Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến "Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT" được hoàn thành với mục tiêu nhằm nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT

Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG XÁC ĐỊNH CÁC LOẠI GÓC TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THPT LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 4 ---    --- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG XÁC ĐỊNH CÁC LOẠI GÓC TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THPT LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả: Lê Thị Thu Hương – Trường THPT Nghi Lộc 4 – ĐT 0941054567 Phạm Hoàng Quyền – Trường THPT Nghi Lộc 4 – ĐT 0919548996 Nguyễn Thanh Hà – Trường THPT Nghi Lộc 4 – ĐT 0943411728 Năm học : 2023 - 2024
MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ...................................................................................... 1 II. MỤC ĐÍCH, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH MỚI CỦA ĐỀ TÀI................................................................................ 1 1. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 2. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 2 3. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................... 2 4. Tính mới của đề tài ............................................................................................. 2 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ..................................................................... 2 I. CƠ SỞ KHOA HỌC ........................................................................................... 2 1. Cơ sở lý luận ...................................................................................................... 2 1.1. Khái niệm năng lực ......................................................................................... 2 1.2. Năng lực toán học là gì ? ................................................................................. 2 1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh ........................................... 3 2. Cơ sở thực tiễn ................................................................................................... 3 3. Cơ sở lý thuyết ................................................................................................... 4 3.1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian .................................................... 4 3.2. Góc đường thẳng và mặt phẳng ....................................................................... 4 3.3. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian ....................................................... 5 II. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH CÁC LOẠI GÓC TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THPT............................. 8 BÀI TOÁN 1. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. ...... 8 1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian. .................... 8 1.2. Sử dụng góc giữa hai vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng. .......................... 12 1.3. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian ............................................. 17 BÀI TOÁN 2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. .................................................................................................................. 19 2.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. .. 20 2.2. Chuyển về tính góc giữa đường thẳng song song hoặc mặt phẳng song song với nó. ........................................................................................................................ 23 2.3. Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ......................................... 25
