Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế và biết kết hợp các phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số

s SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Hằng * Mã sáng kiến: 0552
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Chúng ta đang sống trong thế kỉ 21, thế kỉ của khoa học, công nghệ và hội nhập. tri thức, kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát triển xã hội, trong đó giáo dục đóng phần to lớn trong việc trang bị tri thức cho con người. Trong việc đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường trung học phổ thông, việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học học sinh có vai trò quan trọng vì: Đó là một trong các mục tiêu dạy học ở phổ thông. Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông. Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu. Trong Chương trình phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,... Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi THPT QG, thi học sinh giỏi các cấp. Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và tích phân của một số hàm ẩn đã được đưa vào để yêu cầu học sinh phải tư duy cao hơn, bản chất hơn. Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải các bài toán dạng này. Đặc biệt khi sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân, nhiều em đã nắm rất chắc phương pháp này nhưng vẫn không sử dụng được trong bài tính tích phân hàm ẩn. Muốn học sinh học tốt được tích phân thì mỗi người Giáo viên không phải chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách giập khuôn, máy móc, làm cho học sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày. 1
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế và biết kết hợp các phương pháp dạy học tích cực cho phù hợp. Vì những lí do đó, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình là: “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số” 2. Tên sáng kiến: “Rèn luyện kĩ năng tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến số”. 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Nguyễn Thị Hằng Địa chỉ tác giả sáng kiến: Số nhà 38B ngõ 4 Chùa hà, Vĩnh yên, Vĩnh phúc Số điện thoại:.0963325970 E_mail: hangnguyen.nth.edu@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Hằng 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Công tác giảng dạy môn Toán trong trường THPT đặc biệt ôn thi THPT quốc gia. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 01/12/2018 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Về nội dung của sáng kiến: 7.1.1. Các kiến thức cơ bản: Các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài bao gồm các định nghĩa và tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học a. Định nghĩa Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân của f từ b b a đến b và kí hiệu là f ( x)dx . Trong trường hợp a < b , ta gọi f ( x)dx là tích a a phân của f trên đoạn [ a; b ] . 2
b Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b) − F (a ) . Như vậy Nếu F là b b một nguyên hàm của f trên K thì f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) . a b. Tính chất Giả sử f , g liên tục trên K và a, b, c là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có a b a b c c 1) f ( x)dx = 0 ; 2) � f ( x)dx = − � f ( x)dx ; 3) � f ( x)dx + � f ( x)dx = � f ( x)dx a a b a b a b b b b b [ f ( x) + g ( x)] dx = � 4) � f ( x)dx + � g ( x)dx ; 5) � kf ( x)dx =k � f ( x)dx với k R. a a a a a Chú ý là nếu F ( x) = f ( x) với mọi x K thì F ( x) = f ( x)dx c. Phương pháp đổi biến số b Tính tích phân I = g ( x)dx .Giả sử g ( x) được viết dưới dạng f [ u ( x)] .u ( x) a ,trong đó hàm số u ( x) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp f [ u ( x)] xác định trên K và a, b là hai số thuộc K . Khi đó b u (b ) f [ u ( x)] .u ( x)dx = �f (u )du � a u ( a) Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x .Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là b b b � f ( x)dx = � a f (u )du = � a f (t )dt = ... a 7.1.2. Các dạng sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân hàm ẩn thường gặp DANG 1: ĐÔI BIÊN LOAI 1 ̣ ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức * Nếu F ( x) = f ( x) với mọi x K thì F ( x) = f ( x)dx , b b b � f ( x)dx = � a f (u )du = � a f (t )dt = ... a * Các công thức về đạo hàm * Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng 3
b b b b * Cho f ( x)dx = M tính f (u )dx hoặc cho f (u )dx = M tính f ( x)dx khi a a a a b b b đó ta đặt t = u ( x ) rồi áp dụng � f ( x)dx = � f (u )du = � f (t )dt = ... a a a Tóm lại: Đối với dạng này khi tác giả cho hàm f ( u ) dx thì đặt t = u ( x ) Các ví dụ minh họa 4 2 VD1: Cho f ( x ) dx = 16 . Tính f 2 x dx 0 ( ) 0 A. 16 . B. 4 . C. 32 . D. 8 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 Xét tích phân f ( 2 x ) dx ta có 0 1 Đặt 2x = t � dx = dt . Khi x = 0 thì t = 0 ; khi x = 2 thì t = 4 . 2 2 4 4 1 1 1 Do đó � f ( 2 x ) dx = � f ( t ) dt = f ( x ) dx = .16 = 8 . 0 20 20 2 1 VD2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn f ( x ) dx = 9 . −5 2 �f ( 1 − 3 x ) + 9 � Tính tích phân � �dx . 0 A. 27 . B. 21 . C. 15 . D. 75 . Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t = 1 − 3x � dt = −3dx . Với x = 0 t = 1 và x = 2 t = −5 . 2 2 2 −5 dt �f ( 1 − 3 x ) + 9 �dx = � f ( 1 − 3 x ) dx + � 9dx = �� ( ) � �−3 + 9 x 0 2 Ta có � � f t 0 0 0 1 1 1 = f ( x) � �� dx + 18 3 −5 � 1 = .9 + 18 = 21 . 3 1 VD3: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên R, thỏa mãn f ( x ) dx = 1 . 0 4
