Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao trong đề thi TNTHPT

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao trong đề thi TNTHPT" nhằm nghiên cứu phương pháp khai thác, hướng dẫn học sinh phát triển bài toán tương giao nhằm phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề bài toán tương giao, nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao trong đề thi TNTHPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG ĐỀ THI TNTHPT LĨNH VỰC: TOÁN HỌC NĂM HỌC 2022 - 2023
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DÂN TỘC NỘI TRÚ TỈNH ---------- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO TRONG ĐỀ THI TNTHPT LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Nhóm tác giả 1. Phan Đình Trường - PHT Trường THPTDTNT Tỉnh Số ĐT: 0978978432 2. Trương Đức Thanh - GV Trường THPTDTNT Tỉnh Số ĐT: 0983813595 NĂM HỌC 2022 - 2023
DANH MỤC VIẾT TẮT TNTHPT : Tốt nghiệp trung học phổ thông. THPT : Trung học phổ thông. THPT DTNT : Trung học phổ thông Dân tộc Nội trú. HS : Học sinh. SKKN : Sáng kiến kinh nghiệm. TDST : Tư duy sáng tạo. GV : Giáo viên.
MỤC LỤC PHẦN I. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài .............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu. ........................................................................................ 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: ................................................................... 3 3.1. Đối tượng nghiên cứu. ................................................................................. 3 3.2. Phạm vi nghiên cứu. .................................................................................... 3 4. Phương pháp nghiên cứu. .................................................................................. 3 5. Tính mới ............................................................................................................. 3 6. Ý nghĩa của đề tài .............................................................................................. 4 PHẦN II. NỘI DUNG ............................................................................................. 5 1. Cơ sở lý luận. ..................................................................................................... 5 1.1 Khái niệm tư duy........................................................................................... 5 1.2. Khái niệm và đăc trưng về tư duy sáng tạo ................................................. 5 1.3. Dạy học phát triển tư duy sáng tạo .............................................................. 5 1.4. Một số cách phát triển tư duy thông qua hoạt động dạy học. ...................... 6 2. Thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho HS ở trường THPT hiện nay. ......................................................................................................................... 6 3. Cơ sở khoa học. ................................................................................................. 7 3.1. Phương pháp giải bài toán tương giao. ........................................................ 7 3.2. Các phép biển đổi đồ thị. ............................................................................. 7 4. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao. ......... 9 4.1. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao của hàm số tường minh.............................................................................................. 9 4.2. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao của hàm số liên kết. ................................................................................................. 31 4.3. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao mức độ vận dụng, vận dụng cao ....................................................................... 38 5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất ...................... 44 5.1. Mục đích khảo sát ...................................................................................... 44 5.2. Nội dung và phương pháp khảo sát ........................................................... 