Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua khai thác các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian

Chia sẻ: Behodethuonglam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài đưa ra được một số giải pháp giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian. Đề tài xây dựng được hệ thống các bài tập tương ứng với các giải pháp, đồng thời đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua khai thác các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3 §Ò C¦¥NG S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Lĩnh vực: TOÁN HỌC Người thực hiện: TRÌNH HOÀI NAM Tổ bộ môn: TOÁN  TIN Năm thực hiện: 2020 Số điện thoại: 0339.545577 Email: hoainam2732003@gmail.com Nghệ An, tháng 12 năm 2020.
MỤC LỤC I. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................................................ 2 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................................................... 2 2. Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................................................... 3 3. Tính mới của đề tài ...................................................................................................................... 4 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài ........................................................................................ 4 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................................ 4 5.1. Đối tượng nghiên cứu .......................................................................................................... 4 5.2. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................................. 4 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 4 6.1. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................................... 4 6.2. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................................... 5 II. NỘI DUNG ................................................................................................................................ 6 1. Cơ sở khoa học .......................................................................................................................... 6 1.1. Cơ sở lý luận ....................................................................................................................... 6 1.2. Cơ sở thực tiễn..................................................................................................................... 9 2. Thực trạng ............................................................................................................................... 11 3. Phương hướng và giải pháp .................................................................................................... 12 3.1. Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian thuần túy .............................. 12 3.1.1. Sử dụng phương pháp định tính .................................................................................. 12 3.1.2. Sử dụng phương pháp định lượng ............................................................................... 28 3.2. Áp dụng vào việc giải các bài toán cực trị hình học tọa độ không gian................................ 63 3.2.1. Giải pháp ................................................................................................................... 63 3.2.2. Ví dụ áp dụng............................................................................................................. 63 3.2.3. Bài tập tham khảo ...................................................................................................... 70 4. Đánh giá và kết quả thực hiện................................................................................................. 70 4.1. Trong công tác bồi dưỡng học sinh lớp 11 .......................................................................... 70 4.2. Trong công tác bồi dưỡng học sinh lớp 12 .......................................................................... 