Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học cho học sinh thông qua bài toán ghép bảng biến thiên của hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học cho học sinh thông qua bài toán ghép bảng biến thiên của hàm số" xây dựng được hệ thống các bài tập, đồng thời đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài toán bằng phương pháp ghép bảng biến thiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học cho học sinh thông qua bài toán ghép bảng biến thiên của hàm số

S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Lĩnh vực: 04-Toán - Tin
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3 S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA BÀI TOÁN GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Lĩnh vực: TOÁN - TIN Người thực hiện: TĂNG DUY HÙNG Tổ bộ môn: TOÁN  TIN Năm thực hiện: 2021 Số điện thoại: 0979007470 Email: duyhung2501@gmail.com Nghệ An, tháng 4 năm 2022.
MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................. 2 1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 2 2. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................ 3 3. Tính mới của đề tài ....................................................................................... 3 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài ......................................................... 3 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 3 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu........................................................... 4 II. NỘI DUNG .................................................................................................. 5 1. Cơ sở lý luận ................................................................................................ 5 1.1. Cơ sở khoa học ....................................................................................... 5 1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................ 6 2. Thực trạng ................................................................................................... 8 3. Phương hướng và giải pháp...................................................................... 10 3.1. Nguyên tắc lập bảng biến thiên của hàm hợp nhờ ghép bảng biến thiên 10 3.2. Áp dụng vào việc giải các bài toán về hàm số ....................................... 11 4. Đánh giá và kết quả triển khai áp dụng đề tài......................................... 70 4.1. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................ 70 4.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm................................................. 71 III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ........................................................................ 72 1. Kết luận ...................................................................................................... 72 2. Đề xuất và kiến nghị ................................................................................... 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 74 −1−
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời. Trong quá trình dạy học toán ở bậc phổ thông, việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Thực tế cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức, các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chú trọng nhiều về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy và sáng tạo cho học sinh. Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó. Học sinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn. Chính vì vậy việc bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao. Mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thông mới 2018 nói chung và môn Toán nói riêng là phát triển phẩm chất và năng lực cho học sinh, trong đó năng lực giải quyết vấn đề đóng vai trò rất quan trọng. Trong chương trình Giải tích 12 THPT hiện hành, chủ đề về hàm số là một trong những chủ đề trọng tâm, đa dạng, chiếm một thời lượng rất nhiều trong chương trình và trong các đề thi hiện nay. Đặc biệt các bài toán về tính đơn điệu, cực trị, tương giao của hàm ẩn gây không ít khó khăn cho người học; các bài toán loại này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 và kỳ thi THPT quốc gia ở mức độ vận dụng của đề thi. Để học tốt chủ đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng giải, cần phải có năng lực giải quyết vấn đề. Từ đó bản thân tôi tự đặt câu hỏi, liệu có cách nào giúp các em tiếp cận các bài toán trên bằng phương pháp nào thật đơn giản và hiệu quả. Chính vì các vấn đề trên, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực giải −2−
quyết vấn đề Toán học cho học sinh thông qua bài toán ghép bảng biến thiên của hàm số”. 2. Tính cấp thiết của đề tài Theo chủ trương của Bộ giáo dục & đào tạo, kì thi THPT quốc gia môn toán đã và đang sử dụng hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ môn toán. Khi thi trắc nghiệm, đòi hỏi học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trắc nghiệm trung bình khoảng 1,8 phút. Trong chương trình toán THPT, tính đơn điệu, cực trị của hàm số và sự tương giao của đồ thị hàm số được hoàn thiện trong SGK lớp 12 chương I, thông qua bài toán đạo hàm. Nội dung này chiếm rất nhiều trong đề thi THPT quốc gia. Đặc biệt tính đơn điệu, cực trị và bài toán tương giao của hàm ẩn là một trong những câu khó của đề thi. Việc tạo cho các em năng lực giải quyết vấn đề với một kỹ năng giải nhanh các bài toán vận dụng, vận dụng cao về tính đơn điệu, cực trị và bài toán tương giao liên quan hàm ẩn là một điều rất cần thiết. Bằng việc sử dụng kỹ năng ghép bảng biến thiên sẽ giúp cho các em đơn giản hóa vấn đề này. 3. Tính mới của đề tài - Đề tài đưa ra được nguyên tắc ghép bảng biến thiên của hàm số và vận dụng nó vào các bài toán về tính đơn điệu, cực trị của hàm số và sự tương giao của đồ thị hàm số. - Đề tài xây dựng được hệ thống các bài tập, đồng thời đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài toán bằng phương pháp ghép bảng biến thiên. 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông và các thầy cô dạy Toán THPT tham khảo. Đề tài hoàn toàn phù hợp với các đối tượng học sinh: học sinh khá, HSG, học sinh ôn thi Đại học. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1.1. Đối tượng nghiên cứu: - Các bài tập về hàm ẩn và phương pháp thiết kế bài tập để phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. - Học sinh khối 12-THPT. 1.2. Phạm vi nghiên cứu: −3−
- Bám sát nội dung chương trình Toán THPT. - Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG và Đại học. 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu 1.3. Phương pháp nghiên cứu - Bước 1: Điều tra nghiên cứu phương pháp dạy học theo hướng thiết kế bài tập. - Bước 2:Thiết kế câu hỏi khảo sát và thang điểm đánh giá. - Bước 3:Tiến hành thực nghiệm. - Bước 4: Thu thập thông tin và xử lý số liệu. 1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng từng lớp các bài toán sử dụng ghép bảng biến thiên của hàm số. - Đưa ra một số nhận xét, phân tích về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng dạng. - Định hướng khai thác, mở rộng hoặc tạo ra bài toán mới. −4−
II. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận 1.1. Cơ sở khoa học 1.1.1. Sự biến thiên của hàm số a) Khái niệm đơn điệu của hàm số Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f  x  xác định trên K. Ta nói Hàm số y  f  x  đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1, x2  K mà x1  x2 thì f  x1   f  x2  . Hàm số y  f  x  nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1, x2  K mà x1  x2 thì f  x1   f  x2  . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. b) Định lý Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K.  Nếu f   x   0 x  K thì hàm số đồng biến trên K.  Nếu f   x   0 x  K thì hàm số đồng biến trên K. c) Quy tắc lập bảng biến thiên của hàm số Để lập bảng biến thiên của hàm số, ta thực hiện các quy tắc sau: Bước 1. Tìm tập xác định. Tính f   x  . Bước 2. Tìm các điểm tại đó f   x  bằng 0 hoặc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 1.1.2. Hàm hợp Giả sử u  g  x  là một hàm số xác định trên khoảng  a; b  và lấy giá trị trên khoảng  c; d  . Hàm số y  f  u  là hàm số của u, xác định trên  c; d  và lấy giá trị trên  . Khi đó ta lập hàm số xác định trên  a; b  và lấy giá trị trên  theo quy tắc: x  f  g  x  . Mô tả bằng hình vẽ như sau: −5−
Khi đó ta gọi hàm số y  f  g  x   là hàm hợp của hàm y  f  u  với hàm u  g  x . 1.1.3. Sự biến thiên của hàm hợp Cho hàm số y  f  g  x   với x   a; b  . Hàm số này là hàm hợp của hàm y  f  u  với hàm u  g  x  . Giả sử u  g  x  lấy giá trị trên khoảng  c; d  . Khi đó  Nếu u  g  x  đồng biến trên  a; b  và y  f  u  đồng biến trên  c; d  thì y  f  g  x   đồng biến trên  a; b  .  Nếu u  g  x  đồng biến trên  a; b  và y  f  u  nghịch biến trên  c; d  thì y  f  g  x   nghịch biến trên  a; b  .  Nếu u  g  x  nghịch biến trên  a; b  và y  f  u  đồng biến trên  c; d  thì y  f  g  x   nghịch biến trên  a; b  .  Nếu u  g  x  nghịch biến trên  a; b  và y  f  u  nghịch biến trên  c; d  thì y  f  g  x   đồng biến trên  a; b  . Việc chứng minh các kết quả này hoàn toàn dựa vào định nghĩa. Chẳng hạn, ta chứng minh kết quả thứ nhất như sau: Giả sử u  g  x  đồng biến trên  a; b  và y  f  u  đồng biến trên  c; d  . Với mọi x1, x2   a; b  và x1  x2 . Do u  g  x  đồng biến trên  a; b  và lấy giá trị trên  c; d   g  x1   g  x2  và g  x1  , g  x2    c; d  Lại do y  f  u  đồng biến trên  c; d   f  g  x1    f  g  x2   . Từ đó suy ra y  f  g  x   đồng biến trên  a; b  . 1.2. Cơ sở thực tiễn Bài toán hàm số là một bài toán quan trọng trong chương trình hiện nay, đặc biệt là chương trình toán lớp 12. Các chủ đề liên quan đến bài toán hàm số như tính đơn điệu, cực trị, tương giao là những chủ đề cơ bản và chiếm khá nhiều trong thi tốt nghiệp cũng như các kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường. Và trong số đó, bài toán tính đơn điệu, cực trị, tương giao của hàm hợp là một nội dung mang tính vậng dụng và vậng dụng cao. Chẳng hạn: Câu 48- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019. Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau: −6−
  Số điểm cực trị của hàm số y  f x 2  2 x là A. 3 . B. 9 . C. 5 . D. 7 . Câu 41- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong như hình dưới. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  f  x    1 là A. 9 . B. 7 . C. 3 . D. 6 . Câu 50- Đề minh họa lần 1 năm 2020. Cho hàm số f  x  . Hàm số f   x  có đồ thị như hình sau: Hàm số y  f 1  2 x   x 2  x nghịch biến trên khoảng nào?  3  1 A.  1;  . B.  0;  . C.  2; 1 . D.  2;3 .  2  2 −7−
Câu 2a- Đề HSG tỉnh Nghệ An 2021-2022. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình sau: 2   Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x)   f x  8  x  .   Câu 16- Đề HSG tỉnh Thái Bình 2021-2022. Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên  , hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.   Hàm số y  f 4  2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (1;0) B. (1;3) . C. (0;  ) . D. (0;1) . 2. Thực trạng Các kiến thức, các bài toán về hàm số như tính đơn điệu, cực trị, tương giao được trình bày trong chương trình lớp 12. Tuy nhiên các bài toán về hàm hợp dường như chưa được đề cập trong SGK cũng như Sách bài tập. Nhìn chung khi học vấn đề này, đại đa số học sinh thường gặp khó khăn và một số sai lầm trong giải toán. Một số học sinh còn chưa xác định đượng hướng làm, còn e dè khi gặp các bài toán này. Học sinh có cảm giác rất “cao siêu”, “xa lạ”, trừu tượng so với các bài toán đơn điệu, cực trị, tương giao thông thường. Khi giải các bài toán tính đơn điệu, cực trị, tương giao liên quan tới hàm hợp thì kĩ năng tìm điều kiện cho biến mới khi đổi biến, kĩ năng giải phương trình lên quan tới biến mới, kĩ năng vận dụng mối liên hệ giữa biến mới và biến cũ, giữa biến mới với đồ thị, bảng biến thiên đã cho còn hạn chế. −8−
