Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập toán bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu đề tài là xác định các dạng toán có thể sử dụng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai để giải. Nghiên cứu các bước thiết lập mô hình bài toán giải bằng phương pháp ứng dụng hàm bậc hai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập toán bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do lựa chọn đề tài Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học. Để thực hiện đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đòi hỏi giáo dục phổ thông cần chuyển từ nền giáo dục theo hướng tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực mô hình hóa là một trong những thành tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập. Có thể nói mô hình là được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình hóa toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng của ngôn ngữ toán học, trong đó mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Mô hình hóa cũng cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán học. Cách tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê toán học. Là một giáo viên đang thực hiện chương trình giáo dục mới tôi tự đặt ra câu hỏi vậy hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa như thế nào và thông qua những hoạt động nào? Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy việc dạy học sinh giải các bài toán ứng dụng hàm số bậc hai có thể phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh rất tốt. Vì vậy, tôi đã chọn đề tài: “ Phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập toán bằng phƣơng pháp ứng dụng hàm số bậc hai.”. 2. Phạm vi và đối tƣợng nghiên cứu 2.1. Đối tượng nghiên cứu - Khái niệm mô hình, mô hình hóa toán học - Quy trình mô hình hóa - Khái niệm năng lực mô hình hóa toán học, biểu hiện và yêu cầu cần đạt 1
- Các bài toán giải bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai 2. 2. Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu việc học sinh thiết lập được mô hình hóa ở các bài toán ứng dụng hàm số bậc hai để giải. 3. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của đề tài. - Xác định các dạng toán có thể sử dụng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai để giải. - Nghiên cứu các bước thiết lập mô hình bài toán giải bằng phương pháp ứng dụng hàm bậc hai. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu 1. Nhóm phương pháp lý thuyết 2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn 5. Đóng góp của đề tài - Hệ thống hóa những cơ sở lí luận về mô hình hóa toán học, quy trình mô hình hóa toán học; năng lực và năng lực mô hình hóa. - Xác định các biểu hiện năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở bậc trung học phổ thông. - Thiết lập được mô hình trong một số bài toán giải bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai qua đó phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. 2
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Khái niệm mô hình hóa toán học Mô hình là vật thay thế mang đầy đủ các tính chất của một vật thực tế. Qua nghiên cứu mô hình, ta có thể nắm vững các thuộc tính của đối tượng cần nghiên cứu mà không cần phải tiếp xúc với vật thật. Theo Kai Velten (2009), mô hình tốt nhất là mô hình đơn giản nhất nhưng vẫn đáp ứng đầy đủ các mục tiêu cần khảo sát, nói một cách khác nó cũng có đủ sự phức tạp để chúng ta hiểu rõ cách hoạt động của hệ thống và giải quyết tình huống có vấn đề đã đặt ra. Mô hình toán học Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn. Theo định nghĩa Mô hình hóa toán học của Singapore: “Mô hình hóa toán học: là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn”. Thông qua Mô hình hóa toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu, các phương pháp và công cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn. Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các công cụ toán học để phân tích dữ liệu nên là một phần của việc học tập toán học ở tất cả các cấp. Theo tài liệu của Nguyễn Danh Nam về mô hình hoá toán học: “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học.” Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán. Mô hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn. 1.2. Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán Phỏng theo Coulange (1997), tác giả Lê Thị Hoài Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bước của quá trình mô hình hóa như sau: 3
