Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian" đã góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 và học sinh giỏi cấp tỉnh hằng năm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NĂM HỌC 2022 - 2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả 1. Trần Đình Hoàng - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên - Số điện thoại: 0978282724 2. Nguyễn Văn Hậu - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên - Số điện thoại: 0814271188 3. Nguyễn Viết Cường - Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên - Số điện thoại: 0976447833 NĂM HỌC 2022 - 2023
MỤC LỤC PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ........................................................................................ 1 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ................................................................................... 1 II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI......................................................... 2 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ......................................................................... 2 VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ....................................................................... 3 V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................. 3 VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI ........................................................................... 3 PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 4 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................................... 4 1. Tư duy ......................................................................................................... 4 1.1. Khái niệm tư duy ................................................................................... 4 1.2. Đặc điểm của tư duy .............................................................................. 4 1.3. Tư duy toán học..................................................................................... 4 1.4. Năng lực tư duy toán học....................................................................... 4 2. Năng lực tư duy và lập luận toán học ........................................................... 4 2.1. Khái niệm năng lực lập luận toán học .................................................... 4 2.2. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ............................... 5 II. CƠ SỞ THỰC TIỄN ...................................................................................... 5 1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên ............................................................. 5 2. Thực trạng học tập của học sinh................................................................... 6 III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................... 6 1. Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận các dạng toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ từ đó hoàn thiện phương pháp giải mỗi dạng ................. 7 1.1. Một số kiến thức về vectơ trong không gian .......................................... 7 1.2. Phương pháp chung để giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ ....................................................................................... 8 1.3. Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp vectơ ....... 8 2. Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ ....................................................... 11 2.1. Khai thác phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học không gian thuần tuý ............................................................................................. 12 2.2. Khai thác phương pháp vectơ để giải bài toán cực trị và bất đẳng thức trong hình học không gian .................................................................. 21 2.2.1. Giải bài toán cực trị và bất đẳng thức trong hình học không gian nhờ đánh độ dài của vectơ ............................................................... 21 2.2.2. Giải bài toán cực trị và bất đẳng thức trong hình học không gian thông qua đánh giá tích vô hướng .................................................... 25