Do đó học sinh gặp khó khăn trong việc lập bảng biến thiên hay vẽ đồ thị của hàm số đặc biệt là các hàm số cho ở dạng hàm hợp, khó khăn trong việc quan sát bảng biến thiên, đồ thị để tìm ra kiến thức cần sử dụng. Bản thân trong giáo viên chúng ta trong quá trình giảng dạy, dường như mới chỉ dừng lại ở một số đơn vị lớp chọn, có học sinh khá giỏi. Các bài toán này ít được giáo viên áp dụng cho học sinh đại trà. Qua khảo sát thực tế học sinh khối 12 tại trường THPT Diễn Châu 3 năm học 2021-2022 cho thấy: hầu hết các em còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài toán thuộc chủ đề tính đơn điệu, cực trị, tương giao của hàm hợp. Để kiếm chứng vấn đề này, bản thân đã làm phiếu khảo sát với nội dung như sau: Câu hỏi 1. Khi gặp bài toán tìm khoảng đơn điệu, tìm số cực trị, điểm cực trị, tìm số nghiệm phương trình liên quan đến hàm hợp y  f  ax  b  , bạn đã thành thạo cách giải chưa? A. Hoàn toàn thành thạo B. Biết làm một số bài C. Biết cách làm nhưng khi giải bài toán thì vẫn gặp khó khăn D. Không biết cách giải Câu hỏi 2. Khi gặp bài toán tìm khoảng đơn điệu, tìm số cực trị, điểm cực trị, tìm số nghiệm phương trình liên quan đến hàm hợp y  f  u  , với u là biểu thức bậc 2, bậc 3, căn thức, lượng giác, …, bạn đã thành thạo cách giải chưa? A. Hoàn toàn thành thạo B. Biết làm một số bài C. Biết cách làm nhưng khi giải bài toán thì vẫn gặp khó khăn D. Không biết cách giải Sau khi khảo sát 528 học sinh của khối 12 như sau: Biết cách giải Hoàn toàn Biết làm một nhưng khi Không biết thành thạo số bài giải vẫn khó cách giải Câu hỏi khăn Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ lượng % lượng % lượng % lượng % Câu hỏi 1 96 18,2 186 35,2 125 23,7 121 22,9 Câu hỏi 2 82 15,5 120 22,7 191 36,2 135 25,6 −9−
Tiếp tục kiểm chứng, bản thân triển khai xây dựng 1 bài kiểm tra với 10 câu đều là về hàm hợp: 3 câu hỏi về tính đơn điệu, 3 câu hỏi về cực trị, 3 câu hỏi về tương giao và 1 câu hỏi về GTLN, GTNN: Khảo sát khi chưa áp dụng sáng kiến của năm học 2020-2021 cho các đơn vị lớp 12A3, 12A6, 12D2: Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm
x, ta xem giá trị của g  x  biến thiên từ đâu đến đâu. Giả sử khi x   a; b  thì g  x  biến thiên từ c đến d. Sau đó nhìn vào bảng biến thiên của f  x  khi x biến thiên từ c đến d, ta kiểm tra sự biến thiên của f  x  . Kết quả sự biến thiên đó chính là sự biến thiên của y  f  g  x   trên  a; b  . Với một số bài toán như tìm số cực trị, tìm số nghiệm phương trình thì dường như sau khi thực hiện Bước 2 thì ta hoàn toàn trả lời được. Tuy nhiên với một số bài toán khác cần tìm đủ các cận của x như các bài toán tính đơn điệu, tìm điểm cực trị, tìm GTLN, GTNN. Khi đó ta cần giải thêm các phương trình g  x   m với m là các mốc giá trị của x trong bảng biến thiên của f  x  khi x biến thiên từ c đến d. 3.2. Áp dụng vào việc giải các bài toán về hàm số Trước hết, ta nghiên cứu các bài toán chỉ quan tâm đến chiều biến thiên của hàm hợp, mà chưa cần đến các giá trị của biến x. Chẳng hạn như các bài toán tìm số cực trị, tìm số nghiệm của phương trình (tương giao). Bài 1. (Câu 48- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019) Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của hàm số f   x  như sau:  Số điểm cực trị của hàm số y  f x 2  2 x là  A. 3 . B. 9 . C. 5 . D. 7 . Phân tích:   Hàm số y  f x 2  2 x là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  x 2  2 x . Từ đó ta cần lập bảng biến thiên của hàm số u  x 2  2 x . Kết hợp bảng biến thiên của hàm  số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f x 2  2 x  Lời giải: Xét hàm số u  x 2  2 x , ta có u  2 x  2; u  0  x  1 Bảng biến thiên của hàm số u  x 2  2 x là −11−
