Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học các bài toán cực trị modul số phức bằng phương pháp hình học; đề xuất một và biện pháp dạy học các bài toán trên trong dạy học, đồng thời đưa ra những gợi ý, lưu ý về dấu hiệu chuyển hoá ngôn ngữ toán học để giải quyết bài toán theo quan điểm dạy học theo định hướng tiếp cận và phát triển năng lực học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Danh mục chữ cái viết tắt, ký hiệu TT Viết tắt Ý nghĩa 1 BDTH Biểu diễn toán học 2 GQVĐ Giải quyết vấn đề 3 GV Giáo viên 4 HS Học sinh 5 NL Năng lực 6 NNTN Ngôn ngữ tự nhiên 7 NNTH Ngôn ngữ toán học 8 PPDH Phương pháp dạy học 9 SBT Sách bài tập 10 SGK Sách giáo khoa 11 SGV Sách giáo viên 12 THPT Trung học phổ thông 13  Tương đương (Khi và chỉ khi) 14  Suy ra 15  Với mọi 1
MỤC LỤC 1. Đặt vấn đề ........................................................................................................ 3 1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 3 1.2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 4 1.3. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 5 1.4. Phương pháp nghiên cứu. ............................................................................... 5 2. Nội dung nghiên cứu ....................................................................................... 6 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ....................................................... 6 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm...................... 11 2.3. Biện pháp thực hiện...................................................................................... 17 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ........................................................... 58 3. Kết luận .......................................................................................................... 60 2
Phần I. Đặt vấn đề 1.1. Lí do chọn đề tài Công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đòi hỏi giáo dục phổ thông phải có “chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất lẫn năng lực”. Đặc điểm cơ bản của giáo dục định hướng nội dung là chú trọng việc truyền thụ hệ thống tri thức khoa học đã được quy định trong chương trình dạy học. Người ta chú trọng việc trang bị cho học sinh (HS) hệ thống tri thức khoa học khách quan về nhiều lĩnh vực khác nhau. Tuy nhiên chương trình giáo dục định hướng nội dung chưa chú trọng đầy đủ đến chủ thể người học cũng như đến khả năng ứng dụng tri thức đã học trong những tình huống thực tiễn. Mục tiêu dạy học trong chương trình định hướng nội dung được đưa ra một cách chung chung, không chi tiết và không nhất thiết phải quan sát, đánh giá được một cách cụ thể nên không đảm bảo rõ ràng về việc đạt được chất lượng dạy học theo mục tiêu đã đề ra. Môn Toán là môn học không chỉ trang bị cho HS những tri thức toán học chính xác mà còn “hình thành ở HS những phương pháp suy nghĩ và làm việc của khoa học toán học”. Hơn nữa, “một trong những tư tưởng cơ bản của văn hóa toán học trong nhà trường là: toán học dành cho mọi người hay toán học dành cho mỗi người, chứ không phải toán học chỉ dành riêng cho một số người”. Trong chương trình Trung học phổ thông (THPT), môn toán tiếp tục tiếp nối chương trình Trung học cơ sở, cung cấp vốn văn hoá toán phổ thông một cách có hệ thống và tương đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng và phương pháp tư duy. Quan điểm dạy học (DH) hình thành năng lực toán học cho HS thông qua hoạt động và bằng hoạt động học tập đã được nhiều nhà giáo dục toán học khẳng định. Việc đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) theo định hướng lấy HS làm trung tâm đã được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Tuy nhiên, có thể nói cho đến nay, “không có nhiều bằng chứng cho thấy có sự thay đổi đáng kể trong PPDH” [4]. Trong các lớp học, mặc dù đã có cải tiến đôi chút về biện pháp, kĩ thuật DH và phương tiện DH nhưng vẫn chưa thay đổi bản chất của DH lấy giáo viên (GV) làm trung tâm [4]. Thông qua khảo sát phiếu hỏi, dự các giờ dạy thực tập, thao giảng, thi giáo viên dạy giỏi cấp trường môn toán ở THPT, và nghiên cứu vở ghi, bài kiểm tra môn toán, cho thấy: i) Nhiều GV chưa chịu khó đổi mới PPDH; chưa sáng tạo, mạnh dạn thiết kế các hoạt động học tập mang lại hiệu quả để tổ chức cho HS tham gia các hoạt động học tập nói chung và tham gia các hoạt động biểu diễn toán học (BDTH) của cùng một khái niệm toán học nói riêng. ii) một số bộ phận giáo viên và học sinh hài lòng với cách làm như sách hướng dẫn, mà ở đó, thường quá tập trung vào các phép suy luận logic; ít quan tâm đến việc định hướng cho học sinh tìm tòi lời giải bài toán một cách có hệ thống; việc tổ chức các hoạt động nghiên cứu sâu lời giải không chú trọng dẫn 3
