Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

8
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài khai thác những tài toán xác suất gắn liền với thực tiễn tạo sự gần gũi, hứng thú cho học sinh để từ đó phát triển lên những bài toán tương tự và mở rộng nhằm phát triển và rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT HOÀNG MAI 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế ”. Lĩnh vực : Toán học Người thực hiện : Đậu Phi Quân Tổ : Toán – Tin Điện thoại : 0974982106 Năm thực hiện: 2022 - 2023 1
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ....................................................................................... 2 1.1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................... 2 1.2. Tính mới của đề tài ................................................................................... 2 1.3. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài .................................................... 3 1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................ 3 1.5. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG ........................................................................................... 3 2.1. Cơ sở khoa học ......................................................................................... 3 2.1.1. Cơ sở lý luận ......................................................................................... 3 2.1.2. Cơ sở thực tiễn ...................................................................................... 4 2.2. Một số kiến thức chuẩn bị ........................................................................ 4 2.2.1. Một số kiến thức về giải tích tổ hợp. .................................................... 4 2.2.2. Định nghĩa và cách tính xác suất . ........................................................ 5 2.2.3. Khai thác và phát triển một số bài toán xác suất trong thực tế ............ 8 2.3. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................ 30 2.4.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 29 2.4.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 29 2.4.3. Tổ chức thực nghiệm .......................................................................... 30 2.4.3.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................. 30 2.4.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm ................................................... 30 2.4.3.3. Tổ chức thực hiện ......................................................................... 30 2.4.3.4. Kết quả thực nghiệm ..................................................................... 30 PHẦN III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ................................................................ 33 1. Kết luận ...................................................................................................... 33 2. Kiến nghị.................................................................................................... 34 1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lý do chọn đề tài Điều 7, khoản 2, Luật Giáo dục ghi: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học và hợp tác, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”. Yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học tích cực theo định hướng phát triển năng lực là một yêu cầu cần thiết đối với mỗi giáo viên. Trong quá trình dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông, tôi nhận thấy tầm quan trọng của việc rèn luyện, phát triển tư duy cho học sinh thông qua các bài toán về xác suất. Và đặc biệt trong chương trình toán học phổ thông 2018 đã xác định các bài toán về xác suất cổ điển và thống kê cơ bản là một trong ba mạch kiến thức chính. Đây là nội dung rất quan trọng khi thường xuyên xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi và đề thi tốt nghiệp THPT hiện nay. Tuy nhiên với thực tế giảng dạy thì tôi nhận thấy rằng các em học sinh khi giải quyết các bài toán xác suất đang còn gặp nhiều khó