π 4 Tính I = ( tan 2 + 1) . f ( tan x ) dx . 0 π π A. I = 1 . B. I = −1 . C. I = . D. I = − . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A Đặt t = tan x � dt = ( 1 + tan x ) dx . Đổi cận: 2 1 1 f ( t ) dt = � �I =� f ( x ) dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số 0 0 tích phân) = 1 VD4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa mãn f ( 2 x ) = 3 f ( x ) , ∀x ﾡ . 1 2 Biết rằng f ( x ) dx = 1 . Giá trị của tích phân I = f ( x ) dx bằng bao nhiêu? 0 1 A. I = 5 . B. I = 3 . C. I = 8 . D. I = 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 Xét tích phân J = f ( x ) dx , đặt x = 2t � dx = 2dt . 0 Với x = 2 � t = 1 , x = 0 � t = 0 . 1 1 1 1 1 f ( 2t ) 2dt = 2 � Ta có J = � f ( 2t ) dt = 2 � 3 f ( t ) dt = 6 � f ( t ) dt = 6 f ( x ) dx = 6 . 0 0 0 0 0 2 1 2 f ( x ) dx = � Mặt khác, ta có J = � f ( x ) dx + � f ( x ) dx 0 0 1 2 2 1 1 f ( x ) dx = � �I =� f ( x ) dx − � f ( x ) dx = J − � f ( x ) dx = 5 . 1 0 0 0 2 5 VD5: Cho f ( x + 1) xdx = 2 . Khi đó I = f ( x ) dx bằng: 2 1 2 A. 2 . B. 1. C. −1 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x 2 + 1 � dt = 2 xdx . Đổi cận: x = 1 � t = 2 , x = 2 � t = 5 . 2 5 5 2 1 Khi đó: � f ( x + 1) xdx = � f ( t ) dt � � 2 f ( t ) dt = 2� f ( x 2 + 1) xdx = 4 . 1 22 2 1 5
5 5 f ( x ) dx = � Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I = � f ( t ) dt = 4 . 2 2 2 5 VD6: Cho f ( x 2 + 1) xdx = 2 . Khi đó I = f ( x ) dx bằng 1 2 A. 2 . B. 1. C. −1 . D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t = x 2 + 1 � dt = 2 xdx Đổi cận: x = 1 � t = 2 ; x = 2 � t = 5 . 5 5 5 1 1 Khi đó: 2 = � f ( t ) dt = � f ( x ) dx � I = � f ( x ) dx = 4. . 22 22 2 1 2 ́ y = f ( x ) liên tuc trên VD7: Cho ham sô ̀ ̣ ﾡ va ̀ f ( 2 x ) dx = 8 . Tinh ́ I= xf ( x 2 ) dx 0 0 A. 4 . B. 16 . C. 8 . D. 32 . Hướng dẫn giải Chọn C ̉ ̣ x = 0 � t = 0 , x = 2 � t = 1 . ̣ x 2 = 2t � 2 xdx = 2dt � xdx = dt . Đôi cân: Đăt 1 ́ I = f ( 2t ) dt = 8 . Ta co: 0 1 2 VD8: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa f ( 2 x ) dx = 2 và f ( 6 x ) dx = 14 0 0 . 2 Tính f ( 5 x + 2 ) dx . −2 A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 + Xét f ( 2 x ) dx = 2 . 0 Đặt u = 2 x � du = 2dx ; x = 0 � u = 0 ; x = 1 � u = 2 . 1 2 2 1 Nên 2 = f ( 2 x ) dx = f ( u ) du � f ( u ) du = 4 . 0 20 0 2 + Xét f ( 6 x ) dx = 14 . 0 Đặt v = 6 x � dv = 6dx ; x = 0 � v = 0 ; x = 2 � v = 12 . 6
2 12 12 1 Nên 14 = f ( 6 x ) dx = f ( v ) dv � f ( v ) dv = 84 . 0 6 0 0 2 0 2 + Xét f ( 5 x + 2 ) dx = �f ( 5 x + 2 ) dx + � −2 f ( 5 x + 2 ) dx . −2 0 0 * Tính I1 = f ( 5 x + 2 ) dx . −2 Đặt t = 5 x + 2 . Khi −2 < x < 0 , t = −5 x + 2 � dt = −5dx ; x = −2 � t = 12 ; x = 0 � t = 2 . 12 2 −1 2 1� � 1 I1 = f ( t ) dt = � � f ( t ) dt − � f ( t ) dt �= ( 84 − 4 ) = 16 . 5 12 5�0 0 � 5 2 * Tính I1 = f ( 5 x + 2 ) dx . 0 Đặt t = 5 x + 2 . Khi 0 < x < 2 , t = 5 x + 2 � dt = 5dx ; x = 2 � t = 12 ; x = 0 � t = 2 . 12 2 1 12 1� � 1 I2 = f ( t ) dt = � � f ( t ) dt − � f ( t ) dt �= ( 84 − 4 ) = 16 . 