Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải các bài toán có nội dung thực tế trong chương trình Giải tích lớp 11, 12

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến "Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải các bài toán có nội dung thực tế trong chương trình Giải tích lớp 11, 12" với mong muốn tạo hứng thú cho học sinh học môn Toán, giúp các em có kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác và vào thực tiễn đời sống.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải các bài toán có nội dung thực tế trong chương trình Giải tích lớp 11, 12

Trang 1 MỤC LỤC NỘI DUNG TRANG 1. MỞ ĐẦU 1 1.1. Lý do chon đề tài 2 1.2. Mục đích nghiên cứu 3 1.3. Đối tượng nghiên cứu 3 1.4. Phương pháp nghiên cứu 3 1.5. Giới hạn phạm vi nghiên cứu 4 2. NỘI DUNG 5 2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề 5 2.2. Thực trạng của vấn đề 5 2.3. Các biện pháp đã cải tiến để giải quyết vấn đề 6 2.4. Kết quả đạt được 21 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 22 3.1. Kết luận 22 3.2. Kiến nghị 22 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 24
Trang 2 PHẦN 1. MỞ ĐẦU 1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Quan điểm xây dựng chương trình giáo dục phổ thông mới môn Toán được ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT là chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn hay các môn học, hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn học nhằm thực hiện giáo dục STEM, gắn với xu hướng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (như biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,...). Điều này còn được thể hiện qua các hoạt động thực hành và trải nghiệm trong giáo dục toán học với nhiều hình thức như: thực hiện những đề tài, dự án học tập về Toán, đặc biệt là những đề tài và dự án về ứng dụng toán học trong thực tiễn; tổ chức trò chơi học toán, câu lạc bộ toán học, diễn đàn, hội thảo, cuộc thi về Toán,... tạo cơ hội giúp học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm của bản thân vào thực tiễn một cách sáng tạo. Tuy nhiên, trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìn chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu. Còn kĩ năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác, vào đời sống thực tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên. Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống thực tiễn còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông. Với mong muốn tạo hứng thú cho học sinh học môn toán, giúp các em có kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào các môn học khác và vào thực tiễn đời sống tôi lựa chọn và viết đề tài: “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải các bài toán có nội dung thực tế trong chƣơng trình giải tích lớp 11, 12”. 1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp học sinh thấy được tính thiết thực cũng như ứng dụng của toán học nói chung và chương trình Giải tích lớp 11, 12 nói riêng vào trong các môn học khác
Trang 3 và vào trong đời sống thực tiễn. Điều đó làm cho các em say mê, yêu thích môn toán hơn. Rèn luyện khả năng phân tích, tư duy lôgic cho học sinh. 1.3. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU Học sinh lớp 11, 12 của các trường trung học phổ thông trong tỉnh Đăk Nông nói chung và học sinh lớp 11, 12 ở trường trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành nói riêng. Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập áp dụng có liên quan đến các môn học khác và liên quan đến thực tiễn đời sống xã hội của chương trình Giải tích lớp 11, 12. 1.4. CÁC PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận Phân tích, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan. * Sách giáo khoa giải tích 11, 12 (Chương trình cơ bản và nâng cao). * Tài liệu tham khảo. * Các tài liệu từ internet. 1.4.2. Phƣơng pháp nghiên cứu thực tiễn Phân loại từng dạng toán thông qua trao đổi, phân tích, tổng hợp trong quá trình giảng dạy môn toán trung học phổ thông tại trường Trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành – Đăk Nông. Thực dạy và kết quả kiểm tra: Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy ở các lớp 11, 12 và kiểm tra kết quả của học sinh. Dự giờ học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp. Tiếp thu ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp để đưa ra phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh. Thăm dò ý kiến của học sinh để thấy được mức tiếp thu và vận dụng kiến thức của các em.