khăn trong việc tư duy, định hướng giải quyết bài toán. Các em đang còn tư duy máy móc, rập khuôn và chưa có cái nhìn cái nhìn mở hơn với những bài toán xác suất. Vì vậy, tôi đã tiến hành nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế” nhằm giúp học sinh hiểu sâu hơn về các bài toán xác suất gắn liền với thực tế và phát triển năng lực tư duy cho học sinh. 1.2. Tính mới của đề tài - Thứ nhất, đề tài trình bài cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn về vấn đề phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán xác suất trong thực tế. - Thứ hai, đề tài khai thác những tài toán xác suất gắn liền với thực tiễn tạo sự gần gũi, hứng thú cho học sinh để từ đó phát triển lên những bài toán tương tự và mở rộng nhằm phát triển và rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. - Thứ ba, đề tài xây dựng hệ thống bài tập và đưa ra những phân tích nhận xét thể hiện mỗi bài toán là một mô hình bài toán. 1.3. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài - Đề tài có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông: học sinh khá, học sinh giỏi, học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT và các thầy/cô giáo dạy toán THPT tham khảo. 1.4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 10, 11 và 12 trường THPT Hoàng Mai 2. 1.5. Phương pháp nghiên cứu 2
- Phương pháp điều tra, phân tích; phương pháp thực nghiệm. - Các bài toán về xác suất cổ điển trong chương trình Toán phổ thông. PHẦN II. NỘI DUNG 2.1. Cơ sở khoa học 2.1.1. Cơ sở lý luận Tư duy là phạm trù triết học dùng để chỉ những hoạt động của tinh thần, đem những cảm giác của người ta sửa đổi và cải tạo thế giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận tức đúng đắn về sự vật và ứng xử tích cực với nó. Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận,… Phát triển năng lực tư duy là hình thành và rèn luyện cho học sinh 4 yếu tố cơ bản của tư duy gắn liền với việc hình thành và phát triển cho học sinh các thao tác của tư duy, các phẩm chất của tư duy, các kỹ năng của tư duy. Từ các bài toán và phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng, học sinh có thể tự tìm tòi lời giải phù hợp và cao hơn là có thể khai thlác và phát biểu thành bài toán mới. 2.1.2. Cơ sở thực tiễn Qua thực tiễn, chúng tôi thấy: - Học sinh còn yếu môn Toán do kiến thức thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân. - Chuyên đề xác suất là một trong những chuyên đề khó vì phải vận dụng nhiều kiến thức, đòi hỏi học sinh phải phát huy tính tích cực, chủ động và đòi hỏi tính tư duy logic cao. Nhiều học sinh chỉ quan tâm đến kết quả, thường hài lòng với lời giải của mình mà ít tìm tòi lời giải khác đồng thời mở rộng và khai thác các bài toán vừa giải quyết.. 2.2. Một số kiến thức chuẩn bị 2.2.1. Một số kiến thức về giải tích tổ hợp 2.2.1.1 Quy tắc cộng Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo k phương án khác nhau. Phương án thứ nhất có n1 cách thực hiện, phương án thứ hai có n2 cách thực hiện,…, phương án thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: n1 + n2 + n3 +…+ nk (cách) 2.2.1.2. Quy tắc nhân Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua k bước thực hiện liên tiếp, trong đó bước thứ nhất có m1 cách thực hiện, bước thứ hai có m2 cách thực hiện,… bước thứ k có mk cách thực hiện. 3
Khi đó, số cách để hoàn thành công việc là: m1 . m2 . m3 … mk (cách) 2.2.1.3. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp  Hoán vị: Mỗi cách sắp xếp n phần tử cho trước theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử đã cho là Pn.  Số hoán vị của n phần tử là Pn = n!  Chỉnh hợp: Mỗi bộ sắp xếp thứ tự gồm k phần tử khác nhau, lấy từ n phần tử đã cho gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛). Kí hiệu số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là 𝐴 𝑘𝑛 . 𝑛!  Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là 𝐴 𝑘𝑛 = (𝑛−𝑘)!  Tổ hợp: Mỗi tập con gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó (0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛). Kí hiệu số các tổ hợp chập k của n phần tử là 𝐶 𝑛𝑘 . 