44 5.3. Đối tượng khảo sát ..................................................................................... 44 6. Thực nghiệm sư phạm ..................................................................................... 47 6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm................................................................. 47 6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm ................................................................ 47 6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm........................................................... 47 6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm .............................................................. 48
7. Kết quả đạt được. ............................................................................................. 50 8. Bài học kinh nghiệm .......................................................................................... 52 8.1. Tìm hiểu đối tượng để lựa chọn phương pháp phù hợp ................................. 52 8.2 Khuyến khích học sinh tự tìm tòi, khám phá trong quá trình giải toán ....... 52 9. Hướng phát triển của đề tài ............................................................................... 52 PHẦN III. KẾT LUẬN ......................................................................................... 53 1. Kết luận ............................................................................................................ 53 2. Kiến nghị.......................................................................................................... 53 2.1 Đối với các cấp, nghành.............................................................................. 53 2.2. Đối với nhà trường ..................................................................................... 53
PHẦN I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay ở Việt Nam cũng như nhiều nước trên thế giới, giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, là động lực để phát triển kinh tế xã hội. Với nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục đào tạo là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong các tình huống thực tiễn. Với nhiệm vụ đó, việc rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh ở các trường phổ thông của những người làm công tác giáo dục là hết sức quan trọng. Điều 30.3 trong Luật Giáo dục Số 43/2019/QH14 ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng môn học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào quá trình giáo dục”; Nghị quyết 29 về đổi mới căn bản toàn diện giáo dục đào tạo đã cũng nêu rõ “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việc dạy giải bài tập toán có vai trò quan trọng vì: Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy toán ở trường phổ thông. Dạy giải bài tập toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, phát triển phẩm chất năng lực, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu. Trong quá trình dạy giải bài tập Toán ưu tiên hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải rèn luyện cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, các hệ thống các dạng bài tập qua đó nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Với thực trạng hiện nay, khả năng sáng tạo của học sinh đang còn hạn chế. Học sinh thường vận dụng kiến thức vào giải toán còn một cách máy móc, dẫn đến tư duy bị rập khuôn, máy móc. Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này do các em nhìn các đối tượng toán học dưới dạng tĩnh mà chưa nhìn nhận dưới dạng động. 1