2.2.3. Giải bài toán cực trị và bất đẳng thức trong hình học không gian nhờ khai thác tính chất thẳng hàng và đồng phẳng .......................... 29 3. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua hướng dẫn học sinh sáng tác bài toán mới...................................................... 32 4. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ................................................. 40 4.1. Toạ độ hoá chuyển bài toán hình học sang bài toán toạ độ .................. 41 4.2. Toạ độ hoá chuyển bài toán đại số sang bài toán toạ độ ....................... 43 5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất .................. 44 5.1. Mục đích khảo sát................................................................................ 44 5.2. Nội dung và phương pháp khảo sát...................................................... 44 5.2.1. Nội dung khảo sát ......................................................................... 44 5.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá ....................................... 44 5.3. Đối tượng khảo sát .............................................................................. 45 5.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất ................................................................................................... 45 5.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất....................................... 45 5.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất ........................................... 46 6. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................... 47 6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 47 6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .......................................................... 47 6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................... 47 6.3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm .................................... 47 6.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................... 47 6.3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá ........................................................... 48 6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm......................................................... 48 6.4.1. Một số nhận xét chung .................................................................. 48 6.4.2. Phân tích định tính ........................................................................ 48 6.4.3. Phân tích định lượng ..................................................................... 49 PHẦN III. KẾT LUẬN ...................................................................................... 51 I. KẾT LUẬN ................................................................................................... 51 1. Tính mới của đề tài .................................................................................... 51 2. Tính khoa học ............................................................................................ 51 3. Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng ............................................................. 51 4. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................ 52 II. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT ................................................................ 52 1. Đối với giáo viên ....................................................................................... 52 2. Đối với học sinh ........................................................................................ 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt Từ đầy đủ 1 ĐC Đối chứng 2 GV Giáo viên 3 HHKG Hình học không gian 4 HS Học sinh 5 HSG Học sinh giỏi 6 SGK Sách giáo khoa 7 THPT Trung học phổ thông 8 TN Thực nghiệm
DANH MỤC BẢNG, BIỂU Bảng Bảng 1. Khảo sát tính cấp thiết của giáo viên môn Toán và học sinh Trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên ............................................................. 45 Bảng 2. Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất ....................................... 45 Bảng 3. Khảo sát tính khả thi của giáo viên môn Toán và học sinh lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên ................................... 46 Bảng 4. Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất ....................................... 46 Bảng 5. Phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) .................................................................................................... 49 Bảng 6. Phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra .................................. 49 Bảng 7. Phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra............................................... 49 Biểu Biểu đồ 1. Biểu đồ hình cột phân bố tần số điểm bài kiểm tra .............................. 50 Biểu đồ 2. Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra ............................................... 50