đến bỏ lỡ cơ hội bồi dưỡng năng lực BDTH cho học sinh. iii) Học sinh còn gặp nhiều khó khăn khi tham gia giao tiếp và tự mình trình bày các nội dung toán học; lúng túng khi sử dụng các BDTH của cùng một khái niệm toán học. iv) Học sinh còn gặp khó khăn khi giải các bài toán được phát triển từ các bài toán cơ bản, nói cách khác học sinh không được tiếp cận, tìm kiếm các giải pháp toán học trong học tập và thực tiễn một cách có hệ thống; các kiến thức trong cùng một hệ thống không được kết nối một cách tự nhiên, liền mạch, dẫn đến việc tiếp cận các bài toán trong các tình huống mới một cách thụ động, không bản chất. Thực tế trong đào tạo, bồi dưỡng GV hiện nay cũng chưa đề cập nhiều đến BDTH trong DH toán ở phổ thông, đã có một số đề tài nghiên cứu giải một số bài toán dựa vào bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số. Song, chưa có đề tài nào nghiên cứu một cách có hệ thống về BDTH trong DH. Điều này dẫn đến một thực tế khi học toán, HS thiếu chủ động, không tự tin, mắc một số sai lầm thường gặp, thiếu môi trường và động lực tham gia hoạt động học tập. HS thiếu sự linh hoạt trong vận dụng toán học vào giải quyết các vấn đề liên quan đến nội bộ của toán học và thực tiễn cuộc sống đặt ra. Việc xây dựng và tổ chức được các tình huống học tập để HS tham gia hoạt động BDTH của cùng một khái niệm; nghiên cứu sâu lời giải; xem xét mỗi liên hệ giữa bài toán với các kiến thức liên quan trong nội bộ toán học một cách có hệ thống, khoa học không chỉ là tiền đề kích thích các hoạt động nói trên; hạn chế các sai lầm các em thường gặp; tự tin, tạo hứng thú trong học tập; chủ động vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề liên quan đến nội bộ toán học. Ngoài ra, việc xây dựng và tổ chức được các tình huống học tập như trên còn góp phần làm rõ thêm định hướng đổi mới DH theo định hướng phát triển năng lực toán học cho người học; nâng cao trách nhiệm và tính tích cực, chủ động của người học trong sự hiểu biết toán học; tạo dựng nên vốn kiến thức vững chắc của bản thân; hình thành và phát triển khả năng kết nối toán học với thực tiễn. Trong bối cảnh đổi mới giáo dục toán học phổ thông, việc nghiên cứu xây dựng các biện pháp bồi dưỡng năng lực BDTH cho HS trong DH toán càng trở nên cần thiết, hướng tới việc hình thành, phát triển năng lực và phẩm chất cho người học. Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”. 1.2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của vấn đề phát triển năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học thông qua dạy học các bài toán cực trị modul số phức bằng phương pháp hình học; đề xuất một và biện pháp dạy học các bài toán trên trong dạy học, đồng thời đưa ra những gợi ý, lưu ý về dấu hiệu chuyển hoá ngôn ngữ toán học để giải quyết bài toán theo quan điểm dạy học theo định hướng tiếp cận và phát triển năng lực học sinh. 4
1.3. Đối tượng nghiên cứu Sự cần thiết của phát triển năng lực biểu diễn toán học trong dạy học bộ môn Toán ở trường THPT. Một số năng lực chung cốt lõi mà môn Toán tiềm ẩn cơ hội hình thành và phát triển cho học sinh. Một số biện pháp góp phần phát triển năng lực biểu diễn toán học ở trường Trung học phổ thông hiện nay. Nghiên cứu cách thức tiếp cận, dấu hiệu nhận biết các biểu diễn toán học của khái niệm đồng biến và nghịch biến của hàm số. Thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi và hiệu quả của việc “Phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số”. 1.4. Phương pháp nghiên cứu. 1.4.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận. Tìm hiểu SGK, SBT, SGV giải tích lớp 12 chương trình cơ bản, chương trình nâng cao; nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của sáng kiến kinh nghiệm. Nghiên cứu đổi mới đồng bộ PPDH, KTĐG trong giáo dục THPT theo định hướng tiếp cận năng lực. Tài liệu thực hành giới thiệu PISA và các dạng câu hỏi được OECD phát hành. 1.4.2. Phương pháp điều tra - quan sát. Nghiên cứu thực trạng dạy và học Giải tích lớp 12 chương trình chuẩn tại trường THPT qua các hình thức: quan sát, sử dụng câu hỏi, phỏng vấn trực tiếp GV, HS ở trường THPT. 1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm. Tổ chức dạy thực nghiệm, làm bài kiểm tra tại trường THPT để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các nội dung nghiên cứu đã được đề xuất. 5
Phần II. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1. Năng lực biểu diễn toán học 2.1.1.1. Quan niệm về biểu diễn toán học Theo Từ điển từ và ngữ Việt Nam, biểu diễn: “ghi bằng hình vẽ hoặc kí hiệu” [12]; một số trang từ điển trực tuyến cũng mô tả biểu diễn: “Diễn tả bằng công thức hoặc hình vẽ” (Từ điển Tra từ); “Diễn tả bằng kí hiệu hoặc hình vẽ” (Từ điển Lạc Việt). Theo Gerald Goldin và Nina Shteingold, một biểu diễn thường là một dấu hiệu hoặc một hình dạng của các dấu hiệu, ký tự hoặc các đối tượng có thể đại diện (tượng trưng, phản ánh, mã hóa, hoặc mô tả) cho một cái gì đó khác hơn chính nó [4]. Hiệp hội quốc gia các GV toán (NCTM, 2000) cho rằng biểu diễn được hiểu là một tổ chức các hình ảnh, kí hiệu (dấu hiệu trên giấy, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, đồ thị, phác thảo hình học, các phương trình) [4]. Các tác giả Hoàng Chúng, Hà Sĩ Hồ, Nguyễn Bá Kim tuy không dùng thuật ngữ “biểu diễn” nhưng khi nói đến NNTH đã quan tâm tới loại ngôn ngữ sơ đồ, đồ thị, hình ảnh, tranh vẽ...và nhấn mạnh cần rèn luyện cho HS nắm vững, sử dụng và phiên dịch chúng sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và NNTN (dẫn theo [7]). Trong nghiên cứu của mình, chúng tôi quan niệm rằng, BDTH là việc sử dụng, sắp xếp các thuật ngữ, kí hiệu, hình ảnh (sơ đồ, biểu đồ, hình vẽ, đồ thị, dấu hiệu trên giấy, phác thảo hình học,...) hay các đối tượng cụ thể hàm chứa nội dung toán học để mô tả, tượng trưng hoặc đại diện cho một đối tượng, quan hệ hay