Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện tư duy học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Rèn luyện tư duy học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz" nhằm xây dựng phương hướng giải quyết bài toán cực trị hình học không gian Oxyz; Đưa ra một số nhận xét, câu hỏi định hướng, phân tích lời giải cho từng bài toán; Sáng tác các bài toán ở mức độ thông hiểu, vận dụng để các em học sinh có thể tiếp cận và giải quyết, định hướng khai thác, mở rộng thêm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Rèn luyện tư duy học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LĨNH VỰC: MÔN TOÁN HỌC Diễn Châu, tháng 04 năm 2022
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: RÈN LUYỆN TƯ DUY HỌC SINH KHỐI 12 THÔNG QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN OXYZ LĨNH VỰC: MÔN TOÁN HỌC Người thực hiện: NGUYỄN VĂN DŨNG Tổ bộ môn: Toán - Tin Điện thoại: 0349734147 Email: dungtoandhv@gmail.com Diễn Châu, tháng 04 năm 2022
MỤC LỤC Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ Trang 1 1. Lý do chọn đề tài Trang 1 2. Tính cấp thiết của đề tài Trang 2 3. Tính mới của đề tài Trang 2 4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài Trang 2 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trang 2 6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu Trang 3 Phần II. NỘI DUNG Trang 3 1. Cơ sở khoa học Trang 3 1.1. Cơ sở lý luận Trang 3 1.2. Cơ sở thực tiến Trang 3 2. Thực trạng về các bài toán cực trị trong không gian Oxyz Trang 5 3. Phương hướng và giải pháp Trang 6 3.1. Bài toán cực trị về khoảng cách trong không gian Oxyz Trang 7 3.1.1. Giải pháp chung Trang 7 3.1.2. Ví dụ áp dụng Trang 9 3.1.3. Bài tập tham khảo Trang 23 3.2. Bài toán cực trị về góc trong không gian Oxyz Trang 24 3.2.1. Giải pháp chung Trang 24 3.2.2. Ví dụ áp dụng Trang 25 3.2.3. Bài tập tham khảo Trang 34 3.3. Bài toán cực trị về diện tích, thể tích trong không gian Oxyz Trang 35 3.3.1. Giải pháp chung Trang 35 3.3.2. Ví dụ áp dụng Trang 36 3.3.3. Bài tập tham khảo Trang 40 3.4. Bài toán cực trị khác trong không gian Oxyz Trang 41 3.4.1. Giải pháp chung Trang 42
3.4.2. Ví dụ áp dụng Trang 42 3.4.3. Bài tập tham khảo Trang 51 Phần III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 53 1. Kết luận về quá trình nghiên cứu Trang 53 1.1. Về quá trình nghiên cứu và triển khai Trang 53 1.2. Phân tích kết quả thực nghiệm Trang 57 1.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm Trang 57 2. Ý nghĩa của đề tài Trang 57 3. Đề xuất và kiến nghị Trang 58 PHỤ LỤC Trang 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 69
Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Tư duy có vai trò đặc biệt quan trọng đối với hoạt động thực tiễn cũng như đối với hoạt động nhận thức của con người. Tư duy giúp con người nhận thức được quy luật khách quan từ đó có thể dự kiến một cách khoa học xu hướng phát triển của sự vật, hiện tượng và có kế hoạch biện pháp cải tạo hiện thực khách quan. Có thể nói, khả năng tư duy là một trong những kỹ năng có giá trị nhất, có tính ứng dụng cao nhất mà mỗi người cần có để học tập, làm việc có hiệu quả. Bởi ngày này với sự phát triển của công nghệ và tri thức cao, người ta làm việc dựa trên kỹ năng tư duy, mà không dung nhiều cơ bắp vào công việc. Mỗi người cần vận dụng những tri thức, kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân vào công việc của mình làm để mang lại kết quả tốt hơn, có hiệu quả cao hơn. Tư duy giúp con người thu thập, phân tích và sử dụng thông tin, ra quyết định cũng như hợp tác với người khác để giải quyết vấn đề, đóng góp ý tưởng, phát triển bản thân. Tiềm năng của bộ não con người là rất lớn. Do đó, mỗi người hãy để