Một thực tế phổ biến trong suy nghĩ của học sinh là khi đứng trước một bài toán, thường thì các em chỉ nghĩ đến việc làm thế nào để giải bài toán đó; các em không suy nghĩ về những bài toán tương tự, trường hợp đặc biệt hay tổng quát bài toán đó như thế nào, liệu cách giải của bài toán này có thể áp dụng được cho những bài toán nào nữa hay không, tại sao lại như thế,...để từ đó sáng tạo, hình thành các lớp bài toán. Cũng vì lí do này, các em thường chỉ thấy các bài toán dưới dạng rời rạc mà không tìm ra được tính hệ thống của chúng. Điều đó làm cho một số em thiếu động lực trong quá trình học tập môn Toán, đặc biệt khi đứng trước các bài toán khó các em không có định hướng để tìm ra phương pháp giải. Với thực trạng đó, đặt lên trách nhiệm của người thầy không thể chỉ đóng vai trò là các nhà giải Toán mà là người dẫn dắt, định hướng, truyền cảm hứng cho học sinh biết khai thác từ những bài toán đơn giản để mở rộng thành những bài toán mới, bài toán nâng cao từ đó hình thành các lớp bài toán mới nhằm giúp học sinh hiểu được các vấn đề một cách tổng quát. Từ năm học 2017-2018, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện đề án thi tốt nghiệp trung học phổ thông môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm. Nội dung chương trình chủ yếu tập trung vào chương trình khối 12. Trong đó, dạng bài toán “Tương giao” luôn nằm trong cấu trúc đề thi ở cả 3 mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng. Lớp bài toán này rất đa dạng và được vận dụng nhiều trong việc giải các bài toán khác ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. Bài toán “Tương giao” là một dạng toán đa dạng được khai thác ở nhiều góc độ đa chiều, nhiều mức độ khác nhau từ nhận biết, thông đến vận dụng, vận dụng cao trong cấu trúc đề thi TNTHPT. Ngoài ra bài toán “Tương giao” còn được vận dụng trong việc giải các bài toán cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Điều này đỏi hỏi tính cấp thiết trong việc dạy chủ đề bài toán “Tương giao”, giáo viên cần phải định hướng cho HS khai thác các khía cạnh của bài toán, giúp HS nắm được dạng toán một cách tổng thể. Thực tế trong quá trình giảng dạy chủ đề bài toán “Tương giao” chúng tôi đã giúp các em định hướng trong việc khai thác từ bài toán đơn giản phát triển thành các dạng bài toán khó, bài toán tổng quát, từ đó tạo niềm tin, động lực trong việc học toán, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh bước đầu nhận thấy đem lại hiệu quả rõ rệt. Từ những lý do trên và trong thực tiễn công tác của bản thân, chúng tôi xin nêu ra một số giải pháp khai thác các bài toán đơn giản từ đó hình thành, hệ thống thành bài toán khó. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài “Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao trong đề thi TNTHPT”. 2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu phương pháp khai thác, hướng dẫn học sinh phát triển bài toán tương giao nhằm phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh và nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề bài toán tương giao, nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 3.1. Đối tượng nghiên cứu. Các dạng bài toán tương giao hàm bậc 3, bậc 4 và hàm liên kết ở mức các mức độ vận dụng, vận dụng cao và các bài toán áp dụng. 3.2. Phạm vi nghiên cứu. - Đề tài tập trung vào việc định hướng phương pháp giải, mở rộng, tổng quát hóa bài toán tương giao từ mức độ đơn giản đến mức độ vận dụng cao. - Về không gian: Một số lớp 12 ở trường THPTDTNT Tỉnh. - Thời gian: năm học 2021-2022 và 2022-2023 4. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp khảo sát: Mục đích của phương pháp khảo sát là tìm hiểu, đánh giá thực trạng và kết quả của các vấn đề nghiên cứu. Phương pháp khảo sát có thể được tiến hành bằng nhiều hình thức khác nhau. Trong đề tài này, chúng tôi sử dụng phương pháp khảo sát để tìm hiểu thực trạng vấn đề dạy phát triển tư duy sáng tạo cho HS, thực trạng học toán của HS trong trường THPT hiện nay và khảo sát để thấy hiệu quả của đề tài thực hiện. Phương pháp khảo sát chủ yếu là phỏng vấn, thăm dò ý kiến, dự giờ, xem giáo án của GV... - Phương pháp phân tích: Thông qua các số liệu khảo sát, phân tích đánh giá thực trạng việc dạy và học của HS. - Phương pháp tổng hợp: Tổng hợp mọi vấn đề liên quan để hình thành lí luận của đề tại, vận dụng của đề tài để rút ra kết luận cần thiết. - Phương pháp khái quát hóa: Từ các số liệu, giải pháp thực nghiệm để khái quát thành giải pháp chung cho đề tài - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực hiện áp dụng đề tài trên một số phạm vi, đánh giá tác động của đề tài từ đó 5. Tính mới Dạng bài toán Tương giao trong SGK Giải