một qui trình toán học. Quan niệm trên cho thấy: BDTH gồm các biểu diễn trên các đối tượng thực (các đối tượng, quan hệ trong cuộc sống tự nhiên – xã hội), các biểu diễn trực quan (sử dụng các đồ thị, sơ đồ, bảng biến thiên,...) và các biểu diễn ngôn ngữ (các thuật ngữ, công thức, kí hiệu toán học...). Nói cách khác, BDTH là sự trình bày một nội dung toán học bằng các thuật ngữ, kí hiệu, biểu tượng. BDTH có thể thay đổi tùy theo bối cảnh hoặc theo cách mà ta sử dụng các biểu diễn. BDTH cũng được xem là kết quả của quá trình BDTH. Mối quan hệ giữa ngôn ngữ toán học và các biểu diễn tương tự như mối quan hệ giữa ngôn ngữ và lời nói, ngôn ngữ toán học là phương tiện giao tiếp, là công cụ để tư duy dưới dạng vật chất tiềm tàng, các biểu diễn là phương tiện, công cụ ở dạng hiện thực hóa, tức là ở dạng hoạt động, gắn liền với những nội dung toán học cụ thể. 2.1.1.2. Năng lực biểu diễn toán học 6
Quan niệm về năng lực biểu diễn toán học Theo OECD, biểu diễn là năng lực cơ bản và rất quan trọng cho hiểu biết toán học. Theo đó, năng lực BDTH là khả năng sử dụng và thao tác thành thạo nhiều loại biểu diễn khác nhau cho các đối tượng và tình huống toán học. Các biểu diễn bao gồm: đồ thị, bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ, văn bản cũng như các biểu diễn đại số và biểu diễn kí hiệu toán học khác. Trung tâm của năng lực này là khả năng hiểu và sử dụng mối quan hệ giữa các biểu diễn khác nhau [4]. Như vậy, BDTH (với nghĩa năng lực) được nhắc đến là khả năng biểu diễn bằng kí hiệu, đồ thị, bảng biểu, biểu đồ, hình ảnh, sơ đồ và kể cả văn bản. Vận dụng các kết quả nghiên cứu về BDTH nói trên, xem xét năng lực BDTH là một dạng thức của năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học, có sự tương giao với năng lực giao tiếp toán học, chúng tôi quan niệm rằng: năng lực BDTH là khả năng hiểu, sử dụng, lựa chọn, tạo ra và chuyển đổi các BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ, mô tả, giải thích, lập luận, kết nối và trao đổi các ý tưởng trong giải quyết các vấn đề toán học. Rõ ràng, các biểu diễn toán là các mô hình nhận thức mà người dạy và người học có thể khai thác, tận dụng một cách hiệu quả để thúc đẩy việc hiểu biết toán và khám phá toán học. Nhiều nghiên cứu cho thấy, kĩ năng BDTH của HS là chìa khóa dẫn đến thành công trong giải quyết vấn đề. Việc học tập của HS cần luôn hướng đến việc hình thành kết nối giữa các loại biểu diễn khác nhau như: vật liệu, tranh ảnh, các biểu tượng, các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu, bảng,...; biểu diễn bằng lời nói và bằng hình ảnh; biểu diễn bên trong và biểu diễn bên ngoài. 2.1.1.3. Các biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH Khung đánh giá lớp học toán xác định năng lực BDTH bao gồm: (1). Giải mã, giải thích và phân biệt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của các đối tượng và tình huống toán học, mối tương quan giữa các cách biểu diễn khác nhau; (2). Lựa chọn và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn khác nhau tùy theo tình huống và mục đích [16]. Các quan niệm trên đều tập trung vào khả năng hiểu và sử dụng BDTH của HS trong học tập toán. GV cần phải biết tạo ra và hướng dẫn HS tạo ra các sơ đồ, mô hình, biểu đồ,... cần thiết cho việc tư duy, ghi nhớ trong học tập. Trên cơ sở đó, chúng tôi xác định 3 thành tố và các biểu hiện đặc trưng của năng lực BDTH bao gồm: Thành tố Biểu hiện đặc trưng 1. Hiểu và sử dụng hiệu quả các BDTH 1.1. Phân biệt, hiểu đúng nội dung của để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội các đối tượng và quan hệ toán học dung toán học trong các BDTH. 1.2. Sử dụng được hệ thống BDTH để suy nghĩ, ghi nhớ hay trình bày nội dung toán học. 7
2. Liên kết, biến đổi hoặc tạo ra các 2.1. Biết liên kết, biến đổi các biểu BDTH phù hợp để tìm kiếm ý tưởng, diễn để kết nối, lập luận, chứng minh; giải pháp hoặc giải quyết vấn đề toán tìm kiếm giải pháp, ý tưởng toán học. học 2.2. Tạo ra các BDTH phù hợp để biểu thị các đối tượng, quan hệ hay phương án giải quyết vấn đề toán học trong các tình huống khác nhau 3. Lựa chọn, chuyển đổi các BDTH 3.1. Lựa chọn cách BDTH hợp lí trong thuận lợi trong nhận thức, thực hành, các tình huống học tập đa dạng. ghi nhớ và giao tiếp toán học. 3.2. Chuyển đổi giữa các dạng BDTH thuận lợi cho nhận thức, thực hành, ghi nhớ và GTTH. 3.3. Phiên dịch từ NNTN sang các BDTH để mô hình hóa, phù hợp với bối cảnh cụ thể, tạo hiệu quả trong tư duy và giao tiếp. Năng lực BDTH được hình thành và phát triển qua các hoạt động BDTH. Ở đó, HS được tập luyện sử dụng các BDTH, khai thác, lựa chọn, biến đổi và tạo ra các BDTH khác nhau để giải quyết các vấn đề toán học. Qua đó, HS nhận ra tính đơn giản và hiệu quả của các dạng biểu diễn, vai trò của biểu diễn trong giao tiếp cũng như trong nhận thức toán học (tư duy). 2.1.1.4. Các mức độ năng lực biểu diễn toán học Với cách nhìn nhận năng lực BDTH của HS thể hiện qua mức độ và chất lượng thực hiện các hoạt động BDTH, trong tương quan so sánh với các bạn cùng trang lứa, vận dụng cách xây dựng mức độ hiểu biết toán học theo PISA và căn cứ vào kết quả khảo sát năng lực của HS lớp 12, dự giờ, phân tích, tìm hiểu vở ghi, các bài kiểm tra toán của HS, chúng tôi đề xuât 5 mức độ năng lực BDTH được sử dụng trong nghiên cứu của đề tài như sau: Mức độ 1: Hiểu được nội dung các biểu diễn quen thuộc cho các đối tượng và quan hệ toán học. Còn gặp khó khăn và nhiều sai sót trong việc sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ,... Mức độ 2: Bước đầu sử dụng các BDTH quen thuộc để mô tả, minh họa cho một đối tượng hay quan hệ toán học nhưng chưa chính xác, rõ ràng, đầy đủ. Mức độ 3: Sử dụng được các biểu diễn toán học để biểu thị các đối tượng và các quan hệ toán học có tính qui luật tương đối phù hợp. Mức độ 4: Sử dụng hiệu quả các BDTH trong tư duy và giao tiếp. Giải thích, đánh giá được các dạng biểu diễn khác nhau. Tạo ra hoặc kết nối các biểu diễn để mô hình hóa (ở dạng đơn giản) trong giải quyết vấn đề toán học. 8
