Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến là tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế trong giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Tương Dương 2. Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề ra giải pháp thực hiện. Đồng thời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2    ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: “RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO HỌC SINH MIỀN NÚI QUA VIỆC LUYỆN TẬP CHO HỌC SINH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN” MÔN: TOÁN Nhóm tác giả: 1) Nguyễn Đình Tứ 2) Trần Đình Mạnh Tổ bộ môn: Toán – Lý – Tin – CN
NĂM HỌC: 2020 2021 MỤC LỤC TT Nội dung Trang 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ 2 B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2 I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. 4 3 II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 9 4 1. Tính trực tiếp thể tích khối đa diện và bài 10 toán liên quan. 5 2. Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp 22 6 3. Vận dụng bài toán thể tích để giải các bài 26 toán khác 7 4. Thực nghiệm sư phạm 30 7 C. KẾT LUẬN 34 8 Tài liệu tham khảo 35 2
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Nghị Quyết số 29NQ/TW của Trung ương Đảng ban hành ngày 4/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo có nêu rõ nhiệm vụ, giải pháp: ‘‘Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng…”. Luật giáo dục sửa đổi năm 2019, tại Điều 29. Yêu cầu về phương pháp giáo dục Phổ thông có ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng môn học, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học, hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông vào quá trình giáo dục”. Đất nước chúng ta đang trên đà đổi mới và phát triển đòi hỏi cấp bách phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Trong công cuộc đổi mới đó Toán học là môn khoa học cơ bản và chiếm một vị trí rất quan trọng giúp các em học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo. Để làm được điều đó mỗi Giáo viên cần “ Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực sáng tạo…”. Trong chương trinh môn Hình h ̀ ọc 12, thể tích khối đa diện la môt trong ̀ ̣ nhưng chu đê tr ̃ ̉ ̀ ọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn khá cao. Các bài toán liên quan đến chủ đề này có thường tính trừu tượng. Vì vậy, nó gây không ít khó khăn cho các em học sinh đặc biệt là các học sinh miền núi nơi có tỷ lệ đầu vào thấp; cac bai toan ch ́ ̀ ́ ủ đề nay xuât hiên nhiêu trong cac ky thi ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣ ̣ chon hoc sinh gioi t ̉ ỉnh lớp 12 va ky thi THPT qu ̀ ̀ ốc gia ở nhiều cấp độ khác nhau. Thực tế dạy học cho thây nhiêu giao viên khi day hoc con năng vê khâu ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ̀ ̀ ̣ truyên thu kiên th́ ưc, cac kiên th ́ ́ ́ ức đưa ra hâu nh ̀ ư la săn co, it yêu tô tim toi ̀ ̃ ́ ́ ́ ́ ̀ ̀ 3
́ ̣ phat hiên, ch ưa chu trong nhiêu vê viêc day hoc sinh cach hoc, do đó ch ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ́ ̣ ưa phát triển được tư duy sáng tạo cho học sinh. Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó. Học sinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn. Chính vì vậy việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập kết hợp bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao. Đê hoc tôt chu đê nay ng ̉ ̣ ́ ̉ ̀ ̀ ười hoc ngoàị việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cân co thêm nhì ́ ều kỹ năng giải, có khả năng tưởng tượng, có tư duy đôc lâp va t ̣ ̣ ̀ ư duy sang tao. ́ ̣ Với đối tượng học sinh miền núi, nêu trong quá trình d ́ ạy học ngươi day biêt cach t ̀ ̣ ́ ́ ạo cho học sinh có niềm tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thać ̣ va sang tao ra các bài toán v ̀ ́ ề thể tích khối đa diện từ nhưng kiên th ̃ ́ ức cơ ban, ̉ bài tập đơn giản thi không nh ̀ ưng giúp các em h ̃ ọc tập có hiệu quả mà còn tao ̣ hưng thu hoc tâp cho các em h ́ ́ ̣ ̣ ọc sinh, và con gop phân quan trong trong viêc ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̀ ưỡng năng lực tư duy sang tao cho ng ren luyên va bôi d ̀ ́ ̣ ười hoc. ̣ Từ thực trạng và những lý do nêu trên, với sự chỉ đạo trực tiếp của thầy hiệu trưởng nhà trường, chuyên môn toán chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu (SKKN) là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện” 2. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế trong giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Tương Dương 2. Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề ra giải pháp thực hiện. Đồng thời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp dạy của giáo viên, cách học của học sinh ở các lớp đại trà , lớp ôn thi TN THPT QG và ôn thi học sinh giỏi môn toán tại trường THPT Tương Dương 2. 4. Mục tiêu đề tài: Đối với giáo viên: +Phục vụ giảng dạy. Đối với học sinh: 4
+ Ôn tập cho học sinh thi TN THPT QG. + Ôn thi học sinh giỏi môn Toán. + Biết cách nhìn nhận phân tích các vấn đề trong toán cũng như trong cuộc sống ở nhiều khía cạnh khác nhau một cách năng động và sáng tạo hơn. 5. Nội dung nghiên cứu của đề tài Ngoài phần đặt vấn đề và kết luận đề tài gồm các phần chính như sau I. Cơ sở lý luận và thực tiễn. II. Nội dung của đề tài. 1. Bài toán tính trực tiếp thể tích khối đa diện 2. Bài toán tính gián tiếp thể tích khối đa diện 3. Vận dụng thể tích để giải các bài toán khác 4. Thực nghiệm sư phạm 6. Các phương pháp nghiên cứu chính + Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp ôn thi TN THPT QG. + Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy. + Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việc dạy và học toán trong các cuộc thảo luận về đổi mới phương pháp giảng dạy, trong các tài liệu và sách tham khảo về bộ môn toán. 7. Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài 7.1. Tổng quan về đề tài Từ một số bài toán đơn giản xây dựng được các bài toán mới, bài toán thực tiễn nhằm giúp học sinh không những ôn tập tốt phần thể tích khối đa diện mà còn biết vận dụng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống. 7.2. Tính mới của đề tài Đề tài đã tạo cho đối tượng học sinh yếu, trung bình và khá non có niềm tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thac va sang tao ra các bài ́ ̀ ́ ̣ toán về thể tích khối đa diện tư nh ̀ ưng kiên th ̃ ́ ức cơ ban, bài t ̉ ập đơn giản. Ngoài ra đề tài còn góp phần bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi cách tư duy độc lập, phát triển năng lực sáng tạo từ đó góp phần nâng cao chất 5
lương dạy học môn Toán và rút ngắn khoảng cách giữa miền núi với miền đồng bằng. B. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN I.1. Cơ sở lý luận I.1.1. Khái niệm kỹ năng Kỹ năng là khả năng thực hiện một hành động với kết quả được xác định thường trong một khoảng thời gian cùng năng lượng nhất định hoặc cả hai. I.1.2. Kỹ năng giải toán Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học. Khi dạy học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần: Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mỗi quan hệ giữa chúng; Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết bài tập, các đối tượng cùng loại; Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình với khái quát với kiến thức tương ứng. I.1.3. Khái niệm về năng lực Theo moddun3 bồi dưỡng giáo viên Toán THPT, chương trình giáo giáo dục phổ thông năm 2018“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập , rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cá nhân, một thứ phi vật chất. Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giá được nó thông qua kết quả của hoạt động. Thông thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả cao hơn, tốt hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạt động đó trong những điều kiện tương đương. 6
I.1.4. Năng lực Toán học Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học và năng lực học tập toán học. Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng được các yêu của của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong những điều kiện ngang nhau. Cấu trúc của năng lực toán học: Về mặt thu nhập thông tin. Chế biến các thông tin đó. Lưu trữ thông tin. Thành phần tổng hợp chung. Năng lực sáng tạo thể hiện ở những khả năng sau: Khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng như mối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống. Khả năng tìm tòi, phát hiện ra những vấn đề mới, những giải pháp mới dựa trên những kiến thức, kinh nghiệm đã có hay những hạn chế, bất cập đang tồn tại hiện hữu. Khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức khác nhau; phân tích, đánh giá vấn đề ở nhiều phương diện, góc nhìn khác nhau. Khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn hay những quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự tinh tế, nhạy cảm và khả năng trực giác cao của chủ thể. Để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh có nhiều cách, tuy nhiên ở đây chúng tôi chú trọng phát triển cho học sinh ở khả năng: Năng lực tư duy, Năng lực tìm tòi cách giải, năng lực tìm tòi để sáng tạo ra bài toán mới (Bài toán tương tự, bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài toán đặc biệt… ) I.1.5. Cơ sở lý thuyết 1) Công thức tính thể tích. 1.1. Thể tích khối chóp: 1 V = Sđáy .h 3 + Sđáy : Diện tích mặt đáy. + h: Độ dài chiều cao khối chóp. 1 VS.ABCD = d ( S.( ABCD ) ) .SABCD 3 7
1.2. Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy .h + Sđáy : Diện tích mặt đáy. + h: chiều cao khối chóp. * Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên. 1.3. Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c 1.4. Thể tích khối lập phương: V = a 3 * Chú ý: Đường chéo của hình vuông cạnh a là a 2 Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3 Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là: a 2 + b2 + c2 a 3 Đường cao của tam giác đều cạnh a là 2 2) Công thức hình phẳng 2.1. Hệ thức lượng trong tam giác a) Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH. 8
 AB2 + AC2 = BC 2  AB2 = BH.BC  AC 2 = CH.BC  AH.BC = AB.AC 1 1 1  AH 2 = BH.HC 2 =  + AH AB AC 2 2  AB = BC.sin C = BC.cos B = AC.tan C = AC = cot B b) Cho có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m a , m b , mc ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.  Định lí hàm số cosin: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc.cos A; b 2 = c 2 + a 2 − 2a.cos B; c 2 = a 2 + b 2 − 2ab.cos C a b c  Định lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C 2.2. Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1  S = a.h a = b.h b = c.h c ( h a , h b , h c : ba đường cao) 2 2 2 1 1 1  S = bc.sin A = ca.sin B = ab.sin C 2 2 2 abc  S = 4R  S = pr  S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) AB.AC BC.AH  ∆ ABC vuông tại A: S = = 2 2 a 3 a2 3  ∆ ABC đều, cạnh a: AH = , S= 2 4 Ở đây: +) a, b, c là các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A, B, C. +) ha; hb; hc là các đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C. +) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 9