71 III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ....................................................................................................... 73 1. Kết luận .................................................................................................................................... 73 2. Kiến nghị .................................................................................................................................. 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................. 75 PHỤ LỤC ............................................................................................................................................ 76 Phụ lục 1. ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 – HÌNH HỌC 11 ................................................................. 76 Phụ lục 2. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1 – KHỐI 12 .................................................................. 78 Phụ lục 3. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 – KHỐI 12 ................................................................. 85 -1-
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1/1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12/1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12/1998), được cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là Chỉ thị số 15 (4/1999). Điều 24.2 của Luật Giáo dục đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Qua đây ta có thể thấy được phương pháp dạy học tích cực là cần phải phát huy tính được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học. Bản thân trong quá trình dạy học nhận thấy tầm quan trọng của việc rèn luyện tư duy qua các bài toán hình học không gian. Có thể nói, giai đoạn gần đây bài toán về hình học không được khai thác rất đa dạng. Trong số đó có thể kể đến bài toán về cực trị hình học. Đây có thể nói là một chủ đề ở mức vận dụng cao dành cho học sinh khá giỏi ở các đề thi. Chẳng hạn: Bài toán 1 (Trích Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2018-2019): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) nội   SCA tiếp đường tròn tâm O và SBA   90 . Gọi M là trung điểm cạnh SA. Gọi  là BC góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng cos   . SA Bài toán 2 (Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2020-2021): Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA  1, SB  SC  2 2 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một mặt phẳng  P  thay đổi đi qua I lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại M, N, P. Chứng minh rằng 1 1 1 5 2  2  2 . SM SN SP 8 Bài toán 3 (Đề thi HSG Hà Nội 2020-2021): Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên các cạnh AB, A’D’ sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và CC’. Thậm chí đâu đó, bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hình học không gian được cho dưới dạng các bài toán về tọa dộ trong không gian. Bản thân tôi tự đặt câu -2-
hỏi, liệu bài toán trên có được giải quyết bằng cách thật cơ bản theo như bài toán hình học không gian thuần túy hay không? Thực ra về bài toán lớn nhất, nhỏ nhất các em đã được bắt gặp ở các bài toán về Đại số. Tuy nhiên, trong Hình học nói chung và Hình học không gian nói riêng còn chưa phong phú. Do đó bản thân mong muốn khai thác các bài toán lớn nhất, nhỏ nhất về Hình học không gian để học sinh được làm quen và đi sâu hơn. Chính vì các vấn đề trên, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua khai thác các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian”. 