𝐴𝑘 𝑛!  Số các tổ hợp chập k của n phần tử là 𝐶 𝑛𝑘 = 𝑛 = . 𝑘! 𝑘!.(𝑛−𝑘)! 2.2.2. Định nghĩa và cách tính chất của xác suất 2.2.2.1. Biến cố và phép thử ngẫu nhiên  Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán được trước kết quả của nó , mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của phép thử đó.  Không gian mẫu của phép thử là tập hợp các kết quả có thể xẩy ra của phép thử và được kí hiệu là Ω  Biến cố là một tập con của không gian mẫu. Thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa A,B,C,…và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.  Tập  được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không ).  Tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.  Phép toán trên biến cố  Tập Ω\A được gọi là biến cố đối của biến cố A. Kí hiệu là A  Tập A  B được gọi là hợp của các biến cố A và B  Tập A  B được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết tắt là A.B .  Nếu A  B   thì ta nói A và B là hai biến cố xung khắc.  Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này đều không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. 2.2.2.2. Định nghĩa của xác suất  Định nghĩa xác suất dạng cổ điển: Giả sử phép thử ngẫu nhiên có hữu hạn các kết quả đồng khả năng xẩy ra. A là một biến cố liên quan đến phép thử. 4
𝑛(𝐴) Khi đó, xác suất của biến cố A là 𝑃(𝐴) = ; trong đó n(A) là số biến cố sơ 𝑛(𝜔) cấp thuận lợi cho A; n() là số biến cố sơ cấp của không gian biến cố sơ cấp  Định nghĩa xác suất theo hình học: Xét một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp là miền hình học W (đoạn thẳng, hình phẳng, khối không gian,…) có số đo ( độ dài, diện tích, thể tích,…) hữu hạn khác không. Giả sử xét một điểm rơi ngẫu nhiên vào miền W. Xét miền con A của W. Khi đó xác suất để điểm rơi vào miền A là: 𝑆ố đó 𝑚𝑖ề𝑛 𝐴 𝑃(𝐴) = . 𝑆ố đ𝑜 𝑚𝑖ề𝑛 𝑊 2.2.2.3. Tính chất của xác suất Giả sử A và B là các biến cố liên quan đến một phép thử có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Khi đó, 1. 𝑃(∅) = 0; 𝑃(Ω) = 1. 2. 0 ⩽ 𝑃(𝐴) ⩽ 1. 3. Nếu 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ thì 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵). ‾ 4. 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴). 5. Nếu 𝐴 ⊂ 𝐵 thì 𝑃(𝐵 ∖ 𝐴) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴). Do đó 𝑃(𝐴) ⩽ 𝑃(𝐵). 6. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). 2.2.2.4. Xác suất có điều kiện Định nghĩa: Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B là một số đo khả năng xẩy ra của biến cố A khi biến cố B xẩy ra, được kí hiệu là ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) và xác ℙ(𝐴𝐵) định bởi công thức: ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) = , ℙ(𝐵) > 0. ℙ(𝐵) Định lý: Giả sủ 𝐴, 𝐵 là các biến cố, ℙ(𝐵) > 0. Khi đó, ta có các khẳng định sau: (1). 0 ⩽ ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) ⩽ 1. (2). Nếu 𝐵 ⊂ 𝐴 thì ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) = 1. Đặ biẹt ℙ(Ω ∣ 𝐵) = 1. (3). Nếu (𝐴 𝑛 ) là dãy các biến cố đồi một xung khắc thì ∞ ℙ(∪∞ 𝐴 𝑛 ∣ 𝐵) = ∑ ℙ(𝐴 𝑛 ∣ 𝐵). 𝑛=1 ‾ 𝑛=1 (4). ℙ(𝐴 ∣ 𝐵) = 1 − ℙ(𝐴 ∣ 𝐵). 2.2.2.5. Công thức nhân xác suất Cho 𝐴 và 𝐵 là hai biến cố bất kỳ của một phép thử. Ta luôn có: ℙ(AB) = ℙ(A) × ℙ(B ∣ A) = ℙ(B) × ℙ(A ∣ B) 5
 Nếu 𝐴 và 𝐵 độc lập ta có: ℙ(AB) = ℙ(A) × ℙ(B).  Mở rộng: Giả sử 𝐴1 , 𝐴2 , … 𝐴 𝑛 là các biến cố với ℙ(A1 ⋅ A2 … An ) > 0. Khi đó, ℙ(A1 ⋅ A2 … An ) = ℙ(A1 ) ⋅ ℙ(A2 ∣ A1 ). ℙ(A3 ∣ A1 A2 ) … ℙ(An ∣ A1 … An−1 )  Nhóm các biến cố độc lập toàn phần: 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴 𝑛 được gọi là độc lập toàn phần và chỉ khi: ℙ(𝐴1 𝐴2 … 𝐴 𝑛 ) = ℙ(𝐴1 ) × ℙ(𝐴2 ) × … × ℙ(𝐴 𝑛 ) 2.2.3 Khai thác và phát triển một số bài toán xác suất trong thực tế. Bài toán 1: (Phiên tòa giả định) Trường THPT Hoàng Mai 2 đã tổ chức chương trình phiên tòa giả định để tuyên truyền, phổ biến pháp luật đến toàn thể học sinh trong nhà trường. Và để các em học sinh hiểu rõ hơn về pháp luật nên hội đồng đã quyết định mời các em học sinh xuất