Trang 4 1.4.3. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở tôn trọng Chương trình, sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông hiện hành, nếu thiết kế được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn, đề xuất được những quan điểm, những gợi ý hợp lý về cách lựa chọn nội dung và phương pháp dạy học, thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, thực hiện tốt mục tiêu giáo dục Toán học ở trường Trung học phổ thông. 1.5. GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phạm vi kiến thức mà đề tài nghiên cứu là các ứng dụng vào các môn học khác và ứng dụng vào thực tiễn của một số nội dung trong môn Giải tích lớp 11, 12, lồng ghép vào các tiết dạy lý thuyết, luyện tập và các tiết tự chọn. Nội dung kiến thức phù hợp với đối tượng học sinh lớp 11, 12. Đề tài thực hiện bắt đầu từ năm học 2020-2021; 2021-2022 trở về sau.
Trang 5 PHẦN 2. NỘI DUNG 2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng và ý thức ứng dụng toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn”. Để đáp ứng được sự phát triển của kinh tế, của khoa học khác, của kỹ thuật và sản xuất đòi hỏi con người lao động phải có hiểu biết có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của toán học trong những điều kiện cụ thể để mang lại hiệu quả lao động thiết thực. Vì vậy, trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần phải chú trọng vào việc bồi dưỡng cho học sinh tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tòi chiếm lĩnh trí thức, năng lực giải quyết vấn đề, đáp ứng được với thực tế cuộc sống. Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực thúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì thế dạy học toán ở trường Trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn đời sống. 2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 2.2.1. Thực trạng việc dạy của giáo viên Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm và giải
Trang 6 bài toán tổng quát. Chưa có phương pháp định hướng cho học sinh phát hiện và giải quyết các bài toán có ứng dụng vào các môn học khác và ứng dụng vào thực tiễn đời sống. 2.2.2. Thực trạng việc học của học sinh Đa số học sinh chỉ biết áp dụng các công thức vào giải các bài tập tương tự như các ví dụ đã giải hoặc các bài tập trong sách giáo khoa. Nhiều học sinh bị thụ động hoặc không tìm được cách giải khi gặp những bài toán có nội dung liên quan đến các môn học khác và liên quan đến thực tiễn. 2.3. CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, tác giả nhận thấy các bài toán thực tế liên quan đến việc sự dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn: Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán học. Qua các ví dụ minh họa sau đây, tác giả sẽ chỉ ra cho bạn đọc những dạng toán thường gặp là gì ? Các lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài toán mà họ đã đặt ra ? Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình toán học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo của hàm số thì trước tiên ta phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình hóa dưới đây Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau: Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có
Trang 7 nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên hệ với các giả thiết của đề bài. Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến). Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa . Sau đây để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả sẽ lấy các ví dụ minh họa đƣợc trình bày theo các chủ đề ứng dụng đạo hàm: 2.3.1. Trong Hình học a) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một hồ nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều dài (d) gấp hai lần chiều rộng 4 3 (r) và không nắp, có chiều cao là h và có thể tích m . Hãy tính kích thước của hồ 3 nước sao cho chi phí xây dựng thấp nhất. (Nguồn: Internet) Bài giải : h 2x x Gọi x là chiều rộng đáy x  (0; ) Ta có chiều dài đáy là 2x