2. Tính cấp thiết của đề tài Đối với học sinh lớp 11, khi học về hình học không gian, học sinh đã được làm quen với một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Chẳng hạn ở một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện hoặc của một biểu thức nào đó. Tuy nhiên, thường các em còn e ngại đến các bài toán này. Bởi bản thân khi nhắc đến bài toán lớn nhất, nhỏ nhất là học sinh đã không thực sự hứng thú để giải quyết bài toán. Hơn nữa, sự tiếp cận của các em về bài toán này chưa có các cách tư duy nhất định, do vậy các em còn rất bỡ ngỡ. Ngoài ra, lượng bài toán này ở mức độ vận dụng và vận dụng cao chưa nhiều, thành ra học sinh chưa thể có cơ hội rèn luyện tư duy, các kỹ năng để giải quyết bài toán. Trong hệ thống các bài toán, sách Hình học 11 mới chỉ dừng lại ở việc tính toán về độ dài, góc, khoảng cách. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đại lượng đó còn ít gặp. Đối với học sinh lớp 12, học sinh đã được tiếp cận các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất liên quan đến thể tích của một số khối đa diện cơ bản, khối tròn xoay qua công cụ đạo hàm. Tuy nhiên, công cụ đạo hàm sẽ gặp khó khăn ở một số dạng toán. Do vậy, việc tìm các giải pháp để giải quyết các bài toán này là cần thiết cho học sinh. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong chương trình học và dạy ở các trường phổ thông. Các bài toán này đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Do đó các em học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải, các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào trong chương trình đã học? Mặt khác trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đánh giá năng lực và đề thi HSG thì bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian cũng thường xuyên xuất hiện, thí sinh khi làm các bài thi này thường rất lúng túng trong việc tìm lời giải. Để giúp các em bớt gặp khó khăn cũng như có cách nhìn chung về vấn đề này, đề tài nhằm mục đích hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian. -3-
3. Tính mới của đề tài - Đề tài đưa ra được một số giải pháp giải quyết bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian. - Đề tài xây dựng được hệ thống các bài tập tương ứng với các giải pháp, đồng thời đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian. - Đề tài phát triển các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian thuần túy sang bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về tọa độ trong không gian. - Đề tài rèn luyện thêm cho học sinh các kỹ năng về sử dụng đạo hàm, sử dụng các bất đẳng thức cơ bản. 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông và các thầy cô dạy Toán THPT tham khảo. Đề tài hoàn toàn phù hợp với các đối tượng học sinh: học sinh khá, HSG, học sinh ôn thi TN THPT, ôn thi các kỳ thi đánh giá năng lực. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh khá giỏi và giáo viên THPT. - Các bài toán về hàm số và các vấn đề liên quan đến hàm số. 5.2. Phạm vi nghiên cứu - Bám sát nội dung chương trình Toán THPT. - Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG và Đại học. 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp, phân tích các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian. - Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán tạo ra, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và đồng nghiệp sử dụng để rút ra các kết luận, bổ sung vào đề tài. - Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp các bài toán theo từng dạng, từng vấn đề có cùng dấu hiệu bản chất, cùng một hướng phát triển. -4-
Sau đó hệ thống hóa, tức là sắp xếp tri thức thành một hệ thống trên cơ sở một mô hình lý thuyết làm sự hiểu biết về đối tượng đầy đủ hơn. 6.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng từng lớp các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian - Đưa ra một số nhận xét, phân tích về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng dạng. - Định hướng khai thác, mở rộng hoặc tạo ra bài toán mới. -5-