Mức độ 5: Vận dụng linh hoạt, sáng tạo các BDTH trong phân tích, tổng hợp, suy luận, khái quát hóa và chứng minh toán học. Sử dụng và tạo ra các BDTH phù hợp để mô hình hóa trong giải quyết các vấn đề toán học gắn với bối cảnh cụ thể. 2.1.2. Vai trò của biểu diễn toán học trong dạy học bộ môn toán Trong dạy học toán, BDTH vừa hỗ trợ phát triển khả năng suy luận, nhận thức toán học vừa là phương tiện để trao đổi thông tin về nội dung toán học mà nó làm đại diện. Trong thực tế, vì bản chất trừu tượng của toán học, mọi người có thể tiếp cận đến ý tưởng toán học thông qua các đại diện của chúng. Từ quan điểm của ngôn ngữ toán học, có thể thấy năng lực BDTH có sự gắn kết chặt chẽ với khả năng giải mã, tạo mã, chọn mã và chuyển mã bằng ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ biểu tượng, ngôn ngữ hình thức và mối quan hệ của chúng với ngôn ngữ tự nhiên. Trong dạy học toán, việc thiết lập được nhiều BDTH khác nhau cho cùng một khái niệm có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS một cách chắc chắn. HS có thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển từ biểu diễn này sang kiểu biểu diễn khác của cùng khái niệm đó [14],[17]. Biểu diễn toán học còn là những cách cụ thể hóa khác nhau cho một khái niệm, được sử dụng để giảm bớt độ khó và làm cho toán học hấp dẫn, thú vị hơn. HS sử dụng biểu diễn để hỗ trợ giải quyết vấn đề toán học hoặc học các khái niệm mới. Bởi vậy, biểu diễn là một phần không thể tách rời trong quá trình nhận thức toán học của HS Không chỉ sử dụng các BDTH, HS cần có khả năng tạo ra các biểu diễn cho riêng mình (biểu diễn không theo qui ước), điều này tiềm ẩn một nội lực sáng tạo mạnh mẽ, một sự linh hoạt về ngôn ngữ, khả năng hiểu biết toán học vượt trội trongcác tìn h huống học tập, đặc biệt khi toán học được đặt trong những bối cảnh cụ thể. Niss Mogens khẳng định mỗi năng lực dựa trên những kiến thức và kỹ năng cụ thể để thực hiện một loại hoạt động toán học và mô tả mối quan hệ này bằng hình ảnh “Bông hoa năng lực” (hình bên). Theo đó, Niss Mogens xác định năng lực BDTH thuộc cụm năng lực sử dụng ngôn ngữ và các công cụ toán học (the ability to deal with mathematical language and tools) [16]. Nói cách khác, BDTH liên quan đến sự hiểu biết, sử dụng ngôn ngữ và công cụ toán học để giải quyết các bài toán của cùng một khái niệm. 9
Như vậy, có thể khẳng định năng lực BDTH có vai trò quan trọng, góp phần phát triển tư duy, đóng góp tích cực vào việc hình thành phát triển các năng lực toán học. Bồi dưỡng năng lực BDTH cho HS là nội dung quan trọng nhằm nâng cao kết quả học tập toán của HS. Trong dạy học toán, thông qua các hoạt động ngôn ngữ, HS học cách sử dụng ngôn ngữ toán học để suy nghĩ, để lưu trữ thông tin, để chuyển tải các ý tưởng toán học, đưa ra lập luận, chứng minh, giải quyết vấn đề toán học và thực tiễn nhằm nâng cao kết quả học tập môn toán. 2.1.3. Quan điểm hoạt động trong hình thành và phát triển năng lực BDTH Xuất phát từ phạm trù hoạt động trong triết học Mác, các lí thuyết và thực nghiệm của L.X. Vưgôtxki và A. N. Leonchev đã đặt nền móng cho phương thức DH mới trong nhà trường: Dạy HS hoạt động và bắt đầu từ hoạt động thực tiễn bên ngoài, sau đó chuyển vào hoạt động bên trong. Nhà trường không có sứ mệnh nào khác ngoài việc dạy và tổ chức cho HS hoạt động, để thông qua đó dạy cách sáng tạo ra nhân cách các em [13]. Đối với học sinh THPT, hoạt động học tập là hoạt động giữ vai trò chính trong việc tạo lập nền học vấn cơ bản, góp phần phát triển toàn diện và hình thành nhân cách HS [5]. Qua hoạt động học tập, HS có được các khái niệm khoa học và bước đầu nhận thức về các quy luật của các sự vật, hiện tượng. Theo quan điểm hoạt động, quá trình DH là một quá trình điều khiển hoạt động học tập của HS nhằm thực hiện các mục tiêu DH. Xuất phát từ một nội dung bài học, cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nội dung đó rồi căn cứ vào mục tiêu DH mà chọn ra và cho HS tập luyện một số trong các hoạt động đã phát hiện được. Như vậy, quan điểm hoạt động trong DH hình thành và bồi dưỡng năng lực BDTH cho HS thể hiện ở các tư tưởng chủ đạo sau: i) Cho HS thực hiện và tập luyện các hoạt động BDTH tương thích với nội dung và mục tiêu DH. Các hoạt động BDTH gồm: 1) Hoạt động nhận biết và hiểu được nội dung toán học của các BDTH một cách chính xác, logic, hệ thống (hoạt động giải mã); 2) Hoạt động liên kết, biến đổi hoặc tạo ra các BDTH phù hợp với các tình huống, bối cảnh cụ thể (hoạt động tạo mã); 3) Hoạt động lựa chọn, chuyển đổi các BDTH trong quá trình nhận thức, thực hành, ghi nhớ và giao tiếp toán học (hoạt động chọn và chuyển mã). ii) Gợi động cơ cho các hoạt động học tập. Chú ý gợi động cơ mở đầu, ở những bước trung gian và thậm chí cả khi kết thúc bài dạy [9]. Vận dụng lí thuyết về “vùng phát triển gần” của L.X Vưgôtxki, GV sử dụng các câu hỏi, các mô hình, hình ảnh có chứa đựng những vấn đề toán học liên quan để HS lắng nghe, quan sát. Qua đó, GV gợi trí tò mò, tạo hứng thú, sự tự tin, cởi mở để HS tích cực, chủ động tham gia các hoạt động BDTH. iii) Kiến tạo tri thức về BDTH bằng ngôn ngữ toán học như là phương tiện và kết quả của hoạt động. Quá trình tiếp nhận, hiểu và sử dụng ngôn ngữ toán học phải được thực hiện thông qua các hoạt động học tập theo quan điểm “học 10
