Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai vào bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và phương trình

Chia sẻ: Caphesua | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán phức tạp đưa về dạng đơn giản thuộc dạng cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người giáo viên phải xây dựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để học sinh dễ áp dụng và nhớ lâu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng bảng biến thiên của hàm số bậc hai vào bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT XUÂN HÒA BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”. Tác giả sáng kiến : MAI THỊ HỢI Mã sáng kiến : 37.52.01 1
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong chương trình môn Đại số 10, các em học sinh đã được học chương 2: Hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Thời lượng học bài Hàm số bậc hai không nhiều nên việc luyện tập còn ít. Nhưng thực tế, trong các kỳ thi học kỳ, chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Vĩnh Phúc có những bài toán quy về giải bằng bảng biến thiên của Hàm số bậc hai . Tôi thấy lớp bài tập sử dụng bảng biến thiên Hàm số bậc hai khá đa dạng. Vì vậy, khi học thì các em phải được tiếp cận với lớp bài toán với mức độ từ cơ bản đến phức tạp. Năm học 20192020, tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn toán ở lớp 10. Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy chuyên đề cùng với mong muốn giúp cho các em học sinh có thêm tư liệu học tập, tra cứu khi học tập về vấn đề này, tôi mạnh dạn biên soạn chuyên đề: “ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”. Trên tinh thần đó, tôi biên soạn theo dạng giúp học sinh dễ hiểu. Tôi xây dựng phương pháp cho mỗi dạng tổng quát (nếu có) và đưa ra một số ví dụ minh họa để học sinh vận dụng và nhớ nhanh, giao bài tập học sinh tự luyện. Tôi viết đề tài này qua kinh nghiệm dạy học nên không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong được sự góy ý, bổ sung của quý đồng nghiệp để đề tài này được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn. 2. Tên sáng kiến: “ỨNG DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI VÀO BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ”. 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Mai Thị Hợi 2
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Xuân Hòa Số điện thoại: 0986 350 623 Email: Email: maithihoi.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Mai Thị Hợi. 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Chuyên đề này trang bị cho học sinh một chuyên đề đầy đủ để ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, luyện thi THPT Quốc Gia có hiệu quả cao. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử : Năm học 20192020 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: 7.1 Về nội dung sáng kiến: Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán phức tạp đưa về dạng đơn giản thuộc dạng cơ bản và giải được một cách dễ dàng. Muốn vậy người giáo viên phải xây dựng phương pháp giải cụ thể cho từng dạng để học sinh dễ áp dụng và nhớ lâu. Một số bài toán thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Sau đây là nội dung chi tiết: 3
4
A LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Hàm số bậc hai được cho bởi công thức Tập xác định của hàm số lả R. 2. Chiều biến thiên của hàm số bậc hai * Trường hợp x y * Trường hợp x y ĐỊNH LÍ : Nếu thì hàm số : 5
Nghịch biến trên khoảng Đồng biến trên khoảng . Nếu thì hàm số : Đồng biến trên khoảng Nghịc biến trên khoảng B BÀI TẬP DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRÊN R. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. Phương pháp: Dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết luận: * Nếu thì hàm số bậc hai đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi . * Nếu thì hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất bằng khi . 2. Bài tập minh họa: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a. b. Lời giải a. Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên của hàm số x 1 y 2 Dựa vào bảng biến thiên: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi . b. Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên của hàm số 6
x y Dựa vào bảng biến thiên Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng khi . Bài 2: (Thi HK 1THPT Việt Trì 20182019). Tìm giá trị của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10. Lời giải Tập xác định D = R Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên sau: x m y 3m2 Dựa vào bảng biến thiên Hàm số đã cho có giá trị bằng 10 ta phải có Vậy là giá trị cần tìm. Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải 7
Tập xác định D = R Do hệ số và đỉnh nên ta có bảng biến thiên sau: x y Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng . Đặt Dấu xảy ra khi . Do đó giá trị nhỏ nhất của bằng 16 khi Vậy với là giá trị cần tìm. 3. Bài tập tự luyện: Trắc nghiệm Bài 1: Giá trị lớn nhất của hàm số trên R là A. 2. B. 9. C. 6. D. 4. Bài 2: Giá trị lớn nhất hàm số đạt được tại A. B. C. . D. Bài 3: Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên R khi A. B. C. . D. Bài 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là A. B. C. . D. Bài 5: Giá trị nhỏ nhất hàm số đạt được tại A. B. C. . D. Bài 6: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10. A. B. C. . D. 8
Bài 7: Cho hàm số . Đặt và . Gọi là tập hợp tất cả các giá trị tham số m sao cho . Tính tổng bình phương các phần tử thuộc . A. B. C. . D. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ BẬC HAI KHÔNG CHỨA THAM SỐ TRÊN ĐOẠN, KHOẢNG, NỬA KHOẢNG. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên đoạn . Phương pháp: Tùy theo dấu hệ số a ta có bảng biến thiên: Nếu thì: * Trường hợp 1: Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x y Dựa vào bảng biến thiên: đạt được khi . đạt được khi . * Trường hợp 2: Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x 9
y Dựa vào bảng biến thiên: . đạt được khi. * Trường hợp 3: Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x y Dựa vào bảng biến thiên: đạt được khi . đạt được khi Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên khoảng ; nửa khoảng Phương pháp: Làm tương tự bài toán 1. Lập bảng biến thiên trên khoảng . Dựa vào bảng biến thiên kết luận. Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên nửa khoảng 1. Phương pháp: Làm tương tự bài toán 1. Lập bảng biến thiên trên nửa khoảng Dựa vào bảng biến thiên kết luận. 2. Bài tập minh họa: Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . 10