tích 12 là một chủ đề có kiến thức rộng, được khai thác nhiều dạng toán, nhiều phương pháp giải; có nhiều tài liệu tham khảo đã viết về chủ đề này. Các tài liệu tham khảo chủ yếu chỉ viết dưới cấu trúc là cung cấp các dạng bài tập rời rạc, chưa bao quát được các dạng bài toán của chủ đề, cũng như không định hướng phân tích bài toán theo hướng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, tổng quát hóa. Trong đề tài này, mục đích của tác giả là đưa ra cách thức, phương pháp dẫn dắt tiếp cận kiến thức; từ các bài toán tương giao quen thuộc, đơn giản khai thác tạo ra các tình huống, các bài toán mới sau đó phát triển thành các lớp, dạng bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao và mở rộng thêm phương pháp giải một số bài toán, từ đó tổng quát hóa định hướng HS rút ra phương pháp giải tổng quát; giúp học sinh nắm được dạng bài toán một cách 3
tổng thể, linh hoạt và áp dụng để giải quyết các bài toán liên quan; phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh. 6. Ý nghĩa của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh hình thành, nắm vững được phương pháp giải lớp bài toán Tương giao ở cả 3 mức độ Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng; Sáng kiến kinh nghiệm phát huy được tính chủ động, sáng tạo, phát triển tư duy toán học cho học sinh, tạo cho học sinh niêm đam mê nghiên cứu Toán học; Sáng kiến kinh nghiệm là tài liệu giúp giáo viên trong việc ôn thi TNTHPT và sáng tạo các bài toán mới, xây dựng các ngân hàng câu hỏi. 4
PHẦN II. NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận. 1.1 Khái niệm tư duy Tư duy là một hiện tượng tâm lý, là hoạt động nhận thức bậc cao ở con người. Cơ sở sinh lý của TD là sự hoạt động của vỏ đại não. Hoạt động TD đồng nghĩa với hoạt động trí tuệ. Mục tiêu của TD là tìm ra các triết lý, lý luận, phương pháp luận, phương pháp, giải pháp trong các tình huống hoạt động của con người. 1.2. Khái niệm và đăc trưng về tư duy sáng tạo - Khái niệm. Có nhiều giải thích về khái niệm TD sáng tạo, được giải thích ở các góc độ khác nhau nhưng các khái niệm đều thống nhất cho rằng: TD sáng tạo là một thuộc tính, một phẩm chất trí tuệ đặc biệt của con người; hoạt động sáng tạo diễn ra ở mọi nơi, mọi lúc, mọi lĩnh vực; bản chất của sáng tạo là con người tìm ra cái mới, cái độc đáo và có giá trị xã hội. - Đặc trưng của tư duy sáng tạo Tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi các yếu tố chính như tính mềm dẻo, tính thuần thục, tính độc đáo, tính chi tiết và tính nhạy cảm - Tính mềm dẻo: là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác. Đó là năng lực chuyển dịch dễ dàng nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối liên hệ mới… dễ dàng thay đổi các thái độ cố hữu trong hoạt động trí tuệ con người. - Tính thuần thục thể hiện khả năng tư duy, làm chủ kiến thức, kĩ năng và thể hiện tính đa dạng của các cách xử lý khi giải quyết vấn đề. Đó chính là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa yếu tố riêng lẻ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết, ý tưởng mới. - Tính độc đáo là khả năng tìm tìm kiếm và quyết định phương thức lạ và duy nhất. - Tính chi tiết: là khả năng lập kế hoạch, phối hợp giữa các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng. - Tính nhạy cảm: là năng lực phát hiện vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, bất hợp lý một cách nhanh chóng, có sự tinh tế của cơ quan cảm giác, có năng lực của trực giác, có sự phong phú về cảm xúc, nhạy cảm. Tính nhạy cảm biểu hiện ở thích ứng nhanh, linh hoạt.. 1.3. Dạy học phát triển tư duy sáng tạo Dạy học phát triển tư duy sáng tạo là phương pháp nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo và để đào sâu rộng khả 5
năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một đề tài hay lĩnh vực nào đó. Phương pháp này giúp cá nhân hay tập thể thực hành tìm ra các phương án, các lời giải từ một phần đến toàn bộ các vấn đề nan giải. 1.4. Một số cách phát triển tư duy thông qua hoạt động dạy học. - Tạo lập không khí trong lớp học - Định hướng động cơ học tập đúng đắn cho HS - Tạo ra sự thử thách vì sự thủ thách sẽ làm nảy sinh sự sáng tạo - Tạo cơ hội cho HS hình thành thói quen xem xét vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau. - Khuyến khích học sinh giải quyết vấn đề bằng nhiều cách, biết hệ thống hóa và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. - Rèn thói quen tìm tòi cách giải hay, mới cho bài toán, vấn đề học tập - Sử dụng các câu hỏi kích thích nhu cầu nhận thức, khám phá của học sinh. - Rèn thói quen nhanh chóng phát hiện sai lầm , thiếu lôgic trong bài giải hoặc trong quá trình giải quyết vấn đề. - Tạo lập thói quen mò mẫm – phát hiện vấn đề trong quá trình học tập. - Rèn luyện việc vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy trong quá trình học tập của HS. - Rèn luyện kĩ năng suy luận lôgic trong học tập - Kích thích trí tưởng tượng sáng tạo của HS. 2. Thực trạng dạy học phát triển tư duy sáng tạo cho HS ở trường THPT hiện nay. Qua nhiều năm đi dạy ở nhiều môi trường khác nhau, qua các tiết dự giờ, qua việc thăm dò ý kiến HS, GV, chúng tôi nhận thấy khả năng phát triển TDST của HS trong các trường THPT hiện nay còn dừng lại ở tư duy lối mòn, sức "ì" rất lớn. Biểu hiện là: - Trong một tiết học gần như HS hoàn toàn phụ thuộc vào SGK, thụ động tiếp nhận kiến thức mà không phát hiện ra được những vấn đề mới. - Phần lớn HS rất lúng túng khi GV đặt câu hỏi "vì sao?", "tại sao lại như thế này mà không phải như thế kia?", "nếu như", "giả sử"... - HS Chưa biết vận dụng kiến thức được học vào xử lý linh hoạt, sáng tạo các tình huống thực tiễn. - HS áp dụng máy móc kiến thức kĩ năng, cách giải. - HS chưa biết và chưa có thói quen tìm ra nhiều cách giải quyết cho một vấn đề. 6
- Chưa biết nhìn tổng thể, toàn diện đối với các vấn đề, chưa nhận thức được mọi sự vật đều có mối liên hệ với nhau, để giải quyết toàn diện, đồng bộ (linh hoạt, mềm dẻo). Thực trạng này xuất phát từ nhiều nguyên nhân, trong đó nguyên nhân chủ yếu là do ảnh hưởng của lối dạy học truyền thống, nặng về truyền thụ tri thức dẫn đến đến cách tổ chức DH thụ động, không phát huy được tính tích cực học tập cũng như tiềm năng TDST của HS. Trong giờ dạy, đa số GV chỉ chú ý và cố gắng giảng hết những phần nội dung đã được trình bày trong SGK, rất ít, thậm chí không đưa thêm những câu hỏi hay bài tập nhằm mở rộng, khắc sâu kiến thức hay những bài tập có tác dụng phát triển TDST cho HS. GV chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải quyết. Nhiều GV còn không dám để HS tự do tranh luận vì sợ làm mất thời gian, không hoàn thành được bài dạy (cháy giáo án). Nhiều khi HS chưa kịp nói hết ý đã bị GV thúc giục, thậm chí bác bỏ làm cho HS không được tự tin, nhiều em còn thấy e sợ, lúng túng,... Các hoạt động trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dường như cho xong việc. Cách làm này dẫn đến không kích thích được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc đáo cho vấn đề. Tức không phát huy được các yếu tố của TDST ở HS. Tư duy sáng tạo trong môn Toán học của HS THPT cũng không nằm ngoài thực trạng chung đó. Khi thực hiện bài giải, HS chủ yếu làm theo trình tự các bước tính, trình tự thực hiện các phép tính, HS chăm chú tính từng bước tỉ mỉ, cẩn thận mà không biết làm gộp, làm tắt các bước tính, chưa kết hợp giữa kĩ năng tính toán và suy luận vấn đề; vận dụng các tính chất của các phép tính, các phương pháp giải điển hình vào giải quyết một cách sáng tạo; chưa biết vận dụng cách giải loại, dạng, mẫu bài toán này vào giải quyết các loại, dạng, mẫu bài toán khác (phối hợp di chuyển các TTTD, phương pháp suy luận). 3. Cơ sở khoa học. 3.1. Phương pháp giải bài toán tương giao. Bài toán cơ sở (Tìm số giao điểm của 2 đồ thị hàm số). Cho hàm số y  f1 ( x) có đồ thị (C1 ) , hàm số y  f 2 ( x) có đồ thị (C2 ) . Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f ( x )  g ( x) (1) . Phương trình (1) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số (C1 ) và (C2 ) . Nghiệm của phương trình là hoành độ của giao điểm. 3.2. Các phép biển đổi đồ thị. Bài toán 1. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y | f (x ) | . - Giữ nguyên phần đồ thị (C ) thuộc trục hoành và nằm trên trục hoành. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) ở dưới trục hoành qua trục hoành. - Bỏ phần đồ thị (C ) ở phía dưới trục hoành. 7