II. NỘI DUNG 1. Cơ sở khoa học 1.1. Cơ sở lý luận Đề tài được xây dựng dựa trên các cơ sở lý luận sau a) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức Cho biểu thức P.  Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức P nếu P  M và tồn tại khả năng để dấu bằng xảy ra.  Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P nếu P  m và tồn tại khả năng để dấu bằng xảy ra. b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (SGK Giải tích 12) Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập D.  Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f  x  trên tập D nếu f  x   M , x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   M .  Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên tập D nếu f  x   m, x  D và tồn tại x0  D sao cho f  x0   m . c) Bất đẳng thức Cauchy Với n số không âm a1, a2 , , an , ta có : a1  a2   an n  a1a2  an . n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1  a2   an . d) Bất đẳng thức Bunhiacopxki và hệ quả  Bất đẳng thức Bunhiacopxki Với 2 bộ số thực khác 0: a1, a2 , , an và b1, b2 , , bn , ta có  a1b1  a2b2    anbn 2   a12  a22    an 2  b12  b22    bn 2  . a1 a2 a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   n . b1 b2 bn  Hệ quả Với các số thực a, b, c và các số thực dương x, y, z , ta có -6-
2 a 2 b2 c2  a  b  c     . x y z x yz a b c Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   . x y z Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2  a b c   a 2 b2 c 2   x .  y .  z .    x  y  z      .  x y z   x y z  Từ đó suy ra điều phải chứng minh.  e) Tâm tỉ cự Khái niệm tâm tỉ cự được đưa ra ở Sách Bài tập Hình học 10 Nâng cao, đó là khái niệm trong hình học phẳng. Tuy nhiên khái niệm này hoàn toàn có thể đưa ra trong không gian. Việc chứng minh hoàn toàn tương tự Bài tập 40 trang 12 Sách Bài tập Hình học 10 Nâng cao.  Khái niệm Cho n điểm A1, A2 ,, An và n số k1, k2 ,, kn thỏa mãn k1  k2    kn  k  k  0  . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm G sao cho:     k1GA1  k2 GA2    kn GAn  0 . Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A1, A2 ,, An tương ứng với các hệ số k1, k2 ,, kn .  Nhận xét Nếu G là tâm tỉ cự như trên thì mọi điểm O bất kì, ta có  k  k  k  OG  1 OA1  2 OA2    n OAn . k k k f) Điều kiện ba điểm thẳng hàng và hệ quả  Điều kiện ba điểm thẳng hàng   Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng  Tồn tại số x sao cho AB  x AC .  Hệ quả    Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi nếu MA  k MB  hMC thì cặp số h, k là duy nhất và thỏa mãn h  k  1, trong đó M là một điểm nào đó nằm trong mặt phẳng (ABC) và không thẳng hàng với hai trong ba điểm A, B, C. -7-
Chứng minh:   + Giả sử A, B, C thẳng hàng. Khi đó tồn tại x sao cho BA  xBC           MA  MB  x MC  MB  MA  1  x  MB  xMC . Theo định lý về sự duy nhất phân tích vectơ trong mặt phẳng ta suy ra k  1  x   h  k  1.  h  x       + Giả sử MA  k MB  hMC , h  k  1  MA  1  h  MB  hMC          MA  MB  h MC  MB  BA  hBC  Ba điểm A, B, C thẳng hàng.  g) Điều kiện ba vectơ đồng phẳng và hệ quả  Điều kiện ba vectơ đồng phẳng (SGK Hình học 11)    Trong không gian cho hai vectơ a , b không cùng phương và vectơ c . Khi đó       ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra, cặp số m, n là duy nhất.  Hệ quả 1 Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi thỏa mãn 1 trong 2 điều kiện sau:    i) Tồn tại 2 số h, k sao cho AD  hAB  k AC . ii) Gọi M là điểm nào đó sao cho không đồng phẳng với 3 điểm bất kỳ     trong 4 điểm A, B, C, D. Nếu MD  xMA  yMB  zMC thì x  y  z  1. Chứng minh:    + Ta có A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi AB, AC , AD đồng phẳng. Áp dụng điều kiện đồng phẳng của ba vectơ ta suy ra i). + Ta chứng minh i) và ii) tương đương: Giả sử i) đúng: Khi đó tồn tại h, k sao cho:             AD  hAB  k AC  MD  MA  h MB  MA  k MC  MA       MD  1  h  k  MA  hMB  k MC . -8-
