Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua bài toán giới hạn hàm ẩn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua bài toán giới hạn hàm ẩn" nhằm trình bày một số vấn đề cơ bản về giới hạn hàm số; đề xuất một số giải pháp giải quyết các bài toán về giới hạn hàm ẩn; đưa ra một số thực nghiệm đã thể hiện tại nơi công tác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua bài toán giới hạn hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3 S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN GIỚI HẠN HÀM ẨN Lĩnh vực: TOÁN - TIN Người thực hiện: TRÌNH HOÀI NAM Tổ bộ môn: TOÁN  TIN Năm thực hiện: 2023,2024 Số điện thoại: 0339545577 Email: hoainam2732003@gmail.com Nghệ An, tháng 4 năm 2024.
MỤC LỤC MỤC LỤC ...................................................................................................................... 1 I. ĐẶT VẤN ĐỀ .......................................................................................................... 3 1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................................... 3 2. Tính cấp thiết của đề tài............................................................................................. 3 3. Tính mới của đề tài.................................................................................................... 4 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài...................................................................... 4 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.............................................................................. 4 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu ....................................................................... 4 II. NỘI DUNG .............................................................................................................. 5 1. Cơ sở lý luận ............................................................................................................ 5 1.1. Dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học .................................. 5 1.2. Giới hạn của hàm số tại một điểm ................................................................... 6 1.2.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm ............................................. 6 1.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm ............................................... 6 1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực........................................................................ 7 1.3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực .................................................. 7 1.3.2. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực .................................................... 8 2. Thực trạng việc dạy học chủ đề giới hạn hàm số ................................................... 8 3. Phương hướng và giải pháp .................................................................................. 12 3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm ẩn tại vô cực ........................................................ 12 3.1.1. Giải pháp 1: Điều kiện cần để hàm số f  x  .g  x  có giới hạn hữu hạn tại vô cực ............................................................................................................. 12 3.1.2. Giải pháp 2: Phương pháp đổi biến số................................................... 18 3.1.3. Bài tập củng cố các giải pháp ................................................................ 23 3.2. Giới hạn hữu hạn của hàm ẩn tại một điểm ................................................... 24 f  x 3.2.1. Giải pháp 1: Điều kiện cần thứ nhất để hàm số có giới hạn hữu g  x hạn tại một điểm................................................................................................ 24 f  x 3.2.2. Giải pháp 2: Điều kiện cần để hàm số n có giới hạn hữu hạn khi  x  x0  x  x0 33 -1-