2.4. Chuyển về tính góc phụ nhau ........................................................................ 29 2.5. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian ............................................. 30 BÀI TOÁN 3 . GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.......... 33 3.1. Sử dụng định nghĩa góc của hai mặt phẳng.................................................... 33 3.2. Dựa vào cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau. .............................. 35 3.3. Sử dụng diện tích hình chiếu của một đa giác ................................................ 42 3.4. Chuyển về mặt phẳng song song ................................................................... 43 3.5. Mở rộng mặt phẳng ....................................................................................... 45 3.6. Thông qua tính khoảng cách .......................................................................... 47 3.7. Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.............................................. 51 III. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ......................................................................... 54 1. Mục đích thực nghiệm ...................................................................................... 54 2. Nội dung thực nghiệm ...................................................................................... 54 3. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................................ 54 4. Đánh giá kết quả thực nghiệm .......................................................................... 55 Phần III. KẾT LUẬN ........................................................................................... 56 1. Quá trình thực hiện ........................................................................................... 56 2. Ý nghĩa của đề tài ............................................................................................. 56 3. Kiến nghị, đề xuất ............................................................................................ 57 4. Kết luận khoa học............................................................................................. 57
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình giáo dục phổ thông hiện nay, bộ môn toán đóng một vai trò hết sức quan trọng, góp một phần không nhỏ trong giáo dục và phát triển trí tuệ của học sinh, giúp học sinh thấy được ứng dụng của toán học trong cuộc sống. Đặc biệt là nội dung hình học không gian, là một phần quan trọng của môn Toán, nó giúp học sinh phát triển khả năng tư duy không gian, logic và khả năng giải quyết vấn đề. Hình học không gian có ứng dụng rộng rãi trong đời sống hàng ngày, từ kiến trúc, điều khiển tự động hóa, định vị địa lí và bản đồ, mô phỏng và thực tế ảo, đến thiết kế sản phẩm và kĩ thuật... Mặc dù hình học không gian có vai trò quan trọng như vậy trong ứng dụng thực tiễn, nhưng đối với các em học sinh, đây là một chủ đề khó, các em phải có sự liên tưởng giữa tư duy trừu tượng và tư duy trực quan trong không gian thực với không gian lí tưởng. Trong quá trình giảng dạy hình học không gian lớp 11, 12, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi học sinh giỏi, chúng tôi thấy học sinh gặp nhiều khó khăn trong giải quyết các bài toán hình học không gian, đặc biệt là các bài toán liên quan đến góc trong không gian. Đây là phần bài tập xuất hiện tương đối nhiều trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi tốt nghiệp THPT, mà phần trình bày trong sách giáo khoa lại đơn giản, mặt khác tài liệu tham khảo liên quan còn rất hạn chế và chưa đầy đủ. Vì vậy, vai trò của người thầy không những phải chủ động lựa chọn cách thức dạy học mà còn phải tổ chức, hướng dẫn, định hướng, hỗ trợ cho học sinh tìm ra kiến thức mới, rèn luyện kĩ năng giải toán cơ bản, nhằm giúp các em chủ động giải quyết tốt các bài toán về góc trong không gian, tạo niềm hứng thú trong học tập cho các em. Vì những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “ Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT”. II. MỤC ĐÍCH, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH MỚI CỦA ĐỀ TÀI 1. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu một số vấn đề lý luận và thực tiễn phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc rèn luyện kỹ năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT. - Nâng cao chất lượng giảng dạy, học tập đối với giáo viên và học sinh khi dạy và học hình học không gian. Các em học sinh lớp 11, 12 có thể tham khảo trong quá trình học tập, ôn tập thi tốt nghiệp THPT cũng như thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Góp phần làm cho các em thấy cái hay, cái đẹp của môn toán, từng bước tạo ra niềm đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại khi học hình học không gian của các em học sinh, tạo động lực giúp các em học tốt hơn. 1
2. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm. - Điều tra quan sát: Thực trạng về khả năng xác định các loại góc trong bài toán hình học không gian THPT. - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 3. Đối tượng nghiên cứu - Sách giáo khoa, bài tập, sách giáo viên Toán lớp 11, 12. - Một số bài toán xác định góc hay các bài toán liên quan đến góc trong chương trình hình học không gian THPT. 4. Tính mới của đề tài - Góp phần thực hiện thành công đổi mới chương trình phổ thông 2018 về phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh. - Học hinh giải quyết được một số bài toán về xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. - Sáng kiến có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông. Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1. Cơ sở lý luận 1.1. Khái niệm năng lực Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác nhau như hứng thú, niềm tin, ý chí, ..., thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể. 1.2. Năng lực toán học là gì ? Năng lực toán học là một loại hình năng lực chuyên môn, gắn liền với môn học. Năng lực toán học là khả năng tiếp cận, sử dụng, diễn giải, truyền đạt thông tin và ý tưởng toán học, để xử lí những yêu cầu toán học từ những tình huống thực tế trong đời sống văn hóa và xã hội. Năng lực toán học bao gồm các thành tố: Năng lực (NL) tư duy và lập luận toán học, NL mô hình hóa toán học, NL giải quyết vấn 2
đề toán học, NL giao tiếp toán học, NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán. 1.3. Năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh Năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh là một trong những thành phần cốt lõi của năng lực toán học. Nó là sự kết hợp mang tính đồng bộ, linh hoạt và hỗ trợ lẫn nhau giữa bốn yếu tố sau: Khả năng sử dụng các kiến thức toán học, kĩ năng, phẩm chất, thái độ, hành vi, ... Khả năng nhận biết, phát hiện và đánh giá chính xác các tình huống toán học. Khả năng đề xuất, lựa chọn những phương án tối ưu. Khả năng tự phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học sau mỗi tình huống toán học gặp phải. Trong dạy học Toán, năng lực giải quyết vấn đề toán học của học sinh được thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học Bước 2: Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề. Bước 3: Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích ( bao gồm các công cụ và thuật toán ) để giải quyết vấn đề đặt ra. Bước 4: Trình bày giải pháp đề ra và khái quát được cho vấn đề tương tự. 2. Cơ sở thực tiễn Hiện nay, dạy học hình học không gian không chỉ quan tâm đến kiến thức cần đạt mà còn chú ý đến sự phát triển cho trí tưởng tượng không gian của người học. Khi học hình học không gian, học sinh phải có sự liên tưởng giữa tư duy trừu tượng và tư duy trực quan trong không gian thực với không gian lí tưởng. Thực trạng giảng dạy phần hình học không gian tại trường cho thấy, đa số học sinh chưa có hứng thú và gặp khó khăn trong việc tiếp thu các kiến thức về hình học không gian. Qua chấm thi các bài kiểm tra cuối kỳ, khảo sát, các bài thi thử THPT, các bài thi thử HSG tỉnh... thì phần đông học sinh bỏ trống hoặc chỉ làm được những bài hết sức cơ bản. Nguyên nhân chủ yếu do học sinh khó tưởng tượng, dẫn đến tâm lí " sợ" học hình học không gian, làm cho các em không nắm được các kiến thức cơ bản của hình học không gian như cách biểu diễn hình một hình không gian, các khái niệm, định lí cơ bản về hình học không gian và các mối liên quan giữa chúng. Đặc biệt là khi học về góc trong không gian, lượng kiến thức về góc được trình bày trong sách giáo khoa còn ít, các em gặp trở ngại do mang những hiểu biết không đầy đủ vào môn học, ví dụ như: khi học khái niệm về góc giữa 2 đường thẳng, với câu hỏi: " Hai đường thẳng phân biệt a, b cùng vuông góc với đường thẳng c , có nhận xét gì về vị trí tương đối của a, b ?'', không ít HS đã trả lời: " Hai đường thẳng a, b song song với nhau''. Mặt khác, học sinh chưa có nhiều kỹ năng cơ bản để xác định và tính các loại 3