Bước 1: Chuyển từ vấn đề thực tế ban đầu thành mô hình trung gian bằng cách chuyển ngữ, loại bỏ hoặc thêm vào một số dữ kiện để vấn đề cần giải quyết trở nên rõ ràng và khả thi hơn. Ở đây, có thể xuất hiện nhiều mô hình trung gian cùng lúc mà người học phải lựa chọn, hoặc lần lượt trải qua. Bước 2: Chuyển mô hình trung gian ở bước 1 thành mô hình thuần tuý toán học. Trong đó, các đối tượng, mối quan hệ đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ toán học. Ở đây, người học có thể phải đối diện trước nhiều mô hình toán học. Bước 3: Trước câu hỏi toán học được đặt ra trong bước 2, người học phải huy động các kiến thức toán để đưa ra một câu trả lời, cũng mang bản chất toán học. Bước 4: Câu trả lời mang màu sắc “toán học” ở bước 3 được biên dịch thành câu trả lời cho vấn đề thực tế ban đầu. Ở đây, có thể xuất hiện khả năng câu trả lời có được lại không phù hợp với bối cảnh thực tế ban đầu do lời giải toán học ở bước 3 có vấn đề, hoặc do mô hình toán học được xây dựng ở bước 2 chưa thoả đáng, hoặc có thể do mô hình trung gian ở bước 1 chưa phản ánh đủ bối cảnh thực tế. 1.3. Năng lực mô hình hóa toán học 1.3.1. Năng lực Các nhà khoa học đã đưa ra nhiều định nghĩa về khái niệm năng lực, chẳng hạn: 4
Xavier Roegiers (1996) cho rằng: “Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra”. Trong Từ điển tiếng Việt, Hoàng Phê (2003) định nghĩa: “Năng lực là phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao”. Theo Bùi Minh Hạc (1992): “Năng lực chính là một tổ hợp đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách), tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”. Trong Từ điển giáo dục học, Bùi Hiền và cộng sự (2001) định nghĩa: “Năng lực là khả năng được hình thành hoặc phát triển, cho phép một con người đạt thành công trong một hoạt động thể lực, trí lực hoặc nghề nghiệp. Năng lực là kĩ năng ứng dụng, thông hiểu, diễn tả - giao lưu và giải quyết các vấn đề. Đó là mức độ làm chủ những thao tác bắt buộc của sự thông minh như những kĩ năng trong việc quan niệm và phát triển những ý tưởng, như trí nhớ và hành trang về những kiến thức chung và chuyên biệt”. Như vậy, với những khái niệm và cách tiếp cận trên, ta có thể rút ra một số điểm chung của năng lực như sau: - Năng lực là sự kết hợp của kiến thức, kĩ năng sẵn có và thu được thông qua quá trình học tập, rèn luyện của người học. - Năng lực bao gồm các thành tố: kiến thức, kĩ năng, thái độ và các thuộc tính cá nhân (xúc cảm, động cơ học tập, niềm tin, ý chí,…). - Năng lực được hình thành và phát triển nhằm giải quyết các hoạt động thực tiễn, trong bối cảnh và điều kiện nhất định. 1.3.2. Năng lực toán học Năng lực toán học là thuộc tính cá nhân được hình thành và phát triển thông qua quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động những kiến thức, kĩ năng liên quan đến Toán học cùng với các thuộc tính khác như hứng thú, niềm tin, ý chí để giải quyết các vấn đề trong nội bộ toán học hoặc các tình huống có trong thực tiễn. Theo Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể, môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học bao gồm các thành phần cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Trong khung đánh giá năng lực Toán học của Chương trình đánh giá học sinh quốc tế ( PISA) cho rằng: “ Năng lực toán học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và giải thích toán học trong nhiều ngữ cảnh. 5
Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, sự việc và công cụ để mô tả, giải thích và dự đoán được các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra các phán đoán và quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm.” Khung đánh giá này cũng đề cập đến 3 mức độ năng lực toán phổ thông, cụ thể được thể hiện trong bảng dưới đây: Cấp độ của năng lực Đặc điểm Cấp độ 1 - Nhớ lại các khái niệm, đối tượng, định nghĩa và tính chất toán học Ghi nhớ, tái hiện - Thực hiện một cách làm quen thuộc - Áp dụng một thuật toán tiêu chuẩn - Kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề đơn giản. - Tạo những kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau. Cấp độ 2 - Đọc và giải thích được các kí hiệu và ngôn ngữ Kết nối, tích hợp - hình thức (toán học) và hiểu chúng với ngôn ngữ tự nhiên. - Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có tính vấn đề phải giải quyết. Cấp độ 3 - Vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn. Khái quát hóa, toán học hóa - Biết phân tích, tổng hợp, suy luận, lập luận, khái - quát hóa trong chứng minh toán học. 1.3.3. Năng lực mô hình hóa Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa toán học và nó gồm có nhiều kĩ năng thành phần. Theo Blom và Jensen định nghĩa năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước. Maab định nghĩa năng lực mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóa nhằm đạt được mục tiêu xác định. Như vậy có thể hiểu năng lực mô hình hóa toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết vấn đề Toán học được đặt ra. Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa dành cho các đối tượng HS phổ thông để xác định những kĩ năng mà HS cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình mô hình hóa. Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán 6
học đó là: (1) Đơn giản giả thuyết  (2) Làm rõ mục tiêu  (3) Thiết lập vấn đề  (4) Xác định biến, tham số, hằng số  (5) Thiết lập mệnh đề toán học  Lựa chọn mô hình  (7) Biểu diễn mô hình thích hợp  (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Các trình độ của năng lực mô hình hóa toán học Từ các nghiên cứu về mô hình hóa toán học đã được nhiều nhà khoa học công bố có thể phân bậc năng lực mô hình hóa toán học của mỗi người như sau: Thành phần Trình độ Học sinh tiểu học Học sinh THCS Học sinh THPT 1. Xác định 1. Lựa chọn được 1. Sử dụng được 1. Thiết lập được mô mô hình toán các phép toán, các mô hình toán hình toán học (gồm công học (gồm công thức số học, học (gồm công thức, phương trình, sơ công thức, sơ đồ, bảng biểu, thức toán học, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, phương trình, hình vẽ để trình đồ, bảng biểu, đồ thị,…) để mô tả tình bảng biểu, đồ bày, diễn đạt (nói hình vẽ, phương huống đặt ra trong một thị,…) cho hoặc viết) được trình, hình biểu số bài toán thực tiễn tình huống các nội dung, ý diễn,…) để mô tả xuất hiện tưởng của tình tình huống xuất trong bài toán huống xuất hiện hiện trong một số thực tiễn trong bài toán bài toán thực tiễn thực tiễn đơn không quá phức giản tạp 2. Giải quyết 2. Giải quyết 2. Giải quyết 2. Giải quyết được những những vấn đề được những bài được những vấn vấn đề toán học trong mô toán học toán xuất hiện từ đề toán học trong hình được thiết lập trong mô hình sự lựa chọn trên mô hình được được thiết lập thiết lập 3. Thể hiện và 3. Nêu được câu 3. Thể hiện được 3. Lí giải được tính đúng đánh giá lời trả lời cho tình lời giải toán học đắn của lời giải (những giải trong ngữ huống xuất hiện vào ngữ cảnh kết luận thu được là có ý cảnh thực tế trong bài toán thực tiễn và làm nghĩa, phù hợp với thực và cải tiến thực tiễn quen với việc tiễn hay không). Nhận được mô hình kiểm chứng tính biết được cách đơn giản nếu cách giải đúng đắn của lời hoá, điều chỉnh những quyết không giải yêu cầu thực tiễn để đưa phù hợp đến bài toán giải được 7