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông 2018 và bộ môn Toán nói riêng là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa... Theo đó, chương trình giáo dục phổ thông bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung giáo dục với những kiến thức, kỹ năng cơ bản; chú trọng thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Điều đó đòi hỏi học sinh không chỉ cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mới mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học biết kết nối những kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới. Vì lẽ đó việc đổi mới phương pháp dạy học trong dạy học môn Toán càng trở nên quan trọng bức thiết. “Năng lực tư duy và lập luận toán học” là một trong ba thành phần cốt lõi biểu hiện năng lực toán học của một học sinh. Đây cũng là năng lực đòi hỏi quá trình giáo dục cần phải hình thành cho các em nếu muốn đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông mới nói chung và đổi mới trong môn Toán nói riêng. Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018) xác định năng lực tư duy và lập luận toán học là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với yêu cầu: “Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát; Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học” (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2018). Trong chương trình môn Toán trung học phổ thông, Hình học không gian (HHKG) đóng một vai trò quan trọng. Nó thường xuất hiện là câu khó trong đề thi học kỳ lớp 11, thi học sinh giỏi, cũng như những câu vận dụng, vận dụng cao trong đề thi tốt nghiệp THPT. Không những thế mà đây là chủ đề đa dạng về dạng toán hay, có nhiều cách giải. Đặc biệt nhiều bài toán HHKG giải bằng cách áp dụng kiến thức vectơ thể hiện rõ sự ưu điểm và độc đáo. Khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian để giải toán là một cách nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất. Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. 1
Mặc dù tầm quan trọng của kiến thức về vectơ trong không gian lớn như thế, nhưng nó không được trình bày kỹ trong SGK. Hơn nữa ở SGK, sách bài tập và cả các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Chính vì vậy HS không được học một cách bài bản, không xâu chuỗi được kiến thức trong khi nội dung kiến thức chuyên đề này xuyên suốt trong chương trình môn Toán ở nhà trường phổ thông. Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian”. II. TÍNH MỚI, ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn mới đó là khai thác kiến thức vectơ để giải các bài toán HHKG theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. Thứ hai, đề tài đã trình bày cơ sở lý luận về tư duy, năng lực tư duy và lập luận toán học; hệ thống hoá các kiến thức về vectơ , trình bày được phương pháp chung để giải các bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ . Thứ ba, đề tài đã xây dựng được lớp các bài toán HHKG và định hướng xử lý lớp các bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ . Đặc biệt khai thác kiến thức về vectơ để giải các bài toán về cực trị, bất đẳng thức trong HHKG và tập luyện cho HS thói quen khai thác đề bài để sáng tạo bài toán mới giúp các em tự tin hơn trong học tập. Thứ tư, luyện tập cho HS thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để HS phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà HS phát triển khả năng nói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán. Thứ năm, đề tài đã góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 và học sinh giỏi cấp tỉnh hằng năm. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học vấn đề vectơ trong không gian ở trường THPT. Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến vấn đề vectơ trong không gian qua SGK và các tài liệu tham khảo. Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức và bài toán HHKG giải bằng phương pháp sử dụng kiến thức vectơ trong không gian phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các buổi bồi dưỡng HSG. 2
Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, và đồng nghiệp qua đó thấy được sự hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học nội dung vectơ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói riêng cũng như học môn toán nói chung. VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU - Học sinh bậc trung học phổ thông. - Giáo viên dạy toán bậc trung học phổ thông. - Tài liệu về phương pháp dạy học, hình học không gian. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp phân tích - tổng hợp - Phương pháp điều tra, phân tích. - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu - Phương pháp phỏng vấn. - Phương pháp thực nghiệm. VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Phần I. Đặt vấn đề. Phần II. Nội dung. Phần III. Kết luận 3