trong hoạt động và bằng hoạt động”. Đó vừa là mục tiêu, vừa là cách thức để bồi dưỡng năng lực BDTH và GTTH. Trong quá trình học tập môn toán, HS thực hiện 5 dạng hoạt động học tập chủ yếu: Nhận dạng và thể hiện; Những hoạt động toán học phức hợp; Những hoạt động trí tuệ phổ biến; Những hoạt động trí tuệ chung; những hoạt động ngôn ngữ [8], [10], [11]. Để thực hiện hiệu quả các hoạt động học tập nêu trên, không thể không có các hoạt động BDTH với vai trò vừa là phương tiện vừa là hoạt động thành phần quan trọng của các hoạt động học tập nói trên. 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1. Các vấn đề trong chương trình giáo dục phổ thông 2.2.1.1. Nội dung chương trình toán học THPT Các bài tập liên quan đến xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trong sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12 mới chỉ đề cập tới một số dạng bài tập như: xét tính đồng biến của các hàm số cho bởi công thức cụ thể; ứng dụng tính đồng biến nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức, bất phương trình. Hệ thống bài tập xét tính đơn điệu của hàm số biểu diễn bằng đồ thị của hàm số y = f ( x ) ; đồ thị của hàm số y = f  ( x ) ; bảng xét dấu của đạo hàm f  ( x ) ; bẳng biến thiên của hàm số y = f ( x ) , ... Đặc biệt, các bài toán nâng cao từ các dạng toán nêu trên xuất hiện rất nhiều trong kỳ thi THPT QG vài năm trở lại đây hầu như SGK, SBT không đề cập đến. Đổi mới kiểm tra, đánh giá trong dạy học, đặc biệt là kỳ thi THPT QG đã góp phần không nhỏ cho công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện trong giáo dục và đào tạo của nước nhà. Song, vẫn còn một bộ phận giáo viên chưa thật sự thay đổi; chưa chịu khó đổi mới hình thức dạy học, kiểm tra đánh giá; chưa ứng dụng công nghệ thông tin để bắt kịp với công cuộc đổi mới căn bản, toàn diện. Do đó, học sinh khó có cơ hội để được tìm tòi, khám phá, giải quyết các bài toán của cùng khái niệm bằng các BDTH khác nhau; dẫn đến hạn chế các hoạt động tư duy, khả năng giao tiếp và hoạt động sử dụng NNTH đối với học sinh. 2.1.1.2. Thời lượng dạy học Thời lượng chính khóa dành cho môn toán gần như chỉ đủ để giải quyết các bài toán cơ bản của sách giáo khoa. Thời gian ngoài giờ chính khóa thì giáo viên chưa quan tâm, đầu tư thời gian; chưa mạnh dạn tổ chức dạy học theo chủ đề. 2.2.1.3. Cơ sở vật chất, thiết bị dạy học Cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học khá đầy đủ. Song, việc ứng dụng CNTT còn nhiều hạn chế. SGK viết các dạng bài toán trên còn ít, các tài liệu hướng dẫn cách tiếp cận các bài toán trên một cách khoa học chưa nhiều. 2.2.2. Các vấn đề về phong cách học tập của người học 11
Học sinh là nhân tố quyết định trong quá trình dạy học, phong cách học tập của người học ảnh hưởng lớn đến việc đổi mới giáo dục. Thực tiễn cho thấy, phong cách học tập của người học hiện nay có một số vấn đề: Học tập một cách thụ động, máy móc. Mục đích, động cơ học tập chính của học sinh không phải là để phát triển năng lực BDTH mà là để vượt qua các kỳ thi. Học sinh học tập với phương châm thi gì học nấy, nên chỉ chú trọng vào nội dung, các dạng toán thường gặp trong các kỳ thi; các kiến thức cơ bản không hiểu một cách chắc chắn; chưa chú trọng rèn luyện phương pháp đọc SGK, tài liệu học tập từ đó tự biết cách tìm lại những kiến thức đã học tìm tòi, suy luận kiến thức mới. Trong giải toán học sinh chưa chú trọng đến việc giải quyết các bài toán của cùng khái niệm bằng các BDTH khác nhau; các bài toán vận dụng tiếp cận lời giải một cách không hệ thống, chưa khoa học. 2.2.3. Các vấn đề về phương pháp dạy học của giáo viên Hoạt động đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học phổ thông chưa mang lại hiệu quả cao. Truyền thụ tri thức một chiều vẫn là phương pháp dạy học chủ đạo của nhiều giáo viên. Số giáo viên thường xuyên chủ động, sáng tạo trong việc phối hợp các phương pháp dạy học cũng như sử dụng các phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo của học sinh còn chưa nhiều. Dạy học vẫn nặng về truyền thụ kiến thức lí thuyết. Chưa thật sự đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn giáo án; chưa mạnh dạn tạo điều kiện, cung cấp đầy đủ cơ hội để học sinh được tìm tòi, khám phá, sáng tạo. Việc ứng dụng công nghệ thông tin - truyền thông, sử dụng các phương tiện dạy học chưa được thực hiện rộng rãi và hiệu quả trong các trường trung học phổ thông [13], [14]. Đặc biệt, chưa mạnh dạn thiết kế các hoạt động giải quyết các bài toán của cùng khái niệm bằng các BDTH khác nhau nhằm giúp học sinh phát triển năng lực BDTH; các bài toán vận dụng phát triển từ các bài toán cơ bản đưa vào giảng dạy trình bày, sắp xếp chưa thật sự khoa học, hợp lí. Từ những hạn chế trên cùng với định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông thì mọi GV phải chủ động trong công tác đổi mới PPDH theo định hướng tiếp cận năng lực. Có thể thực hiện bằng cách tổ chức hoạt động học tập cho học sinh dưới nhiều hình thức đa dạng, phong phú như: Hoạt động ngoại khóa, chuyên đề, dạy học chủ đề, hoạt động trải nghiệm, khám phá,… 2.2.4. Kết quả khảo sát thực trạng 2.2.4.1. Đối với giáo viên Thông qua điều tra, phỏng vấn một số GV ở trường THPT đa số các giáo viên đều có chung một số quan điểm, tổng hợp các ý kiến tôi xin trích dẫn một số quan điểm chung của các GV trường THPT sau khi được hỏi như sau: 12