1.4. Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh Theo quan điểm của Triết học, Phát triển là: phạm trù triết học chỉ ra tính chất của những biến đổi đang diễn ra trong thế giới. Phát triển là một thuộc tính của vật chất. Mọi sự vật và hiện tượng của hiện thực không tồn tại trong trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập. Trong dạy học, “Phát triển” là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập. Định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” (Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 04/11/2013). Từ quan điểm hoạt động trong giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động của chính người học”. Như vậy, để phát triển một năng lực cụ thể cho người học, cần tạo ra cho HS những tình huống học tập mà ở đó, HS phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó. Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể xác định bản chất của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho HS là nhằm nâng cao hiệu quả học tập, hoàn thiện một quá trình dạy học. Nói một cách khái quát, phát triển năng lực toán học cho HS là quá trình tổ chức, rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập tương thích với thành tố và các biểu hiện đặc trưng của từng năng lực. Trên cơ sở của rèn luyện năng lực toán học và năng lực mô hình hóa toán học, ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học là quá trình tổ chức cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt động mô hình hóa toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra.” 2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2.1. Bài toán mô hình hóa trong chƣơng trình môn Toán của Việt Nam Các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa ở trường phổ thông đã được chính xác hóa và lý tưởng hóa. Điều đó được thể hiện qua những điểm sau: các tình huống ẩn chứa trong các bài toán này chưa hẳn đã xảy ra trong cuộc sống thực; chẳng hạn, những tình huống diễn tả chuyển động đều, chuyển động nhanh dần đều,... Mặt khác, giả thiết của bài toán không thiếu, không thừa, lời giải bao giờ cũng cho kết quả để trả lời cho câu hỏi thực tiễn, thậm chí kết quả còn "rất đẹp". Nói như thế không có nghĩa các bài toán có trong sách giáo khoa không có tác dụng gì trong dạy học; ngược lại, nó có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn. Những 8
bài toán có nội dung thực tiễn là cầu nối đầu tiên nối liền toán học với cuộc sống, vì lí do sư phạm mà có sự can thiệp của các tác giả của sách giáo khoa như đã trình bày ở trên. Những bài toán có nội dung thực tiễn gần gũi với cuộc sống hơn là các bài toán mở, khi làm việc với chúng, học sinh phải tự mày mò tìm ra giả thiết hoặc kết luận. Các bài toán mở về phía kết luận là các bài toán mà khi giải chúng cần phải mày mò biện luận các trường hợp có thể xảy ra. Trong dạy học, giáo viên nên quan tâm đến các loại bài toán này, bởi chúng phản ánh thực tiễn sát thực và là cái giá giúp giáo viên hình thành cho học sinh nhiều thao tác tư duy, phẩm chất trí tuệ quan trọng. 2.2. Thực trạng các bài toán thực tiễn trong chƣơng trình sách giáo khoa phổ thông và trong các đề thi 2.2.1. Trong chương trình sách giáo khoa hiện hành Trong chương trình sách giáo khoa (SGK) phổ thông lớp 10, 11, 12 các bài toán liên hệ với thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy tuy nhiên số lượng không nhiều. Cụ thể xét trong chương trình Nâng cao của cả 3 lớp học trên như sau: - SGK Đại số 10 Nâng cao có 3 bài toán trong chƣơng Hàm số bậc hai; 4 bài toán trong chương Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn. - SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao có 2 bài toán trong chương Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; 3 bài toán trong chương Dãy số-Cấp số công, cấp số nhân và một số bài toán trong chương Tổ hợp – Xác suất. - SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao có 6 bài toán trong chương Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số; có 3 bài toán trong chương Hàm số lũy thừa và hàm số logarit. - SGK Hình học 10 Nâng cao có 2 bài toán trong chƣơng Vec tơ; 7 bài toán tong chương Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng; không có bài toán nào trong chương Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. - SGK Hình học 11 Nâng cao có 2 bài toán