3.2.3. Giải pháp 3: Phương pháp đổi biến số................................................... 39 3.2.4. Giải pháp 4: Sử dụng khái niệm đạo hàm .............................................. 44 3.2.5. Bài tập củng cố các giải pháp ................................................................ 48 4. Đánh giá và kết quả thực hiện .............................................................................. 51 5. Khảo sát và đánh giá sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp .................. 52 III. KẾT LUẬN ............................................................................................................ 55 1. Kết luận về việc thực hiện đề tài .............................................................................. 55 2. Ý nghĩa của đề tài .................................................................................................... 55 3. Đề xuất, kiến nghị ................................................................................................... 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................... 57 PHỤ LỤC ..................................................................................................................... 58 PHỤ LỤC 1. Đề kiểm tra cuối chủ đề giới hạn hàm số có sử dụng các bài toán giới hạn hàm ẩn .............................................................................................................. 58 PHỤ LỤC 2. Một số hình ảnh tác giả và đồng nghiệp thực hiện dạy học chủ đề giới hạn hàm số có sử dụng giới hạn hàm ẩn ................................................................... 61 -2-
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục Toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: Năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, “năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ khác nhau. Theo Chương trình phổ thông 2018, nội dung giới hạn hàm số được trình bày cho học sinh khối 11 với các yêu cầu cần đạt như: nhận biết được một số giới hạn cơ bản, tính được một số giới hạn của hàm số bằng cách vận dụng các phép toán trên giới hạn hàm số. Nhưng một thực trạng cho thấy rằng khi tính giới hạn của một hàm số cho trước, đại đa số học sinh thường sử dụng máy tính để xác định giới hạn. Điều này làm hạn chế phát triển các năng lực Toán học cho học sinh. Đứng trước vấn đề đó, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua bài toán giới hạn hàm ẩn". 2. Tính cấp thiết của đề tài Hình thành phát triển năng lực toán học là nhiệm vụ của việc giảng dạy toán học tại các trường THPT hôm nay. Theo Nghị quyết số 29-NQ/TW chỉ rõ đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng hiện đại nhằm phát triển năng lực và phẩm chất của người học. Qua việc nghiên cứu chương trình giáo dục phổ thông tổng thể (2018) về các năng lực toán học cần hình thành và phát triển cho học sinh không chỉ dừng lại ở một hay vài chủ đề. Mà nó cần được thực hiện liên tục thông -3-