Bài toán 2. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y  f (| x |). - Giữ nguyên phần đồ thị (C ) thuộc trục tung và nằm bên phải trục tung. - Bỏ phần đồ thị (C ) ở bên trái trục tung. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung. Bài toán 3: Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y  f(x ) . - Bước 1: Từ đồ thị hàm số (C ) vẽ đồ thì hàm số y  f (x ) là (C 1 ) . Các bước thực hiện theo Bài toán 1. - Bước 2: Từ đồ thị (C 1 ) của hàm số vẽ đồ thị hàm số y  f ( x ) là (C 2 ) . Các bước thực hiện theo Bài toán 2. Bài toán 4. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y  f (| x  a |). Bước 1: Vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số y  f (| x |). Phương pháp như Bài toán 2. Bước 2: Vẽ đồ thị (C 2 ) của hàm số y  f (| x  a |). - Nếu a  0 thì tịnh tiến đồ thị (C 1 ) sang phải | a | đơn vị. - Nếu a  0 thì tịnh tiến đồ thị (C 1 ) sang trái a đơn vị. 8
Bài toán 5. Cho hàm số y  f (x ) có đồ thị (C ) , hãy vẽ đồ thị hàm số y | f (x )  b | . Bước 1: Vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số y  f (x )  b. - Nếu b  0 thì tịnh tiến đồ thị (C ) xuống dưới | b | đơn vị. - Nếu b  0 thì tịnh tiến đồ thị (C ) lên trên b đơn vị. Bước 2: Vẽ đồ thị (C 2 ) của hàm số y | f (x )  b | . Phương pháp như Bài toán 1. 4. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao. Trong đề tài này các phương pháp chúng tôi đưa ra nhằm mục đính hình thành một lôgic định hướng cho giáo viên việc khai thác, mở rộng một số bài toán tương giao. Từ một bài toán đơn giản chúng ta có thể thay đổi dữ kiện, thêm vào một số điều kiện ràng buộc để tạo ra bài toán mới có mức độ từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng; khai thác nhiều cách giải của dạng toán. Qua đó tạo cho học sinh các tình huống có vấn đề, kích thích tính tư duy, sáng tạo cho HS; tạo cho học sinh nhìn nhận một bài toán dưới góc nhìn “đa chiều”. `Thông qua việc khai thác bài các bài toán hình thành cho HS các tư duy logic, tư duy sáng tạo về bài toán tương giao nói riêng, về Toán học nói chung. Đồng thời giúp HS có cách nhìn tổng quát, xuyên suốt các dạng bài toán tương giao. 4.1. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao của hàm số tường minh. 4.1.1. Phát triển tư duy cho học sinh thông qua khai thác bài toán tương giao của hàm số bậc 3. Trước hết ta hướng dẫn HS giải 2 bài toán gốc cơ bản sau: Bài toán gốc 1. (Trường hợp sử phương pháp hàm số khi cô lập được tham số m về 1 vế) Cho hàm số y  f ( x, m) có đồ thị (Cm ) . Tìm m để đồ thị (Cm ) cắt trục hoành tại n điểm ( n 1,2,3) . Phương pháp: - Hoành độ giao điểm của (Cm ) với trục hoành là nghiệm của phương trình: f ( x, m)  0 (1) - Biến đổi tương đương cô lập m về vế phải ta được phương trình 9
h( x )  g ( m ) (2) - Lập bảng biến thiên, hoặc đồ thị hàm số y  h( x) - Từ bảng biến thiên, hoặc đồ thị suy ra giá trị m cần tìm Bài toán 1. 1 Tìm m để đồ thị hàm số: f ( x)  x3  2 x 2  3x 1 m (Cm ) 3 a. Cắt trục hoành tại 1 điểm b. Cắt trục hoành tại 2 điểm c. Cắt trục hoành tại 3 điểm. Hướng dẫn giải. Giao điểm của đồ thị (Cm ) và trục hoành là nghiệm của phương trình: 1 3 1 x  2 x 2  3x 1 m  0 (1) . Ta có: (1)  x3  2 x 2  3x 1 m (2) 3 3 Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số 1 g ( x)  x3  2 x 2  3x 1 và đường thẳng y  m . 3 Ta lập bảng biến thiên hàm số y  g ( x) Từ bảng biến thiên suy ra: m  3 a. Với  thì đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm.  m  1 m  3 b. Với  thì đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm.  m  1 c. Với 1  m  3 thì đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm. Đến đây chúng ta không để bài toán “chết” mà hướng dẫn HS khai thác mở rộng bài toán, nhằm kích thích hứng thú học tập và phát triển tư duy sáng tạo cho HS. Từ đó giúp HS có kiến thức tổng thể về bài toán tương giao hàm bậc 3. Việc mở rộng bài toán bằng cách ràng buộc thêm một số yêu cầu có thể theo các hướng như sau (Linh hoạt tùy theo bài toán): Hướng mở rộng 1: Ràng buộc điều kiện của giao điểm - Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành x0 thóa mãn một trong các trường hợp: x0  0; x0  0; x0  a; x0  a ; x0  a; x0  a ( a là hằng số). 10