cho não bộ làm việc thường xuyên, luôn rèn luyện kỹ năng tư duy cho bản thân để học tập làm việc có hiệu quả, đem đến năng suất cao. Những người không có thói quen đặt câu hỏi, không có khả năng khám phá, lựa chọn sẽ khó có thể tiến lên trong cuộc sống. Khả năng suy nghĩ, tư duy tốt sẽ giúp cho những người trẻ, đặc biệt là các em học sinh phát triển bản thân, đạt được những thành tích, thành công trong hiện tại và tương lai. Trong những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia (TN THPT QG) luôn xuất hiện bài toán cực trị hình học trong không gian Oxyz. Chẳng hạn: Câu 49, đề 104, đề thi TN THPT QG năm học 2020-2021: “Trong không gian Oxyz  , cho hai điểm A2;1; 3 , B 1; 3; 2 . Xét hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy  sao cho MN  3 . Giá trị lớn nhất của AM  BN bằng A. 65 . B. 29 . C. 26 . D. 91 . Trong quá trình dạy, nhận ra khi các em học sinh gặp bài chủ đề này đa số các em, đặc biệt các em có học lực Khá, khá hoang mang, lo lắng, chưa biết định hướng giải bài này như thế nào? Các em thường bỏ qua không làm mà cũng không phân tích bài toán, đặt câu hỏi. Nguyên nhân một phần bởi thời gian chương trình, bài tập về chủ đề này rất là ít và hạn chế, một phần bởi độ khó của bài tập, bài tập đưa ra chưa hệ thống và chưa có giải pháp, định hướng, một phần bởi khả năng tư duy các em học sinh. Với những điều nhận ra, tôi mong muốn giúp các em rèn luyện tốt khả năng tư duy, giúp các em có tâm lí tốt, biết cách đặt câu hỏi, phân tích khi gặp bài toán khó để từ đó giải quyết được nó. Tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện tư duy 1
học sinh khối 12 thông qua khai thác các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz ’’. 2. Tính cấp thiết của đề tài - Các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz là một nội dung ôn thi THPT QG mà các em học sinh khối 12 rất quan tâm, lo lắng, đặc biệt là các em học lực Khá, Giỏi. - Bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập còn ít và đang ở mức vận dụng, thậm chí vận dụng cao, chưa trình bày giải pháp, chưa được hệ thống dẫn tới tâm lí hoang mang, lo lắng, không định hướng được để giải quyết bài toán. 3. Tính mới của đề tài - Rèn luyện tư duy, kĩ năng giải quyết vấn đề cho học sinh khi gặp bài toán cực trị hình học không gian Oxyz . - Các bài tập được xây dựng theo mức độ và hệ thống, bên cạnh đó nêu giải pháp phù hợp cho từng dạng toán giúp các em học sinh học tập theo năng lực, phát huy khả năng của mình, không gây tâm lí hoang mang, lo lắng khi giải quyết bài toán. - Đặt các câu hỏi định hướng để các em dần có thói quen đạt câu hỏi để giải quyết bài toán cực trị hình học không gian Oxyz , giải quyết bài toán cũng như giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. - Nhiều bài tập ở mức độ thông hiểu được bản thân xây dựng nhằm giúp các em học sinh có hứng thú tìm hiểu, để từ đó có thể giải quyết bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao. 4. Khả năng ứng dụng và triển khai của đề tài Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông và các thầy cô dạy Toán THPT tham khảo. Vì đề tài xây dựng bài toán theo các mức độ, do đó hoàn toàn phù hợp với các đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh khá, học sinh giỏi (HSG), học sinh ôn thi TN THPT QG. 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1. Đối tượng nghiên cứu - Học sinh THPT - Giáo viên giảng dạy môn toán bậc THPT. - Các bài toán về cực trị hình học không gian Oxyz và các vấn đề liên quan. 5.2. Phạm vi nghiên cứu. - Bám sát nội dung chương trình toán THPT. - Mở rộng nội dung phù hợp với ôn thi HSG và ôn thi TN THPT QG. 2