trong chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng; không có bài toán nào trong cả 2 chương Đường thẳng, mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song và Vec tơ trong khôn gian. Quan hệ vuông góc. - SGK Hình học 12 Nâng cao không có một bài toán liên hệ với thực tiễn nào. Với số liệu trên chúng ta nhận thấy số lượng bài toán thực tiễn so với lượng lý thuyết khổng lồ trong cả 3 năm học còn ít do đó học sinh cảm thấy môn Toán chưa thực sự gần gũi và cần thiết trong cuộc. Mặt khác, giáo viên vì gặp nhiều khó khăn trong việc đưa các bài toán thực tiễn vào giảng dạy, gặp khó khăn trong việc tìm tòi các ví dụ từ đó dẫn đến lảng tránh, xem nhẹ các bài toán thực tiễn mà không biết rằng những bài toán như vậy mới có thể hấp dẫn và lôi cuốn học sinh vào môn 9
học của mình, giúp học sinh có thể liên hệ những kiến thức học được vào các tình huống bắt gặp trong cuộc sống. Thay vào đó, do lượng kiến thức trong mỗi tiết dạy là quá nhiều, ít giờ dạy thực hành thậm chí là không có các tiết thực hành nên giáo viên thường dành thời gian chú trọng vào các bài toán sử dụng thuật giải, các bài toán tính toán phức tạp trong khi học sinh không biết mình đang học cái gì và mình học để làm gì, có ứng dụng gì trong cuộc sống hay không? 2.2.2. Trong các đề thi, kiểm tra Như đã nói ở trên, chương trình sách giáo khoa bậc phổ thông chưa có đầu tư kĩ lưỡng về số lượng cũng như chất lượng đến các bài toán thực tiễn dẫn đến vấn đề yêu cầu vận dụng Toán học vào thực tiễn không được đặt ra thường xuyên trong các hình thức kiểm tra đánh giá hay nói cách khác nó thường không xuất hiện trong các đề thi hoặc bài kiểm tra. Đây không hề là một điều xa lạ khi nói về các đề thi các cấp ở nước ta. Rõ ràng, Toán học bắt nguồn từ thực tiễn và phát triển để giải quyết các vấn đề thực tiễn, thế nhưng việc kiểm tra đánh giá môn học này lại chẳng có một chút nào liên quan đến thực tiễn. Mặc dù trong những năm gần đây, cùng với sự thay đổi trong phương thức kiểm tra, đánh giá thì một số đề thi đã đưa các bài toán gắn với thực tiễn như liên quan đến lãi suất kép và tính diện tích thể tích nhớ ứng dụng của tích phân nhưng vẫn còn rất ít Chúng ta cần phải thay đổi hơn nữa, nhân rộng các bài toán thực tiễn, các đề thi có các bài toán thực tiễn để nhằm đánh giá năng lực phát hiện và giải quyết vẫn đề, năng lực mô hình hóa toán học và liên hệ Toán học vào các tình huống thực tế cụ thể. 2.3. Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học trƣ ng THPT. 2.3.1. Học sinh Nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học cho thấy những khó khăn thường gặp của HS là: Không có động lực để học Toán, không đủ thời gian giải quyết, thiếu kĩ năng làm bài, thiếu công cụ, phương tiện mô hình hóa bài toán. Ngoài những khó khăn thường gặp trên thì HS còn vấp phải nhiều biểu hiện cụ thể trong quy trình mô hình hóa Toán học. Thứ nhất là vấn đề hiểu tình huống: HS không thể tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình huống cần để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và thường bị chi phối bởi những hình ảnh minh họa. Điều này dẫn đến xây dựng mô hình toán học chưa phù hợp. Thứ hai là vấn đề toán học hóa: HS khó khăn trong trong việc đơn giản bài toán, xử lí điều kiện bài toán, chuyển bài toán sang ngôn ngữ toán học. 10
Thứ ba là vấn đề giải bài toán: HS quên kiến thức cũ, không linh hoạt trong tìm phương pháp giải, quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng còn hạn chế. Thứ tư là kinh nghiệm thực tiễn của HS: mô hình hóa gồm việc chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn đều rất cần thiết. Tuy nhiên HS thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên môn còn yếu. Cuối cùng là vấn đề đối chiếu thực tế: HS chỉ quan tâm đến kết quả toán tìm được mà không quan tâm việc trả lời cho kết quả tình huống; mối quan hệ giữa kết quả và yếu tố đã cho. 2.3.2. Giáo viên Mô hình hóa rất có ích cho dạy học Toán nhưng GV lại gặp không ít khó khăn. Thứ nhất là lựa chọn một vấn đề ngoài toán học để ủy