Trang 8 4 2 Lại có: V  2 x.x.h  h 2 3 3x 4 Diện tích khối hộp là S  2 x.x  6 x.h  2 x 2  x 4 4 Xét hàm số S (x)  2 x2  với x  (0; ). Ta có: S'(x)  4 x  2 x x Trên (0;+), ta có S'(x)  0  x  1 Bảng biến thiên x 0 1 + S’(x) – 0 + S(x) + + 6 Từ bảng biến thiên suy ra minS(x)  6 khi x = 1 (0; ) 2 Kết luận: Chiều rộng 1m, chiều dài 2m và chiều cao m. 3 b). Bài tập rèn luyện 1: Ông A dự định sử dụng hết 6,5m3 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) . Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)? (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018) Bài tập rèn luyện 2: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến một điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. Xác định vị trí của M để người canh hải đăng đến kho nhanh nhất. (Nguồn: Internet) Hướng dẫn giải
Trang 9 A 5km B x M C 7km Đặt BM  x  km  với 0  x  7 Khi đó: AM  x2  25 nên thời gian người canh hải đăng đi từ A đến M x2  25 là t1  4 7x MC  7  x x nên thời gian người canh hải đăng đi từ M đến C là t2  6 Vậy thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là : x2  25 7  x x 1 T  x    T ' x   4 6 4 x  25 6 2 T ' x  0  x  2 5 29 74 14  5 5 Ta có: T  0   , T 7  , T(2 5)  12 4 12 Vậy để đi từ A đến C nhanh nhất, người canh hải đăng phải đi từ A đến điểm M cách B một khoảng là x  2 5 (km) rồi mới đi bộ đến C. 2.3.2. Trong vật lý Ứng dụng của đạo hàm trong Vật lý là rất đa dạng nhưng đặc biệt thể hiện rõ nét nhất chính là qua các bài toán chuyển động khi liên quan đến các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian. Ví dụ 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s  t   6t 2  t 3  9t  1 , S tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?  Phân tích:
Trang 10 ● Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết v  t   s'  t  . Do đó để tìm giá trị lớn nhất trong 5 giây đầu tiên t  0;5 thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học. Hướng dẫn giải v t   s' t   12t  3t  9,v' t   6t  12,v' t   0  t  2 . 2 Lập bảng biến thiên ta có: t 0 2 5 v ' t   0  3 v t  Dựa vào bảng biến thiên ta có max v  t   v  2   3 . t 0;5 Ví dụ 2: Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6  km / h  . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v  km / h  thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E v   cv 3t (trong đó c là một hằng số dương, E được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơi ngược dòng quãng đường 300 km trên trong khoảng thời gian t với vận tốc bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất ? Hướng dẫn giải Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là v  6 300 Do đó thời gian để đi quãng đường 300 km là t  v6 v3 Do đó năng lượng tiêu hao sẽ là E  v   300c v6 v3 Do c  0  E  v min   f  v   min v6 3v2  v  6   v3 2v3  18v  v  0  ktm  Với v  6, f '  v    , f ' v  0    v  6  v  6  v  9  tm  2 2  Lập bảng biến thiên ta nhận v  9 km/h .
Trang 11 2.3.3. Trong Hóa học Ví dụ 1: Viết phương trình phản ứng tạo thành nitơ (IV) ôxít từ nitơ (II) ôxít và ôxy. Hãy xác định nồng độ khí ôxy tham gia phản ứng để phản ứng xảy ra nhanh nhất? (Nguồn: Internet) Bài giải: Phương trình phản ứng: 2NO  O2  2NO2 Vận tốc của phản ứng: v  kx2 y  kx2 100  x   kx3  100kx2  0  x  100 Trong đó x là nồng độ % của khí NO, y là nồng độ % của khí O2 , k là hằng số chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ mà không phụ thuộc vào các chất tham gia phản ứng. Áp dụng quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ta thu được: v lớn nhất khi x = 66,67%. Lúc này, nồng độ % khí ôxy là y = 33,33%. Ví dụ 2. Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng đẳng nào dưới đây thì tỉ lệ mol H 2 O : mol CO2 giảm dần khi số cacbon tăng dần ? A.Ankan B. Anken. C. Ankin. D. Ankylbenzen  Phân tích: ● Để làm được bài này, ta cần có hiểu biết về kiến thức về chương Hidrocabon đã học ở chương trình hóa lớp 9 hoặc hóa lớp 11. ● Từ đây ta thiết lập công thức tổng quát của 1 hidrocacbon là Cn H2n22 k ● Sau đó thực hiện phản ứng cháy Cn H2n22 k  O2  nCO2   n  1  k  H2O  o xt ,t Đến đây ta thấy được tỉ lệ mol giữa nước và khí cacbonic sinh ra chính là nH2O n1 k n1 k  . Tới đây ta có thể xét hàm f  n  ,n  N* . Khảo sát và tìm nCO2 n n điều kiện của k (chính là số liên kết  ) Hướng dẫn giải. Công thức tổng quát của một hidrocacbon là Cn H2 n 22 k với k là số liên kết  trong phân tử . Phương trình phản ứng cháy là:
Trang 12 Cn H2 n22 k  O2  nCO2   n  1  k  H2O  o xt ,t nH O n 1 k n1 k Ta có 2  . Xét hàm số f  n  ,n  N* nCO 2 n n k 1 Ta có f '  n  . Theo giả thiết ta có f  n là hàm nghịch biến nên f '  n  0 n2 k 1  2  0  k  1  0  k  1  k  0 k n  CTTQ : Cn H2 n2 : ankan Bài tập tương tự : Cho phương trình phản ứng tạo thành Nitơ (IV) Oxit từ Nitơ   o đioxit và Oxy là 2NO  O2  2NO2 . Biết rằng đây là một phản ứng thuận dk ,t ,xt  nghịch. Giả sử x,y lần lượt là nồng độ phần trăm của khí NO và O2 tham gia phản ứng. Biết rằng tốc độ phản ứng hóa học của phản ứng trên được xác định v  kx 2 y , với k là hằng số của tốc độ phản ứng. Để tốc độ phản ứng xảy ra nhanh x nhất thì tỉ số giữa là ? y 1 1 A. . B. 2 . C. . D. 3 . 2 3 Hướng dẫn giải Ta có v  kx2 y  kx2 100  x   do x  y  100% , 0  x  100 Xét hàm số f  x   kx2 100  x   k 100x2  x3  . Bài toán trở thành tìm max f  x   ? x 0 ;100   x  0  ktm  Ta có: f '  x   k  200x  3x  , f '  x   0     2  x  200   0 ; 100    3 Lập bảng biến thiên ta có: x 200 0 100 3 f '  x 0  0   200  f  x f   3 
Trang 13  200  Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra max f  x   f   x 0 ;100   3  100 x Và do đó ta có y  100  x    2. 3 y 2.3.4. Trong Sinh học Ví dụ 1. Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi qui luật N  t   1000  100t (con vi khuẩn), trong đó t là thời gian (đơn vị giây)). Hãy 100  t 2 xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất ?  Phân tích: ● Tương tự như những bài toán trước, do đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng tăng nhanh nhất của vi khuẩn. Hướng dẫn giải. Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm t là 100 100  t 2   100t  2t  1002  100t 2 N'  t    ( t  0 ) 100  t  100  t 2  2 2 2 Xét N' t   0  t 2  100  t  10  0 . Lập bảng biến thiên ta được: t 0 10  N ' t   0  1005 N t  Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận maxN t   N 10   1005 . Bài tập tương tự 1: Giả sử n  f t   no .2t là số lượng cá thể trong một đám vi khuẩn tại thời điểm t, no là số lượng cá thể lúc ban đầu. Khi đó tốc độ phát triển về
Trang 14 số lượng của vi khuẩn tại thời điểm t chính là f '  t  . Giả sử mẫu thử ban đầu của ta có no  100 vi khuẩn . Vậy tốc độ phát triển sau 4 giờ sẽ là bao nhiêu con vi khuẩn ? A. 1109 . B. 1600 . C. 6400 . D. 4436 . Bài tập tương tự 2: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng Q  n  480  20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất? 2.3.5. Trong y tế Ví dụ 1: Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) 0,025 x (30 x) với x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x : miligam). 2 Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm ?  Phân tích: ● Tương tự như những bài toán đã cho sẵn hàm số, thì việc ứng dụng đạo hàm không còn quá khó khăn nữa. Hướng dẫn giải. G  x   x2  30  x   1 40 1 40   30x2  x3  G'  x   1 40  60x  3x2   x  20 Cho G'  x   0    x  0  ktm  Ta có bảng biến thiên sau: x 0 20  G'  x   0  100 G  x Dựa vào bảng biến thiên ta có maxG  x   100  x  20 . Ví dụ 2: Nhiệt độ T của một người trong cơn bênh được cho bởi công thức T (t)  0,1t 2 1,2 t 9,86;0  t 12 , trong đó T là nhiệt độ  F  theo thời gian t trong 0 ngày. Tìm nhiệt độ lớn nhất của người bệnh trong ngày và thời điểm mà nó xảy ra.