góc trong không gian hay khi gặp những bài toán về góc đòi hỏi tư duy logic và kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ để giải quyết thì các em còn lúng túng, lo sợ. Do đó, vai trò người giáo viên rất quan trọng trong việc định hướng, tìm ra những biện pháp giảng dạy phù hợp, tăng cường sử dụng phương tiện trực quan, phần mềm hỗ trợ dạy học. Qua đó, giúp các em học sinh biểu diễn được hình không gian, chiếm lĩnh được ngôn ngữ liên quan đến các khái niệm, khám phá và chuyển hóa được các quan hệ hình học không gian, làm cho học sinh thoát khỏi nỗi sợ khi học hình học không gian, giúp các em tự tin hơn trong giải toán, tạo cho các em niềm đam mê học tập và đạt kết quả cao trong các kì thi. 3. Cơ sở lý thuyết Để thực hiện đề tài tác giả đã dựa trên những cơ sở lý thuyết cơ bản sau : 3.1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian, kí hiệu  a, b  , là góc giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với a và b . Nhận xét: +) Góc giữa hai đường thẳng a và b không phụ thuộc vào vị trí điểm O . Vì vậy, ta có thể chọn điểm O ở trên 1 trong 2 đường thẳng và từ O vẽ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại. +) Với 2 đường thẳng a và b bất kì:  a , b    0 0 ;90 0     +) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b , u , v lần lượt là hai véctơ chỉ  u.v phương của a và b thì cos     . u.v 3.2. Góc đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa. Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( P) . Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) bằng 900 . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( P) thì góc giữa đường 4
thẳng a và hình chiếu (a ') của nó trên ( P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) . Kí hiệu  a,( P)  , vậy  a,( P )    a, a ' . Nhận xét: +)  a,( P )   00 ;900    a / / ( P) +) Nếu    a ,( P )   00 a  ( P)   +) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và ( P) , u , n lần lượt là vectơ chỉ  u.n phương của a và vectơ pháp tuyến của ( P) thì sin     . u.n +) H là hình chiếu vuông góc của A lên  P  . Khi đó, khoảng cách từ điểm A lên mặt phẳng  P  là AH và kí hiệu: AH  d  A,  P   d  A,  P   Nếu a   P   O  sin   , với A  a, A   P  AO +) Gọi  là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( P) thì   90 0  (  , a ) , trong đó  là đường thẳng đi qua O (với O  a  ( P)) và vuông góc với ( P) . 3.3. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian 3.3.1. Định nghĩa 5
Cho 2 mặt phẳng   ,    . Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với   ,    . Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng   ,    .  a     Như vậy:      ,       a , b  .  b    Nhận xét: +) Nếu  là góc giữa hai mặt phẳng   ,    thì    00 ;900       / / (  ) +) Nếu      ,(  )   00 ( )  (  ) +) Nếu    (  )     ,(  )   900 3.3.2. Góc nhị diện. a) Định nghĩa: Hình gồm 2 nửa mặt phẳng  P  ,  Q  có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu  P, a, Q  . Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng  P  ,  Q  tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó. Từ điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện  P, a, Q  , vẽ các tia Ox  a, Ox   P  và Oy  a, Oy   Q  . 6
 Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện  P, a, Q  ( gọi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện  P, a, Q  . b) Nhận xét: +) Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 00 đến 1800 . +) Đối với 2 điểm M , N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu  M , a, N  là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M , N . c) Cách xác định góc nhị diện  P, a, Q  : B1: Tìm giao tuyến a   P    Q  B2: Tìm trên a điểm O , từ O kẻ Ox  a, Ox   P  và Oy  a, Oy   Q  B3: Kết luận  P, a, Q  . Nhận xét: +)   P  ,(Q )    Ox, Oy    +) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  P  ,  Q  , n1 , n2 lần lượt là vectơ pháp   n1.n2 tuyến của  P  ,(Q ) thì cos     . n1 . n2 3.3.3. Diện tích hình chiếu của một đa giác. Cho đa giác H nằm trong mặt phẳng ( ) có diện tích S và H ' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng ( ) S' có diện tích là S ' . Gọi  là góc giữa ( ) và ( ) thì cos   . S 3.3.4. Phương pháp tọa độ trong không gian. Việc giải quyết một số bài toán một cách trực tiếp sẽ làm cho HS gặp nhiều khó khăn trong quá trình đi tìm tòi lời giải, tuy nhiên, nếu sử dụng phương pháp tọa độ hóa thì bài toán sẽ được giải quyết một cách nhanh chóng và dễ hiểu. Với phương pháp này, việc chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp là một bước quan trọng nhất đối với HS. Từ đó, HS tìm được tọa độ các điểm liên quan và chuyển được bài toán về bài toán hình học giải tích đã biết cách giải. 7
II. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG XÁC ĐỊNH CÁC LOẠI GÓC TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THPT BÀI TOÁN 1 . GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN. Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian, ta có thể sử dụng một số phương pháp sau: 1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Ví dụ 1.1.1. Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC . Tính số đo của góc hai đường thẳng IJ và CD . A. 300 B. 450 C. 900 D. 600 S HD giải: I A D B C J  IJ //SB  Ta có   ( IJ , CD )  ( SB, AB )  SBA  600 ( do SAB là tam giác CD // AB đều ). Vậy chọn đáp án D. Nhận xét. Nhờ chuyển về góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng đã cho mà ta có thể xác định nhanh góc giữa hai đường thẳng cần tìm. Ví dụ 1.1.2. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Tính góc giữa hai đường thẳng CD và AB ' B. 300 B. 450 C. 900 D. 600 ( Đề thi minh họa năm 2024). 8
HD giải:  Ta có tam giác CDC ' vuông cân tại C nên CDC '  450 .  Vậy ( AB ', CD )  CDC '  450 . Vậy chọn đáp án B. Nhận xét. Ví dụ này ta đã sử dụng nhận xét 3.1 cho lời giải nhanh chóng mà không cần thiết lập hai đường thẳng cùng đi qua một điểm song song với hai đường thẳng đã cho. Ví dụ 1.1.3. Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong 7 kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230m , các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219m ( kích thước hiện nay). (Theo britannica.com). Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp. ( BT vận dụng SGK Toán 11 tập 2-KNTT trang 29). 9
HD giải: Vì ABCD là hình vuông nên AB / / CD   AB , SC    CD , SC  .  Gọi H là trung điểm của DC  SH  DC   AB, SC   SCD  HC 230 1 115 Trong tam giác vuông SCH : cos SCH   .  SC 2 219 219   SCH  58,30 Vậy góc tạo bởi cạnh bên SC và cạnh đáy AB của kim tự tháp khoảng 58,30 . Nhận xét: Đây là bài toán ứng dụng thực tế, liên quan đến bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng. Qua bài toán này, giúp HS nâng cao khả năng tư duy, biết vận dụng sáng tạo, phát triển kĩ năng giải toán, kĩ năng giải quyết vấn đề nảy sinh trong thực tiễn cuộc sống, tạo hứng thú học tập cho các em. Ví dụ 1.1.4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân  AB / /CD    nội tiếp đường tròn tâm O và SBA  SCA  900. Gọi M là trung điểm của cạnh SA. a) Chứng minh rằng MO   ABCD  . b) Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng BC cos   . SA ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2019). 10
HD giải: S M I A B O D C a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng  ABCD     Xét các tam giác MHA, MHB, MHC có: MHA  MHB  MHC  900 , MH chung, 1 MA  MB  MC  SA 2 Suy ra MHA  MHB  MHC nên HA  HB  HC Do đó H  O, vì vậy MO   ABCD  . b) Vì AB / /CD nên góc giữa hai đường thẳng AB và SC là góc giữa hai đường   thẳng CD và SC, suy ra cos   cos SCD  1  sin 2 SCD (*) Gọi điểm I là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng  SCD  1 Ta có MD  MC  SA nên SDA vuông tại D 2 Mặt khác lại có MS  MD  MC , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp SCD. Khi  SD  SD  SD (vì MID vuông tại I nên ID  MD ) đó: sin SCD  2 ID 2 MD SA Từ (*) suy ra  SD 2 SA2  SD 2 AD 2 AD BC cos   1  sin 2 SCD  1      SA2 SA2 SA2 SA SA BC Vậy cos   (đpcm) SA Nhận xét. Ở ví dụ này, việc xác định góc giữa 2 đường thẳng quy về việc xác định góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau thông qua quan hệ song song. Đây là đề thi BC HSG Tỉnh nên việc đánh giá cos   là một bài toán khó đối với HS, tuy nhiên SA việc xác định được góc  đã phần nào giúp HS định hướng được cách giải và tìm ra được các mối liên hệ giữa các yếu tố liên quan để đưa ra kết quả cuối cùng một cách nhanh chóng. 11
1.2. Sử dụng góc giữa hai vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng.   Bổ đề 1: Gọi  là góc giữa hai đường thẳng a và b ; u , v lần lượt là hai véctơ  u.v chỉ phương của a và b thì cos     . u.v Ví dụ 1.2.1. Cho hình chóp S. ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  a 2 . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 0 0 0 0 A. 30 B. 45 C. 90 D. 60 ( Đề thi thử THPT chuyên Hạ Long năm 2018). HD giải: Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC . Cách 1. Xét ABC có: AB  AC  a, BC  a 2 . Suy ra ABC là tam giác vuông cân tại A Gọi I là trung điểm của BC , suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .    Vì SA  SB  SC nên SI   ABC   SI  AB  SI . AB  0     AB. SC  Ta có: cos  cos AB, SC   AB.SC                   Mặt khác: AB. SC  AB. SI  IC  AB. SI  AB. IC  AB. IC 1    1 a2   BA. BC   BA.BC .cos 45  0 2 2 2 a2 1  cos      600 . Vậy chọn đáp án D. 2.a.a 2 Cách 2. Xét BSC có: SB  SC  a, BC  a 2 . Suy ra BSC là tam giác  vuông cân tại S  BSC  900 Từ giả thiết: SA  SC  AC  a  SAC đều    600 ASC 12