sắc của trường là Diệp, Ánh, Trang tham gia vào bồi thẩm đoàn 3 người. Bồi thẩm đoàn 3 nguời đưa ra các quyết định bằng cách suy lý một cách độc lập với xác suất đưa ra quyết định đúng của Diệp, Ánh, Trang lần lượt là 0,8; 0,7 và 0,5. Tính xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đoàn, biết bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số. Phân tích bài toán: Nhận thấy rằng bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số nên chúng ta sẽ xét các trường hợp để có ít nhất 2 người đưa ra quyết định đúng. Lời giải Gọi A là biến cố “bồi thẩm đoàn đưa ra quyết định đúng” Trường hợp 1: Diệp và Ánh đều đưa ra quyết định đúng Suy ra xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đoàn sẽ là: 0,8 × 0,7 = 0,56 Trường hợp 2: Diệp và Trang đưa ra quyết định đúng, Ánh đưa ra quyết định sai. Suy ra xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đoàn sẽ là: 0,8 × 0,5 × 0,3 = 0,12 Trường hợp 3: Trang và Ánh đưa ra quyết định đúng, Diệp đưa ra quyết định sai. Suy ra xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đoàn sẽ là: 0,7 × 0,5 × 0,2 = 0,07 Vậy xác suất đưa ra quyết định đúng của bồi thẩm đoàn là: 𝑃(𝐴) = 0,56 + 0,12 + 0,07 = 0,75. 6
Hình ảnh minh họa cho bồi thẩm đoàn 3 người Phát triển bài toán số 1. Bồi thẩm đoàn gồm 3 người trong đó có hai thành viên phán xét nghiêm túc đưa ra quyết định bằng các suy lý một cách độc lập với xác suất đưa ra quyết định đúng của mỗi người lần lượt là 𝑝1 , 𝑝2 . Người thứ 3 đưa ra quyết định dựa vào kết quả tung một đồng xu cân đối đồng chất. Bồi thẩm đoàn làm việc theo nguyên tắc đa số. Tính xác suất quyết định đúng của “Bồi thẩm đoàn” Lời giải Gọi 𝐴 𝑖 là biến cố "Bồi thẩm viên nghiêm túc thứ 𝑖 quyết định đúng". Khi đó, ℙ(𝐴1 ) = 𝑝1 , ℙ(𝐴2 ) = 𝑝2 . Gọi 𝐴3 là biến cố "Bồi thẩm viên thú 3 quyết định đúng". Khi đó, 1 ℙ(𝐴3 ) = . 2 Gọi 𝐴 là biến cố "Bồi thẩm đoàn 3 người quyết định đúng". Ta có ℙ(𝐴) = ℙ(𝐴1 𝐴2 ) + ℙ(𝐴1 ̅̅̅ 𝐴3 ) + ℙ(𝐴1 𝐴2 𝐴3 ) 𝐴2 ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ = ℙ(𝐴1 )ℙ(𝐴2 ) + 𝑃(𝐴1 )ℙ(𝐴2 )ℙ(𝐴3 ) + ℙ(𝐴1 )ℙ(𝐴2 )ℙ(𝐴3 ) 1 𝑝1 + 𝑝2 = 𝑝1 𝑝2 + [𝑝1 (1 − 𝑝2 ) + (1 − 𝑝1 )𝑝2 ]. = 2 2 𝑝1 +𝑝2 Vậy xác suất Bồi thẩm đoàn đưa ra quyết định đúng là 2 Nhận xét:  Nếu 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 thì xác suất quyết định đúng của Bồi thẩm đoàn 3 người bằng xác suất quyết định đúng của Bồi thẩm viên nghiêm túc.  Chúng ta có thể xây dựng mô hình bài toán tương tự trên xác suất quyết định đúng của Bồi thẩm viên thứ 3 là 𝑝3 ∈ (0,1) 7
Bài toán số 2: (Bầu - Cua – Tôm - Cá). Trò chơi bầu cua tôm cá là một trò chơi đánh bạc được chơi rất phổ biến ở nước ta . Người chơi có thể đặt cược vào bất kỳ một trong các ô “Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà”. Ba viên xúc xắc được tung lên. Nếu hình của người chơi đặt cược đúng với một, hai hoặc ba hình xuất hiện trên viên xúc xắc, thì người đó sẽ nhận được lần lượt một, hai hoặc ba lần tiền cược ban đầu của mình cộng với số tiền của chính mình. Nếu số của người chơi đặt cược không đúng với các số của viên xúc xắc thì anh ta mất tiền đặt cọc. Mức lỗ dự kiến của người chơi trên mỗi đơn vị tiền cược là bao nhiêu? (Trên thực tế, người chơi có thể chia tiền đặt cược thành nhiều phần khác nhau, nhưng mỗi số tiền đặt cược như vậy có thể được coi là một phần đặt cược riêng biệt.) Phân tích bài toán: Ở bài toán này chúng ta thấy rằng số tiền thắng cược trên mỗi đơn vị tiền cược ở mỗi lần chơi sẽ phụ thuộc vào số lần xuất hiện của các hình con vật trên xúc xắc. Vì vậy ta sẽ định hướng xét tới các khả năng xảy ra trên mỗi con xúc xắc để giải quyết bài toán. Lời giải: Giả sử người chơi đặt vào mỗi ô 1 đơn vị tiền. Khi đó, +) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì người chơi sẽ bị thua lỗ 2 đơn vị tiền trong 6 đơn vị tiên đặt cược. +) Nếu 2 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì người chơi sẽ bị thua lỗ 1 đơn vị tiền trong 6 đơn vị tiên đặt cược. +) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện khác nhau thì người chơi sẽ bị thua lỗ 0 đơn vị tiền trong 6 đơn vị tiên đặt cược. Dễ thấy xác suất để +) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau là: 6 1 = . 6 × 6 × 6 36 +) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện khác nhau là: 6×5×4 5 = . 6×6×6 9 +) 3 con xúc xắc có 2 con có hình giống nhau là: 1 5 5 1−( + )= . 36 9 12 Suy ra mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng số đơn vị tiền cược là: 5 1 5 1 1 17 𝔼𝑋 = 0 × + × + × = ≈ 0,08. 9 6 12 3 36 216 8