52 5 �0 0 � 5 2 Vậy f ( 5 x + 2 ) dx = 32 . −2 2018 VD9: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ thỏa f ( x ) dx = 2 . 0 e2018 −1 Khi đó tích phân x x +1 2 ( f ln ( x 2 + 1) dx bằng ) 0 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn B e 2018 −1 Xét I = x x +12 ( f ln ( x 2 + 1) dx . ) 0 Đặt t = ln ( x + 1) � dt = 2 2x dx Đổi cận: x = 0 � t = 0 ; x = e 2018 − 1 x +1 2 � t = 2018 . 2018 2018 1 1 1 Suy ra I = 2 �f ( t ) dt = 0 2 � 0 f ( x ) dx = 2 .2 = 1 . 7
3 �10 � VD10: Tìm tất cả các giá trị dương của m để x ( 3 − x ) dx = − f � �, với m 0 �9 � f ( x ) = ln x15 . A. m = 20 . B. m = 4 . C. m = 5 . D. m = 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 15 x14 15 −15 + Từ f ( x ) = ln x � f ( x ) = 15 = � f 15 ( x) = do đó x x x2 �10 � −243 f � �= . �9 � 20 3 + Tính tích phân I = x ( 3 − x ) dx : m 0 x 0 3 Đặt t = 3 − x � x = 3 − t , dx = −dt , t 3 0 0 3 3 ( 3t m − t m+1 ) dt = 3t − t m +1 m+ 2 Do đó I = ( 3 − t ) t m ( −dt ) = 3 0 m +1 m + 2 0 3m+ 2 3 10 � � 3m+ 2 243 . Ta có x ( 3 − x ) dx = − f � � � m = = ( m + 1) ( m + 2 ) 0 �9 � ( m + 1) ( m + 2 ) 20 3m+ 2 35 � = ( m + 1) ( m + 2 ) 4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m = 3 . Chú ý: 3m 33 Việc giải phương trình = không cần thiết nên chọn ( m + 1) ( m + 2 ) 4.5 phương pháp thế đáp để làm trắc nghiệm trong bài này. 3m 33 Để giải phương trình = ta xét hàm trên ( m + 1) ( m + 2 ) 4.5 3m 33 f ( m) = − với m > 0 thì chứng minh được phương trình có ( m + 1) ( m + 2 ) 4.5 nghiệm duy nhất m = 3 . DẠNG 2 : ĐÔI BIÊN LOAI 2 ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn : A. f ( x ) + B. u . f ( u ) + C. f ( a + b − x ) = g ( x ) 8
u ( a) = a b 1 b +) Với thì � f ( x ) dx = � g ( x ) dx . u ( b) = b a A + B + C a u ( a) =b b 1 b +) Với thì � f ( x ) dx = � g ( x ) dx . u ( b) = a a A − B + C a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B, C . b b *Nếu f ( x ) liên tục trên [ a; b ] thì � f ( a + b − x ) dx = f ( x ) dx . � a a *Thực chất việc chỉ ra các kết quả trên rất đơn giản ta áp dụng tính chất b b b � f ( x)dx = � a f (u )du = � f (t )dt = ... cụ thể: a a b b � � �A. f ( x ) + B.u . f ( u ) + C. f ( a + b − x ) � g ( x ) dx ( ∗) dx = � � a a Ta có : b b f ( a + b − x ) dx = + � f ( x ) dx (do ta đặt t = a + b − x ) � a a b b +� f (u )u dx = f ( x ) dx Thay vào (*) Ta được � a a b b � � �A. f ( x ) + B.u . f ( u ) + C. f ( a + b − x ) � g ( x ) dx ( ∗) dx = � � a a b b � ( A+ B + C) � f ( x ) dx = � g ( x ) dx a a b b 1 f ( x ) dx = �� g ( x ) dx a A+ B +C � a Các ví dụ minh họa u ( a) = a VD1: TH u ( b) = b Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ −1;2] và thỏa mãn f ( x ) + 2 xf ( x 2 − 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 4 x 3 . Tính giá trị của tích phân 2 I= f ( x ) dx . −1 5 A. I = 5 . B. I = . C. I = 3 . D. I = 15 . 2 9
Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f ( x ) + ( 2 x ) f ( x − 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 4 x . Ta có: 2 3 u ( −1) = −1 A = 1; B = 1; C = 3 và u = x 2 − 2 thỏa mãn . u ( 2) = 2 Khi đó áp dụng công thức có: 2 2 2 1 x4 I=� f ( x) = 1 + 1 + 3 −� 4 x 3 dx = = 3. −1 1 5 −1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ f ( x ) + 2 xf ( x − 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 4 x . 2 3 2 2 2 2 �� 2 x. f ( x 2 − 2 ) dx + 3 � f ( x ) dx + � f ( 1 − x ) dx = � 4 x 3dx ( *) −1 −1 −1 −1 +) Đặt u = x − 2 � du = 2 xdx ; với x = −1 � u = −1 và x = 2 � u = 2 . 2 2 2 2 2 x. f ( x 2 − 2 ) dx = Khi đó � �f ( u ) du = �f ( x ) dx ( 1) −1 −1 −1 +) Đặt t = 1 − x � dt = −dx ; Với x = −1 � t = 2 và x = 2 � t = −1 . 2 2 2 Khi đó �f ( 1 − x ) dx = �f ( t ) dt = �f ( x ) dx ( 2 ) −1 −1 −1 2 2 Thay ( 1) , ( 2 ) vào ( *) ta được: 5 �f ( x ) dx = 15 � �f ( x ) dx = 3 . −1 −1 u ( a) = b VD2: TH Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn u ( b) = a 1 1 f ( x ) + xf ( 1 − x ) + 3 f ( 1 − x ) = 2 . Tính giá trị của tích phân I = f ( x ) dx . x +1 0 9 2 4 3 A. I = ln 2 . B. I = ln 2 . C. I = . D. I = . 2 9 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) 1 Với: f ( x ) − . ( −2 x ) f ( 1 − x 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = 2 x . Ta có: 2 −1 u ( 0) = 1 A = 1 ; B = ; C = 1 và u = x 2 − 2 thỏa mãn . 2 u ( 1) = 0 10
Khi đó áp dụng công thức ta có: 1 1 1 dx 1 2 = 2 I = f ( x ) dx � 1 � 0 x + 1 = ln x + 1 = ln 2 . 0 1− �− �+ 3 9 0 9 � 2� Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức) 1 Từ f ( x ) + xf ( 1 − x 2 ) + 3 f ( 1 − x ) = x +1 1 1 1 1 1 �� xf ( 1 − x ) dx + 3� f ( x ) dx + � f ( 1 − x ) dx = 2 dx = ln x + 1 10 = ln 2 . (*) 0 0 0 0 x +1 +) Đặt u = 1 − x � du = −2 xdx ; Với x = 0 � u = 1 và x = 1 � u = 0 . 2 1 1 1 1 1 xf ( 1 − x 2 ) dx = Khi đó � �f ( u ) du = � f ( x ) dx (1). 0 20 20 +) Đặt u = 1 − x � du = − xdx ; Với x = 0 � t = 1 và x = 1 � t = 0 . 1 1 1 xf ( 1 − x ) dx = � Khi đó � f ( t ) dt = � f ( t ) dt (2). 0 0 0 Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1 1 1 1 1 1 9 2 � f ( x ) dx + � f ( x ) dx + 3� f ( x ) dx = ln 2 � f ( x ) dx = ln 2 � f ( x ) dx = ln 2 . 0 2 0 0 2 0 0 9 VD3(Khuyết A): Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 1 4 xf ( x ) + 3 f ( x − 1) = 1 − x . Tích phân I = f ( x ) dx bằng 2 2 0 π π π π A. I = . B. I = . C. I = . D. I = 4 6 20 16 Hướng dẫn giải Chọn C Từ: 1 1 1 4 x. f ( x ) + 3 f ( x − 1) = 1 − x � 2 � 2 2 xf ( x ) dx + 3� 2 f ( 1 − x ) dx = �1 − x 2 dx ( ∗) 2 0 0 0 +) Đặt u = x 2 � du = 2 xdx ; Với x = 0 � u = 0 và x = 1 � u = 1 . 1 1 1 2 xf ( x ) dx = � Khi đó � f ( u ) du = � 2 f ( x ) dx ( 1) 0 0 0 +) Đặt t = 1 − x � dt = −dx ; Với x = 0 � t = 1 và x = 1 � t = 0 . 1 1 1 f ( 1 − x ) dx = � Khi đó � f ( t ) dt = � f ( x ) dx ( 2) 0 0 0 Thay ( 1) , ( 2 ) vào ( ∗) ta được: 11