PHẦN II. NỘI DUNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1. Tư duy 1.1. Khái niệm tư duy Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận,… (dẫn theo [3]). Trong Đề tài này, chúng tôi thống nhất với quan điểm về tư duy của tác giả Phạm Minh Hạc trong [2]: “Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chủ thể nhận thức chưa biết”. 1.2. Đặc điểm của tư duy Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề; Tư duy có tính khái quát; Tư duy có tính gián tiếp; Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,... (dẫn theo [4]). 1.3. Tư duy toán học Trong Đề tài này, chúng tôi sử dụng định nghĩa tư duy toán học: Tư duy toán học được hiểu là hình thức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con người nhận thức khoa học toán học hay trong quá trình áp dụng toán học vào các khoa học khác như kĩ thuật, kinh tế,… Tư duy toán học có các tính chất đặc thù được quy định bởi tính chất của khoa học toán học vì có sự áp dụng các phương pháp toán học để nhận thức các hiện tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. 1.4. Năng lực tư duy toán học Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn. 2. Năng lực tư duy và lập luận toán học 2.1. Khái niệm năng lực lập luận toán học Môn Toán vừa có tính trừu tượng cao và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính logic và tính thực nghiệm; môn Toán có vai trò quan trọng trong phát triển năng lực trí tuệ cho HS: 4
Một là rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác. Hai là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi HS phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hoá,… Ba là phát triển khả năng suy đoán và tưởng tượng thông qua việc làm cho HS quen và có ý thức sử dụng những quy tắc suy đoán như xét tương tự, khái quát hoá, quy lạ về quen… Từ những đặc điểm trên, có thể thấy, trong dạy học môn Toán, việc phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS là một việc rất quan trọng. Trong đó, năng lực tư duy toán học là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của phẩm chất riêng biệt của khả năng con người để tìm ra lời giải của bài toán, khái quát, mở rộng, phát triển bài toán, còn lập luận được xem là một thành phần, một phương thức đặc thù của tư duy và là một thành phần của năng lực toán học. Khi dạy học hình học không gian, việc rèn luyện và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS để giải bài toán càng rất cần thiết. Bởi vì một bài toán, một bài tập cụ thể chỉ có thể giải được khi HS có hướng tư duy đúng và lập luận logic 2.2. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học Theo CTGDPT 2018, xác định: Ở cấp THPT, biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học được biểu hiện qua việc HS: + Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát. + Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề. + Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học. II. CƠ SỞ THỰC TIỄN Để có cái nhìn đầy đủ và tìm hiểu cụ thể, chính xác thực trạng việc phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS THPT thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian, chúng tôi tiến hành điều tra, khảo sát bằng phiếu câu hỏi (ở phần Phụ lục) với đối tượng là 85 học sinh và 20 giáo viên của các trường THPT tại địa bàn huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận. Sau khi điều tra tôi thu được kết quả cụ thể sau: 1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên - Hầu hết giáo viên chỉ tập trung hướng dẫn và yêu cầu HS làm các bài tập được giao trong sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc nghiên cứu sâu và khai thác bài toán nhằm phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS. - Trong tiết bài tập, giáo viên cơ bản chỉ tập trung vào việc chữa bài tập một cách thuần túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi bài tập nhằm củng cố, khắc sâu 5
lý thuyết đã học. Không ít giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác và chưa giúp học sinh xâu chuỗi các kiến thức với nhau. - GV cũng chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không có thói quen để HS tự do tranh luận. Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Do đó không phát huy được các yếu tố để rèn luyện và phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS. 2. Thực trạng học tập của học sinh Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên địa bàn tỉnh huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận chúng tôi thu được các thông tin: - Rất nhiều HS ngại học hình học không gian, phần lớn học sinh yếu về kiến thức vecto; hạn chế về năng lực tư duy và lập luận toán học: nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố toán học, thường yếu trong việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế. - Hầu hết HS thường có thói quen giải xong một bài toán xem như là mình đã hoàn thành