qua việc dạy học các chủ đề hằng ngày. Một vấn đề nữa là trên thực tế cho thấy, trong quá trình dạy học chủ đề giới hạn hàm số, nhiều giáo viên và đa số các em học sinh thường ỷ lại vào việc sử dụng máy tính để giải, điều này phần nào sẽ làm hạn chế việc phát triển năng lực cho học sinh và làm giảm sự hứng thú, tập trung trong việc học tập chủ đề này. Từ đó có thể thấy, việc nghiên cứu thực hiện dạy học phát triển năng lực thông qua bài toán giới hạn hàm ẩn là rất cần thiết. 3. Tính mới của đề tài Đề tài trình bày một số vấn đề cơ bản về giới hạn hàm số Đề tài đề xuất một số giải pháp giải quyết các bài toán về giới hạn hàm ẩn Đề tài đưa ra một số thực nghiệm đã thể hiện tại nơi công tác. 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông và các thầy cô dạy Toán THPT tham khảo. Đề tài hoàn toàn phù hợp với các đối tượng học sinh trong giai đoạn đổi mới hiện nay. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh và giáo viên THPT. - Chương trình Toán THPT hiện hành và Chương trình giáo dục phổ thông 2018. 5.2. Phạm vi nghiên cứu - Bám sát nội dung chương trình Toán THPT. - Phù hợp với quá trình đổi mới giáo dục hiện nay. 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp, phân tích các lý thuyết về dạy học chủ đề giới hạn hàm số. - Phương pháp thực nghiệm: Đề xuất các giải pháp, sử dụng các giải pháp đề ra, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và đồng nghiệp sử dụng để rút ra các kết luận, bổ sung vào đề tài. 6.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày một số vấn đề cơ bản về giới hạn dãy số. - Đề xuất một số giải pháp giải quyết các bài toán giới hạn hàm ẩn - Thực nghiệm đề tài tại nơi công tác. -4-
II. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận 1.1. Dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học Năng lực giải quyết vấn đề Toán học là khả năng giải quyết có hiệu quả một vấn đề Toán học nào đó, dựa trên cơ sở vận dụng các tri thức, kinh nghiệm và kỹ năng đã có. Theo Polya (1977), quá trình giải quyết vấn đề gồm 4 bước sau: Bước 1. Tìm hiểu và nhận biết vấn đề: HS tìm hiểu tổng thể, xác định rõ thông tin đã cho và thông tin cần tìm, đồng thời huy động các kiến thức và thông tin mình có liên quan đến vấn đề, sử dụng các cách thăm dò để biến đổi thông tin, tìm ra thông tin cần thiết mới. Bước 2. Tìm giải pháp: Tổ chức và sử dụng các thông tin có được, đó chính là sự tích hợp thông tin và kiến thức đã có, đưa ra phán xét và quyết định sử dụng thông tin nào, đưa ra giả thuyết về cách giải quyết vấn đề dựa trên các thông tin này. Bước 3. Tổ chức thực hiện giải pháp: Quá trình này bao gồm xác định mục tiêu của vấn đề, lập kế hoạch cho các mục tiêu và các bước cụ thể theo giả thuyết đã đưa ra từ trước đề tìm các giải pháp. Bước 4. Nghiên cứu sâu giải pháp: Rà soát lại giải pháp đã được thực hiện và xem xét đánh giá liệu một cách tiếp cận khác có thể phù hợp hơn, giải pháp như thế có đúng hay không, có nên xem xét lại các giả thuyết ban đầu hay có thể đưa ra các vấn đề mới. Năng lực giải quyết vấn đề là một trong các năng lực chung cốt lõi cần được hình thành và phát triển theo yêu cầu của Chương trình giáo dục phổ thông 2018 đối với tất cả các môn học và hoạt động giáo dục. Theo đó, năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học được xác định là khả năng: Nhận ra ý tưởng mới; Phát hiện và làm rõ vấn đề; Hình thành và triển