1 1 1 1 1 1 π 2� f ( x ) dx + 3� f ( x ) dx = �1 − x dx � � f ( x ) dx = �1 − x 2 dx = 2 . 0 0 0 0 5 0 20 VD4(Khuyết B): Xét hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn 1 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x . Tích phân f ( x ) dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 1 − x � dx = −dt . 1 0 1 1 f ( 1 − x ) dx = − � Suy ra � f ( t ) dt = � f ( t ) dt = � f ( x ) dx 0 1 0 0 1 1 1 2 2. f ( x ) dx = �1 − xdx = − 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x � 5� ( 1− x) 3 = 0 0 3 0 3 1 2 Suy ra f ( x ) dx = . 0 15 x2 ax2 +b Chú ý: Ta có thể dùng công thức � f ( ax + b ) dx = � f ( x ) dx . Khi đó: x ax + b 1 1 1 1 1 Từ 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = 1 − x suy ra: 2 �f ( x ) dx + 3�f ( 1 − x ) dx = �1 − xdx 0 0 0 1 0 1 1 2 1 2 � 2�f ( x ) dx − 3�f ( 1 − x ) dx = �1 − xdx � 5�f ( x ) dx = �� f ( x ) dx = . 0 1 0 0 3 0 15 x3 VD5(Khuyết C): Cho hàm số y = f ( x ) và thỏa mãn f ( x ) − 8 x f ( x ) + =0 3 4 x2 + 1 1 a −b 2 a b . Tích phân I = f ( x ) dx = với a, b, c ﾡ và ; tối giản. Tính a + b + c 0 c c c A. 6 . B. −4 . C. 4 . D. −10 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). x3 x3 Biến đổi f ( x ) − 8 x f ( x ) + = 0 � f ( x ) − 2. ( 4 x3 ) f ( x 4 ) = − 3 4 với x2 + 1 x2 + 1 A = 1; B = −2 1 1 1 1 � x3 � x 3dx Áp dụng công thức ta có: � f ( x ) dx = � − � 2 � �2 dx = . 0 1 + ( −2 ) 0� x + 1 � 0 x + 1 12
Đặt t = x 2 + 1 � t 2 = x 2 + 1 � tdt = xdx ; Với x = 0 � t = 1 và x = 1 � t = 2 . 1 1 2 x2 2 t 2 −1 2 t3 � Khi đó: � f ( x ) dx = � x2 + 1 .xdx = t .tdt = ( t 2 − 1) dt = � � −t� 0 0 1 1 �3 �1 2− 2 a −b 2 = = 3 c Suy ra a = 2; b = 1; c = 3 � a + b + c = 6 . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) x3 Từ f ( x ) − 8 x f ( x ) + = 0 3 4 x2 + 1 1 1 1 x3 �� f ( x ) dx − 2� 4 x f ( x ) dx + � 3 4 dx = 0 (*) 0 0 0 x 2 + 1 Đặt u = x 4 � du = 4 x 3dx ; Với x = 0 � u = 0 và x = 1 � u = 1 . 1 1 1 4x 3 f ( x 4 ) dx = � Khi đó � f ( u ) du = � f ( x ) dx thay vào (*), ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 x3 x3 � f ( ) x dx − 2 � f ( ) x dx + � dx = 0 �( ) � f x dx = � dx 0 0 0 x 2 + 1 0 0 x 2 + 1 Đặt t = x 2 + 1 � t 2 = x 2 + 1 � tdt = xdx ; Với x = 0 � t = 1 và x = 1 � t = 2 . 1 1 2 x2 2 t 2 −1 2 �t 3 � Khi đó: � f ( x ) dx = � x 2 + 1 .xdx = t .tdt = ( t − 1) dt = �3 − t � 2 0 0 1 1 � � 1 2− 2 a −b 2 = = 3 c Suy ra a = 2; b = 1; c = 3 � a + b + c = 6 . DẠNG 3 : ĐÔI BIÊN LOAI 3 ̉ ́ ̣ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức Cách giải: Lần lượt đặt t = u ( x ) và t = v ( x ) để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f ( x ) ) để suy ra hàm số f ( x ) (nếu u ( x ) = x thì chỉ cần đặt một lần t = v ( x ) ). Các kết quả đặc biệt: Cho A. f ( ax + b ) + B. f ( −ax + c ) = g ( x ) với A2 B 2 ) khi đó: �x − b � �x − c � A.g � �− B.g � � f ( x) = �a � �−a � (*) A2 − B 2 13