- Hỏi: Trong hoạt động luyện tập giải bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (lớp 12) thầy (cô) thường thiết kế hoạt động cho học sinh luyện tập như thế nào? - Trả lời: Chia thành các dạng toán. - Hỏi: Trong mỗi dạng toán, theo thầy (cô) thiết kế các bài tập cho học sinh luyện tập như thế nào? - Trả lời: Thường thì thiết kế các bài tập theo các mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. - Hỏi: Theo thầy (cô) để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) thì giả thiết cần có là gì? - Trả lời: Cho công thức của hàm số y = f ( x ) hoặc cho bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) hoặc cho đồ thị của hàm số y = f ( x ) ,… - Hỏi: Khi tổ chức các hoạt động dạy học xét sự biến thiên của hàm số thông qua bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số,… thì theo thầy (cô) tổ chức định hướng giúp học sinh tìm tòi lời giải như thế nào? - Trả lời: Đây là các bài toán cơ bản, đa số học sinh “làm đúng” nên việc định hướng không thật sự cần thiết. Hơn nữa, phần này không nhất thiết phải hướng dẫn kỹ, chi tiết. - Hỏi: Theo thầy (cô) khi dạy học luyện tập các bài tập cơ bản sự đồng biến, nghịch biến của hàm số cần chú trọng đến rèn luyện các hoạt động trí tuệ chung nào? Tổ chức cho học sinh nghiên cứu sâu lời giải như thế nào? - Trả lời: Việc dạy học luyện tập phần này thông thường cần chú trọng đến các hoạt động phân tích, tổng hợp. Còn các hoạt động khác như: so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa chưa thực hiện được. Việc tổ chức nghiên cứu sâu lời giải chưa thực hiện được. - Hỏi: Theo thầy (cô) khi dạy học luyện tập các bài tập cơ bản sự đồng biến, nghịch biến của hàm số học sinh thường gặp phải những sai lầm nào? Cách khắc phục? - Trả lời: + Lấy nhầm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) trên khoảng giá trị của hàm số biết đồ thị của nó; + Nhầm lẫn cách lấy khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) khi cho đồ thị f  ( x ) với bài toán tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) khi cho đồ thị của nó; + Đối với bài toán tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) khi cho biết bảng biến thiên của nó thì HS nhầm lẫn khi qan sát mũi tên đi lên hoặc mũi tên đi xuống trên khoảng giá tri của hàm số; 13
- Hỏi: Khi dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến đối với một số bài toán vận dụng, vận dụng cao thầy cô gặp phải khó khăn gì? Chẳng hạn, khi giải các bài toán dưới đây: Bài toán 1. Cho hàm số y = f ( x ) , có bảng xét dấu f  ( x ) như sau: x − −1 2 + f ( x ) − 0 + 0 − Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x + 2 ) . Bài toán 2. Cho hàm số f ( x ) , có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g ( x ) = f ( 5 − 2 x ) . Bài toán 3. Cho hàm số f ( x ) , có đồ thị hàm số f  ( x ) như hình vẽ dưới đây Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số g ( x ) = f (1 − 5x ) - Trả lời: Đối với bài toán 1, hướng dẫn học sinh tịnh tiến đồ thị hàm số y = f ( x ) theo chiều âm của trục Ox hai đơn vị ta được đồ thị hàm số y = f ( x + 2 ) hoặc lập bảng xét dấu f  ( x + 2 ) . Từ đó, suy ra tính đơn điệu của hàm số y = f ( x + 2) . Đối với bài toán 2, bài toán 3 gặp phải khó khăn khi hướng dẫn học sinh lập bảng xét dấu g  ( x ) - Hỏi: Theo thầy (cô) gợi động cơ như thế nào để tổ chức cho học sinh tìm lời giải các bài toán trên? - Trả lời: 14
Thông thường lồng vào các dạng câu hỏi trắc nghiệm tổ chức cho các em luyện tập Như vậy, qua hình thức phỏng vấn trực tiếp các giáo viên chúng ta có thể khẳng định rằng: Thứ nhất: Một số giáo viên dạy học bài tập chưa thật sự nắm vững lí luận PPDH; dạy học các tình huống điển hình như: khái niệm, quy tắc, định lí còn vội vàng. Đặc biệt, dạy học các kiến thức cơ bản chưa chú trọng; chủ quan trong việc định hướng HS tìm tòi lời giải; chưa khai thác hết các dạng BDTH của cùng một khái niệm; ý nghĩa và ứng dụng của nó giải thích cho học sinh chưa thật sự thấu đáo; ít tổ chức cho học sinh hoạt động nghiên cứu sâu lời giải một cách có hệ thống. Dẫn đến việc học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản không chắc chắn, dẫn đến mắc phải nhiều sai lầm cơ bản khi giải toán. Thứ hai: Tổ chức các hình thức dạy học trên lớp, ngoài lớp chưa thật sự phong phú và đa dạng, phương pháp tổ chức dạy học vẫn còn nặng về kiến thức hàn lâm; chưa thật sự đầu tư thời gian cho việc thiết kế các hoạt động để từ đó khuyến khích các em phản ánh tư tưởng và hành động; khuyến khích học sinh mạnh dạn nghiên cứu sâu lời giải thông qua các hoạt động