x  1  u − 0 +   u 1 Ta thực hiện ghép bảng biến thiên như sau: Nhìn vào bảng biến thiên của u  x 2  2 x : + Khi x biến thiên từ  đến 1 thì u biến thiên từ  đến 1. Nhìn vào bảng biến thiên của y  f  x  : Khi x biến thiên từ  đến 1 thì f  x  biến thiên như sau: Giảm từ  đến 1 rồi tăng lên 2, rồi giảm xuống 3 . + Khi x biến thiên từ 1 đến  thì u biến thiên từ 1 đến  . Nhìn vào bảng biến thiên của y  f  x  : Khi x biến thiên từ 1 đến  thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ 3 đến 2 rồi giảm xuống 1, rồi lại tăng lên đến  .   Từ đó ta lập bảng biến thiên của y  f x 2  2 x là: x  1    2 2  y  f x  2x 2  1 1 3 Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Bài 2. (Câu 46-Đề minh họa lần 1 năm 2020) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có   đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g  x   f x3  3 x 2 là A. 5 . B. 3 . C. 7 . D. 11. Phân tích: −12−
  Hàm số g  x   f x 3  3x 2 là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  x 3  3x 2 . Từ đó ta cần lập bảng biến thiên của hai hàm số u  x 3  3x 2 . Kết hợp bảng biến thiên của hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số  g  x   f x3  3 x 2 .  Lời giải:  x  2 Xét hàm số u  x3  3x 2 ta có u '  3x 2  6 x  0   . x  0 Bảng biến thiên của hàm số u là x  2 0  u + 0 − 0 + 4  u  0 Gọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số y  f  x  khi đó a  0  b  4  c . Và ta cũng có f  a   f  c   0 ; f  b   0 . Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  : x  a 0 b 4 c   f b  f  x 0 0 f c f a Ta thực hiện ghép bảng như sau: + Khi x biến thiên từ  đến 2 thì u biến thiên từ  đến 4. Nhìn vào bảng biến thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ  đến 4 thì f  x  biến thiên như sau: Giảm từ  đến f  a  , rồi tăng lên f  b  , sau đó giảm đến f  4   0 . + Khi x biến thiên từ 2 đến 0 thì u biến thiên từ 4 đến 0. Nhìn vào bảng biến thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 4 đến 0 thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ f  4   0 đến f  b  , sau đó giảm đến f  0   0 . + Khi x biến thiên từ 0 đến  thì u biến thiên từ 0 đến  . Nhìn vào bảng biến thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 0 đến  thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ f  0   0 đến f  b  , sau đó giảm đến f  c  , rồi lại tăng đến  .  Từ đó ta có bảng biến thiên của g  x   f x3  3x 2 là  −13−
x  2 0   f  b f b f b  g x  0 0 f c f a   Suy ra g  x   f x3  3x 2 có 7 điểm cực trị. Bài 3. (Câu 46-Đề minh hoạ lần 2 năm 2020). Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau  5  Số nghiệm thuộc đoạn  0;  của phương trình f  sin x   1 là  2  A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Phân tích: Hàm số y  f  sin x  là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  sin x . Từ đó ta cần  5  lập bảng biến thiên của hàm số u  sin x trên  0;  . Kết hợp bảng biến thiên của  2  hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  sin x  . Lời giải:  5  Hàm số u  sin x , có bảng biến thiên trên  0;  là  2  x  3 5 0 2 2 2 1 1 u 0 1 −14−