A.g ( x ) − B.g ( − x ) +) Hệ quả 1 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = A2 − B 2 g ( x) +) Hệ quả 2 của (*): A. f ( x ) + B. f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = A+ B với g ( x ) là hàm số chẵn. Các ví dụ minh họa �1 � VD1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và f ( x ) + 2 f � �= 3x . �x � 2 f ( x) Tính I = x dx . 1 2 3 1 A. I = . B. I = 1 . C. I = . D. I = −1 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Đặt, t = �x= khi đó điều kiện trở thành x t 1 �� 3 �1 � 3 f ��+ 2 f ( t ) = � 2 f ( x ) + f � �= . t �� t �x � x �1 � 6 �1 � Hay 4 f ( x ) + 2 f � �= , kết hợp với điều kiện f ( x ) + 2 f � �= 3x . Suy ra : �x � x �x � 2 6 f ( x) 2 2 f ( x) 2 �2 � �−2 � 3 3 f ( x ) = − 3x � = 2 − 1 � I = � dx = � � 2 − 1� dx = � − x �1 = x x x 1 x 1� x � �x � 2 2 2 2 . Chọn B VD2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ \ { 0} và thỏa mãn 3 9 2 �2 � 15 x �1 � 2 f ( 3 x ) + 3 f � �= − , f ( x ) dx = k . Tính I = f � �dx theo k . �x � 2 3 1 �x � 2 45 + k 45 − k 45 + k 45 − 2k A. I = − . B. I = . C. I = . D. I = . 9 9 9 9 Hướng dẫn giải Chọn A 14
1 x= �t =1 1 2 Đặt t = 2 x dx = dt . Đổi cận . 2 3 x = �t =3 2 3 1 �2 � Khi đó I = f�� dx . 21 �t � �2 � 15 x �2 � 5 x 2 Mà 2 f ( 3 x ) + 3 f � �= − f � �= − − f ( 3x ) �x � 2 �x � 2 3 3 3 3 3 1 � 5x 2 � 5 1 1 Nên I = �− − f ( 3x ) � � dx = − � x dx − � f ( 3x ) dx = −5 − � f ( 3x ) dx (*) 21� 2 3 � 41 31 31 1 x =1 �u = 3 Đặt u = 3x dx = dx . Đổi cận . 3 x = 3� t = 9 9 1 k 45 + k Khi đó I = −5 − f ( t ) dt = −5 − = − . 93 9 9 VD3: Xét hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0;1] và thỏa mãn điều kiện 1 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x . Tính tích phân I = f ( x ) dx . 0 4 1 4 1 A. I = − . B. I = . C. I = . D. I = . 15 15 75 25 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x ta có A = 2; B = 3 . 1 1 1 Casio 4 Suy ra: � f ( x ) dx = � x 1 − xdx = 0,05 ( 3) = . 0 2 + 30 75 Áp dụng kết quả “Cho A. f ( ax + b ) + B. f ( −ax + c ) = g ( x ) (Với A2 B 2 ) khi đó �x − b � �x − c � A.g � �− B.g � � � a � � −a �”. f ( x) = A2 − B 2 2 g ( x ) − 3g ( 1 − x ) Ta có: 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x = g ( x ) � f ( x ) = 22 − 32 2x 1 − x − 3( 1 − x ) x = . −5 15
1 2x 1 − x − 3( 1 − x ) x 1 Casio 4 Suy ra: I = � f ( x ) dx = � dx = 0,05 ( 3) = . 0 0 −5 75 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 f ( x ) dx + 3� Từ 2 f ( x ) + 3 f ( 1 − x ) = x 1 − x � 2 � f ( 1 − x ) dx = � x 1 − xdx 0 0 0 Casio 4 = 0, 2 ( 6 ) = ( ∗) Đặt u = 1 − x � du = −dx ; Với x = 0 � u = 1 và x = 1 � u = 0 . 15 1 1 1 f ( 1 − x ) dx = � Suy ra � f ( u ) du = � f ( x ) dx thay vào ( ∗) , ta được: 0 0 0 2 2 4 4 5� f ( x ) dx = � � f ( x ) dx = . 0 15 0 75 VD4: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x . 1 Tính giá trị của I = f ( x ) dx −1 e −1 2 e2 − 1 e2 − 1 A. I = . B. I = . C. I = 0 . D. I = . 