6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp và phân tích các bài toán trong kì thi TNTHPT QG những năm gần đây, trong sách giáo khoa, sách bài tập. - Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán tạo ra, đặc biệt là hệ thống bài tập theo mức độ, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và phổ biến cho đồng nghiệp sử dụng để khảo nghiệm đề tài, rút ra kết luận, bổ sung vào đề tài. - Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp bài toán theo dạng, theo giải pháp phù hợp, bài tập phân theo mức độ. 6.2. Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng phương hướng giải quyết bài toán cực trị hình học không gian Oxyz. - Đưa ra một số nhận xét, câu hỏi định hướng, phân tích lời giải cho từng bài toán. - Sáng tác các bài toán ở mức độ thông hiểu, vận dụng để các em học sinh có thể tiếp cận và giải quyết, định hướng khai thác, mở rộng thêm. Phần II. NỘI DUNG 1. Cơ sở khoa học 1. 1. Cơ sở lí luận - Bài toán cực trị là một trong những nội dung khó trong chương trình toán THPT, nó gắn liền với các chủ đề dạy học, đòi hỏi tư duy logic cao, việc nắm vững phương pháp giải, cách định hướng, đặt câu hỏi giải quyết vấn đề không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói riêng mà còn có khả năng tư duy logic với các môn học khác. - Vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung và giải các bài toán cực trị nói riêng. Trong đó có bài toán cực trị hình học trong không gian Oxyz . Qua quá trình giảng dạy môn toán, tôi đã tìm hiểu, hệ thống bài toán tìm cực trị, tìm cách định hướng, đặt câu hỏi giải quyết vấn đề cho học sinh. Từ đó, hình thành kỹ năng và phát triển tư duy cho các em học sinh. 1.2. Cơ sở thực tiễn - Đề tài mục đích xây dựng hệ thống bài tập cực trị hình học không gian Oxyz theo các mức độ, có phân tích, đặt câu hỏi định hướng. Điều này bắt nguồn từ một thực tiễn là đề thi TN THPT QG những năm gần đây đều xuất hiện bài toán cực trị hình học không gian Oxyz ở mức độ vận dụng, thậm chí vận dụng cao làm nhiều em học sinh, đặc biệt học sinh có học lực khá lo lắng, quan tâm nhưng chưa giải quyết được. Câu 48, Đề tham khảo BGD&ĐT năm 2017: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : x  2 y  2 z  3  0 và mặt  cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  5  0. Giả sử M   P và N   S  sao cho MN 3
 cùng phương với vectơ u 1;0;1 và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN . A. MN  3 . B. MN  1  2 2 . C. MN  3 2 . D. MN  14 . Câu 48, Mã đề 105, Đề thi TNTHPT QG năm 2017: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A3;2;6 , B 0;1;0 và mặt cầu  S  :  x 1   y  2   z  3  25 . Mặt phẳng  P : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và 2 2 2 cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c A. T  3 . B. T  4 . C. T  5 . D. T  2 . Câu 44, Mã đề 123, Đề thi TNTHPT QG năm 2017: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  9 , điểm M (1;1;2) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  4  0 . Gọi  là đường thẳng đi qua M , thuộc (P) và cắt ( S ) tại 2 điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. Biết rằng  có một vectơ chỉ  phương là u (1; a ; b) , tính T  a  b . A. T  0 . B. T  1 . C. T  2 . D. T  1 . Câu 47, Mã đề 103, đề thi TNTHPT QG Năm 2018: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I 1;2;3 và đi qua điểm A5;2;1 . Xét các điểm B, C, D thuộc  S  sao cho AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng. 256 128 A. 256 B. 128 C. D. . 3 3 Câu 45, Đề tham khảo BGD&ĐT 2019: Trong không gian Oxyz , cho điểm E 2;1;3 , mặt phẳng  P : 2 x  2 y  z  3  0 và mặt cầu  S  :  x  3   y  2   z  5  36 . Gọi  là đường thẳng đi qua E , nằm trong 2 2 2  P và cắt  S  tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của  là  x  2  9t  x  2  5t  x  2  t  x  2  4t     A.  y  1  9t . B.  y  1  3t . C.  y  1  t . D.  y  1  3t .      z  3  8t  z  3  z  3  z  3  3t Câu 45, Mã đề 102, Đề thi TNTHPT QG Năm 2019: Trong không gian Oxyz , cho điểm A0;4;  3 . Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. P 3;0;  3 . B. Q 0;11;  3 . C. N 0;3; 5 . D. M 0;  3; 5 . 4