+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác +) ra; rb; rc là bán kính đường tròn bàng tiếp (tiếp xúc ngoài tam giác) a+b+c +) P = là nửa chu vi của tam giác 2 b) Hình vuông: S = a 2 (a: cạnh hình vuông) c) Hình chữ nhật: S = ab (a, b: hai kính thước) d) Hình bình hành: S đáy ch.cao AB. AD. sin BAD 1 e) Hình thoi: S AB. AD. sin BAD AC.BD 2 1 f) Hình thang: S= ( a + b) h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) 2 1 g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC.BD 2 I.2. Cơ sở thực tiễn I.2.1. Thuận lợi Ban giám hiệu có 3 người thì có 2 người là chuyên môn Toán, luôn quan tâm, chỉ đạo sát sao việc dạy học bộ môn Toán của nhà trường. Chúng tôi thường xuyên trao đổi về phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng học tập của học sinh. I.2.2. Khó khăn Trường THPT Tương Dương 2 đóng trên địa bàn huyện miền núi cao Tương Dương. Tương Dương là một huyện nghèo, người dân chủ yếu đang lo kiếm cái ăn chứ chưa thực sự chăm lo đến việc học của con cái. Giao thông không thuận lợi, đa số học sinh đi học xa nhà phải ở trọ nên việc quản lý các em học cũng gặp nhiều khó khăn. Song song với điều kiện về hoàn cảnh, vị trí địa lý thì Thể tích khối đa diện là một chủ đề trừu tượng, nhiều em cảm thấy không thích học chủ đề này. I.2.3. Thực trạng của đề tài Tỷ lệ đầu vào của trường thấp, khả năng tiếp thu cảu học sinh không đồng đều, một số giáo viên còn ngại đưa vào yếu tố sáng tạo khi dạy học luyện tập toán cho các em. Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà quên đi hoạt động tìm tòi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị mai một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo. 10
Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên không hiểu sâu, hiểu rộng vấn đề nào đó của toán học. I.2.4. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. Để các em học tốt phần thể tích trước hết phải làm cho các em có niềm tin, hứng thú để học tập. Muốn vậy, trước hết hãy bám sát đối tượng để dạy kiến thức phù hợp. Giáo viên phải khéo léo dẫn dắt, hướng dẫn để học sinh tìm tòi, sáng tạo trong việc tìm lời giải cũng như sáng tạo bài toán mới từ những bài toán đơn giản, quen thuộc. Biết khai thác các kiến thức cơ bản để rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. II. NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều đơn giản Bài toán 1: Tính thể tích khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a, SA ABC và SA a 2 . Lời giải. Cách 1. Ta có a2 3 h SA a 2 ; B S ABC 4 1 1 a2 3 a3 6 VS . ABC Bh . .a 2 3 3 4 12 11
Cách 2. Kẻ đường cao BH của tam giác ABC . Suy ra BH SAC . Do đó xem B là đỉnh thì BH là đường cao của khối chóp. Ta có a 3 a2 2 a3 6 BH , S SAC VB.SAC . 2 2 12 Cách 3. Gọi M là trung điểm cạnh BC suy ra BC SAM Ta có VS . ABC 2.VB.SAM 1 1 a2 6 a a3 6 VB.SAM .S SAM .BM . . 3 3 4 2 24 a3 6 VS . ABC . 12 Nhận xét. Với học sinh khá, giỏi thì bài toán trên chẳng có vấn đề gì. Tuy nhiên, với đối tượng học sinh của trường đầu vào đa số có học lực yếu và trung bình thì lại là vấn đề khác, đôi khi ta phải cầm tay chỉ việc nhưng không phải vì thế mà bỏ qua việc dạy học định hướng phát triển năng lực sáng tạo cho người học. Chẳng hạn với bài toán trên giáo viên nên đặt các câu hỏi kích thích suy nghĩ của học sinh: Để tính thể tích khối chóp ta cần biết yếu tố nào? Hãy chỉ ra chiều cao và đáy? Có những cách nào để tính diện tích đáy? Em có thể giải bài toán bằng cách khác được không?Từ bài toán trên em hãy giải bài sau. Từ bài toán trên giáo viên khéo léo kết hợp với các kiến thức cơ bản về quan hệ song song, quan hệ vuông góc và các tính chất hình học của các hình quen thuộc ta có thể sáng tạo ra các bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh. 12