công việc được giao và dừng lại ở đó, rất ít HS nào biết chủ động, khai thác, tìm tòi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài toán khác. Vì vậy khi đứng trước một bài toán mới, bài toán chưa có thuật giải hay những bài toán nâng cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết vấn đề mới có liên quan. - Đa số HS có kiến thức rất yếu và không hứng thú học chủ đề vectơ vì sự trừu tượng và tâm lý nghĩ rằng chủ đề này rất khó nên không thể chinh phục được. - Đứng trước một bài toán HHKG học sinh thường không ưu tiên lựa chọn công cụ vectơ để khai thác, HS lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào. Vậy làm thế nào để khắc phục được thực trạng đó? Trong khuôn khổ một sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp cụ thể đã được áp dụng có hiệu quả tại đơn vị - trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên. III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Trong nội dung này chúng tôi sẽ củng cố các kiến thức liên quan đến vectơ , định hướng giúp HS vận dụng các kiến thức về vectơ để giải một số bài toán 6
HHKG và tìm cách khai thác mở rộng thành các bài toán mức độ vận dụng, vận dụng cao; giúp HS nắm được quy trình tổng thể, phương pháp giải một số bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ. Thông qua đó giúp học sinh có thêm một phương pháp để giải các bài toán HHKG từ mức độ thông hiểu đến mức độ vận dụng, vận dụng cao có trong chương trình Toán THPT và trong cấu trúc đề thi TNTHPT cũng như trong đề thi HSG. Qua việc phân tích, khai thác giúp cho học sinh có thói quen, kỹ năng luôn tìm nguồn gốc của bài toán cũng như nhìn bài toán dưới dạng động, luôn có ý thức tìm tòi, khai thác bài toán nhiều khía cạnh. Từ đó hình thành, phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS. 1. Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận các dạng toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ từ đó hoàn thiện phương pháp giải mỗi dạng 1.1. Một số kiến thức về vectơ trong không gian      Quy tắc ba điểm: AB  BC  AC , A , B , C .       Quy tắc trừ: AB  AC  CB , A , B , C .   Quy tắc hình bình hành: Tứ giác ABCD là hình bình hành thì    AB  AD  AC .    Qui tắc    hình hộp: Nếu ABCD.A B C D  là hình hộp thì AC   AB  AD  AA          I là trung điểm của AB  IA  IB  0  MA  MB  2MI ( M là một điểm bất kì trong không gian).  Nếu I là trung điểm của AB , J là trung điểm của CD thì ta có  1     1      IJ  AD  BC  AC  BD 2 2          G là trọng tâm   ABC  GA  GB  GC  0    của  MA  MB  MC  3MG ( M là một điểm bất kì trong không gian).           G là trọng tâm của tứ diện ABCD  GA  GB  GC  GD  0       MA  MB  MC  MD  4MG ( M là một điểm bất kì trong không gian).     Nếu AB  kAC k  1 thì với mọi điểm M trong không gian ta có  1  k  MA  MB  MC . 1k 1k          a cùng phương với b b  0  k   : a  k .b .     A, B , C thẳng hàng   k   : AB  k .AC  l   : với mọi điểm M    ta luôn có l .MA  1  l .MB  MC         a.b  a . b . cos a , b .       a .b  a . b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương. 7
      Cho ba vectơ a , b , c trong đó a , b là hai vectơ không cùng phương. Khi    đó: a , b , c  đồng phẳng khi và chỉ khi có duy nhất các số thực m , n sao cho  c  m .a  n .b .     Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng. Nếu m , n , p là ba số thực mà     ma  nb  pc  0 thì m  n  p  0 .      Nếu a , b , c là ba vectơ không đồng phẳng thì với vectơ v bất kì, ta đều     tìm được các số m , n , p sao cho v  ma  nb  pc . Hơn nữa các số m , n , p là duy nhất. 1.2. Phương pháp chung để giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ Bước 1. Chọn 3 vectơ không đồng phẳng làm cơ sở. Bước 2. Biểu diễn các vectơ cần tính toán về hệ 3 vectơ cơ sở. Bước 3. Dựa vào hệ thức biểu diễn ở trên ta tìm mối quan hệ giữa các vectơ cần xét. Sau đây chúng tôi xin đưa ra một số bài toán HHKG giải bằng phương pháp vectơ 1.3. Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp vectơ Bài toán 1: Chứng minh 3 điểm A , B , C phân biệt thẳng hàng. Phương pháp giải.   Cách 1. Ta chứng minh AB  k .AC , k  0, k  1 1 .   Để nhận được 1 , ta có thể tính vectơ AB và AC thông qua một tổ hợp vectơ trung gian. Cách 2. Với điểm O bất kì, ta có:               AB  k .AC  OB  OA  k OC  OA  OB  1  k OA  kOC       Hay A , B ,C thẳng hàng  m, n   : OB  mOA  nOC , O, (m n  1) Bài toán 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phương pháp giải.      Cho a và b không cùng phương. Khi đó a, b , c đồng phẳng     m, n   : c  m.a  n .b (Với m, n xác định duy nhất) Bài toán 3: Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải.    Cho hai đường thẳng phân biệt AB và CD . Khi đó: AB / /CD AB  kCD . 8