khai ý tưởng mới; Đề xuất và lựa chọn giải pháp; Thiết kế và tổ chức hoạt động; Tư duy độc lập. Thông qua việc giải quyết vấn đề, học sinh được lĩnh hội tri thức, kỹ năng và phương pháp nhận thức. Tham khảo quan điểm của A.V.Pêtrôvxki, một học sinh có năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học được biểu hiện như sau: + Huy động được kiến thức Toán học liên quan tới hoạt động giải quyết một nội dung Toán học cụ thể; + Có kỹ năng tiến hành được các hoạt động: giải bài toán, xây dựng và nắm vững khái niệm Toán học và chứng minh định lý; + Đạt được kết quả phù hợp với mục đích yêu cầu: phát hiện được; hiểu được và độc lập thực hiện được. -5-
+ Biết vận dụng sáng tạo và có kết quả trong các tình huống của bài toán khác; vận dụng vào các bài toán cao hơn và vận dụng vào đời sống; + Thể hiện được thái độ, tình cảm của mình đối với những lời giải: phát hiện được sai lầm và sửa sai, thấy được cái hay, cái sâu sắc trong mỗi cách giải. Một trong những xu hướng đổi mới và phát triển phương pháp dạy học Toán học hiện nay là sử dụng các phương pháp, kỹ thuật dạy học nhằm phát huy tính tích cực, tính tìm tòi, sáng tạo ở người học, tiềm năng trí tuệ nói riêng và nhân cách nói chung phải thích ứng với thực tiễn luôn đổi mới. Điều quan trọng nhất là học sinh phải được hoạt động, phải được tham gia giải quyết vấn đề. Vì vậy việc dạy học phát triển năng lực giải quyết vấn đề rất là cần thiết, đặc biệt trong bộ môn Toán học hiện nay. 1.2. Giới hạn của hàm số tại một điểm 1.2.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm Giả sử x0   a; b  và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  \  x0  . Nếu với mọi dãy số  xn  thỏa mãn xn   a; b  \  x0  , xn  x0 ta có f  xn   L thì ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là L khi x dần tới x0 . Kí hiệu: lim f  x   L . x  x0 Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm như sau: +) Nếu lim f  x   L, lim g  x   M thì x  x0 x  x0 lim  f  x   g  x    L  M ;   x  x0 lim  f  x   g  x    L  M ;   x  x0 lim  f  x .g  x    L.M ;   x  x0 f  x L lim   M  0 . x  x0 g  x M +) Nếu f  x   0 x   a; b  \  x0  và L  0 thì lim f  x  L . x  x0 1.2.2. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm Giả sử x0   a; b  và hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  \  x0  . Nếu với mọi dãy số  xn  thỏa mãn xn   a; b  \  x0  , xn  x0 ta có f  xn    thì ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là  khi x dần tới x0 . -6-
Kí hiệu: lim f  x    . x  x0 Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn là  khi x dần tới x0 khi lim   f  x     . Kí hiệu: lim f  x    .   x  x0 xx 0 Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm có các tính chất sau: Nếu lim f  x   L, lim g  x    (hoặc lim g  x    ) thì x  x0 x  x0 x  x0 lim  f  x  .g  x   được xác định bởi bảng sau:   x  x0 lim f  x   L lim g  x  lim  f  x  .g  x     x  x0 x  x0 x  x0   L0     L0   1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực 1.3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a;   . Nếu với mọi dãy số  xn  thỏa mãn xn  a, xn   ta có f  xn   L thì ta nói hàm số f  x  có giới hạn L khi x   . Kí hiệu: lim f  x   L . x  Cho hàm số y  f  x  xác định trên  ;b  . Nếu với mọi dãy số  xn  thỏa mãn xn  a, xn   ta có f  xn   L thì ta nói hàm số f  x  có giới hạn L khi x   . Kí hiệu: lim f  x   L . x  Ta có các giới hạn thường dùng sau: + Với c là hằng số, ta có: lim c  c; lim c  c . x  x  1 1 + Với k là một số nguyên dương, ta có: lim k  0; lim k  0 x  x x  x Các phép toán về giới hạn hữu hạn tại vô cực hoàn toàn tương tự như các phép toán về giới hạn hữu hạn tại một điểm ở Mục 1.2.1. -7-