(Trích Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019 2020) Lời giải Hàm số có hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x 3 1 2 17 y 2 1 Dựa vào bảng biến thiên: Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 17 đạt được khi giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi . Bình luận: Bài 1 là trường hợp hoành độ đỉnh thuộc đoạn đang xét. Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Lời giải Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x 1 2 8 y 3 11
Dựa vào bảng biến thiên: Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 8 đạt được khi giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi Bình luận: Bài 2 là trường hợp hoành độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và nằm bên trái đoạn đang xét. Với hệ số thì hàm số đồng biến trên đoạn . Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Lời giải Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x 1 0 6 y 3 Dựa vào bảng biến thiên: Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 6 đạt được khi giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 3 đạt được khi . Bình luận: Bài 3 là trường hợp hoành độ đỉnh không thuộc đoạn đang xét và nằm bên phải đoạn đang xét. Với hệ số thì hàm số nghịch biến trên đoạn . Bài 4: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn bằng 3. Lời giải Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên 12
x 1 1 2 y Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi Theo giả thiết ta có: Vậy là giá trị cần tìm. Bình luận: Bài 4 chứa tham số nhưng hoành độ đỉnh xác định nên ta lập ngay bảng biến thiên. Bài 5: Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng 3. Lời giải Hàm số đã cho có hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên x 2 5 y Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi Theo giả thiết ta có phương trình: Vậy là giá trị cần tìm. 13
Bình luận: Bài 5 chứa tham số nhưng hoành độ đỉnh xác định nên ta lập ngay bảng biến thiên. 3. Bài tập tự luyện Trắc nghiệm Bài 1: (Thi HK 1THPT Nhữ Văn Lan – Hải Phòng 20182019). Tìm giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng 3. A. B. C. . D. Bài 2: Tìm số các giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng 1. A. B. C. . D. Bài 3: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng 3. A. B. C. . D. Bài 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất hàm số trên đoạn bằng 3. Tính tổng T các phần từ của S. A. B. C. . D. Bài 5: Cho hàm số . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn lần lượt là . Số giá trị của m đề A. B. 4 C. . D. Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số khác quy về hàm số bậc hai. 1. Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số đã cho. Bước 2: Đặt , điều kiện của t. Bước 3: Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số bậc hai trên đoạn, nửa khoảng, khoảng. Lập bảng biến thiên. Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận. 2. Bài tập minh họa: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: trên đoạn trên nửa khoảng trên khoảng Giải: trên đoạn Đặt . Khi . 14
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên đoạn Hoành độ đỉnh ; hệ số Bảng biến thiên t 0 1 4 10 g(t) 2 1 Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 10 đạt được khi Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 1 đạt được khi Câu b, c làm hoàn toàn tương tự. Nhưng bước quan trọng nhất của bài toán là tìm điều kiện cho ẩn phụ. Ta gặp tiếp bài toán quy về hàm số bậc hai sau: Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: Giải: a. Tập xác định: Đặt , đk: . Suy ra Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên miền . Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên 15
t 2 1 2 g(t) 4 4 Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 4 đạt được khi b) Đặt , đk: . Suy ra Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R. Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: trên đoạn trên đoạn Giải: Tập xác định: Viết lại hàm số: Đặt đk: . Suy ra Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên miền. Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên 16
t 0 g(t) 16 Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi Bình luận: Bài 3 a) tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên R. trên đoạn Tập xác định: Giải Viết lại hàm số: . Suy ra Đặt Coi t là hàm số. Lập bảng biến thiên hàm t trên Bảng biến thiên: x 3 2 0 4 t 1 0 Dựa vào bảng biến thiên suy ra điều kiện của t: 17
Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên miền . Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên t 0 4 16 g(t) Dựa vào bảng biến thiên: Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng đạt được khi Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 16 đạt được khi Bình luận: Ở câu b) bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn nên ta phải tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ t. Việc tìm điều kiện cho t là ta giải bài toán: tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn . c) Làm tương tự phần b). Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: Giải Tập xác định: Viết lại hàm số: Đặt . Điều kiện cho t: Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 18
trên miền . Đến đây làm tương tự như bài 4. Đkxđ: Đặt . Điều kiện cho t: Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên miền . Đến đây làm tương tự như bài 4. Tập xác định Viết lại hàm số: Đặt . Điều kiện cho t: Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên miền . Đến đây làm tương tự như bài 4. Bình luận: Ba phần trên đây là 3 cách tìm điều kiện cho ẩn phụ khác nhau. Phần a) sử dụng Bất đẳng thức Cauchy tìm điều kiện cho ẩn phụ t. Phần b) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t. Phần c) sử dụng phân tích tìm điều kiện cho ẩn phụ t. Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: Lời giải Tập xác định: Đặt . Điều kiện cho t: Suy ra: Hàm số trở thành: Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên miền Đến đây làm tương tự như bài 4. 3. Bài tập tự luyện: Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: 19
DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM, CÓ n NGHIỆM ( ) 1. Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho. Bước 2: Đặt , điều kiện của . Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn t: Bước 3: Cô lập m: Bài toán đưa về: phương trình đã cho có nghiệm thuộc tập D khi phương trình ẩn (1) có nghiệm thuộc tập . Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả về tham số m. 2. Bài tập minh họa: Bài 1. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn . (Mở rộng Đề thi học kỳ 1 – Sở GD và ĐT Vĩnh Phúc năm học 2019 2020) Lời giải: Cô lập tham số m: Phương trình ( 1) có nghiệm thuộc khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn . Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số trên đoạn . Lập bảng biến thiên: Xét hàm số trên đoạn . Hoành độ đỉnh ta có bảng biến thiên 20