Bài toán 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải.  Cho hai vectơ a,b không cùng phương thuộc mặt phẳng (P) , AB không    thuộc (P) . Khi đó: AB / /(P)  AB  xa  yb ( x, y duy nhất ). Bài toán 5: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp giải. Cho hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (MNP) .     AB  xMN  yMP  Khi đó: (ABC) / / MNP         .  AC  x MN  y MP    1 1 Bài toán 6: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp giải. Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b ta có quy trình như sau: Bước 1: Chọn bộ vectơ cơ sở, trên đường thẳng a và b chọn hai vectơ     AB ,CD . Bước 2: Biểu thị hai vectơ trên theo bộ vectơ cơ sở.         Bước 3: Xét tích vô hướng AB .CD , nếu AB .CD  0 thì kết luận AB  CD . Bài toán 7: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp giải. Cho đường thẳng a và mặt phẳng (ABC) . Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (ABC) ta có quy trình như sau:   Bước 1: Chọn bộ ba vectơ cơ sở, trên đường thẳng a ta chọn ra một vectơ MN       Bước 2: Biểu thị ba vectơ AB , CD, MN theo bộ ba vectơ cơ sở.            AB.MN  0  Bước 3: Xét tích vô hướng của MN với AB và CD , nếu       thì CD.MN  0    a  (ABC) . Bài toán 8: Tính góc giữa hai vectơ Phương pháp giải.     Góc  giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức: 9
    AB.CD cos      AB . CD Bài toán 9: Tính góc giữa hai đường thẳng Phương pháp giải. Góc  giữa hai đường thẳng AB và CD được tính theo công thức:         AB.CD cos  cos(AB,CD )      AB . CD Bài toán 10: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp giải. Để tính góc giữa MA và (ABC ) ta thực hiện như sau         Đặt AM  m , AB  a, AC  b , gọi N là hình chiếu của M lên (ABC )         Khi đó: MN  AN  AM  xa  yb  m      (xa  yb  m )a  0  Do MN  (ABC ) nên      (xa  yb  m )b  0          Nếu xa  yb  0 thì góc giữa AM và (ABC ) bằng góc giữa m và xa  yb ,    còn xa  yb  0 thì AM  (ABC ) . Bài toán 11: Tính góc giữa hai mặt phẳng Phương pháp giải.   Gọi m , n lần lượt là hai vectơ vuông góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) . Khi đó    m.n góc  giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo công thức cos     m .n Bài toán 12. Tính khoảng cách giữa hai điểm Phương pháp giải.    2  Khoảng cách giữa hai điểm A và B là: AB  AB  AB Bài toán 13: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Phương pháp giải.  Cho điểm M và đường thẳng  có vectơ chỉ phương a , điểm A thuộc  . Tính khoảng cách từ M đến  .    Đặt AM  m , gọi N là hình chiếu của M lên  . 10
             Khi đó: MN  AN  AM  xa  m và MN  a  xa  m a  0         2 Khoảng cách cần tìm: MN  xa  m Bài toán 14: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp giải. Cho (ABC ) , điểm M không thuộc (ABC ) . Tính khoảng cách từ M đến (ABC )         Đặt AM  m , AB  a, AC  b , gọi N là hình chiếu của M lên (ABC ) .        Khi đó: MN  AN  AM  xa  yb  m      (xa  yb  m )a  0  Do MN  (ABC ) nên        x, y  ? (xa  yb  m )b  0    Khi cho biết x , y ta tìm được khoảng cách từ M đến (ABC ) bằng    . 2 xa  yb  m Bài toán 15: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp giải.  Cho đường thẳng chéo nhau, d1 và có vectơ chỉ phương a1 ; đường thẳng d2 ,  có vectơ chỉ phương a2 . Đoạn vuông góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1 , P2 thuộc d2 ), khi đó:      P1P2  xa1  m  ya2 , với m là vectơ trung gian.    P P .a  0      1 2 1    Do   x , y . Khoảng cách cần tìm: P1P2  (xa1  m  ya 2 )2 P P .a  0  1 2 2   2. Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thông qua giải toán hình học không gian bằng phương pháp vectơ Trong quá trình giải toán, HS thường gặp rất nhiều khó khăn khi tìm cách giải quyết bài toán đó, các em lúng túng không biết bắt đầu từ đâu. Bởi vì ngoài việc các em chưa nắm được kiến thức nên, yếu về kỹ năng biến đổi thì HS còn chưa được rèn luyện về kỹ năng phân tích, so sánh, tổng hợp, quy lạ về quen…Rõ ràng năng lực vận dụng các thao tác tư duy rất quan trọng trong việc giải toán của HS, vì rằng nếu thiếu các kỹ năng này thì HS không thể biết làm gì để giải quyết bài toán đặt ra. Thực tế cho thấy rằng năng lực giải toán và khai thác bài toán để đưa ra các bài toán tương tự hay sáng tạo bài toán mới của HS phụ thuộc rất lớn vào việc nhuần nhuyễn các thao tác tư duy. 11