thác cho HS không phải dễ: Bài toán liên hệ với thực tế có độ khó cao, chương trình SGK hàn lâm. Vì vậy, cần một tình huống thực tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng dạy. Thứ hai là năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế còn hạn chế: GV khó xây dựng hoặc lựa chọn mô hình toán học; HS thường không thích thử phương pháp mới. Thứ ba là nội dung kiến thức trong sách giáo khoa nhiều với các bài toán thực tế chỉ mang tính lí thuyết, ít thực hành, không có trong nội dung thi: Thông thường nếu không có trong nội dung thi sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi GV và HS. Dạy học MHH đòi hỏi GV cần nhiều thời gian để hướng dẫn HS so với dạy học truyền thống. Cuối cùng là hiểu biết xã hội, kinh nghiệm sống và kiến thức liên môn của GV còn hạn chế: Không chỉ HS mà GV cũng không hiểu hoặc hiểu không hết về mô hình hóa. Ngoài ra kinh nghiệm giảng dạy các bài toán liên hệ còn ít, kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa còn hạn chế, tài liệu tham khảo ít nên dạy học mô hình hóa vẫn chưa phổ biến. 3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 3.1. Tìm hiểu quan hệ giữa giải toán bằng phƣơng pháp ứng dụng hàm số bậc hai và phát triển năng lực mô hình hóa. Mô hình hóa toán học là một trong những năng lực đặc trưng trong dạy học Toán cần phát triển cho HS phổ thông. Để phát triển năng lực mô hình hóa toán học có nhiều cách tiếp cận. Ở đây, chúng tôi lựa chọn cách tiếp cận là giải bài toán bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai. Câu hỏi đặt ra là tại sao giải bài toán bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai có thể phát triển được năng lực mô hình hóa ở HS? Rõ ràng, từ một bài toán thực tiễn sẽ có nhiều cách sử dụng các ngôn ngữ và công cụ toán học để tìm ra cách giải. Tuy nhiên, các cách giải đó cần 11
chỉ ra được các yếu tố đã biết và yếu tố cần tìm trong bài toán, mối quan hệ giữa các yếu tố đó làm căn cứ để xác định các bước giải bài toán theo một trình tự logic. Các yếu tố này tạo nên mô hình toán học của bài toán thực tiễn. Do vậy, nếu tổ chức cho HS thực hành giải các bài toán bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai sẽ từng bước phát triển cho HS năng lực mô hình hóa. Trong chương trình môn Toán ở trung THPT, có thể hướng dẫn HS vận dụng các kiến thức, kĩ năng về hàm số bậc hai để giải các bài toán thực tiễn có liên quan. Tùy theo mục đích và yêu cầu dạy học, giáo viên có thể phân loại hệ thống bài tập bằng các tiêu chí khác nhau để giải bài toán bằng phương pháp ứng dụng hàm số bậc hai. 3.2. Các bƣớc thiết lập mô hình hóa các bài toán giải bằng phƣơng pháp ứng dụng hàm số bậc hai. Bước 1: Quan sát và thu thập số liệu của các tình huống thực tiễn liên quan trực tiếp đến việc tìm giải pháp cho vấn đề. Hai nhiệm vụ quan trọng nhất trong bước 1 là quan sát và thu thập số liệu. Ở bước này, cần phát hiện được các yếu tố có liên quan trong tình huống thực tiễn, yếu tố nào đã xác định, yếu tố nào cần tìm và mối quan hệ giữa các yếu tố. Bước 2: Từ các yếu tố của tình huống thực tiễn, xem xét mối quan hệ để biểu diễn tình huống thành một bài toán có liên quan hàm số bậc hai. Sắp xếp các mối quan hệ và kết nối chúng tạo thành một sơ đồ logic và phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ toán học. Bước 3: Dùng công cụ toán học – Hàm số bậc hai để giải bài toán đã được thiết lập Bước 4: Đối chiếu kết quả của lời giải với mô hình thực tiễn và kết luận. Đánh giá lời giải và đối chiếu với mô hình thực tiễn của bài toán. Từ đó, đưa ra kết luận về MHHTH cho bài toán thực tiễn ban đầu 3.3. Một số ví dụ minh họa việc vận dụng các bƣớc thiết lập mô hình hóa các bài toán giải bằng phƣơng pháp ứng dụng hàm số bậc hai để phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. Dạng 1. Một số câu hỏi thực tế đo đạc liên quan đến hàm số bậc hai 1 Ví dụ 1: Một chiếc cổng hình parabol dạng y   x 2 có chiều rộng d  8m . Hãy tính chiều cao h của cổng (xem hình minh họa bên2cạnh). Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu 12