- Tìm m đề đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ x1 , x2 thõa mãn một trong các điều kiện sau: x2  x1  0; 0  x1  x2 ; x2  x1  a; a  x1  x2 ; x1  a  x2 ( a là hằng số). - Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1 , x2 , x3 thõa mãn một trong các điều kiện sau: a  x1  x2  x3 ; x1  x2  x3  a ; x1  a  x2  b  x3 ; a  x1  x2  x3  b ; c  x1  a  x2  b  x3  d .. ( a, b, c, d là hằng số). - Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng. Trong điều kiện đề tài này chúng tôi chỉ lấy một số ví dụ minh họa. 1 Bài toán1.1. Tìm m để đồ thị hàm số: y  x3  2x 2  3x  1 (C ) cắt trục hoành tại 3 3 điểm có hoành độ thoả mãn x1  1  x2  2  x3  4 . Hướng dẫn giải. Phương pháp giải hoàn toàn tương tự Bài toán 1. Trong bài toán này chọn được giá trị m thoả mãn yêu cầu của hoành độ giao điểm, 1 1 ta tính các giá trị g (2)   ; g (4)  , ta có bảng biến thiên: 3 3 1 1 Từ bảng biến thiên suy ra kết quả:   m  . 3 3 Lưu ý: Đối với bài toán có sự ràng buộc hoành độ giao điểm, Trong bảng biến thiên chúng ta chỉ cần tính giá trị của hàm số tại các giá trị cần so sánh với hoành độ. Từ đó suy ra điều kiện của m. 1 Bài toán 1.2. Tìm m để đồ thị hàm số: f ( x)  x 3  2 x 2  3 x 1  m (C ) cắt trục 3 hoành tại 3 điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng. Hướng dẫn giải. Phương pháp giải tương tự Bài toán 1. Ta tìm điểm uốn của đồ thị hàm số 1 y  g ( x) . Điểm uốn là trung điểm của CĐ và CT, suy ra tọa độ điểm uốn U (2;  ) 3 Để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng thì đường thẳng y  m đi 11
1 qua điểm uốn của đồ thị hàm số y  g ( x) . Từ đó suy ra m   . 3 Từ ví dụ chúng ta hướng dẫn HS rút ra phương pháp tổng quát để giải bài toán mở rộng. Hướng mở rộng 2: Xét tương giao của hàm chứa giá trị tuyệt đối Bài toán 2. 1 Cho hàm số f ( x)  x 3  2 x 2  3x 1 m (C ) . 3 1. Tìm m để đồ thị hàm số: y  f ( x) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. 2. Tìm m để đồ thị hàm số: y  f ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 3. Tìm m để đồ thị hàm số: y  f ( x ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. Hướng dẫn giải Để giải quyết bài toán này chúng ta hướng dẫn HS tìm được mối liên hệ giữa số giao điểm giữa hàm số y  f ( x) và các hàm chứa giá trị tuyệt đối. Cụ thể mối liên hệ như sau: - Số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) với trục hoành cũng bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x) với trục hoành. - Số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) với trục hoành bằng 2 lần số giao điểm có hoành độ dương của đồ thị hàm số y  f ( x) với trục hoành. Cụ thể được mô tả theo bảng sau: Hàm số y  f ( x ) Hàm số y  f ( x) Cắt trục hoành tại1, 2 điểm hoặc 3 điểm đều có hoành Không có giao điểm độ âm Cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ dương, cắt 2 Có 2 giao điểm điểm trong đó 1 điểm có hoành độ dương, cắt 3 điểm trong đó 1 điểm có hoành độ dương Cắt trục hoành tại 2 điểm trong đó có 1 hoành độ Có 3 giao điểm bằng 0, 1oành độ dương; cắt tại 3 điểm trong đó 1 có hoành độ bằng 0, 1 hoành độ dương Cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương, cắt tại Có 4 giao điểm 3 điểm trong đó 2 điểm có hoành độ dương Cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ dương Có 6 giao điểm 12
- Số giao điểm của hàm số y  f ( x ) với trục hoành bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) . Nên mối liên hệ giữa số giao điểm của đồ thị hàm số y  f ( x ) và hàm số y  f ( x ) tương tự như trường hợp trên. Từ đó mối liên hệ trên ta có cách giải bài toán 2.1 như sau: 1 1. Từ Bài toán 1, suy ra kết quả: 1  m  . 3 2. Đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm khi xảy ra các trường hợp sau: TH1. Đồ thị hàm số y  f ( x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương. Trường hợp này đường thẳng y  m đi qua điểm cực trị của đồ thị. Để biết trường hợp nào thõa mãn thì ta cần tìm giao điểm thứ 2 bằng cách giải phương trình: g ( x)  yCÐ ; g ( x )  y CT . Từ Bài toán 1 dễ thấy: 1 Phương trình g ( x)  yCÐ  có 2 nghiệm dương. Trường hợp này thoả mãn. 3 4 Phương trình g ( x)  y CT   1 x  0, x  3 , không thoả mãn. Từ đó suy ra: m  . 