 + Khi x biến thiên từ 0 đến thì u biến thiên từ 0 đến 1. Nhìn vào bảng biến thiên 2 của y  f  x  , khi x biến thiên từ 0 đến 1 thì f  x  tăng từ 0 đến 2.  3 + Khi x biến thiên từ đến thì u biến thiên từ 1 đến 1 . Nhìn vào bảng biến 2 2 thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì f  x  giảm từ 2 xuống 0, rồi lại tăng lên 2. 3 5 + Khi x biến thiên từ đến thì u biến thiên từ 1 đến 1. Nhìn vào bảng biến 2 2 thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì f  x  giảm từ 2 xuống 0, rồi lại tăng lên 2.  5  Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f  sin x  trên  0;  là:  2  x  3 5 0 2 2 2 2 2 2 u 0 0 0  5  Từ đó ta thấy phương trình f  sin x   1 có 5 nghiệm trên  0;  .  2  Bài 4. (Câu 41- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là đường cong như hình dưới. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  f  x    1 là A. 9 . B. 7 . C. 3 . D. 6 . Phân tích: −15−
Hàm số y  f  f  x   là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  f  x  . Từ đó ta cần lập bảng biến thiên của hàm số u  f  x  . Kết hợp bảng biến thiên của hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  f  x   . Lời giải: Bảng biến thiên của hàm số u  f  x  là x  1 1   3 u 1  Ta thực hiện ghép bảng biến thiên như sau: Nhìn vào bảng biến thiên của u: + Khi x biến thiên từ  đến 1 thì u biến thiên từ  đến 1. Nhìn vào đồ thị của y  f  x  khi x biến thiên từ  đến 1 ta thấy f  x  biến thiên như sau: Tăng từ  đến 3, rồi giảm xuống 1 . + Khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì u biến thiên từ 1 đến 3 . Nhìn vào đồ thị của y  f  x  khi x biến thiên từ 1 đến 3 ta thấy f  x  biến thiên như sau: Tăng từ 1 đến 3, rồi giảm xuống f  3 . (Lưu ý f  3  1 ) + Khi x biến thiên từ 1 đến  thì u biến thiên từ 3 đến  . Nhìn vào đồ thị của y  f  x  khi x biến thiên từ 3 đến  ta thấy f  x  biến thiên như sau: Tăng từ f  3 đến 3, rồi giảm xuống 1, rồi tăng lên  . Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f  f  x   như sau: x  1 1  3 3 3  u 1 1  f  3 Vẽ đường thẳng y  1 ta suy ra phương trình f  f  x    1 có 7 nghiệm. Bài 5. (Câu 2a- Đề HSG tỉnh Nghệ An 2021-2022) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình sau: −16−
2 Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x)   f   x  8 x  .   Phân tích: 2   Hàm số g ( x)   f x  8  x  là hàm hợp của hàm y  f 2  u  với   u  x  8  x . Từ đó ta cần đi lập bảng biến thiên của hai hàm số y  f 2  x  và u  x  8 x . Lời giải: Xét u  x  8  x , 0  x  8 . 1 1 u   . u  0  x  4 . Bảng biến thiên của u là 2 x 2 8 x x 0 4 8 u + 0  4 u 2 2 2 2 2 Xét hàm số y   f  x   :  f  x  0  x  a; x  b y  2 f   x  f  x  ; y  0     f  x   0  x  c; x  2 2; x  4 Trong đó x  a , x  b là hai điểm cực trị của hàm số y  f  x  (0  a  2 2  b  4) và y  f  x  cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ x  c, x  2 2, x  4  0  c  a  . 2 Ta có bảng biến thiên y   f  x   như sau: x  c a 2 2 b 4  y  0 + 0  0 + 0  0 + 0 2  f  b   y 2 2   f 2 2     f  4   −17−
2 Thực hiện ghép bảng biến thiên của hàm số y   f  x   với hàm số u  x  8  x như sau: + Khi x biến thiên từ 0 đến 4 thì u biến thiên từ 2 2 đến 4. Khi x biến thiên từ 2 2 2 2 2   đến 4 thì y   f  x   biến thiên như sau: Tăng từ  f 2 2  đến  f  b   , rồi   2 giảm đến  f  4   . + Khi x biến thiên từ 4 đến 8 thì u biến thiên từ 4 đến 2 2 . Khi x biến thiên từ 4 đến 2 2 2 2 2 thì y   f  x   biến thiên như sau: Tăng từ  f  4   đến  f  b   , rồi giảm 2  đến  f 2 2  .    2 Ta được bảng biến thiên của hàm số y   f    x  8  x  như sau:  x 0 4 8 y Từ đó suy ra hàm số có 3 điểm cực trị. Bài 6. (Sưu tầm) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ  Số nghiệm thực của phương trình f 2 x3  6 x  2  2 là  A. 15. B. 14. C. 12. D. 13. Phân tích:   Hàm số f 2 x 3  6 x  2 là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  2 x 3  6 x  2 . Từ đó ta cần lập bảng biến thiên của hàm số u  2 x 3  6 x  2 . Kết hợp bảng biến thiên của hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số   y  f 2 x 3  6 x  2 . Sau đó sử dụng lấy đối xứng qua trục hoành các phần phía  dưới ta sẽ thu được bảng biến thiên hàm số y  f 2 x3  6 x  2 .  −18−