Trang 15 (Nguồn: Internet) Bài giải Bài toán này là bài toán tìm giá tri lớn nhất của hàm số: T (t)  0,1t 2 1, 2t  9,86 trên [0; 12] Ta có: T’(t) = -0,2t + 1,2 và T '(t)  0  t  6 Ta có: T(0) = 9,86; T(6) = 13,46; T(12) = 9,86 Vây: Nhiệt độ lớn nhất của người bện trong ngày là 13,46 0 F tại thời điểm t = 6 2.3.6. Trong thể thao Ví dụ 1: Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất ? Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s và 1,5 m/s.  Phân tích: ● Với lộ trình đã vạch sẵn như hình vẽ, ta thấy, cùng với chiều rộng và chiều dài của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quảng đường vận động viên đó phải đi sẽ là AC + CB ● Giả sử đặt AC = x (x > 0). Khi đó ta nhận thấy để tính quãng đường bơi từ C đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ, và quãng đường còn lại nếu vận động viên đi dọc theo bờ hồ.
Trang 16 ● Do vận tốc trên bộ và dưới nước là khác nhau nên thời gian di chuyển cũng khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có thể sử dụng ứng dụng của đạo hàm. Hướng dẫn giải. Gọi C là vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và AC  x  0  x  200  AC x Khi đó ta có t1   là thời gian đi từ A đến C. vchay 4 , 5 Đồng thời quãng đường bơi chính là BC  502   200  x  2 502   200  x  2 BC Khi đó ta có t2   là thời gian đi từ C đến B. vboi 1, 5 502   200  x  2 x Tổng thời gian của vận động viên sẽ là T  t1  t2   4,5 1, 5 502   200  x  2 Xét hàm f  x   x  , 0  x  200 4,5 1, 5 Bài toán trở thành tìm min f  x   ? x 0 ;200    200  x  Ta có: f '  x   ,x   0 ; 200  2 2   9 3 502  200  x 2  f '  x   0  3  200  x   502   200  x  2 400  25 2  8  200  x   502  xo  2  182 , 322 2 Lập bảng biến thiên ta có x 0 xo  f '  x  0  f  x f  xo 
Trang 17  400  25 2  Dựa vào bảng biến thiên ta có: min f  x   f    75, 87 s x 0 ;200   2    2.3.7. Trong xây dựng Ví dụ: Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện ở A đến một hòn đảo tại C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến vị trí B trên bờ là 1. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km đường dây điện đặt dưới nước là 5000 USD, còn đặt dưới đất là 3000 USD. Hỏi vị trí S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. (Nguồn: Internet) Bài giải C S A B x 4-x 4 Gọi x là khoảng cách từ S đến B, khi đó khoảng cách từ S đến A là 4 – x (0 < x < 4) Chi phí mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là: f (x)  5000 1  x 2  3000(4  x) 5000 x  5x  3 x2  1  f '(x)   3000  1000   1  x2  1  x2    3 Trên (0; 4), f '(x)  0  x  4 Lập bảng biến thiên, ta có 3 Min f (x)  f    16000 (0;4) 4