1.3.2. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a;   . Nếu với mọi dãy số  xn  thỏa mãn xn  a, xn   ta có f  xn    thì ta nói hàm số f  x  có giới hạn  khi x   . Kí hiệu: lim f  x    . x  Các giới hạn lim f  x   ; lim f  x   ; lim f  x    được định x  x  x  nghĩa tương tự. Một số giới hạn đặc biệt: lim x k   với k nguyên dương; x  lim x k   với k là số chẵn; x  lim x k   với k là số lẻ. x  Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực có tính chất sau: Nếu lim f  x   L, lim g  x    (hoặc lim g  x    ) thì x  x  x  lim  f  x  .g  x   được xác định bởi bảng sau:   x  lim f  x   L lim g  x  lim  f  x  .g  x     x  x  x  L0     L0     Quy tắc trên vẫn đúng khi thay x   thành x   . 2. Thực trạng việc dạy học chủ đề giới hạn hàm số 2.1.1. Mục đích khảo sát Tìm hiểu thực trạng dạy và học chủ đề giới hạn hàm số tại các trường THPT huyện Diễn Châu. 2.1.2. Nội dung khảo sát Đối với GV: điều tra thăm dò về thực trạng việc tổ chức dạy học chủ đề giới hạn hàm số và bài toán giới hạn hàm ẩn. -8-
Đối với HS: điều tra thăm dò về việc học chủ đề giới hạn hàm số, mức độ tự giải quyết bài toán giới hạn hàm ẩn. 2.1.3. Đối tượng khảo sát Một số GV dạy Toán trường THPT trên địa bàn huyện Diễn Châu. HS một số lớp khối 11 năm học 2023-2024 trên địa bàn huyện Diễn Châu. 2.1.4. Phương pháp khảo sát Khảo sát qua biểu mẫu googleform Link khảo sát GV: https://forms.gle/P4UkfrodDBFhbi2D6 Link khảo sát HS: https://forms.gle/4VFTyNUN6eGQtznu8 2.1.5. Phân tích và đánh giá kết quả khảo sát Thông qua khảo sát bằng googleform, tôi thu được kết quả như sau: Khảo sát đối với GV: -9-
Khảo sát đối với HS: -10-
-11-
Qua các biểu đồ trên và qua nhiều năm công tác tại trường, tôi nhận thấy: Về phía HS: Nhiều HS cũng khá thích học tập môn Toán, bên cạnh đó cũng có nhiều HS chưa có hứng thú trong học tập môn Toán, các em còn miễn cưỡng học Toán vì để đối phó với các cuộc thi, ngoài ra các em cảm thấy không có tác dụng gì. Do vậy việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho các em học sinh có phần bị hạn chế. Dựa vào kết quả khảo sát của Câu hỏi 3 ta thấy, việc giải một số bài toán giới hạn hiện nay thì khá nhiều các em HS sử dụng máy tính để tìm ra đáp số. Điều này một phần sẽ làm mất đi bản chất của việc dạy học. Học sinh khó hình thành được năng lực giải quyết vấn đề khi học tập các chủ đề này. Và điều đó cũng làm cho không nắm được bản chất bài toán giới hạn, và dẫn tới khi tiếp cận với các bài toán giới hạn hàm ẩn sẽ gặp khó khăn và dẫn tới không giải quyết được các bài toán đưa ra trong khảo sát (Câu hỏi 4 và Câu hỏi 5). Theo kết quả khảo sát Câu hỏi 5, ta cũng nhận ra rằng cũng khá nhiều HS đã xử lý được bài toán giới hạn hàm ẩn (Câu a, trong Câu hỏi 5), nhưng chưa các ý liên quan đến bản chất giới hạn thì HS còn bỡ ngỡ. Về phía GV: Đại đa số GV chúng ta khi dạy học ở phần này sẽ rất lúng túng khi bắt gặp tình huống GV thì dạy bài toán tính giới hạn theo các phương pháp tự luận, HS thì nghĩ mình đã biết dùng máy tính rồi nên gần như không chú ý học tập. Bài toán giới hạn của hàm ẩn ít được sử dụng. Các GV sau khi được khảo sát đều nhận ra rằng bài toán giới hạn hàm ẩn tương đối cần thiết, phù hợp để giải quyết tình trạng này. 