Vì vậy, mức lỗ dự kiến của người chơi sẽ là 8% tổng đơn vị tiền cược. Nhận xét:  Với mô hình bài toán này chúng ta có thể thay đổi tỉ lệ tiền thắng cược để được được bài toán mới.  Chúng ta có thể tổng quát lên cho mô hình bài toán này nếu như chúng ta là nhà cái thì sẽ điều chỉnh tỉ lệ một cách hợp lí với tỉ lệ tổng quát cho trò chơi là x, 2x, 3x. Từ đó chúng ta sẽ đưa ra được tỉ lệ tiền thắng phù hợp với tính toán của mình để có lợi nhuận hợp lí. Hình ảnh minh họa cho trò chơi “ Bầu – Cua - Tôm - Cá” Phát triển bài toán số 2: Trò chơi bầu cua tôm cá là một trò chơi đánh bạc được chơi rất phổ biến ở nước ta. Người chơi có thể đặt cược vào bất kỳ một trong các ô “Bầu, Cua, Tôm, Cá, Nai, Gà”. Ba viên xúc xắc được tung lên. Nếu hình của người chơi đặt cược đúng với một, hai hoặc ba hình xuất hiện trên viên xúc xắc, thì người đó sẽ nhận được lần lượt một, hai hoặc ba lần tiền cược ban đầu của mình cộng với số tiền của chính mình. Nếu số của người chơi đặt cược không đúng 9
với các số của viên xúc xắc thì anh ta mất tiền đặt cọc. Giả sử bạn là người tạo ra trò chơi hãy viết hàm biểu diễn để tính được mức lỗ dự kiến của người chơi trên mỗi đơn vị tiền cược là bao nhiêu để điều chỉnh cho hợp lí? Lời giải. Giả sử người chơi đặt 1 đơn vị tiền cược Thay vì để người đó nhận được lần lượt 1, 2, 3 lần đơn vị tiền cược nếu thắng thì ta sẽ đặt số tiền người đó nhận được lần lượt là x, 2x, 3x lần tiền cược. +) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì nhà cái thua 3x đơn vị tiền 3−3𝑥 cược và thắng 3 đơn vị tiền cược. Nhà cái nhận được đơn vị tiền cược 6 +) Nếu 2 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì nhà cái thua 3x đơn vị tiền 4−3𝑥 cược và thắng 4 đơn vị tiền cược. Nhà cái nhận được đơn vị tiền cược 6 +) Nếu 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau thì nhà cái sẽ thua 3x đơn vị 5−3𝑥 tiền cược và thắng 5 đơn vị tiền cược. Nhà cái nhận được đơn vị tiền cược 6 Dễ thấy xác suất để +) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện giống nhau là: 6 1 = . 6 × 6 × 6 36 +) 3 con xúc xắc có hình xuất hiện khác nhau là: 6×5×4 5 = . 6×6×6 9 +) 3 con xúc xắc có 2 con có hình giống nhau là: 1 5 5 1−( + )= . 36 9 12 Suy ra mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng số đơn vị tiền cược là: 5 3 − 3x 5 4 − 3x 1 5 − 3x 125 x 𝔼𝑋 = × + × + × = − 9 6 12 6 36 6 216 2 Ta suy ra đồ thị mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng đơn vị tiền cược. 10
Đồ thị mức lỗ dự kiến của người chơi trên tổng đơn vị tiền cược Trục y là biểu thị khoản lời lỗ dự kiến. Trục x là tỉ lệ giá trị số tiền người chơi thắng so với mức cược ban đầu Nhận xét:  Nhìn đồ thị ta có thể thấy ở bài toán ban đầu nếu ta giữ nguyên tiền cược ban đầu (tức là nhận được lần lượt một, hai hoặc ba lần tiền cược ban đầu khi đặt trúng) ta sẽ được khoản lỗ dự kiến là 0.08 ( Được biểu thị ở điểm C).  Và nếu x = 1, 16 thì nhà cái sẽ hòa vốn. ( Được biểu thị ở điểm B )  Nếu x > 1, 16 thì nhà cái sẽ lỗ. Bài toán số 3. (Lễ hội đua thuyền). Nhân ngày lễ kỉ niệm 10 năm thành lập thị xã Hoàng Mai. Thị xã đã quyết định tổ chức một giải đấu đua thuyền gồm 8 phường, xã tham gia. Trong đó các đội đua xếp thành từng cặp để thi đấu như trong một giải đấu quần vợt. Trong 8 đội đua tham gia giải đấu đua thuyền thì có hai đội là đối thủ truyền kiếp của nhau đó là đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập. Xác suất để hai đội là đối thủ truyền kiếp này gặp nhau trong giải đấu. Phân tích bài toán: Ở bài toán này chúng ta thấy rằng giải sẽ trải qua 3 vòng đấu vì vậy khả năng để 2 đội gặp nhau có thể là tại vòng 1, vòng 2 hoặc vòng 3 nên chúng ta sẽ đi phân tích các trường 2 đội gặp nhau ở mỗi vòng đấu để giải quyết bài toán này. Lời giải 11