Câu 45, Mã đề 104, Đề thi TNTHPT QG Năm 2019: Trong không gian Oxyz , cho điểm A0;3; 2. Xét đường thẳng d thay đổi, song song với trục Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 2. Khi khoảng cách từ A đến d lớn nhất, d đi qua điểm nào dưới đây? A. Q 2;0;  3 . B. M 0;8; 5 . C. N 0;2; 5 . D. P 0; 2; 5 . Câu 49, Mã đề 104, Đề thi THPT QG năm 2021: “Trong không gian Oxyz , , cho hai điểm A2;1;3 , B 1;3;2 . Xét hai điểm M , N thay đổi thuộc mặt phẳng Oxy  sao cho MN  3 . Giá trị lớn nhất của AM  BN bằng A. 65 . B. 29 . C. 26 . D. 91 . Từ các cơ sở thực tiễn đó và trên việc phân tích các đê thi thử của các Sở, các trường trên cả nước, đề tài hướng tới xây dựng hệ thống các bài tập tương tự và mở rộng, phát triển bài tập theo các mức độ, phù hợp với đối tượng học sinh. 2. Thực trạng về các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz - Các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz xuất hiện rất ít trong tài liệu tham khảo, cụ thể:  Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản có đưa ra bài toán: Bài 4, trang 99: Trong không gian Oxyz  , cho hai điểm A1; 2;1 , B 7; 2;3 và đường thẳng d có phương trình:   x  1  3t    y  2  2t    z  2  2t   Tìm điểm I trên d sao cho AI  BI nhỏ nhất.  Sách bài tập hình học 12 cơ bản xuất hiện hai bài toán. Bài 3.30, trang 99: Lập phương trình mặt phẳng  đi qua điểm M 1;2;3 và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.  x  1  t x y2 z Bài 3.46, trang 115: Cho hai đường thẳng 1:   và 2 :  y  2  t .Cho 2 3 4   z  1  2t điểm M 2;1;4 , tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.  Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao có đưa ra bài toán: Bài 40, trang 125: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M 0 1;1;1 cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. 5
Bài 74, trang 134: a. Cho hai điểm A3;1;0 , B 9;4;9 và mặt phẳng  : 2 x  y  z  1  0 . Tìm M thuộc mặt phẳng  thỏa mãn MA  MB lớn nhất. b. Cho hai điểm A3;1;1, B 7;3;9 và mặt phẳng  : x  y  z  3  0 . Tìm M thuộc   mặt phẳng  thỏa mãn MA  MB nhỏ nhất. Bài 28, trang 147: Cho hai điểm A1;4;2 , B 1;2;4 và đường thẳng x 1 y  2 z :   . Điểm M thuộc  mà MA2  MB 2 min có tọa độ là: 1 1 2 A. 1;0;4 . B. 0; 1;4 . C. 1;0; 4 . D. 1;0; 4 . Bài 15, trang 226: Trong không gian Oxyz , Cho hai điểm A3;3;1 , B 0; 2;1 và mặt phẳng  P : x  y  z  7  0 . a. Viết phương trình đường thẳng d nằm  P mà mọi điểm của d đều cách đều A, B. b. Tìm điểm C  d sao cho S ABC nhỏ nhất.  Sách bài tập hình học 12 nâng cao chỉ đưa ra một bài toán: Bài 6, trang 116: Cho hai điểm A1;6;6, B 3;6; 2 . Tìm M thuộc mặt phẳng Oxy  sao cho MA  MB nhỏ nhất. Phần nào có thể thấy, tài liệu có đề cập đến các bài toán cực trị hình học không gian Oxyz , tuy nhiên bài tập chưa được hệ thống, chưa có giải pháp và số lượng bài tập không nhiều. Cần xây dựng thành các dạng toán theo mức độ, bên cạnh đó là các giải pháp, các câu hỏi định hướng, phân tích lời giải,…để phần nào rèn luyện tư duy cho các em học sinh khối 12. Qua đó dần hình thành một số kĩ năng giải quyết vấn đề trong học tập cũng như thực tiễn cuộc sống. 3. Phương hướng và giải pháp Đối với bài toán cực trị hình học không gian Oxyz , chúng ta thường xử lí theo hai hướng. Hướng Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức Cô-si, bunhia cốpxki hoặc khảo sát hàm số để giải quyết bài toán. Hướng Hình học: Sử dụng kết quả một số bài toán cực trị trong hình học không gian, các bất đẳng cơ bản trong hình học để đánh giá từ đó giải quyết bài toán. Mỗi hướng đều có ưu, nhược điểm nên chúng ta cần phân tích để chọn hướng phù hợp cho từng dạng toán, bài toán ngay từ ban đầu để giải quyết được bài toán một cách hiệu quả, không mất nhiều thời gian. Với hướng giải đại số thì ít cần đến trí tưởng tượng không gian mà yêu cầu tính toán nhiều hơn, tuy nhiên lại mất nhiều thời gian và dễ dẫn đến sai sót trong quá trình tính toán. 6