3. Phương hướng và giải pháp 3.1. Giới hạn hữu hạn của hàm ẩn tại vô cực 3.1.1. Giải pháp 1: Điều kiện cần để hàm số f  x  .g  x  có giới hạn hữu hạn tại vô cực a) Nội dung giải pháp: Ta kí hiệu a là đại diện cho  hoặc  . Cho lim f  x    (hoặc lim f  x    ) và lim g  x   c . Khi đó: Nếu x a x a x a giới hạn lim f  x  .g  x  tồn tại hữu hạn thì c  0 . x a b) Chứng minh giải pháp: Giả sử c  0 . Sử dụng bảng phép toán giới hạn ở Mục 1.3.2, ta suy ra lim f  x  .g  x    hoặc lim f  x  .g  x    . Điều này mâu thuẫn với giả xa xa thiết. Do vậy c  0 . c) Áp dụng giải pháp: -12-
VD1. (Sáng tác) Xác định các số thực a, b để lim x    ax 2  bx  3  x  5 .  Phát hiện và làm rõ vấn đề: Nhận thấy ta cần phân tích biểu thức ax 2  bx  3  x về dạng tích f  x  .g  x  sao cho lim f  x    (hoặc lim f  x    ) và x  x  lim g  x   c . x  b 3 Do đó ta phân tích ax 2  bx  3  x  x a    x. x x2  b 3  Khi x   thì x  0  ax 2  bx  3  x  x  a   2  1 .  x x   b 3  Ta thấy lim x   ; lim  a   2  1  a  1 (điều kiện a  0 ) x  x   x x   Giải quyết vấn đề:  b 3  Ta có lim x    ax 2  bx  3  x  lim x  a   2  1 x   x x   b 3  lim  a   2  1  a  1 x   x x  Do lim x    ax 2  bx  3  x hữu hạn nên a 1  0  a  1 Khi đó 3 b bx  3 b lim x    x 2  bx  3  x  lim x  2 x  bx  3  x  lim x  x b 3  2 a   2 1 x x b   5  b  10 2 Vậy a  1, b  10  VD2. (Sáng tác) Xác định các số thực a, b để lim ax  1  4 x 2  bx  1  1. x    Phát hiện và làm rõ vấn đề: Cách phát hiện vấn đề và làm rõ vấn đề của bài toán tương tự Ví dụ 1.  Giải quyết vấn đề: -13-
 1 b 1  x    lim ax  1  4 x 2  bx  1  lim x  a   4   2  x   x x x  Do giới hạn hữu hạn nên a  2  0  a  2 . Khi đó  b  4  x x    lim 2 x  1  4 x 2  bx  1  lim x  2 x  1  4 x 2  bx  1 b  4 b  4 b  4  lim    1  b  8 x  1 b 1 4 4 2  4  2 x x x Vậy a  2, b  8 .  VD3. (Sáng tác) Xác định các số thực a, b để lim ax  2  9 x 2  bx  1  3 x    Phát hiện và làm rõ vấn đề: b 1 Ta thấy ax  2  9 x 2  bx  1  ax  2  x 9   x x2  2 b 1  Do x   nên x  0  ax  2  9 x 2  bx  1  x  a   9   2   x x x   2 b 1  Ta thấy lim x  ; lim  a   9   2   a  3 . Từ đó đảm bảo x  x   x x x  điều kiện của giải pháp.  Giải quyết vấn đề:  2 b 1  x    Ta có lim ax  2  9 x 2  bx  1  lim x  a   9   2  x   x x x  Do giới hạn hữu hạn nên a  3  0  a  3  b  12  x  3 x   Khi đó lim 3 x  2  9 x 2  bx  1  lim  x  3 x  2  9 x 2  bx  1 3 b  12  x b  12  lim  x  2 b 1 6 3   9   2 x x x b  12   3  b  6 . Vậy a  3, b  6 . 6 -14-
VD4. (Sáng tác) Xác định các số thực a, b để a) lim x   9x  ax  3  2  bx 2  x  1  3 . b) lim  9 x  ax  3  2 bx  x  1   3 . 2 x   Phát hiện và làm rõ vấn đề: a 3 1 1 Ta có 9 x 2  ax  3  bx 2  x  1  x 9   2  x b  2 x x x x Khi x   : x  x nên  a 3 1 1  9 x 2  ax  3  bx 2  x  1  x  9   2  b   2   x x x x  Khi x   : x   x nên  1 1 a 3  9 x 2  ax  3  bx 2  x  1  x  b   2  9   2   x x x x   a 3 1 1  Ta thấy lim x  ; lim  9   2  b   2   3  b  b  0  x  x   x x x x  Từ đó ta thấy bài toán thỏa mãn các yêu cầu của giải pháp.  Giải quyết vấn đề:  a 3 1 1  a) lim x    9 x 2  ax  3  bx 2  x  1  lim x  9   2  b   2  x   x x x x  Do giới hạn hữu hạn nên 3  b  0  b  9 . Khi đó  a  1 x  2 lim x   9 x 2  ax  3  9 x2  x  1  lim x  9 x 2  ax  3  9 x 2  x  1 2 a 1 x a 1 a 1  lim    3  a  17 x  a 3 1 1 6 6 9  2  9  2 x x x x Vậy a  17, b  9 .  1 1 a 3  b) lim x    9 x 2  ax  3  bx 2  x  1  lim x  b   2  9   2  x   x x x x  -15-