như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa hoặc khái quát hóa bài toán, xét xem mỗi liên hệ giữa khái niệm với các kiến thức trong nội bộ toán học, để từ đó giải quyết một số tình huống mới. Dẫn đến học sinh thụ động trong việc tìm cách giải quyết các bài toán trong những tình huống mới; hạn chế việc phát triển các hoạt động trí tuệ chung, NL BDTH, NL giao tiếp toán học ở học sinh. Thứ ba: Hầu hết giáo viên và học sinh hài lòng với cách làm như sách hướng dẫn, mà ở đó, thường quá tập trung vào các phép suy luận logic và bỏ lỡ cơ hội bồi dưỡng năng lực BDTH cho học sinh. Thứ tư: Chưa mạnh dạn thiết kế các hoạt động dạy học, kiểm tra đánh giá theo định hướng và phát triển năng lực của học sinh; chưa tạo điều kiện, chưa cung cấp đầy đủ cơ hội để học sinh tìm tòi, khám phá, sáng tạo kiến thức mới; chưa chú trọng việc rèn luyện cho học sinh tri thức phương pháp; chưa tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động trí tuệ chung, ... dẫn đến những hạn chế ở học sinh về NL GQVĐ, NL BDTH, NL giao tiếp, NL hợp tác, NL làm chủ bản thân, khó khăn khi gây hứng thú, lôi kéo HS tham gia hào hứng môn học. 2.2.4.2. Đối với học sinh Qua trao đổi, phỏng vấn một số em HS lớp 12 các em đều có chung một số quan điểm, tôi xin trích một đoạn phỏng vấn em Đặng Văn Nhâm học sinh lớp 12C6 như sau: - Hỏi: Trong tiết học luyện tập tính đồng biến, nghịch biến của hàm số thầy (cô) thường tổ chức cho các em hoạt động giải toán như thế nào? Định hướng tìm tòi lời giải bài toán ra sao? 15
- Nhâm: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số cho trước y = f ( x ) ; đồ thị của hàm số y = f ( x ) ; ứng dụng để giải PT, BPT và các bài toán chứa tham số. Việc định hướng tìm tòi lời giải các bài toán ít thực hiện. - Hỏi: Theo em, tính đơn điệu của hàm số có thể nhận biết thông qua các dạng BDTH nào? - Nhâm: Cho hàm số cụ thể y = f ( x ) ; cho đồ thị hàm số y = f ( x ) ; cho bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . - Hỏi: Em gặp những khó khăn nào khi luyện tập các bài toán liên quan đến xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số và ứng dụng của nó? - Nhâm: Nhầm lẫn cách lấy khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị của hàm số y = f ( x ) ; lúng túng cách xét tính đơn điệu của các dạng hàm hợp; chưa hiểu bản chất bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) ; Ứng dụng tính đơn điệu để giải PT, BPT; các bước giải quyết các tình huống liên quan đến bài toán thực tiễn,… - Hỏi: Trong tiết luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số, các em có được thầy (cô) tổ chức hoạt động nghiên cứu sâu lời giải các bài toán cơ bản không? - Trả lời: Rất ít. Như vậy, qua phỏng vấn và khảo sát các em học sinh có thể khẳng định rằng: Thứ nhất: Hoạt động đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học phổ thông chưa mang lại hiệu quả cao. Truyền thụ tri thức một chiều vẫn là phương pháp dạy học chủ đạo của nhiều giáo viên. Số giáo viên thường xuyên chủ động, sáng tạo trong việc phối hợp các phương pháp dạy học cũng như sử dụng các phương pháp dạy học phát huy tính tích cực, tự lực và sáng tạo của học sinh còn chưa nhiều. Dạy học vẫn nặng về truyền thụ kiến thức lí thuyết. Thứ hai: Chưa thật sự đầu tư nhiều thời gian cho việc soạn giáo án, chưa mạnh dạn lồng ghép các hoạt động BDTH của cùng một khái niệm, quy tắc, định lí; giải bài toán thực tiễn trong dạy học khi có cơ hội. Việc rèn luyện kỹ năng sống, kỹ năng giải quyết các tình huống thực tiễn cho học sinh thông qua khả năng vận dụng tri thức tổng hợp chưa thực sự được quan tâm; ít tạo điều kiện giúp học sinh tìm tòi, khám phá và sáng tạo khi có cơ hội. Thứ ba: Trong dạy học, một bộ phận GV chưa chịu khó đổi mới phương pháp dạy học; chưa đầu tư thời gian xây dựng các quy tình dạy học để góp phần phát triển cả phẩm chất và năng lực cho học sinh. Thứ tư: Đã có nhiều giáo viên tích cực, sáng tạo và có nhiều đề tài nghiên cứu đến vấn đề bồi dưỡng năng lực sử dụng BDTH cho học sinh. Song, số đề tài nghiên cứu việc định hướng giúp học sinh tiếp cận cách giải quyết vấn đề cụ thể theo một quy trình có hệ thống còn ít. 16
Thứ 5: Trong quá trình dạy học, một bộ phận giáo viên vận dụng phương pháp dạy học mang tính thụ động và ít chú ý đến khả năng ứng dụng nên sản phẩm giáo dục là những con người mang tính thụ động, hạn chế khả năng sáng tạo và năng động. Do đó, chương trình giáo dục không đáp ứng ngày càng cao của xã hội và thị trường lao động đối với người lao động về năng lực hành động, khả năng sáng tạo. Đối với các bài tập liên quan đến sự đồng biến, nghịch biến của hàm số GV có thể tổ chức cho học sinh tìm hiểu đầy đủ các dạng biểu diễn toán học của tính đồng biến, nghịch biến của hàm số như: đồ thị của hàm số f ( x ) , f  ( x ) ; bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ; bảng xét dấu của hàm số f  ( x ) ,…bằng cách định hướng các em tìm tòi lời giải theo một quy trình cụ thể, sẽ giúp các em hiểu rõ bản chất của khái niệm tính đơn điệu của hàm số và nắm vững mỗi quan hệ giữa các BDTH của cùng khái niệm đó. Tổ chức cho các em học sinh nghiên cứu sâu lời giải của các dạng biểu diễn đó và ứng dụng của nó trong toán học và trong thực tiễn giải quyết được vấn đề gì? Với cách tổ chức các hoạt động theo hướng trên sẽ giúp các em có nhiều cơ hội phát triển các hoạt động trí tuệ chung, năng lực BDTH trong giải toán, rèn luyện cho học sinh các tri thức phương pháp từ đó giúp học sinh hiểu rõ hơn về mỗi quan hệ biện chứng giữa nội dung và hình thức của bài toán. 2.3. Biện pháp thực hiện 2.3.1. Kiến thức cơ bản. 2.3.1.1. Định nghĩa Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên K . Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì nhỏ hơn f ( x2 ) , nghĩa là x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ; Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f ( x1 ) lớn hơn f ( x2 ) , nghĩa là x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) . Chú ý: Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) ta vẽ mũi tên đi lên, từ trái sang phải (từ f ( a ) đến f ( b ) ). x a b y f(b) f(a) 17
Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) ta vẽ mũi tên đi xuống, từ trái sang phải (từ f ( a ) đến f ( b ) ). x a b y f(a) f(b) Hướng dẫn học sinh hiểu biểu diễn tính đơn điệu bằng bảng biến thiên Để học sinh hiểu và sử dụng thành thạo bảng biến thiên để biểu diễn sự đồng biến và nghịch biến của hàm số giáo viên cần giải thích ý nghĩa của cách sử dụng mũi tên trong bảng biến thiên như: Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) ta vẽ mũi tên đi lên, từ trái sang phải (từ f ( a ) đến f ( b ) ). Nghĩa là, trên khoảng ( a; b ) tính từ trái sang phải tức là đối số tăng; mũi tên đi lên từ giá trị f ( a ) đến f ( b ) tức là giá trị của hàm số cũng tăng. Do đó, theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) . Để diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) ta vẽ mũi tên đi xuống, từ trái sang phải (từ f ( a ) đến f ( b ) ). Nghĩa là, trên khoảng ( a; b ) tính từ trái sang phải tức là đối số tăng; mũi tên đi xuống từ giá trị f ( a ) đến f ( b ) tức là giá trị của hàm số lại giảm. Do đó, theo định nghĩa hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . Ý nghĩa hình học Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì đồ thị của nó là đường cong (hoặc đường thẳng) đi lên từ trái sang phải y y f(b) f(b) f(a) f(a) O a b x O a b x Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì đồ thị của nó là đường cong (hoặc đường thẳng) đi xuống từ trái sang phải y y f(a) f(a) f(b) f(b) O a b x O a b x 18
Hướng dẫn học sinh hiểu biểu diễn tính đơn điệu của hàm số bằng đồ thị của nó Để học sinh hiểu rõ sự đồng biến và nghịch biến của hàm số thông qua biểu diễn bằng đồ thị của nó giáo viên cần giải thích ý nghĩa hình học của nó. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì đồ thị của nó là đường cong (hoặc đường thẳng) đi lên từ trái sang phải. Nghĩa là, trên khoảng ( a; b ) tính từ trái sang phải tức là đối số tăng; đồ thị đi lên từ giá trị f ( a ) đến f ( b ) tức là giá trị hàng số cũng tăng. Do đó, theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) . Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) thì đồ thị của nó là đường cong (hoặc đường thẳng) đi xuống từ trái sang phải. Nghĩa là, trên khoảng ( a; b ) tính từ trái sang phải tức là đối số tăng; đồ thị đi xuống từ giá trị f ( a ) đến f ( b ) tức là giá trị của hàm số lại giảm. Do đó, theo định nghĩa hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . 2.3.1.2. Định lí Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên K . a) Nếu f  ( x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K . b) Nếu f  ( x )  0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên K . Chú ý: Kết quả xét chiều biến thiên của hàm số bằng định lí được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên; bảng biến thiên gồm ba dòng và hai cột. Để diễn tả hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) ta sử dụng một dấu cộng (+) cho dòng y . Nghĩa là, y ( x )  0, x  ( a; b ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) . x a b y’ + y f(b) f(a) Để diễn tả hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) ta sử dụng một dấu cộng (–) cho dòng y . Nghĩa là, y ( x )  0, x  ( a; b ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . x a b y’ – y f(a) f(b) 19
Hướng dẫn học sinh hiểu biểu diễn tính đơn điệu của hàm số y = f ( x ) bằng đồ thị của hàm số f  ( x ) Trên khoảng ( a; b ) , nếu phần đồ thị của hàm số f  ( x ) nằm phía trên trục hoành và chỉ giao với trục hoành tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng ( a; b ) . Nghĩa là, y ( x )  0, x  ( a; b ) và y ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng ( a; b ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) . y f ( x ) O a b x Trên khoảng ( a; b ) , nếu phần đồ thị của hàm số f  ( x ) nằm phía dưới trục hoành và chỉ giao với trục hoành tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . Nghĩa là, y ( x )  0, x  ( a; b ) và y ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên khoảng ( a; b ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . y a b O x f ( x ) 2.3.1.3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số 1. Tìm tập xác định. 2. Tính đạo hàm f  ( x ) . Tìm các điểm xi ( i = 1,2,..., n ) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 2.3.1.4. Các dạng biểu diễn của tính đơn điệu của hàm số Biểu diễn tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) bằng đồ thị của nó; Biểu diễn tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f ( x ) bằng bảng biến thiên của nó; 20