2019e 2018e e Hướng dẫn giải Chon A ̣ Cách 1: (Dùng công thức). Với f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e x ta có A = 1; B = 2018 . 1 1 1 1 1 x e2 − 1 Suy ra I = f ( x ) dx = e x dx = e = . −1 1 + 2018 −1 2019 −1 2019e Cách 2: (Dùng công thức) A.g ( x ) − B.g ( − x ) Áp dụng Hệ quả 1: A. f ( x ) + B. f ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = . A2 − B 2 Ta có: 2018e x − e − x f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e � f ( x ) = x 20182 − 1 1 1 1 �� f ( x ) dx = � 2019.2017 −1 ( 2018e x − e − x ) dx −1 −3 e2 − 1 1,164.10 (Casio). 2019e 16
VD5: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn π 2 f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x . Tính giá trị của I = f ( x ) dx . π − 2 2 2 4 1 A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 2019 1009 2019 1009 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x ta có A = 1; B = 2018 π π 2 2 1 Casio 4 Suy ra I = f ( x ) dx = 2 x sin xdx = Đáp án C π 1 + 2018 π 2019 − − 2 2 Cách 2: g ( x) Áp dụng Hệ quả 2: A. f ( x ) + Bf ( − x ) = g ( x ) � f ( x ) = A+ B với g ( x ) là hàm số chẵn. 2 x sin x Ta có f ( − x ) + 2018 f ( x ) = 2 x sin x � f ( x ) = 2019 π π 2 2 2 I= f ( x ) dx = x sin xdx Đáp án C π 2019 π − − 2 2 DẠNG 4 : ĐÔI BIÊN LOAI 4 ̉ ́ ̣ ̉ Khi trong gia thiêt bai toan co ́ ̀ ́ ́ Phương pháp: Ta sử dụng các kiến thức * TINH CHÂT HAM CHĂN ̀ ̃ a a 1. Nếu hàm f ( x ) chăn thì ̃ �f ( x ) dx = 2� f ( x ) dx −a 0 2. Nếu hàm f ( x ) chăn thì ̃ f ( −x) = f ( x) *TÍNH CHẤT HÀM LẺ a 1. Nếu hàm f ( x ) le thì ̉ f ( x ) dx = 0 −a 2. Nếu hàm f ( x ) chăn thì ̃ f ( −x) = − f ( x) 17
Các ví dụ minh họa 0 VD1: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ −4;4] biết f ( − x ) dx = 2 −2 2 4 và f ( −2 x ) dx = 4 . Tính I = f ( x ) dx . 1 0 A. I = −10 . B. I = −6 . C. I = 6 . D. I = 10 . Hướng dẫn giải Chọn B x2 x 1 2 Cách 1: Sử dụng công thức: � f ( ax + b ) dx = � f ( ax ) dx và tính chất x1 a x1 a f ( x ) dx = 0 với f ( x ) là hàm số lẻ trên đoạn [ − a; a ] . −a Áp dụng, ta có: 2 1 −4 1 −2 −2 f ( −2 x ) dx = − 4=� � f ( x ) dx = �f ( x ) dx � f ( x ) dx = 8 . 1 2 −2 2 −4 −4 0 0 2 �f ( − x ) dx = − �f ( x ) = �f ( x ) � 2 2= f ( x) = 2 2 0 0 −2 4 −2 0 4 Suy ra: 0 = �f ( x ) dx = �f ( x ) dx + �f ( x ) dx + �f ( x ) dx −4 −4 −2 0 � 0 =8+ ( �f ( x ) dx − �f ( x ) dx ) + I � 0 = 8 + ( 0 − 2) + I � I = −6 . 2 −2 2 0 0 Cách 2: Xét tích phân f ( − x ) dx = 2 . −2 Đặt − x = t � dx = −dt . Đổi cận: khi x = −2 thì t = 2 ; khi x = 0 thì t = 0 do đó 0 0 2 2 2 �f ( − x ) dx = − � f ( t ) dt = f ( t ) dt � f ( t ) dt = 2 � f ( x ) dx = 2 . −2 2 0 0 0 Do hàm số y = f ( x ) là hàm số lẻ nên f ( −2 x ) = − f ( 2 x ) . 2 2 2 f ( −2 x ) dx = − � Do đó � f ( 2 x ) dx � f ( 2 x ) dx = −4 . 1 1 1 2 Xét f ( 2 x ) dx . 1 1 Đặt 2x = t � dx = dt . 2 18