Do giới hạn hữu hạn nên b 3 0b 9. Khi đó  a  1 x  2 lim x   9 x 2  ax  3  9 x2  x  1  lim  x  9 x 2  ax  3  9 x 2  x  1 2 a 1 x a 1 a 1  lim    3  a  19 x  a 3 1 1 6 6  9  2  9  2 x x x x Vậy a  19, b  9 . VD5. (Sáng tác) Xác định các số thực a, b để lim x   9 x 2  ax  3  bx 2  4 x  1  x  3   Phát hiện và làm rõ vấn đề: Cách phát hiện vấn đề và làm rõ vấn đề của bài toán tương tự như các ví dụ trên : Khi x   :  a 3 4 1  9 x 2  ax  3  bx 2  4 x  1  x  x  9   2  b   2  1  x x x x   a 3 4 1  Nhận thấy lim x  ; lim  9   2  b   2  1  2  b x  x   x x x x  Bài toán thỏa mãn các yêu cầu của giải pháp.  Giải quyết vấn đề: Ta có lim x   9 x 2  ax  3  bx 2  4 x  1  x   a 3 4 1   lim x  9   2  b   2  1  x   x x x x  Do giới hạn hữu hạn nên 2  b  0  b  4 . Khi đó lim x   9 x 2  ax  3  4 x 2  4 x  1  x   lim  x      9 x 2  ax  3  3 x  2 x  4 x 2  4 x  1     -16-
 ax  3 4x 1   lim    x   9 x 2  ax  3  3 x 2 x  4x2  4 x  1     3 1   a 4  a  lim  x  x   1 x   a 3 4 1  6  9  x  x 2  3 2  4  x  x2    a   1  4  a  12 . Vậy a  12, b  4 . 6 VD6. (Sáng tác) Cho hai số thực a và b thỏa mãn lim x    4 x 2  a .3 bx3  6 x  2  4 x 2  5 . Tính T  ab .  Phát hiện và làm rõ vấn đề: a 3 3 6 2 Khi x   : 4x2  a   x 4  ; bx  6 x  2  x 3 b  2  3 x2 x x  a 6 2   4 x 2  a .3 bx3  6 x  2  4 x 2  x 2  4  4  2 . 3 b  2  3   x x x   a 6 2  Nhận thấy lim x 2  ; lim  4  4  2 . 3 b  2  3   4  2 3 b x  x   x x x  Do vậy bài toán thỏa mãn yêu cầu của giải pháp.  Giải quyết vấn đề: Ta có  a 6 2  lim x   x   4 x 2  a .3 bx3  6 x  2  4 x 2  lim x 2  4  4  2 . 3 b  2  3   x x x  Do giới hạn hữu hạn nên 4  2 3 b  0  b  8 . Khi đó lim x    4 x 2  a . 3 8 x3  6 x  2  4 x 2   lim  4 x  a  2 x  . 8 x  6 x  2  2 x  2 x  2 3 3 3  8 x3  6 x  2    x     a.3 8 x3  6 x  2 2 x  6 x  2    lim   2  x   4 x 2  a  2 x 2 3 3 3 3   4 x  2 x. 8 x  6 x  2  8 x  6 x  2  -17-
 6 2   a.3 8  2  3 4  12   lim  x x  x  x   a 2   4  2  2 4  23 8  6  2  3 8  6  2    x x 2 x3 x 2 x3   a a    1    1  5  a  12 . Vậy a  12, b  8 . 2 2 3.1.2. Giải pháp 2: Phương pháp đổi biến số a) Nội dung giải pháp: Ta kí hiệu a là đại diện cho  hoặc  . Nếu lim u  x   c thì lim f  u  x    lim f  t  . x a x a t c b) Áp dụng giải pháp: f  x VD7. (Sáng tác) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn lim  1. Với mỗi khẳng x  x định sau, chọn đúng hoặc sai? Khẳng định Đúng Sai a) lim f  x    . x  f  x   3x b) lim  2. x  2x  1 c) lim x   x2  f  x   x . 3xf  x   x 2  2 x 1 d) lim  . x  f  x  x 3  Phát hiện và làm rõ vấn đề: Xét các khẳng định b), c), d), ta nhận thấy các biểu thức cần tìm giới hạn có f  x chứa x và f  x  . Do vậy ta cần làm xuất hiện đại lượng t  . Cụ thể, x khi x   , ta biến đổi : f  x f  x   3x 3 Ở ý b),  x 2x  1 1 2 x -18-
f  x f  x x Ở ý c), x2  f  x   x   2 x  f  x  x f  x 1 1 x2 f x 3 xf  x   x 2  2 x 3 1  2 Ở ý d),  x f  x  x f  x 1 x  Giải quyết vấn đề:  f  x a) lim f  x   lim  x.   . x  x   x   f  x f  x   3x 3 b) lim  lim x  2. x  2 x  1 x  1 2 x f  x  1 f  x  c) Ta có lim  lim  .  0 , khi đó: x  x 2 x   x x   f  x f  x 1 lim x    x2  f  x   x  lim x  x2  f  x   x  lim x  x f  x  2 1 1 x2 f  x 3 xf  x   x  2 x 2 3 1  2 f  x x d) Đặt t  , ta có lim  lim x x  f  x  x x  f  x 1 x 3t  1  2 3 3  lim  lim  . t 1 t 1 t 1 3t  1  2 4 VD8. (Sáng tác) Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn lim f  x    . Tính giới hạn x  2 f  x 1 lim . x  f  x   3  Phát hiện và làm rõ vấn đề: Nhìn vào biểu thức ta nhận thấy ẩn phụ t  f  x  . Từ đó sử dụng đổi biến số để giải quyết bài toán. -19-