Với hướng Hình học thì cần học sinh tưởng tượng không gian tốt hơn nhưng có lời giải khá ngắn gọn, mất ít thời gian hơn. Với hướng giải nào cũng cần các em nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức đại số, khảo sát hàm số và các bất đẳng thức hình học. Những vấn đề này sẽ được đề cập lại trong các dạng toán dưới đây. 3.1. Bài toán cực trị về khoảng cách trong không gian Oxyz 3.1.1. Giải pháp chung Về khoảng cách trong hình học không gian Oxyz xoay quanh qua ba đối tượng cơ bản: Điểm, đường thẳng và mặt phẳng.  Khoảng cách giữa hai điểm: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A xA ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  . Khoảng cách giữa hai điểm A, B là: AB   xB  x A    y B  y A    z B  z A  . 2 2 2  Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng: Khía cạnh hình học: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là khoảng cách giữa hai điểm A và M , trong đó M là hình chiếu của điểm A tren đường thẳng d . Kí hiệu: d  A, d   AM . A d M P Chú ý: d  A, d   AM  AK , K  d . Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz , cho điểm A xA ; y A ; z A  , d có vectơ chỉ  phương u u1; u2 ; u3  . Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là d  A, d  :    AM , u   Cách 1. d  A, d     với điểm M bất kì thuộc d . u Cách 2. Bước 1: Gọi M là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Tham số hóa điểm M theo t .      Bước 2: Tìm tọa độ AM theo t , vì AM vuông góc với u nên AM .u  0 , từ đó tìm t . Bước 3: Biết t , tìm tọa độ M , từ đó tìm được d  A, d   AM .  Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng: Khía cạnh hình học: Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  P là khoảng cách giữa hai điểm A và M , trong đó M là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng  P . Kí hiệu: d  A, P  AM . 7
A M P K Chú ý: d  A, P  AM  AK , K   P  . Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz , cho điểm A x A ; y A ; z A  ,  : Ax  By  Cz  D  0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  là: Ax A  By A  Cz A  D d  A,  . A2  B 2  C 2  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khía cạnh hình học: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung MN của hai đường thẳng ấy. M a b N Δ Ký hiệu: d a, b  MN . Chú ý: d a, b  MN  PQ , Với mọi P  a , với mọi Q  b . Khía cạnh Đại số: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng a, b lần lượt có các   vectơ chỉ phương u1 , u2 . Cách 1. Bước 1: Lấy tọa độ điểm M  a và N  b .    u , u  .M M  1 2  1 2 Bước 2: d a, b    . u , u   1 2  Cách 2. Bước 1: Tham số hóa điểm M  a theo t , tham số hóa điểm N  b theo t ' .  Lập vectơ MN theo t , t ' .        MN .u1  0 từ đó tìm được t , t ' . Bước 2: Vì MN vuông góc với cả u1 , u2 nên     MN .u2  0   Bước 3: Từ t , t ' tìm được tọ độ hai điểm M , N . Tính d a, b  MN . 8
