2 AD 2 AS 2 3 Ta có thể sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách đó được không? Để học sinh huy động kiến thức ta có thể nêu các câu hỏi mở như sau: Nếu sử dụng phương pháp thể tích ta cần làm như thế nào? Có thể tính được diện tích tam giác SBD không? Ta có SB  2a , SD  5a , BD  5a . 3a 2 Theo công thức Hêrông suy ra SSBD  . 2 1 Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBD) ta có VA.SBD  h.SSBD . 3 1 SA. AB. AD 2a 3 2a Mặt khác VA.SBD  SA. AB. AD  h   2 = . 6 2.SSBD 3a 3 Để tính khoảng cách từ điểm I đến (SBD) giáo viên sử dụng câu hỏi để đưa học sinh đến cấu trúc nhận thức mới . Bài toán 2. Gọi I là trung điểm của đoạn SC, ( ) là C mặt phẳng qua điểm S. So sánh khoảng cách từ I, C đến ( ) . (Hình 16) I Sử dụng kết quả Bài toán 2 ta thấy khoảng cách từ N M I đến (SBD) bằng một nữa khoảng cách từ C dến (SBD).  S Dễ thấy khoảng cách từ C đến (SBD) bằng khoảng Hình 16 2a a cách từ A đến (SBD) và bằng . Suy ra khoảng cách từ I đến (SBD) bằng . 3 3 Qua đó ta thấy trong dạy học, giáo viên có thể sử dụng bài tập mở hoặc câu hỏi mở nhằm cung cấp nhiều tình huống để học sinh tìm tòi, tự nảy sinh các câu hỏi mới, qua đó khám phá và tìm được các nguyên tắc, các mối quan hệ cơ bản của vấn đề và thu được kiến thức mới. Chúng tôi cho rằng đó là một cách để rèn luyện các năng lực đã nêu. 19
2. Xây dựng câu hỏi, bài tập mở và vận dụng vào giảng dạy một số nội dung trong chương trình Hình học 11 hiện hành a) Đặc điểm của sách giáo khoa chương trình Hình học 11 hiện hành * Đặc điểm về nội dung của sách giáo khoa hình học lớp 11 Phần hình học không gian lớp 11 được trình bày trong Chương 2 và Chương 3. Toàn bộ kiến thức được trình bày có hệ thống và được chứng minh khá chặt chẽ. Học sinh được làm quen với các đối tượng cơ bản của hình học không gian sau: - Các khái niệm cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng. - Các quan hệ cơ bản: + Quan hệ liên thuộc: điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đường thẳng nằm trên mặt phẳng. + Quan hệ tương giao: giao của hai đường thẳng, giao của hai mặt phẳng, giao của đường thẳng và mặt phẳng, thiết diện của hình không gian. - Quan hệ song song và quan hệ vuông góc giữa các đối tượng cơ bản. - Các hình không gian, ở lớp 11 chỉ giới thiệu hai loại hình quen thuộc đó là hình lăng trụ, hình chóp và các trường hợp riêng của chúng đặc biệt là các loại tứ diện. Các hình đa diện nói chung cùng với mặt cầu, mặt trụ, mặt nón sẽ được giới thiệu tiếp ở lớp 12. - Hai chủ đề được đề cập một cách chi tiết là khoảng cách và góc: khoảng cách giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm và mặt phẳng, khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách và góc giữa hai mặt phẳng. * Đặc điểm liên quan đến vấn đề sử dụng câu hỏi, bài tập mở Sách giáo khoa mới được biên soạn theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học. - Chú trọng việc xây dựng cho học sinh môi trường học tập tích cực, chủ động và sáng tạo, chú trọng hình thành ở học sinh năng lực tự học, tự tìm tòi khám phá. “Làm cho “Học” là quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin,… tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất. Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh tìm ra chân lí. Chú trọng hình thành các năng lực tự học, sáng tạo, hợp tác, dạy phương pháp và kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học”. - Gợi ý các hình thức tổ chức dạy học làm cho việc học của học sinh trở nên lí thú, gắn bó với thực tiễn, gắn với cuộc sống. Kết hợp việc dạy học cá nhân và việc học theo nhóm, tăng cường sự hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau giữa học sinh trong quá trình giáo dục. 20