1. Tính trực tiếp thể tích khối đa diện và bài toán liên quan. Định hướng 1. Thay đổi giả thiết về chiều cao để sáng tạo bài toán thể tích mới Bài 1.1. Tính thể tích khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a và chiều cao SA vuông góc với đáy và góc giữu SB với mặt đáy bằng 60 0 . Lời giải. Ta có SB; ABC SBA 60 0 SA a. tan 60 0 a 3 1 1 a2 3 a3 VS . ABC .S ABC .SA . .a 3 3 3 4 4 Bài 1.2. Tính thể tích khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a và chiều cao SA vuông góc với đáy và góc giữu mặt phẳng (SBC ) với mặt đáy bằng 60 0 . Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC SM ⊥ BC ( Định lý 3 đường vuông góc) . Vậy góc ((SBC);(ABC)) = SMA 60 0 . 1 1 Ta có V = B.h = SABC.SA 3 3 Tam giác SAM vuông tại A có SMA 600 3a SA AM . tan 60 0 2 3 Vậy V = 1B.h = 1SABC.SA = a 3 3 3 8 Bài 1.3. Tính thể tích khối chóp S. ABC biết các tam giác ABC và SBC đều cạnh a và mặt bên SBC ABC . 13
Lời giải. + Gọi H là trung điểm cạnh AB . Suy ra SH là đường cao của khối chóp( do SAB ABC ). + Các tam giác SAB và ABC đều cạnh a nên ta có 1 a2 3 a 3 a3 VS . ABC . . 3 4 2 8 Bài 1.4. Tính thể tích của khối chóp S. ABC biết tam giác ABC đều cạnh a, cạnh bên SB a 3 hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC). Hướng dẫn: SAB ABC h SA SAC ABC Áp dụng định lý Pitago trong tam giác SAB ta tính đươc SA a 2 . Từ đó ta tính được 1 1 a2 3 a3 6 VS . ABC Bh . .a 2 3 3 4 12 Nhận xét. Các bài 1.1; 1.2; 1.3 và 1.4 vừa giúp các em ôn tập các kiến thức cơ bản vừa giúp các em nhìn nhận ban đầu về việc trực tiếp tính đường cao để tính thể tích khối chóp. Bài 1.5. Tính thể tích khối chóp tam giác đều S. ABC có tất cả các cạnh bằng a. ( Bài tập 1, SGK hình học 12, trang 25) Nhận xét. Bài toán này với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì có thể đặt các câu hỏi sau nhằm giúp học sinh nhớ lại kiến thức về đường cao trong hình chóp đều: Em hãy nêu tính chất của hình chóp đều?(Mặt đáy, cạnh bên, chiều cao?). Khi đã giúp học sinh nhớ lại các tính chất cơ bản về hình chóp đều giáo viên yêu cầu học sinh xác định và tính chiều cao của khối chóp, từ đó tính được thể tích của khối chóp. 14
Lời giải. Cách 1. Gọi H là chân đường cao của khối chóp kẻ từ S thì H là trọng tâm của tam giác ABC 2 2 a 3 a 3 AH . AM . . 3 3 2 3 Xét tam giác SAH vuông tại H , áp dụng định lý Pitago, suy ra a 2 SH SA 2 AH 2 3 1 a3 2 Do đó VS . ABC .S ABC .SH . 3 12 Giáo viên có thể đặt thêm câu hỏi: Em có thể giải cách khác được không? Hãy thử tìm hình vẽ liên quan mật thiết đến hình đã cho. Nếu học sinh không giải được thì giáo viên có thể vẽ hình, phân chia lắp ghép khối đa diện từ đó gợi ý để học sinh sáng tạo các cách giải khác. Cách 2. Dựng hình chóp S . A B C sao cho A,B,C lần lượt là trung điểm của B C , C A , A B . Khi đó dễ thấy hình chóp S . A B C có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc và SA SB SC . 1 1 VS . ABC VS . A B C .SA .SB .SC 4 24 Ta có SA 2 SC 2 4a 2 SA SB SC a 2 a3 2 Vậy VS . ABC 12 15
Cách 3. Dựng hình lăng trụ SMN. ABC như hình vẽ bên. Từ giả thiết ta có: MNCB là hình vuông; Các tam giác MSC, NSB là các tam giác vuông cân, suy ra: SH BM , SH MC và SH MNBC BM a 2 SH 2 2 1 2 a 2 a3 2 VS .MNCB .a . 3 2 6 1 a3 2 VS . ABC VS .MNCB 2 12 Cách 4. Dựng hình lập phương SMBN.PAQC như hình bên. Ta có: 1 VP. ACS VM . ABS VQ. ABC V N .BCS VMBNS . AQCP . Suy ra 6 3 1 1 1 a a3 2 VS . ABC VMBNS . AQCP .SM 3 . 3 3 3 2 12 16