Đề giải quyết bài toán dạng này, chúng ta cần phân tích đề bài và vận dụng các giải pháp ở trên để xử lí. 3.1.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;3 và điểm M di động trên  P : x  2 y  2 z  5  0 . Giá trị nhỏ nhất của AM là 2 6 1 6 2 A. . B. . C. . D. . 6 3 6 3  Phân tích: Gv: Hướng đại số, xử lí thế nào? Hs: M  x0 ; y0 ; z0    P  x0  2 y0  2 z0  5  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của T   x0 1   y0  2   z0  3 . 2 2 2 Bài toán này gần như học sinh trung bình, khá không giải quyết được. Gv: Vậy hướng hình học? Hs: Dễ dàng phát hiện được AM nhỏ nhât chính là khoảng cách từ A đến  P .  Lời giải: Chọn A. Ta có: AM  d  A,  P  . Nên giá trị nhỏ nhất của AM bằng 1  2  2.3  5 d  A,  P   2 6  . 12  12  2 6 2 Ví dụ 2. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A4;5;1 và điểm M di động trên  x  1  t  :  y  2  3t . Giá trị nhỏ nhất của AM là   z  5  t 590 590 590 590 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11  Phân tích: - AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên đường thẳng  . Hướng 1: AM là chiều cao trong hình bình hành. Hướng 2: Tìm tọa độ điểm M , từ đó tìm độ dài AM .  Lời giải: Chọn D. Cách 1: Giá trị nhỏ nhất của AM bằng d  A,  .   đi qua M 1; 2;5 và có vectơ chỉ phương u  1;3;1 . 9
   Ta có: AM  5;7;4 , u, AM   5;9;22 .     u, AM    52  9 2  22 2    590 d  A,    . 12  32  1 11 2 u  Cách 2: Vì M   , giả sử M 1  t ; 2  3t;5  t  suy ra AM  5  t ; 7  3t;4  t  . AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc của A lên  .   20 Do đó: AM .u  0  15  t   37  3t  1 4  t   0  11t  20  t  . 11   75 17 24  590 Vậy AM   ; ;  nên AM  .  11 11 11  11 Từ đó, nêu bài toán tổng quát. Bài toán 1. Trong không gian Oxyz , cho điểm A x0 ; y0 ; z0  cố định và điểm M di động trên hình  H  ,(  H  là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM . Lời giải. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình  H  , khi đó trong tam giác AHM vuông tại M , ta có: AM  AH . Đẳng thức xảy ra khi M  H . Do đó, AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của A lên hình  H  . Phát triển bài toán 1. Bằng cách thay đổi dữ kiện: Điểm M di động trên một mặt cầu  S  hoặc điểm A di động trên một mặt cầu  S  , chúng ta có thêm các lớp bài toán khác. Ví dụ 3. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A1; 2;0 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và điểm M di động trên mặt cầu  S  . Giá trị lớn nhất của AM là A. 17 . B. 17  3 . C. 20 . D. 17  3 .  Phân tích: Gv: Hướng đại số, xử lí thế nào? M Hs: M  x0 ; y0 ; z0    S   x  y  z  2 x0  4 y0  2 z0  3  0 . 2 0 2 0 2 0 M2 Tìm giá trị lớn nhất của T   x0  1   y0  2  z02 . I 2 2 M1 A Bài toán này gần như học sinh trung bình, khá không giải quyết được. Gv: Vậy hướng hình học? vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu  S  ? Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh AM 1 , AM , AM 2 . Hs: Điểm A nằm ngoài mặt cầu  S  và AM1  AM  AM 2 , từ đó giải quyết bài toán. 10
 Lời giải: Chọn D.  S  có tâm I 1;2;1 , R  3 .  IA  0;4;1 , IA  17  3 nên điểm A nằm ngoài mặt cầu  S  . Ta có: AI  R  AM 1  AM  AI  R  AM 2 . Vậy giá trị lớn nhất của AM là AI  R  17  3 . Ví dụ 4. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho A1;1; 2 và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và điểm M di động trên mặt cầu  S  . Giá trị nhỏ nhất của AM là A. 17 . B. 17  3 . C. 3 . D. 17  3 .  Phân tích: Gv: Hướng đại số, xử lí thế nào? Hs: M  x0 ; y0 ; z0    S   x02  y02  z02  2 x0  4 y0  2 z0  3  0 . Tìm giá trị lớn nhất của T   x0 1   y0  1   z0  2 . 2 2 2 Bài toán này gần như học sinh trung bình, khá không giải quyết được. Gv: Vậy hướng hình học? vị trí tương đối của điểm A với mặt cầu  S  ? Gv vẽ hình và yêu cầu học sinh so sánh AM1 , AM , AM 2 . Hs: Điểm A nằm trong mặt cầu  S  và AM1  AM  AM 2 , từ đó giải quyết bài toán.  Lời giải: M M2 Chọn B  S  có tâm I 1;2;1 , R  3 .  I IA  0;1;1 , IA  2  3 nên điểm A nằm trong mặt cầu  S  . A M1 Ta có: AI  R  AM 1  AM  AI  R  AM 2 . Vậy giá trị nhỏ nhất của AM là AM1  AI  R  17  3 . Từ đó, yêu cầu học sinh nêu được bài toán tổng quát và lời giải. Bài toán 2. Trong không gian Oxyz , cho điểm A x0 ; y0 ; z0  , mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R , M là một điểm di động trên mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM . 11
Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt càu  S  . Gọi M1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI và mặt cầu  S   AM 1  AM 2  và  P là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó  P cắt  S  theo một đường tròn C  . Ta có M 1MM 2  90 nên AMM 2 , AM 1M  90 nên trong các tam giác AMM 2 , AM 1M , ta có: AI  R  AM 1  AM  AI  R  AM 2 . Tương tự với A nằm trong mặt càu  S  , ta có: R  AI  AM 1  AM  AI  R  AM 2 . Vậy: min AM = R  AI  AM 1 , max AM  AI  R  AM 2 . Ví dụ 5. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x  3   y  2   z 1  9 2 2 2 và mặt phẳng  P : x  2 y  2 z  4  0 , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng 5 4 A. 0 . B. . C. 3 . D. . 3 3  Phân tích: Hướng đại số, học sinh không giải quyết được. Hướng hình học: - mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là một đường tròn. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng 0 . M2  Lời giải: I Chọn A M  S  có tâm I 3;2;1, R  3 . K H O M1 P 3  2.2  2.1  4 5 d  I , P     R nên mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  theo giao 1 2 2 2 2 2 3 tuyến là một đường tròn C  có tâm O . (Hình vẽ). Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng 0 xảy ra khi M nằm trên đường tròn C  đó. Ví dụ 6. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x  3   y  2   z  1  9 2 2 2 và mặt phẳng  P : x  2 y  2 z  11  0 , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng A. 0 . B. 1 . C. 5 . D. 6 .  Phân tích: -  P cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là một đường tròn. M2 - Dễ thấy, 0  d  M ,  P  d  I ,  P   R  d  M 2 , P . I  Lời giải: M Chọn C K O M1 H P 12
 S  có tâm I 3;2;1 , R  3 . 3  2.2  2.1  11 d  I , P    2  R nên mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  theo 12  2 2  2 2 giao tuyến là một đường tròn C  có tâm O . (Hình vẽ). Dễ thấy, 0  d  M ,  P   d  I , P  R  d  M 2 , P . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng d  I ,  P   R  2  3  5 . Ví dụ 7. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x  y  z  2 x  2 y  2 z  6  0 và mặt phẳng  P :2 x  2 y  z  7  0 , điểm M di 2 2 2 động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng A. 1 . B. 0 . C. 3 . D. 4 .  Phân tích: - mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  . - Quan sát hình vẽ suy ra: M 1H  d  I , P   R  d  M ,  P   d  I , P  R  M 2 H . M2  Lời giải: I Chọn A  S  có tâm I 1;1;1 , R  3 . M M1 K N H P 2.1  2.1  1.1  7 d  I , P    4  R nên mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  . 2 2  2 2  12 Đường thẳng đi qua I , vuông góc với mặt phẳng  P cắt  S  tại hai điểm M1 , M 2 (hình vẽ). Lần lượt xét tam giác IHK và tam giác M 2 HN , ta có: M 1H  d  I , P  R  d  M ,  P   d  I , P   R  M 2 H . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P nhỏ nhất bằng d  I , P  R  4  3  1 . Ví dụ 8. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  : x 1   y  2   z  3  4 2 2 2 và mặt phẳng  P :2 x  2 y  z  3  0 , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng A. 10 . B. 7 . C. 5 . D. 3 .  Phân tích: - mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  . Từ hình vẽ chứng minh được: M 1H  d  I , P  R  d  M , P  d  I , P  R  M 2 H . 13