hỏi gợi ý như: - Đề bài yêu cầu cần xác định gì? - Hình dạng chiếc cổng? - Chiều rộng là bao nhiêu? Từ chiều rộng chiếc cổng ta xác định được gì? - Tính chiều cao của chiếc cổng tức là xác định gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và xác định được chiều cao chiếc cổng là giá trị tuyệt đối giá trị hàm số tại x  4 Bước 2: GV giúp SV phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ 1 toán học. Cụ thể là: Cho hàm số y   x 2 . Tìm giá trị hàm số tại x  4 . 2 Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. 1 d Ta có:  P  : y   x 2 , d  8 . Suy ra  4 . 2 2 1 Thay x  4 vào y   x 2 . Suy ra y  8 . Suy ra h  8  m  . 2 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời: Chiều cao chiếc cổng là 8m Ví dụ 2: Một chiếc ăng - ten chảo parabol có chiều cao h  0,5m và đường kính miệng d  4m . Mặt cắt qua trục chiếc ăng - ten chảo là một parabol dạng y  ax2 . Tìm a. 13
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu hỏi gợi ý như: - Mặt cắt qua trục chiếc ăng - ten chảo là gì? Vẽ đồ thị minh họa. - Chiều cao và đường kính miệng chảo là bao nhiêu? - Từ chiều cao và đường kính miệng chảo ta xác định được gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin vẽ mô hình minh họa và xác định được đồ thị hàm số đi qua điểm I  2;  . 1  2 Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học. Cụ thể là: Cho parabol y  ax 2 . Tìm a biết parabol đi qua điểm  1 I  2;   2 Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Từ giả thiết suy ra parabol y  ax2 đi qua điểm I  2;  . 1  2  1 1 Từ đó ta có  a.22  a  . 2 8 Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. 1 Trả lời: a  . 8 Ví dụ 3. Một chiếc cổng Parabol cao 16m và 2 chân cổng cách nhau 8m như hình vẽ. Nhà thiết kế xây dựng xây 2 cây cột FC, ED cách nhau 4m (2 cây cột này đối xứng với nhau qua trục đối xứng của Parabol), 2 phần cổng nhỏ ở 2 bên dành cho xe máy và xe đạp qua lại và phần cổng to ở giữa chỉ dành riêng cho xe bus BRT. Tính chiều cao cây cột FC. (xem hình vẽ bên dưới) 14
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu hỏi gợi ý như: - Hình dạng chiếc cổng? Hãy gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ từ đó tìm dạng biểu diễn của đường parabol? - Chiều cao cổng bao nhiêu? Từ chiều cao cổng ta xác định được gì? - Khoảng cách 2 cây cột FC, ED cách nhau bao nhiêu? 2 cây cột này đối xứng với nhau qua trục đối xứng nhau qua đâu? Từ hai dữ kiện này ta các định được gì? - Tính chiều cao cây cột FC tức là xác định gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin gắn được hệ trục tọa độ và xác định được: Chiếc cổng là 1 phần của parabol  P  : y  ax2  c với a  0 . Tọa độ đỉnh G  0;16  ; đồ thị đi qua 2 điểm A 0; 4  , B 0;4  Chiều cao cây cột FC là giá trị hàm số tại x  2 . 15
Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học. Cụ thể là: Cho parabol  P  : y  ax 2  c với a  0 . Tọa độ đỉnh G  0;16  ; đồ thị đi qua 2 điểm A 0; 4 , B 0;4  .Tính giá trị hàm số tại x  2 . Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, chiếc cổng là 1 phần của parabol  P  : y  ax2  c với a  0 . Chiều cao của cổng parabol là 16m nên G  0;16   c  16 Lại có, chân cổng cách nhau 8m nên A 0; 4  , B  0;4   16a  16  0  a  1 Vậy  P  : y   x 2  16 . Do 2 cây cột FC, ED cách nhau 4m nên ta có y(2)  12 Vậy FC  12 (m). Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời: Chiều cao cây cột FC 12m Ví dụ 4: Hãy đo chiều cao của cổng Ac-xơ. Cổng Acxơ - Gateway Arch (Cổng vào miền tây) Tọa lạc tại St. Louis, Missouri, Hoa Kỳ. Đây là công trình kiến trúc vòm cao nhất thế giới và là tượng đài nhân tạo cao nhất ở Tây Bán Cầu, được xây dựng để kỷ niệm việc mở rộng Hoa Kỳ về phía tây. Cổng Ac-xơ có khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m . Từ 1 điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là 43m và khoảng cách tới điểm chân cổng gần nhất là 10m . Tính chiều cao của cổng (tính từ mặt đất đến điểm cao nhất của cổng). 16