Giả sử đã chỉ định một ví trí cho đội đua Quỳnh Phương và bốc thăm vị trí cho đội đua Quỳnh Lập. Gọi 𝐻1 là biến cố "Chọn được vị trí cho đội đua Quỳnh Lập để hai đội gặp nhau ở vòng 1"; Gọi 𝐻2 là biến cố " Chọn được vị trí cho đội đua Quỳnh Lập hai đội có cơ hội gặp nhau ở vòng 2"; Gọi 𝐻3 là biến cố " Chọn được vị trí cho đội đua Quỳnh Lập hai đội có cơ hội gặp nhau ở vòng 3". Khi đó, 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 lập thành họ đầy đủ các biến cố và 1 2 4 ℙ(𝐻1 ) = ; ℙ(𝐻2 ) = ; ℙ(𝐻3 ) = . 7 7 7 Gọi 𝐴 là biến cố " đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập gặp nhau 1 trận trong giải đấu". Khi đó ℙ(𝐴) = ℙ(𝐻1 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻1 ) + ℙ(𝐻2 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻2 ) + ℙ(𝐻3 )ℙ(𝐴 ∣ 𝐻3 ), trong đó, 1 1 1 1 ℙ(𝐴 ∣ 𝐻1 ) = 1; ℙ(𝐴 ∣ 𝐻2 ) = = ; ℙ(𝐴 ∣ 𝐻3 ) = 4 = . 22 4 2 16 Thay số vào ta có xác suất để đội Quỳnh Lập và đội Quỳnh Phương gặp nhau trong giải đấu là 1 2 1 4 1 1 ℙ(𝐴) = ×1+ × + × = . 7 7 4 7 16 4 12
Hình ảnh minh họa cho lễ hội đua thuyền Nhận xét:  Với mô hình bài toán này chúng ta có thể thay 8 bởi 16, 32, 64 … để được bài toán tương tự.  Chúng ta có thể tổng quát lên cho mô hình bài toán này nếu thay 8 bởi 2 𝑛 và bằng cách chứng minh tương tự chúng ta sẽ tính được xác suất để đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập gặp nhau trong giải đấu. Phát triển bài toán số 3. (Lễ hội đua thuyền). Nhân ngày lễ kỉ niệm 10 năm thành lập thị xã Hoàng Mai. Thị xã quyết định tổ chức một giải đấu đua thuyền gồm 2 𝑛 phường, xã tham gia. Trong đó các đội đua xếp thành từng cặp để thi đấu như trong một giải đấu quần vợt. Trong 2 𝑛 đội đua tham gia giải đấu đua thuyền thì có hai đội là đối thủ truyền kiếp của nhau đó là đội đua Quỳnh Phương và đội đua Quỳnh Lập. Xác suất để hai đội là đối thủ truyền kiếp này gặp nhau trong giải đấu. Lời giải Ta thấy rằng với 𝑛 = 1 thì giải đấu tổ chức với 2 đội tham gia nên họ chắc chắn sẽ gặp nhau. Với 𝑛 = 2 thì giải đấu tổ chức với 4 đội tham gia dễ dàng để ta tính 1 được rằng xác suất để 2 đội gặp nhau là bằng . Với 𝑛 = 3 thì giải đấu tổ chức với 2 1 1 8 đội tham gia chúng ta đã tính được rằng xác suất để họ gặp nhau là = . 4 22 Do đó, ta có thể dự đoán đối với một giải đấu có 2 𝑛 đội tham gia xác suất gặp nhau 1 của họ là 𝑛−1. 2 Ta sẽ chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp. 1 Giả sử với giải đấu có 2 𝑛−1 đội tham gia thì xác suất gặp nhau của họ là 𝑛−2 (1). 2 Đầu tiên chúng ta sẽ xét trường hợp 2 đội nằm khác nhánh đấu. 2 𝑛−1 Xác suất để 2 đội nằm khác nhánh đấu nhau là 𝑛 2 −1 Nếu họ khác nhánh đấu thì 2 đội chỉ có thể gặp nhau trong trận chung kết. 1 Một đội đua có xác suất vào trận chung kết là 𝑛−1 vì anh ta phải thắng 𝑛 − 1 trận 2 đấu. Khi đó cơ hội để cả 2 đội lọt vào trận chung kết là: 1 2 1 (2 𝑛−1) = 22𝑛−2, Do đó xác suất để họ nằm khác nhánh đấu và gặp nhau là: 13
2 𝑛−1 1 ⋅ 2𝑛−2 2𝑛−1 2 Đối với trường hợp 2 hiệp sĩ song sinh nằm cùng nhánh đấu. 2 𝑛−1 −1 Xác suất để họ ở cùng nhánh đấu là: , 2 𝑛 −1 Và theo giả thuyết quy nạp xác suất gặp nhau của 2 đội gặp trong một giải đấu có 1 2 𝑛−1 đội tham gia là 𝑛−2 2 Suy ra ta có xác suất gặp nhau của 2 đội là: 2 𝑛−1 1 2 𝑛−1 − 1 1 1 1 1 ⋅ 2𝑛−2 + 𝑛 ⋅ 𝑛−2 = 𝑛 ( + 2 𝑛−1 − 1) = 𝑛−1 . (2) 2𝑛−1 2 2 −1 2 (2 − 1)2 𝑛−2 2 2 Từ (1) và (2) ta suy ra giả thiết là đúng. 1 Vậy xác suất 2 đội gặp nhau với một giải đấu có 2 𝑛 đội tham gia là . 