M2  Lời giải: I Chọn B M M1  S  có tâm I 1;2;3 , R  2 . K N H 2.1  2.2  3  3 P d  I , P    5  R nên mặt phẳng  P  không cắt mặt cầu  S  . 2 2  2  12 2 Đường thẳng đi qua I , vuông góc với mặt phẳng  P cắt  S  tại hai điểm M1 , M 2 (hình vẽ). Lần lượt xét tam giác IHK và tam giác M 2 HN , ta có: M 1H  d  I , P  R  d  M ,  P   d  I , P   R  M 2 H . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P lớn nhất bằng d  I ,  P   R  4  3  7 . Từ ví dụ 5, 6, 7, 8 yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng quát và lời giải. Bài toán 3. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và mặt phẳng  P , M là một điểm di động trên mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P . M2 M2 I I M M1 M K N H P K H O M1 P Lời giải. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  . Gọi d  là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng  P . d  cắt mặt cầu  S  tại hai điểm M1; M 2 . Xác định d  I , P . + Nếu d  I , P   R , mặt phẳng  P không cắt mặt cầu  S  . Ta có: M 1H  d  I , P  R  d  M , P  d  I , P  R  M 2 H . Nên min d  M , P  M 1H  d  I ,  P   R ; max d  M ,  P   M 2 H  d  I , P  R . + Nếu d  I , P   R , mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S  theo đường tròn C  có tâm O . Ta có: 0  d  M , P  d  I , P  R  M 2 H . Nên min d  M , P  0 , đạt được khi M nằm trên đường tròn C  ; max d  M ,  P   M 2 H  d  I , P  R . 14
Ví dụ 9. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  x  1  t  S  : x  y  z  2 x  4 y  2 z  5  0 và đường thẳng d  :  y  t t    , điểm M di 2 2 2   z  1 động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  lớn nhất bằng A. 2 . B. 2 . C. 2  1 . D. 2 1 .  Phân tích: Hướng hình học: đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  . M2 Quan sát hình vẽ: d  M ,d   d  I ,d   R  M 2 H . I  Lời giải: M Chọn C M1  S  có tâm I 1;2;1 , R  1 . K N P H  d  đi qua A1;0;  1 và có vectơ chỉ phương u  1;1;0 .    IA, u    d  I , d      2  R nên đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  . u Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d  . Đường thẳng IH cắt mặt cầu  S  tại hai điểm M1 , M 2 (Hình vẽ). Ta có: d  M ,d   d  I ,d   R  M 2 H nên max d  M ,d   d  I ,d   R  2  1 . Ví dụ 10. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  x  1  2t   S  :  x  3   y  1   z  2  25 và đường thẳng d  :  y  2  t t    , điểm M di 2 2 2   z  1  2t động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng d  nhỏ nhất bằng 5 5 A. 0 . B. 5 . C. . D. 5  . 3 3  Phân tích: Hướng hình học: đường thẳng d  cắt mặt cầu  S  nên min d  M ,d   0 . M2 M  Lời giải: I Chọn A d  S  có tâm I 3;1;2 , R  5 . A P H B  d  đi qua A1; 2;1 và có vectơ chỉ phương u  2;1; 2 . M1 15
   IA, u    d  I , d       53  R nên đường thẳng d  cắt mặt cầu  S  tại hai điểm A, B . u 3 Ta có: 0  d  M , d  nên min d  M ,d   0 đạt được khi M  A hoặc M  B . Ví dụ 11. (Mức độ 2) Trong không gian Oxyz , cho  S  :  x 1   y  2   z  3  4 2 2 2  x  5  t và đường thẳng d  :  y  4  t t    , điểm M di động trên mặt cầu  S  . Khoảng cách   z  1 từ điểm M đến mặt phẳng d  nhỏ nhất bằng A. 2 . B. 2 . C. 2  1 . D. 2 1 .  Phân tích: Hướng hình học: đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  . M2 Quan sát hình vẽ: M 1H  d  I ,d   R  d  M , d  .  Lời giải: I Chọn C M  S  có tâm I 1;2;3 , R  2 . M1  K N P H d  đi qua A5;4;1 và có vectơ chỉ phương u  1; 1;0 .    IA, u    d  I ,  d      3 6  R nên đường thẳng d  không cắt mặt cầu  S  . u Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d  . Đường thẳng IH cắt mặt cầu  S  tại hai điểm M1 , M 2 (Hình vẽ) Ta có: M 1H  d  I , d   R  d  M ,d  nên min d  M ,d   d  I , d   R  3 6  2 . Từ các ví dụ 9,10,11 yêu cầu học sinh nêu bài toán tổng quát và lời giải. Bài toán 4. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R và đường thẳng d  , M là một điểm di động trên mặt cầu  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  . Lời giải. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu  S  . 16