3 TH2. Đồ thị hàm số y  f ( x ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hoành độ dương khi đường thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  g ( x) tại 3 điểm thoả mãn x1  0  x2  x3 . Ta sử dụng phương pháp giải của các dạng bài toán mở rộng theo Hướng 1 Trước hết tính g (0)  0 . Ta có bảng biến thiên hàm số y  g ( x) như sau: Từ bảng biến thiên, suy ra không tồn tại m thõa mãn bài toán: 4 Kết luận: m  . 3 Trong hướng khai thác mở rộng này, từ phương pháp vẽ đồ thị của các dạng hàm số giá trị tuyệt đối, giáo viên có thể định hướng học sinh khai thác thêm các bài toán tương giao của các hàm giá trị tuyệt đối khác. 13
Hướng mở rộng 3: Mở rộng đối với bài toán hàm hợp. Bài toán 3. 1 Cho 2 hàm số f ( x)  x3  2 x 2  3x 1 m và g ( x)   2 x 2  2 x ( m là tham 3 sô). Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hàm số h( x)  f ( g ( x)) cắt trục hoành tại 6 điểm. Hướng dẫn giải Giả sử phương trình f ( x)  0 (1) có nghiệm là a. Khi đó phương trình h( x )  f ( g ( x))  0  g ( x )  a . (2) . Từ yêu cầu của số giao điểm chúng ta hướng dẫn HS tìm mối liên hệ số nghiệm của 2 phương trình: f ( x)  0 (1) và g( x)  a (2) trong đó a là nghiệm của phương ttrình (1). Trong bài toán này: Để đồ thị hàm số căt trục hoành tại 6 điểm thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, mỗi nghiệm của (1) thõa mãn điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt. Xét phương trình: g ( x)  a   2 x 2  2 x  a . Ta suy ra điều kiện của a 1 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: a  . 2 Yêu cầu bài toán thõa mãn khi và chỉ khi phương trình 1 3 1 x  2 x 2  3x 1 m  0 có 3 nghiệm phân biệt thõa mãn  x1  x2  x3 . 3 2 1 1 Từ Bài toán 1, ta có g ( )  . Bảng biến thiên hàm số g ( x) như sau: 2 24 1 1 Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện: m . 24 3 Để phát triển tư duy sáng tạo cho chúng ta hướng dẫn HS xây dựng bảng mô tả các khả khả năng xảy ra về mối liên hệ số giao điểm của đồ thị hàm số h( x)  f ( g ( x)) với trục hoành và số nghiệm của phương trình f ( x)  0 (1) , g( x)  a (2) trong đó a là nghiệm của phương ttrình (1). Từ đó hình thành thêm các bài toán mới cho HS và giúp HS có cách nhìn tổng quát hóa về dạng toán. Bài toán gốc 2: (Trường hợp không cô lập được tham số m về một vế) Trong trường hợp này ta hướng dẫn HS sử dụng 1 trong 2 phương pháp sau: Bài toán 1. (Phương pháp nhẩm nghiệm): Tìm m để đồ thị hàm số: f ( x)  x3  3(m  1) x 2  2(m 2  4m  1) x  4m(m  1) (C ) . Cắt trục hoành tại 1 điểm 3 14
điểm phân biệt. Hướng dẫn giải: Số giao điểm của đồ thị (C ) và trục Ox là số nghiệm của phương trình x3  3(m  1) x 2  2(m2  4m  1) x  4m(m  1)  0 1 Ta thấy phương trình trên có nghiệm x  2 . Do đó (1)  ( x  2)  x 2  (3m  1) x  2m( m  1)   0   x  2 (1)   2 x (3m  1)x  2m(m  1)  0 (2) Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2. Từ đó ta tìm được: m  1 . Đối với bài toán này chúng ta cũng hướng dẫn HS khai thác mở rộng theo các hướng như bài toán 1. Tuy nhiên, khi xác định m để các giao điểm thõa mãn điều kiện bài toán, chúng ta sử dụng định lí Viet đối với phương trình (2) để từ đó xác định điều kiện của tham số. Bài toán 2. (PP đồ thị): Cho hàm số f ( x)  x 3  3mx 2  3(m 2 1) x  (m 2 1). Tìm m để (Cm ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Hướng dẫn giải. Định hướng HS nhìn nhận bài toán: Xét phương trình: x 3  3mx 2  3(m 2 1) x  (m 2 1)  0. 1 Phương trình (1) khônng cô lập được tham số m và cũng không nhẩm nghiệm được. Do đó không thể dùng phương pháp giải của Bài toán 1 và Bài toán 2. Chúng ta hướng dẫn học sinh vẽ đồ thị hàm số minh họa cho trường hợp đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. Suy ra điều kiện bài toán là: Hàm số f ( x) có 2 cực trị và fCÐ . fCT  0 (Hình vẽ). Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt:  f '(x )  0 có 2 nghiêm phân biêt x  x     1 2 (I )  f CÐ .fCT  f (x 1 ).f (x 2 )  0   Ta có. f '( x)  3x 2  6mx  3(m 2 1) . 15