2 𝑛−1 Bài toán số 4. ( Tại sao không nên chơi đề ). Đánh đề là một vấn nạn trong xã đang diễn ra khá nhiều hiện nay. Vì sao nó lại có sức hấp dẫn lớn đối với mọi người như vậy? Theo khảo sát thông tin thu thập được thì có nhiều bạn đã nói rằng “Bỏ ra 10.0000 đồng chơi cho vui mà thắng thì được 7.000.000 đồng thua mất có 100.000 đồng” cũng có một nhóm bạn nói rằng “ Thích chơi đề vì nhìn dễ ăn nhưng chẳng hiểu sao chơi cứ toàn thua”. Vậy chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xác suất thống kê để tính toán và phân tích cho 2 câu nói của các nhóm bạn trên? Phân tích bài toán: Trước tiên chúng ta cần hiểu rõ luật chơi của chơi đề như sau. Chúng ta có 100 con số từ 00 đến 99 khi người chơi đặt cược 100.000( đồng ) vào một số trong 100 con số đó nếu như con số người chơi đặt cược trùng với 2 chữ số cuối cùng của giải đặc biệt do xổ số kiến thiết Miền Bắc phát hành lúc 18h30 trong ngày đó thì người chơi sẽ nhận được 70 lần số tiền đầu tư ban đầu, tính cả tiền đã đặt cược. Nếu con số người chơi đặt không trùng thì người chơi sẽ mất đi số tiền đặt cược. Lời giải Vì chỉ có 1 con số trong 100 con số sẽ trúng thưởng vì vậy ta có xác suất để người 1 chơi sẽ được trúng đề sẽ bằng = 1% 100 Từ đây ta suy ra được rằng xác suất người chơi sẽ thua sẽ bằng 99%. Chúng ta giả sử rằng mỗi lần chơi sẽ đặt cược 100.000 đồng khi đó ta Ta có bảng thống kê như sau: 14
Thắng Thua Xác suất 0,01 0,99 Lỗ -6900000 100000 Từ đây ta suy ra mức lỗ dự kiến của người chơi trên đơn vị tiền cược là: −6.900000 100000 𝔼𝑋 = 0,1. + 0,99. = 0,3 100000 100000 Nhận xét:  Như vậy nếu giả sử mỗi lần ta chơi 100.000 đồng thì trung bình ta sẽ lỗ 30.000 đồng.  Người chơi đã bị sai lầm vì nghĩ rằng số tiền bỏ ra 100.000 đồng nếu thắng thì sẽ lời được 6.900.000 đồng còn mất thì chỉ mất 100.000 đồng như vậy là rất lời.  Và sai lầm ở đây chính là người chơi không tính đến xác suất để trúng đề rất là thấp và khi đó người chơi sẽ đánh hoài mà vẫn không thể thắng được.  Chúng ta có thể mở rộng cho mô hình bài toán này nếu thay đổi tỉ lệ chơi và kiểm tra xem lợi nhuận thu được sẽ là bao nhiêu? Và bài toán trên chính là câu trả lời cho câu hỏi “Tại sao đánh lô đề luôn thua” 15
Phát triển toán số 4. Với vấn nạn chơi đề hiện nay đang rất là nhiều và phổ biến ở các nơi, đặc biệt với thời đại công nghệ 4.0 nên rất nhiều app điện tử đã mở ra chơi đề online trực tuyến. Và để thu hút, hấp dẫn số lượng lớn người chơi thì ngoài đánh đề ra còn có trò chơi đánh lô cũng là một vấn nạn cần cảnh báo hiện nay. Để cảnh tính cho các thế hệ trẻ hiểu được rằng chơi không nên chơi “Lô – Đề”. Sử dụng phương pháp xác suất và thống kê để ta chỉ ra điều đó. Phân tích bài toán: Trước tiên chúng ta cần hiểu rõ luật chơi của chơi lô như sau. Chúng ta có 100 con số từ 00 đến 99 khi người chơi sẽ mua một số trong 100 con số với giá 1 điểm là 23.000 đồng nếu như con số người chơi đặt cược trùng với 2 chữ số cuối trong tổng 27 giải do xổ số kiến thiết Miền Bắc phát hành lúc 18h30 trong ngày đó thì người chơi sẽ nhận được số tiền là 80.000 đồng, tính cả tiền đã đặt cược. Nếu con số người chơi đặt không trùng thì người chơi sẽ mất đi số tiền đặt cược. Lời giải Vì mỗi giải chỉ có 1 con số trong 100 con số sẽ trúng thưởng vì vậy ta có Xác suất để người chơi sẽ trúng 1 lô sẽ bằng 0.01 = 1% Từ đây ta suy ra được rằng xác suất người chơi sẽ thua 1 lô sẽ bằng 0.99 = 99%. Nễu có 𝑘 con lô trùng với số bạn đã đặt cược thì số người ta gọi là bạn đã trúng " 𝑘 nháy". Mỗi "nháy", chủ lô trả cho bạn 80000 (đồng) Giả sử chúng ta đánh 1 điểm lô. Ta sẽ chi hết 23000. Dễ thấy đánh lô là một phép thử Bernoulli. 𝑘 Xác suất để anh ta trúng đúng 𝑘 nháy (𝑘 = 0,1, … ,27) là 𝐶27 (0,01) 𝑘 (0,99)27−𝑘 Nếu trúng, người chơi được 80000. 𝑘 (đồng). Như vậy lãi : 80000. 𝑘 − 23000 (đồng) Vậy trung bình người chơi lãi: 27 𝑘 𝔼𝑋 = ∑ [𝐶27 ⋅ (0,01) 𝑘 (0,99)27−𝑘 ⋅ (80𝑘 − 23)] 𝑘=0 27 𝑘 = 80 ∑ [𝑘𝐶27 ⋅ (0,01) 𝑘 (0,99)27−𝑘 ⋅] − 23 𝑘=1 26 27 𝑘 = 80 ⋅ ∑ [𝐶26 ⋅ (0,01) 𝑘 (0,99)26−𝑘 ⋅] − 23 = 8.2,7 − 23 = −1,4(ngàn) 100 𝑘=0 16