Cách 5. Với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh 1 công thức: VSABC ..d .SA.BC. sin SA; BC trong 6 đó d là khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC (ở đây d MN ), SA; BC là góc giữa 2 đường thẳng SA và BC . Từ đó ta a3 2 cũng dễ dàng tính được VS . ABC . 12 Cách 6. Gọi M , N , P, Q, I , J lần lượt là trung điểm của SB,AC,SC,AB,SA,BC và G là giao điểm của PQ,MN,IJ Ta thấy tứ giác MINJ là hình vuông. Dễ dàng chứng minh được PQ là đường vuuong góc chung của SC và AB nên PQ MINJ suy ra P.MINJ là hình a chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Ta có 2 1 1 1 VPMINJQ 2VP.MINJ 2. .PG. .MN .IJ .PQ.MN .IJ 3 2 6 17
1 Vì VSMPI V ANQI VCNPJ VBMQJ VS . ABC Nên 8 1 VPMINJQ VS . ABC VSMPI V ANQI VCNPJ VBMQJ VS . ABC 2 1 VS . ABC 2VPMINJQ PQ.MN .IJ 3 a Ta tính được: PQ MN IJ 2 a3 2 Do đó VS . ABC . 12 Nhận xét. Như vậy chúng ta thấy rằng việc tính thể tích khối đa diện có thể tính trực tiếp theo công thức tính thể tích, tuy nhiên đôi khi chúng ta có thể phân chia, lắp ghép khối đa diện để tính, hoặc có thể dùng tỷ số thể tích Từ bài 1.5 với học sinh khá giỏi chúng ta có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau nhằm sáng tạo trong việc tìm lời giải bài toán. Bài 1.6. Tính thể tích của khối chóp S. ABC biết SA BC a , SB AC b , SC AB c . 1 a2 c2 b2 b2 c2 a2 a2 b2 c2 Đáp số: VS . ABC . 6 2 Nhận xét. Rõ ràng bài tập 1.6 là tình huống có vấn đề khi các em cố gắng tìm chiều cao của khối chóp. Tuy nhiên, giáo viên có thể định hướng để các em giải theo các cách giải còn lại của bài 1.5. Từ bài toán 1.5 giữ nguyên cạnh đáy, cạnh bên bằng a thay bởi b ta có bài 1.7: Bài 1.7. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Hướng dẫn: Với cách giải tương tự cách 1 bài 1.4 ta có kết quả 1 2 VS . ABC a 3b 2 a 2 . 1 12 18
Vẫn cho khối chóp đều lúc đó đáy vẫn là tam giác đều nhưng ẩn đi bằng cách giữ nguyên cạnh bên bằng b , cho chiều cao SH x . Ta có bài toán 1.8 Bài 1.8. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, chiều cao SH x . Nhận xét. Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Giả thiết cho chúng ta biết những gì?(Câu trả lời mong đợi: Cạnh bên và chiều cao) Cần tính cái gì để tính được thể tích? (Câu trả lời mong đợi: Diện tích đáy) Hãy tìm mỗi liên hệ giữa các đại lượng của giả thiết để tính diện tích đáy? (Câu trả lời mong đợi: Từ giả thiết tính AH AM . Từ đó tính cạnh đáy và diện tích đáy). Hướng dẫn giải. Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SAH tính được AH b2 x2 3 2 AM b x2 2 Đặt cạnh đáy bằng a , áp dụng định lý Pytago ta tính được a 3 b2 x2 3 3 b2 x2 3 S ABC VS . ABC .x. b 2 x 2 . 2 4 4 Nhận xét. Giữ nguyên cạnh bên bằng b, cho góc giữa cạnh bên và đường cao, hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy, hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy ta có các bài toán 1.9; 1.10; 1.11 như sau: Bài 1.9. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và chiều cao bằng . 19
Hướng dẫn giải. Tam giác AHS vuông tại H có ASH nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được: 3 SH b. cos ; AH b.sin AM .b. sin . 2 Từ đó tính được: 3 3 2 BC 3.b. sin S ABC b . sin 2 4 3 3 VS . ABC b 1 cos 2 cos . (3) 4 Bài 1.10. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Hướng dẫn giải. Tương tự như trên áp dụng công thức Hệ thức lượng trong tam giác vuông SAH ta tính được SH b. sin 3 AH b. cos AM b cos BC 3b cos 2 3 3 2 S ABC b cos 2 4 3 3 VS . ABC b 1 sin 2 sin . (4) 4 Bài 1.11. Tính thể tích của khối chóp đều S. ABC . Biết cạnh bên bằng b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . 20