Trong quá trình dạy học, việc rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh sẽ rèn luyện cho HS tính chịu khó, kiên trì, tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn, độc đáo, sáng tạo của tư duy. Qua đó HS sẽ ngày một yêu thích môn Toán hơn, đặc biệt là phát triển cho học sinh năng lực tư duy và lập luận toán học. 2.1. Khai thác phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học không gian thuần tuý Ví dụ 1 (Chứng minh 3 điểm thẳng hàng): Cho tứ diện ABCD , các điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN , điểm A là trọng tâm của tam giác BCD . Chứng minh ba điểm O , A , A thẳng hàng. Đây là bài toán đơn giản với những học sinh khá, giỏi. Tuy nhiên lại là một bài toán khó đối với học sinh trung bình. Nhưng rõ ràng nếu học sinh không nắm vững kiến thức vectơ thì bài toán vẫn là một vấn đề lớn với tất cả các em học sinh. Dùng vectơ để giải bài toán này chúng ta sử dụng hệ quả của hai vectơ cùng phương như sau:  Phân tích:    Để chứng minh ba điểm O , A , A ' thẳng hàng, ta chứng minh AA '  k .AO ,      k  0, k  1 1 . Để nhận được 1 , ta có thể tính vectơ AA ' và AO thông qua một tổ hợp vectơ trung gian. Lời giải      Chọn hệ cơ sở: AB  a , AC  b ,    AD  c . Ta có:  1       * AA  AB  AC  AD 3  1      a b c . 3   1    1  1  1    1        * AO  AM  AN   a  b  c   a  b  c . 2 2 2 2  4    4  Vậy AA  AO nên ba điểm O , A , A thẳng hàng. 3 Nhận xét: Sử dụng phương pháp vectơ giải dạng toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong không gian thể hiện rõ sự hiệu quả, nhiều bài toán lời giải rất độc đáo và sáng tạo. Trong bài toán trên nếu ta thay đổi chút ít giả thiết hay kết luận của bài toán để có bài toán tương tự thì chắc hẳn sẽ làm khó với các phương pháp ngoài vectơ cụ thể ta có thể đưa ra các bài toán như sau: Thay đổi yêu cầu bài toán thành tìm điều kiện để ba điểm thẳng hàng. 12
Bài toán 1.1. Cho tứ diện ABCD , các điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Điểm A là trọng tâm của tam giác BCD . Xác định vị trí của điểm O trên đoạn thẳng MN ba điểm O , A , A thẳng hàng. Hướng dẫn giải:   Giả sử OM  kON k  1 ta có  1  1  k  k  AO  .  a b c ;   1  k 2  1 k 1 k   1      1       AA  AB  AC  AD  a  b  c . 3 3  Từ đó để ba điểm O , A , A thẳng hàng thì 1 k   k  1 . Hay O chính là trung 1k 1k điểm của MN. Thay đổi yêu cầu bài toán thành tính tỷ lệ của hai đoạn thẳng. Bài toán 1.2. Cho tứ diện ABCD , các điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng MN , điểm A là trọng tâm AO của tam giác BCD . Tính ?. AA Hướng dẫn giải:   Với yêu cầu bài toán này chúng ta sẽ phân tích vectơ AA và AO bộ ba          4  AO 3 vectơ cơ sở AB  a , AC  b , AD  c . Ta có AA  AO   . 3 AA 4 Chú ý: Điểm O trong bài toán 1 chính là trọng tâm của tứ diện ABCD . Đây là một cách để xác định trọng tâm của tứ diện. Bài toán tương tự với sự mở rộng như thay đổi vị trí của điểm M và N. Bài toán 1.3. Cho diệnABCD , M và N là các điểm lần lượt thuộc AB tứ    và CD sao cho MA  MB , ND  NC . Gọi điểm I , J , K lần lượt là trung điểm của AD, MN , BC . Chứng minh các điểm I , J , K thẳng hàng. Đối với bài này giáo viên chỉ cần định hướng cho học sinh sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng thì học sinh sẽ tìm ra lời giải một cách dễ dàng: Bài toán 1.4. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là các điểm thuộc AB     , CD thỏa mãn MA  2MB, ND  2NC . Các điểm I , J , K lần lượt thuộc           AD, MN , BC sao cho IA  kID, JM  kJN , KB  kKC . Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng. 13
Hướng dẫn giải: Từ giả thiết bài toán, với mọi điểm O ta A tính được:  2  1   2 1 M I OJ  OK  OI (6), (   1). B D 3 3 3 3 J K N Suy ra I , J , K thẳng hàng. C Ví dụ 2 (Chứng minh hai đường thẳng song song): Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A ' B 'C ' . Gọi G và G ' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A ' B ' C ' . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB ' và A ' B . Chứng minh rằng GI / /CG ' . Lời giải Gọi E , F lần lượt là trung điểm của A' C' AB , A ' B ' F G' Chọn hệ vectơ cơ sở B'         A ' A  a, A ' B '  b, A ' C '  c I Ta biểu thị được như sau:    1 2 A C CG '  a  b  c (1) G 3 3 E  1   1  2  B GI  a  b  c(2)    2  3  3   1   Từ (1) và (2), ta có được: GI  CG ' suy ra GI / /CG ' . 2 Rõ ràng rằng phương pháp vectơ thể hiện sự hiệu quả và độc đáo. Điều này càng rõ hơn nếu ta thay đổi một số dữ kiện của bài toán này ví dụ như sau: Thay đổi yêu cầu bài toán thành tìm điều kiện để hai đường thẳng song song. Ta có bài toán sau: Bài toán 2.1. Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A ' B 'C ' . Gọi G ' trọng tâm của tam giác A ' B ' C ' và I là giao điểm của hai đường thẳng AB ' và A ' B . Gọi E là trung điểm của AB . Tìm vị trí của điểm G trên CE để GI / /CG ' . Thay đổi yêu cầu bài toán thành tính tỷ lệ đoạn của hai đoạn thẳng. Ta có bài toán sau: Bài toán 2.2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC .A ' B 'C ' . Gọi G và G ' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A ' B ' C ' . Gọi I là giao điểm của hai GI đường thẳng AB ' và A ' B . Tính . CG ' Bằng lối tư duy và lập luận tương tự như trên, ta có thể tạo ra nhiều bài 14