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu hỏi gợi ý như: - Hình dạng chiếc cổng? Hãy gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ từ đó tìm dạng biểu diễn của đường parabol? - Người ta tiến hành đo đạc được các số liệu nào? Từ các số liệu ta xác định được gì? - Tính chiều cao của cổng tức là xác định gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin gắn được hệ trục tọa độ và xác định được: - Chiếc cổng là 1 phần của parabol  P  : y  ax2  c với a  0 đi qua các điểm: B  81;0  và M  71; 43 - Chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol. Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học. Cụ thể là: Parabol có phương trình y  ax2  c , đi qua các điểm: B  81;0  và M  71; 43 . Tìm tung độ đỉnh của parabol. Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. Gắn hệ toạ độ Oxy sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của AB, tia AB là chiều dương của trục hoành (hình vẽ). Parabol có phương trình y  ax2  c , đi qua các điểm: B 81;0  và M  71; 43 nên ta có hệ phương trình: 812 a  c  0 812.43  2 c 2  185.6 71 a  c  43 81  712 Suy ra chiều cao của cổng là c  185,6 m. Bước 4: HS chủ động phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế. Trả lời: Chiều cao của cổng gần bằng 185,6 m. 17
Bài tập luyện tập Câu 1. Một chiếc cổng hình parabol có chiều rộng 12 m và chiều cao 8 m như hình vẽ. Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang 6 m đi vào vị trí chính giữa cổng. Hỏi chiều cao h của xe tải thỏa mãn điều kiện gì để có thể đi vào cổng mà không chạm tường ? Câu 2. Một cái cổng hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH  4m , chiều rộng AB  4m ; AC  BD  0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm giá là 1200000 đồng/m2. Hỏi chi phí để làm hai cánh cổng là bao nhiêu? Câu 3. Hãy nêu phương án để đo chiều cao của cầu vượt 3 tầng tại ngã ba Huế - TP. Đà Nẵng 18
Công trình cầu vượt 3 tầng tại ngã ba Huế - TP. Đà Nẵng Được khởi công xây dựng vào ngày 28/9/2013 và được khánh thành vào sáng 29/3/2015 nhân kỷ niệm 40 năm giải phóng Đà Nẵng. Đây được xem là công trình cầu vượt 3 tầng đầu tiên ở Việt Nam, được lấy cảm hứng từ hình tượng Linga và Yoni vốn là biểu tượng của người Chăm để các kiến trúc sư thiết kế xây dựng. Dạng 2. Bài toán chuyển động có quỹ đạo chuyển động là hàm bậc hai. Ví dụ 1: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, trong đó x là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên; y là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 0,5m. Sau đó 1 giây, quả bóng đạt độ cao 6,2m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 4m (xem hình 1). a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao y theo thời gian x và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn). c) Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (tính chính xác đến hàng phần trăm)? 19
Bước 1: GV hỗ trợ HS thu thập và tìm hiểu thông tin thông qua một số câu hỏi gợi ý như: - Quỹ đạo chuyển động là đường gì? - Từ giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 0,5m. Sau đó 1 giây, quả bóng đạt độ cao 6,2m và 2 giây sau khi đá lên nó ở độ cao 4m ta xác định được gì? - Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là gì? HS huy động kiến thức đã biết, tìm hiểu thông tin và xác định được: + Quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, vì vậy hàm số biểu thị độ cao y theo thời gian x là một hàm số bậc hai và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng + Độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol. Bước 2: GV giúp HS phát biểu tình huống thực tế ban đầu bằng ngôn ngữ toán học. Cụ thể là: Cho parabol  P  : y  ax 2  bx  c biết (P) đi qua các điểm  0;0,5; 1;6,2 ;  2;4  a) Tìm phương trình của parabol b) Tìm tung độ đỉnh của parabol c) Tìm hoành độ giao điểm dương của parabol và trục hoành Bước 3: HS chủ động sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán toán học. a) Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là y  ax 2  bx  c . Từ giả thiết suy ra parabol đi qua các điểm  0;0,5 ; 1;6,2 ; 2;4  . Từ đó ta có 20