Trang 18 13 Vậy: Để chi phí ít tốn kém nhất thì điểm S cách A là . 4 b) Bài tập rèn luyện: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định một trạm trung chuyển hàng hóa C và xây dựng một con đường từ C đến D. Biết rằng vận tốc trên đường sắt là v1 và trên đường bộ là v2 (v1 < v2). Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D là ngắn nhất? (Nguồn: Internet) v2 Đáp án: Để thời gian nhỏ nhất ta chọn C sao cho cos   . v1 2.3.8. Trong kinh tế Ví dụ 1: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất? (Nguồn: Internet) Bài giải: Gọi x ( x > 0, đơn vị: triệu đồng) là giá bán mới Khi đó: - Số tiền đã giảm là 31  x - Số lượng xe tăng lên là 200(31  x) Vậy tổng số sản phẩm bán được là 600 + 200(31  x) = 6800 – 200x Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là (6800 – 200x)x Tiền vốn mà doanh nghiệp phải bỏ ra là (6800 – 200x).27
Trang 19 Lợi nhuận mà công ty đạt được sẽ là: L(x) = (6800 – 200x).x – (6800 – 200x).27 = –200x2 + 12200x – 183600 L’(x) = 400 x  12200 L’(x) = 0  x  30,5 Bảng biến thiên: X 0 30,5 + L’(x) + 0 – L(x) 2450 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lợi nhuật lớn nhất khi x = 30,5 Vậy giá bán mới là 30,5 (triệu đồng). Ví dụ 2: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Số lượng ti vi gởi trong kho là một nửa số ti vi đặt hàng mỗi lần. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất? (Nguồn: Internet) Bài giải Gọi x là số ti vi mà cửa hàng đặt mỗi lần ( x 1;2500 , đơn vị: cái ) x Số lượng ti vi trung bình gởi trong kho là nên chi phí lưu kho tương ứng là 2 x 10. = 5x 2 2500 2500 Số lần đặt hàng mỗi năm là và chi phí đặt hàng là : (20 + 9.x) x x Khi đó: chi phí mà cửa hàng phải trả là: 2500 50000 C(x) = (20 + 9.x) + 5x = 5x + + 22500 x x
Trang 20 50000 C’(x) = 5 - ; C’(x) = 0  x  100 x2 Lập bảng biến thiên và kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. b) Bài tập rèn luyện: Chủ tịch một câu lạc bộ bóng đá đang phân vân giá vé vào xem các trận đá bóng của đội nhà. Việc này rất quan trong, nó sẽ quyết định đến doanh thu của đội bóng. Theo kinh nghiệm, ông ta xác định được rằng, nếu giá vé vào sân là 20 USD thì trung bình có 10000 người vào sân. Nhưng nếu tăng giá vé lên 1 USD mỗi người thì mất 1000 người vào sân trong số trung bình. Trung bình mỗi người chi 1,8 USD cho việc uống nước trong sân vân động. Hãy giúp vị chủ tịch này xác định cần tính giá vé vào sân là bao nhiêu đế tổng doanh thu là lớn nhất. (Nguồn: Internet) Đáp án: Cần giảm 5,9 USD. 2.3.9. Trong Tin học Ví dụ. Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần tư thứ nhất của hai trục tọa độ 2 chiều, nội tiếp dưới đường cong y  e  x . Hỏi diện tích lớn nhất của hình chữ nhật lớn nhất có thể nội tiếp được đường cong trên ?  Phân tích: ● Ta có thể mô tả bài toán trên bằng cách vẽ đồ thị hàm y  e  x . ● Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy. Diện tích của hình chữ nhật chính là S  xy  x.e x ● Đến đây ta nghĩ đến việc sử dụng đạo hàm để tìm x nào cho chúng ta được tương ứng y thỏa mãn diện tích hình chữ nhật trên là lớn nhất. Hướng dẫn giải. Ta có diện tích hình chữ nhật bằng S  x.e  x Đặt f  x   x.e  x  f '  x   1  x  e  x f '  x   0  x  1 Đồng thời f ''  x   xe  x  1  x  e  x  e  x  0,x  Do đó ta có max f  x   f 1  e 1  0, 3678 .