    AB. SC  cos  cos AB, SC   AB.SC            Ta có:   AB. SC  SB  SA .SC  SB. SC  SA. SC    SB.SC.cos BSC  SA.SC.cos ASC a2  SB.SC .cos90  SA.SC .cos 60   0 0 2 a2 1  cos      600 . Vậy chọn đáp án D. 2.a.a 2 Nhận xét: Ở ví dụ này, HS có thể tìm cách đưa về 2 đường thẳng song song và cắt nhau như 1.1, tuy nhiên không phải HS nào cũng tìm được 2 đường thẳng đó. Nhưng từ giả thiết, các em có thể nghĩ đến cách phân tích các véc tơ chỉ phương theo các véc tơ có độ dài và góc ở các tam giác đặc biệt như tam giác đều, tam giác vuông, để từ đó tính tích vô hướng và tích độ dài của các véc tơ chỉ phương dễ dàng và chủ động hơn. Ví dụ 1.2.2. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD, BB ' . Tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng MN và AC ' . 3 2 5 2 A. . B. . C. . B. . 3 3 3 4 ( Đề thi thử THPTQG năm 2023). Định hướng: Ở ví dụ này, việc tạo ra các đường thẳng cắt nhau và song song với 2 đường thẳng MN và AC ' là một vấn đề quá khó đối với HS, bắt buộc các em phải nghĩ đến cách đưa về việc tính   các véc tơ chỉ phương của 2 đường góc giữa   thẳng Khi đó, để dễ dàng tính MN . AC ' và MN , AC ' ,  em phải phân tích    này.   các  MN , AC ' theo các véc tơ có quan hệ vuông góc: AB, AD, AA ' , các véc tơ này có tích vô hướng bằng 0 và có độ dài bằng cạnh của hình lập phương. HD giải: 13
     1  1     Ta có: MN  MA  AB  BN  AB  AD  AA '       2 2 AC '  AB  AD  AA '     1  1           2 2    MN . AC '   AB  AD  AA '  . AB  AD  AA '  1 1  AB 2  AD 2  AA '2  AB 2 2 2 1 1 3 6 MN 2  AB 2  AD 2  AA '2  AB 2  MN  AB 4 4 2 2 AC '2  3 AB2  AC '  AB 3     MN . AC '    cos  MN , AC '  cos MN , AC '  MN . AC '  2 AB 2 18 AB 2  3 2 . Vậy chọn đáp án B. Ví dụ 1.2.3. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) , SA  2a . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , điểm M là trung điểm của đoạn thẳng SD .Tính cosin của góc hai đường thẳng CG và AM . HD giải: Gọi I là trung điểm của AB .  1    Do M là trung điểm của SD nên AM  ( AD  AS ) . 2 1 a 5 Ta có: AM  SD  . 2 2 Do G là trọng tâm tam giác SAB nên  1    1     1     CG  (CB  CA  CS )  (CB  CA  CA+ AS )  (CB  2CA+ AS ) 3 3 3 1     1       (CB  2CB +2CD  AS )  (3 AD  2 AB  AS ) 3 3 14
  1          1 1 a2 AM .CG  ( AD  AS )( 3 AD  2 AB  AS )  ( 2 AD 2  AS 2 )  ( 2 a 2  4a 2 )  6 6 6 3  2 1       1 1 17 a 2 CG  ( 3 AD  2 AB  AS ) 2  (9 AD 2  4 AB 2  AS 2 )  (9 a 2  4 a 2  4 a 2 )  9 9 9 9 a2    a 17 CG. AM 2 85 Nên ta có CG  .Vậy cos(CG, AM )   3  . 3 CG. AM a 17 a 5 85 . 3 2 Nhận xét. Sử dụng bổ đề 1 để tính góc giữa hai vectơ chỉ phương, ta có thể giải quyết bài toán một cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp. Nếu làm theo định nghĩa thì gặp khó khăn trong dựng các đường thẳng song song, tính độ dài các đoạn thẳng đó, lời giải sẽ dài, thậm chí không giải được. Ví dụ 1.2.4. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA  2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi F là trung điểm cạnh AB và G là trung điểm của SF . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng CG và BD 82 41 2 41 82 A. . B. . C. . D. . 41 41 41 82 HD giải: Cách 1. Gọi I là điểm đối xứng của A qua B . Ta có BDCI là hình bình hành nên CI  BD  cos  CG , BD   cos  CG , CI  .   2  2a   a 2 2 Mặt khác: SC  SA2  AC 2  a 6. 2 a a 5 a 2 CF  BC  BF  2 2    2 2 S G F I A B D C 15
2 a a 17  2a  2 SF  SA  AF  2 2    . 2 2 2 2 a 5  a 17    2    a 6   SC 2  CF 2 SF 2 2   2   a 41 . CG      2 4 2 4 4 3 3a Mà CI  BD  a 2 ; IF  BI  . 2 2  2a    2 a  2 2 Ta có SI  SA2  AI 2   2a 2 . 2 2  a 17   3a    2    2a 2   IF  SI  2   a 65 . 2 2 2 SF    2  IG    2 4 2 4 4   CG  CI  IG  82 . 2 2 2 Do đó cos GCI 2CG.CI 82 82 Vậy cos  CG, BD   cos  CG, CI   . Chọn đáp án D 82 Cách 2. Gọi I là trung điểm của AF thì GI   ABCD  , GI  a . 41a Ta có GC  IC 2  GI 2  IB 2  BC 2  GI 2  ; BD  2a . 4     3      1      4  4  Xét GC.BD   GI  AB  AD  . AD  AB  a 2 .  16