Theo định lý biểu thị một vectơ bất kỳ theo ba vectơ không cùng phương (Định lý 2, SGK Hình học 11, trang 90) thì sự biểu thị này là duy nhất. Do đó x  1  h  k , y  h, z  k  x  y  z  1.     Đảo lại, giả sử ii) đúng: MD  xMA  yMB  zMC với x  y  z  1 .      MD  1  x  y  MA  yMB  zMC               MD  MA  x MB  MA  y MC  MA  AD  x AB  y AC . Điều phải chứng minh.   Hệ quả 2 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó SA SC SB SQ    . SM SP SN SD Chứng minh: SA SB SC SQ Đặt  x,  y,  z, t. SM SN SP SD  1  1   1    x  z  y  t    t t  Ta có SQ  SD  SA  AD  SA  SC  SB  SM  SP  SN . t t t x z y Do M, N, P, Q đồng phẳng nên    1  x  z  y  t.  t t t 1.2. Cơ sở thực tiễn Đề tài mục đích xây dựng hệ thống các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian thuần túy và từ đó phát triển sang bài toán lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học tọa độ không gian. Điều này bắt nguồn từ một thực tiễn đó là các dạng toán hình học không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học. Chẳng hạn như: -9-
 Các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về góc, khoảng cách, thể tích, của một biểu thức nào đó trong các đề học sinh giỏi, đề thi TN THPT.  Các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học tọa độ không gian. Một số ví dụ như: Câu 5 - Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2020-2021 Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA  1, SB  SC  2 2 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một mặt phẳng  P  thay đổi đi qua I lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại M, N, P. Chứng minh rằng 1 1 1 5 2  2  2 . SM SN SP 8 Câu 4 - Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2018-2019 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) nội   SCA tiếp đường tròn tâm O và SBA   90 . Gọi M là trung điểm cạnh SA. Gọi  BC là góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng cos   . SA Câu 4 - Đề thi HSG Hà Nội 2020-2021 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên các cạnh AB, A’D’ sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 60 . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và CC’. Câu 4 - HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2020-2021 Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi luôn song song với mặt phẳng (ABCD) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q (không trùng với các đỉnh của hình chóp S.ABCD). Gọi M , N , P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số SM để thể tích khối đa diện MNPQ.M N PQ đạt giá trị lớn nhất. SA Câu 7 - HSG tỉnh Gia Lai năm học 2020-2021 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) và O là trung điểm đoạn AH. Gọi   là mặt phẳng qua O và không đi qua các điểm A, B, C và D. Mặt phẳng   cắt các đoạn AB, AC, AD lần lượt tại M, N, P. Tìm giá trị nhỏ nhất của T  AM . AN . AP theo a. Câu 47 – Mã đề 101 – Đề thi THPT Quốc gia năm 2018 -10-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I  2;1;2  và đi qua điểm A 1; 2; 1 . Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng A. 72. B. 216. C. 108. D. 36. Câu 42 – Mã đề 101 – Đề thi THPT Quốc gia năm 2019 Trong không gian Oxyz, cho điểm A  0;4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P  3;0; 3 . B. M  0; 3; 5  . C. N  0;3; 5  . D. Q  0;5; 3 . Qua đây ta có thể thấy rằng, bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian không phải là ít gặp. Hơn nữa, bản thân cũng nhận thấy dạng toán này góp một phần không nhỏ trong quá trình rèn luyện tư duy cho học sinh khá, giỏi. Đây là một bài toán kết hợp được khá nhiều kỹ thuật khác nhau. 2. Thực trạng Trên thực tế giảng dạy Toán ở THPT, bản thân nhận thấy bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian là một trong những nội dung cần thiết cho học sinh khá giỏi. Sách giáo khoa, sách bài tập cũng đã đề cập đến dạng toán này. Cụ thể như sau: Sách Giải tích 12, Ví dụ 3 trang 22; Sách Giải tích 12 Nâng cao, Ví dụ 3 trang 20 đã đưa ra bài toán tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp chữ nhật và trình bày cách sử dụng khảo sát hàm số để giải quyết bài toán đó. Sách Bài tập Giải tích 12, Ví dụ 2 trang 14 đề cập đến bài toán tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình trụ nội tiếp trong một mặt cầu. Sách Hình học 12 Nâng cao, Bài tập 10b trang 46 đề cập đến bài toán tìm giá trị lớn nhất của thể tích toàn phần hình hộp nội tiếp trong một mặt cầu. Sách Bài tập Hình học 11, Bài tập 6 trang 182 đề cập đến bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng. Như vậy có thể thấy, ở đâu đó các em cũng đã bắt gặp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian. Thế nhưng, thực trạng cho thấy học sinh chưa có hứng thú, chưa có một cái nhìn tổng quan đối với bài toán. Bởi lẽ trong chương trình, các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian được đưa vào một cách nhỏ lẻ, chưa có hệ thống; số lượng bài tập chưa nhiều. Chính vì thế nên khi đứng trước các bài toán dạng này, các em còn bỡ ngỡ và chưa tự tin khi giải quyết chúng. -11-