Nhận xét:  Như vậy nếu giả sử mỗi lần đánh 1 điểm lô thì trung bình người chơi sẽ lỗ 1.400 đồng tức là xấp xỉ 6% giá trị tiền cược.  Mức lỗ trung bình của chơi lô là ít hơn nhiều so với chơi đề. Bài toán số 5: (Chiến thuật nào để dành chiến thắng tối ưu) Ba bạn Trung, Yến và Thiên sau khi học xong đã rủ nhau đi đánh cầu lông. Để cỗ vũ tinh thần thi đấu cho Thiên nên Trung và Yến đã đề ra kèo đấu như sau: Trung và Yến sẽ đấu luân phiên với Thiên trong một loạt 3 set chơi nếu như Thiên có thể chiến thắng 2 trận đấu liên tiếp thì sẽ được Trung và Yến mời đi ăn ốc. Biết rằng xác suất mà Thiên dành chiến thắng khi đấu với Yến và Trung lần lượt là 0,4 và 0,3. Hãy chỉ ra phương án thi đấu tối ưu nhất để Thiên có thể thắng kèo. Phân tích bài toán: Với luật đấu luân phiên trong loạt 3 set chơi thì Thiên sẽ có 2 lựa chọn để thi đấu: Kịch bản 1: Trung - Yến – Trung Kịch bản 2: Yến – Trung - Yến Bây giờ chúng ta sẽ xét xem với 2 kịch bản này thì kịch bản nào Thiên sẽ có xác suất để dành chiến thắng cao hơn. Lời giải Để Thiên có thể dành chiến thắng thì sẽ có 3 khả năng xẩy ra đó là Thiên phải thắng cả 3 trận đấu, hoặc Thiên thắng trận 1,2 và thua trận 3 hoặc Thiên thua trận 1 và thắng trận 2,3. Ta xét với kịch bản 1 Xác suất để Thiên thắng cả 3 trận đấu là: 0,3 × 0,4 × 0,3 = 0,036 Xác suất Thiên thắng trận 1,2 và thua trận là: 0,3 × 0,4 × (1 − 0,3) = 0,084 Xác suất Thiên thua trận 1 và thắng trận 2,3 là: (1 − 0,3) × 0,4 × 0,3 = 0,084 Suy ra xác suất Thiên thắng kèo với kịch bản 1 là: 0,036 + 0,084 + 0,084 = 0,204 (1) Ta xét với kịch bản 2 Xác suất để Thiên thắng cả 3 trận đấu là: 0,4 × 0,3 × 0,4 = 0,048 17
Xác suất Thiên thắng trận 1,2 và thua trận là: 0,4 × 0,3 × (1 − 0,4) = 0,072 Xác suất Thiên thua trận 1 và thắng trận 2,3 là: (1 − 0,4) × 0,3 × 0,4 = 0,072 Suy ra xác suất Thiên thắng kèo với kịch bản 2 là: 0,048 + 0,072 + 0,072 = 0,192 (2) Từ (1) và (2) chúng ta suy ra rằng xác suất để Thiên thắng kèo khi chơi với kịch bản 1 sẽ cao hơn. Thiên nên chọn kịch bản 1 đề thi đấu để có thể tối ưu cơ hội thắng kèo của mình. Phát triển bài toán số 5: (Chiến thuật nào để dành chiến thắng tối ưu) Để khuyến khích sự nghiệp cầu lông đầy hứa hẹn của Yến, cha Yến sẽ trao cho Yến một giải thưởng nếu như cô ta thắng ít nhất hai set quần vợt liên tiếp trong một loạt 3 set chơi với cha mình và nhà vô địch câu lạc bộ với lượt đấu luân phiên theo hai kịch bản sau Kịch bản 1: Cha – Nhà vô địch – Cha Kịch bản 2: Nhà vô địch – Cha – Nhà vô địch Biết rằng nhà vô địch là người chơi giỏi hơn cha của Yến. Hỏi Yến nên chọn kịch bản nào để thi đấu. Lời giải Nhìn nhận một cách trực giác chúng ta thấy vì nhà vô địch chơi tốt hơn cha, nên Yến chọn kịch bản nào mà càng phải chơi ít set với nhà vô địch hơn thì càng có lợi cho Yến đồng nghĩa với việc Yến nên chọn kịch bản thứ nhất. Tuy nhiên lời giải của bài toán này sẽ cho chúng ta thấy sự suy luận không đúng. Thật vậy, Gọi 𝐶 là biến cố “Yến thắng nhà vô địch ở một trận đấu nào đó” với 𝑃(𝐶) = 𝑐 Gọi 𝐹 là biến cố “Yến thắng cha ở một trận đấu nào đó” với 𝑃(𝐹) = 𝑐 Gọi W1 là biến cố “Yến dành chiến thắng ở kịch bản thứ nhất”. Khi đó ta có ℙ(𝑊1 ) = ℙ(𝐹𝐶𝐹 ∪ 𝐹𝐶𝐹 ∪ ‾ 𝐶𝐹) ‾ 𝐹 ‾ = ℙ(𝐹𝐶𝐹) + ℙ(𝐹𝐶𝐹 ) + ℙ(𝐹 𝐶𝐹)‾ ‾ ‾ = ℙ(𝐹)ℙ(𝐶)ℙ(𝐹) + ℙ(𝐹)ℙ(𝐶)ℙ(𝐹 ) + ℙ(𝐹 )ℙ(𝐶)ℙ(𝐹) = 𝑓 2 𝑐 + 2𝑓𝑐(1 − 𝑓) = 𝑐𝑓(2 − 𝑓). Gọi 𝑊2 là biến cố "Yến giành chiến thắng khi chọn kịch bản thứ hai". Khi đó, ℙ(𝑊2 ) = ℙ(𝐶𝐹𝐶 ∪ 𝐶𝐹𝐶 ∪ ‾ 𝐹𝐶) ‾ 𝐶 ‾ ‾ = ℙ(𝐶𝐹𝐶) + ℙ(𝐶𝐹𝐶 ) + ℙ(𝐶 𝐹𝐶) ‾ ‾ = ℙ(𝐶)ℙ(𝐹)ℙ(𝐶) + ℙ(𝐶)ℙ(𝐹)ℙ(𝐶 ) + ℙ(𝐶 )ℙ(𝐹)ℙ(𝐶) = 𝑐 2 𝑓 + 2𝑓𝑐(1 − 𝑐) = 𝑐𝑓(2 − 𝑐). 18
Vì nhà vô địch chơi tốt hơn cha của Yến nên khả năng Yến thắng cha của mình sẽ lớn hơn khả năng Yến thắng nhà vô địch ở mỗi ván đấu tức là: f  c  2  f  2  c  fc(2  f )  fc(2  c) Do vậy Yến nên chọn kịch bản thứ 2 để xác suất nhận được giải thưởng cao hơn. Nhận xét:  Vì phải thắng 2 trận liên tiếp nên bắt buộc anh ta phải thắng trận đấu thứ 3 của loạt 3 trận đấu. Do đó, với căn cứ này chúng ta có thể suy đoán Yến chọn kịch bản thứ 2 sẽ có cơ hội dành chiến thắng chung cuộc cao hơn. Và với lời giải như trên chúng ta cũng đã chỉ ra được điều này. Bài toán số 6: ( Thử nghiệm cho đến khi thành công ). Thực hiện gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất một cách độc lập. Tính trung bình số lần tung cho đến khi xuất hiện mặt 6 chấm. Lời giải Gọi 𝑝 là xác suất tung xúc xắc được mặt 6 chấm trong mỗi lần thử nghiệm. Khi đó, Thử nghiệm Xác suất thành công 1 𝑝 2 𝑞𝑝 3 𝑞2 𝑝 ⋮ ⋮ trong đó 𝑞 = 1 − 𝑝. Ta có 𝑝 + 𝑞𝑝 + 𝑞 2 𝑝 + ⋯ = 𝑝(1 + 𝑞 + 𝑞 2 + ⋯ ). (1) Áp dụng công thức tính tổng của dãy cấp số nhân ta có 19