Một thực trạng nữa là trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu phát hiện vấn đề và phân tích mối quan hệ giữa các kiến thức đã học trong bài toán, để từ đó học sinh tìm được cho mình phương pháp giải quyết vấn đề của bài toán. Chỉ trong quá trình giải toán, tiềm năng sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý tình huống. Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy rằng để gây hứng thú học tập, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo, khám phá kiến thức, học sinh, giáo viên cần phải trang bị cho mình các kiến thức, kỹ năng, các phương pháp học tập phù hợp. Nhìn nhận thực trạng đó vào dạy học cho năm học 2020-2021, đây là năm học bản thân tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy lớp 12 và bồi dưỡng HSG. Bản thân nhận thấy trong quá trình dạy học và bồi dưỡng, chúng ta thường bắt gặp các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, trong đó có các bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian thường hay gặp ở các chủ đề về thể tích, góc, khoảng cách, biểu thức về độ dài, Oxyz, … Do vậy bản thân rất trăn trở suy nghĩ tìm cách rèn luyện cho học sinh cách tư duy khi đứng trước các bài toán này. Hy vọng rằng, qua bài viết này có thể phần nào thực hiện được điều đó. 3. Phương hướng và giải pháp 3.1. Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian thuần túy Đứng trước một bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học nói chung và hình học không gian nói riêng, bản thân tôi xin đưa ra hai phương hướng tư duy. Đó là tư duy theo phương pháp định tính và tư duy theo phương pháp định lượng. Tương ứng với mỗi phương pháp này sẽ rèn luyện cho học sinh các tư duy khác nhau. Với phương pháp định tính, đòi hỏi học sinh cần có một sự tư duy nhanh nhạy phát hiện ra bản chất vấn đề, phát hiện ra tính chất cốt lõi của bài toán. Trong khi, phương pháp định lượng lại rèn luyện cho học sinh một lối tư duy kiểu “đại số”. Nó đòi hỏi cần có một sự tư duy nhất định về tính toán, về biến đổi đại số. 3.1.1. Sử dụng phương pháp định tính 3.1.1.1. Giải pháp Tư duy bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian theo phương pháp định tính được hiểu nôm na là đi xác định được tính chất đặc biệt của bài toán và dựa vào tính chất đó để giải quyết bài toán. Quy trình được thực hiện theo hai bước: Bước 1: Phân tích giả thiết bài toán, phát hiện ra yếu tố cố định của bài toán. Trong bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hình học không gian sẽ có các yếu tố thay đổi. Do vậy ta cần xem xét để tìm ra, chỉ ra được các yếu tố cố định. Yếu -12-
tố cố định được nhắc tới ở đây có thể là điểm cố định, đường thẳng cố định hay một đại lượng không đổi nào đó. Chúng ta cần tự đặt ra các câu hỏi cho bản thân các dạng câu hỏi như: “Liệu chăng, mặt phẳng thay đổi kia có chứa điểm cố định, đường thẳng cố định nào không? Đó là điểm nào?”; “Trong bài toán này, liệu có đại lượng nào không thay đổi không”, … Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Sau khi chỉ ra được đặc điểm của bài toán rồi, ta thường vận dụng một tính chất cơ bản nào đó để áp dụng vào bài toán. Các tính chất cơ bản thường sử dụng là: Tính chất 1. Cho hai điểm phân biệt A và B. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua B. Khi đó d  A;  P    AB . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  P   AB . Tính chất 2. Cho điểm A và đường thẳng d ( A  d ). Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa đường thẳng d. Khi đó d  A;  P    d  A; d  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  P  vuông góc với mặt phẳng chứa A và d. Tính chất 3. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau nhưng không vuông góc. Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn chứa d 2 . Khi đó  d1;  P     d1; d 2  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  P  vuông góc với mặt phẳng chứa d1 và d 2 . Chứng minh: Gọi I  d1  d 2 . Lấy M  d1 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và d1 . Khi đó MH  MK .   MK ; sin  d ;  P    sin MIH Mặt khác: sin  d1; d 2   sin MIK   MH . 1 MI MI  sin  d1;  P    sin  d1; d 2    d1;  P     d1; d 2  . Dấu “=” xảy ra khi H  K  Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng chứa d1 và d 2 .  Tính chất 4. Cho đường thẳng d và mặt phẳng  P  cắt nhau nhưng không vuông góc. Một mặt phẳng (Q) thay đổi luôn chứa d . Khi đó   P  ;  Q     d ;  P   . Dấu -13-
“=” xảy ra khi và chỉ khi  P  vuông góc với mặt phẳng chứa d và d  , trong đó d  là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Chứng minh: Gọi I  d   P  . Lấy M  d . Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (P) và K là hình chiếu của H lên giao tuyến của (P) và (Q). Khi đó HK  HI .   MH ; tan  d ;  P    tan MIH Ta có tan   P  ;  Q    tan MKH   MH HK HI tan   P  ;  Q    tan  d ;  P      P  ;  Q     d ;  P   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi K  I   Q    MHI  .  3.1.1.2. Ví dụ áp dụng Trước tiên, khai thác các bài toán về điểm cố định trong không gian và kết hợp với các tính chất trên, ta nghiên cứu một số bài toán say đây. Ví dụ 1. (Sáng tác) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, G là trọng tâm tam giác BCD. Gọi I là trung điểm cạnh SG. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua I, cắt các cạnh AB, AC, AD lần lượt tại M, N, P. Khi khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất, tính thể tích khối đa diện MNPABC.  Phân tích bài toán: Bài toán đã chỉ rõ mặt phẳng đi qua điểm I cố định. Vận dụng Tính chất 1 ta suy ra d  A;  P    AI . Từ đây ta xác định được khả năng lớn nhất của khoảng cách từ A đến (P).  Lời giải: -14-
Bước 1: Xác định yếu tố cố định Mặt phẳng (P) đi qua điểm I cố định. Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ta có d  A;  P    AI . Do đó d  A;  P    AI   P   AI   P  //  BCD  . max AM AN AP AI 1 1 7       VAMNP  VABCD  VMNP. ABC  VABCD . AB AC AD AG 2 8 8 1 1 6a 3a 2 2a3 7 2a 3 Mặt khác VABCD  AG.S BCD  . .   VMNP. ABC  . 3 3 3 4 12 96 Ví dụ 2. (Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABCD) và SA  2a . Gọi E là điểm trên đoạn DE  3EB . Gọi M là điểm thuộc đoạn AB sao cho AM  x, 0  x  2 a . Tìm x để khoảng cách từ D đến (SME) là lớn nhất.  Phân tích bài toán: Dễ dàng nhận ra mặt phẳng (SME) chứa đường thẳng SE cố định. Vận dụng Tính chất 2 ta suy ra d  D;  SME    d  D; SE  . Từ đây ta xác định được khả năng lớn nhất của khoảng cách từ D đến (SME).  Lời giải: Bước 1: Xác định yếu tố cố định Mặt phẳng (SME) chứa đường thẳng SE cố định. Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ta có d  D;  SME    d  D; SE  . d  D;  SME    d  D; SE    SME    SDE  hay  SME    SBD  . max -15-
Kẻ AH  SO .  BD  SA   BD   SAC    SBD    SAC   AH   SBD   AH //  SME  .  BD  AC Kẻ SI // AH . Do SA  AO  2a  H là trung điểm SO  A là trung điểm IO 4a  M là trọng tâm tam giác IBO  x  .  3  Phân tích hai bài toán trên ta thấy, yếu tố cố định của các bài toán đó đã được cho trước. Trong tình huống yếu tố cố định được giấu đi, ta cần phải chỉ ra được điểm cố định là điểm nào, đường thẳng cố định là đường thẳng nào. Thông thường, thay vì cho trước điểm cố định sẽ là cho trước một hệ thức hoặc một đặc điểm nào đó. Từ hệ thức, từ đặc điểm đó, ta tìm ra được điểm cố định của bài toán. Chẳng hạn: Ví dụ 3. (Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, AB  AC  AD  2 3a . Cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABCD) và SA  2a . Mặt phẳng (P) thay đổi cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P sao cho 1 2 2 6    . Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần có thể tích là SM SN SP a V V1, V2 , V1  V2  . Tính 1 để khoảng cách từ S đến (P) là lớn nhất. V2  Phân tích bài toán: Với giả thiết 1 đẳng thức vectơ chứa ba đại lượng, tính thêm điểm cố định cần tìm là ta được 4 điểm. Điều làm ta liên tưởng đến đó là điều kiện đồng phẳng của 4 điểm. Mặt khác, ta nhận ra rằng: 1 2 2 6 SA SB SC        12 . SM SN SP a SM SN SP Các hệ số 1:1:1 đưa về bài toán tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C với bộ số 1, 1, 1. Đó chính là trọng tâm của tam giác ABC.  Lời giải: Bước 1: Xác định yếu tố cố định Ta có SB  SC  SD  4a; AG  2a, SG  2 2a . 1 2 2 6 SA SB SC        12 SM SN SP a SM SN SP -16-
SA SB SC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt  x,  y,  z. SM SN SP   Gọi I là giao điểm của SG và (P). Giả sử SI  kSG  k    kx  ky  kz  3  3   SI  SA  SB  SC  SM  SN  SP . 3 3 kx ky kz 3 1 Do M, N, P, I đồng quy nên    1 k    I cố định. 3 3 3 x y z 4 Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Khi đó d  S ;  P    SI .  MI  SI d  S ; P   SI   P   SI   . max NQ  SI  SI .SG SG 2 SM 1 Do SIM  SAG  SM   a  SA 4 SA SA 2  SD 2  SG 2  DG 2 2 SI SQ 1 cos QSI    SQ   2a   2SD.SG 4  cos QSI SD 2 SB 2  SG 2  BG 2 5 2 SI 4a SN 1 cos  NSI    SN     2SB.SG 8  5 cos NSI SB 5 SA SB SC SC SP 1 Lại có    12  5  SM SN SP SP SC 5  1 1  VS . MNP  VS . ABC  VS . ABCD 50 100 7 V 7   VS .MNPQ  VS . ABCD  1  . V 1 1 200 V2 193  V  V  S .MPQ 20 S . ACD 40 S . ABCD -17-
Ví dụ 4. (Sáng tác) Cho hình chóp đều S.ABCD có AB  a, SA  2a . Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua A và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N sao cho 1 1 3   . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ C đến (P). SM SN a  Phân tích bài toán: Ta thấy mặt phẳng (P) đã đi qua điểm A cố định. Tuy nhiên, giả thiết bài toán cho thêm 1 sự ràng buộc giữa các đại lượng, điều này tượng trưng cho một điểm cố định khác. Từ đó ta có thể nhận ra được mặt phẳng (P) sẽ chứa một đường thẳng cố định. Với giả thiết là một đẳng thức chứa 2 tỉ số tương ứng với 2 điểm và cộng với điểm cố định cần tìm thì ta được 3 điểm. Do vậy nghĩ tới việc sử dụng điều kiện thẳng hàng của ba điểm. 1 1 3 SB SD Mặt khác      6 . Ta nhận ra tâm tỉ cự của 2 điểm B, C SM SN a SM SN tương với bộ số 1, 1. Đó chính là trung điểm cạnh BD.  Lời giải: Bước 1: Xác định yếu tố cố định Gọi O  AC  BD, I  MN  SO, E  AI  SC . SB SD Đặt  x,  y. SM SN 1 1 3 2a 2a Ta có      6  x  y  6. SM SN a SM SN    k   kx  ky  2   Giả sử SI  kSO  SI  SB  SD  SM  SN . 2 2 kx ky 2 1 Do I, M, N thẳng hàng nên   1 k    I cố định. 2 2 x y 3 Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như vậy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AI cố định. -18-
Khi đó d  C ;  P    d  C ; AI  . d  C; P    d  C ; AI   2d  O; AI  . max 2a 2 14a Kẻ OH  AI . Ta có OA  , OI  SO  . 2 3 3 1 1 1 37 518a 2 518a  2  2  2 2  OH   d  C ;  P  max  .  OH OA OI 14a 37 37 Ví dụ 5. (Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB  4, AD  2 10 . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA  4 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM  2 . Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M và cắt các 1 1 2 cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, P, Q sao cho   . Khi khoảng cách từ S SN SP 2 đến (P) là lớn nhất, tính thể tích khối chóp S.MNPQ.  Phân tích bài toán: Điểm M là điểm cố định thứ nhất. Từ đẳng thức giữa 2 điểm cho trước ta sẽ tìm cách chỉ ra điểm cố định thứ hai nhờ điều kiện thẳng hàng. 1 1 2 3SB 2SD 2 Mặt khác, từ đẳng thức      . Từ đây ta liên SN SP 2 SN SP 2 hệ tâm tỉ cự của hệ 2 điểm B, D tương với bộ số 3, 2.  Lời giải: Bước 1: Xác định yếu tố cố định    2 Gọi K là điểm sao cho 3KB  2 KC  0  K thuộc đoạn BC và BK  BC . 5 SB SC Đặt  x,  y . Ta có SB  AB 2  SA2  4 2; SC  SB 2  BC 2  6 2 . SN SP 1 1 2 12 2 12 2 Do      12  3x  2 y  12 . SN SP 2 SN SP -19-