intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí

Chia sẻ: Bobietbay | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
51
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là bài tập vật lý có ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ dạy học vật lý ở nhà trường phổ thông. Thông qua việc giải tốt các bài tập vật lý, học sinh sẽ có được những kĩ năng so sánh, phân tích, tổng hợp … do đó sẽ góp phần to lớn trong việc phát triển tư duy của học sinh. Đặc biệt bài tập vật lý giúp học sinh củng cố kiến thức có hệ thống cũng như vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể, làm cho bộ môn trở nên lôi cuốn, hấp dẫn các em hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí

  1. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. MỤC LỤC Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ. .................................................................................................... 2 PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. ................................................................................... 3 I. LÝ THUYẾT. .............................................................................................................. 3 I.1. Phương trình bậc 2:.............................................................................................. 3 I.2. Hàm số bậc 2: ....................................................................................................... 3 I.3. Dòng điện không đổi: ........................................................................................... 4 I.4. Mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp: ................................................................... 4 I.5. Tổng hợp dao động:.............................................................................................. 4 I.6. Dao động tắt dần: ................................................................................................. 4 I.7. Chuyển động thẳng đều: ...................................................................................... 5 I.8. Chuyển động của vật dưới tác dụng của trọng lực: ............................................ 5 II. BÀI TẬP. ................................................................................................................... 5 II.1. Một số bài toán liên quan đến đại học................................................................ 5 II.2. Một số bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi. ............................................. 18 II.3. Một số bài tập vận dụng. .................................................................................. 23 PHẦN III: KẾT LUẬN.................................................................................................... 25 I. KẾT QUẢ THỰC HIỆN. ......................................................................................... 25 II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM..................................................................................... 26 PHẦN IV: PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ. .................... Error! Bookmark not defined. GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -1/27-
  2. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ. Môn Vật lý là một bộ phận khoa học tự nhiên nghiên cứu về các hiện tượng xảy ra có tính qui luật trong tự nhiên. Những thành tựu của vật lý được ứng dụng vào thực tiễn cuộc sống và ngược lại chính thực tiễn cuộc sống đã thúc đẩy khoa học vật lý phát triển. Vì vậy, học vật lý không chỉ đơn thuần là học lý thuyết vật lý mà phải biết vận dụng kiến thức ấy vào thực tiễn cuộc sống. Do đó trong quá trình giảng dạy môn Vật lí, người giáo viên phải rèn luyện cho học sinh có được những kĩ năng, kĩ xảo và thường xuyên vận dụng những hiểu biết đã học để giải quyết những vấn đề thực tiễn đặt ra. Bộ môn vật lý được đưa vào giảng dạy trong nhà trường phổ thông nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông, cơ bản, giúp học sinh có khả năng phân tích tổng hợp và có phương pháp làm việc khoa học. Chính vì thế, để học sinh có thể hiểu được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức, đồng thời áp dụng được các kiến thức đó vào thực tiễn cuộc sống thì cần phải rèn luyện cho học sinh những phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo trong việc giải bài tập, đo lường, quan sát …. Bài tập vật lý có ý nghĩa hết sức quan trọng trong việc thực hiện nhiệm vụ dạy học vật lý ở nhà trường phổ thông. Thông qua việc giải tốt các bài tập vật lý, học sinh sẽ có được những kĩ năng so sánh, phân tích, tổng hợp … do đó sẽ góp phần to lớn trong việc phát triển tư duy của học sinh. Đặc biệt bài tập vật lý giúp học sinh củng cố kiến thức có hệ thống cũng như vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể, làm cho bộ môn trở nên lôi cuốn, hấp dẫn các em hơn. Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển, cụ thể là phương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan. Trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội dung kiến thức kiểm tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững toàn bộ kiến thức của chương trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh không những phải nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát mà các em thường gặp. Để đáp ứng yêu cầu của phương pháp thi tuyển bằng trắc nghiệm khách quan, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải dạy cho học sinh phương pháp làm bài nhanh, đơn giản nhưng hiệu quả. Qua quá trình giảng dạy và tìm hiểu, bản thân tôi nhận thấy “sử dụng phương trình và hàm số bậc 2 để GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -2/27-
  3. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. giải các bài tập Vật lí” thật sự mang lại hiệu quả rất tốt. PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ. I. LÝ THUYẾT. I.1. Phương trình bậc 2: - Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax 2  bx  c  0  a  0  . - Hệ thức   b2  4ac.  Nếu   0 : phương trình vô nghiệm. b  Nếu   0 : phương trình có nghiệm kép x1  x2   . 2a b   b    Nếu   0 : phương trình có hai nghiệm x1  và x2  . 2a 2a  b  x1  x2   a - Định lí Vi – et:  . x x  c  1 2 a   0 - Phương trình có hai nghiệm cùng dấu nếu  , trái dấu nếu a.c  0.  a.c  0   0  - Phương trình có hai nghiệm dương   a.c  0.  a.b  0    0  - Phương trình có hai nghiệm âm   a.c  0.  a.b  0  I.2. Hàm số bậc 2: - Hàm số bậc 2 là hàm số có dạng: y  f  x   ax 2  bx  c  a  0  . b  - Nếu a > 0, hàm số có giá trị cực tiểu tại x =  , giá trị cực tiểu ymin   . 2a 4a b  - Nếu a < 0, hàm số có giá trị cực đại tại x =  , giá trị cực đại ymax   . 2a 4a - Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a, x  R . b - Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với a,  x  . 2a GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -3/27-
  4. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. - Nếu   0 thì f(x) có hai nghiệm x1 và x2 ( x 1  x 2 ). Khi đó, f(x) trái dấu với a với mọi x nằm trong khoảng ( x1 ; x2 ) và f(x) cùng dấu với a với mọi x nằm ngoài đoạn x 1 ; x2  . I.3. Dòng điện không đổi: - Dòng điện không đổi là dòng điện có chiều và cường độ dòng điện không đổi. U - Định luật Ôm đối với đoạn mạch chỉ chứa điện trở thuần: I  . R - Công suất tỏa nhiệt trên R: P  I 2 R. I.4. Mạch điện xoay chiều RLC nối tiếp: - Cảm kháng: Z L   L. 1 - Dung kháng: Z C  . C 2 - Tổng trở: Z  R 2   Z L  ZC  . U - Cường độ dòng điện hiệu dụng: I  . Z R - Hệ số công suất: cos   . Z - Công suất tiêu thụ của đoạn mạch: P  U .I .cos   I 2 R. - Hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm: U L  I .Z L . - Hiệu điện thế hai đầu tụ điện: U C  I .Z C . I.5. Tổng hợp dao động: - Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số: x1  A1 cos  t  1  cm và x2  A2 cos t   2  cm . - Dao động tổng hợp của hai dao động trên là một dao động điều hòa: x  A cos  t    cm . - Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp: A1 sin 1  A2 sin 2 A  A12  A22  2 A1 A2 cos 1   2  ; tan   . A1 cos 1  A2 cos 2 I.6. Dao động tắt dần: - Trong quá trình dao động của vật nếu ta không loại bỏ được ma sát thì dao động của GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -4/27-
  5. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. vật là dao động tắt dần. - Dao động tắt dần là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian. I.7. Chuyển động thẳng đều: - Chuyển động thẳng đều là chuyển động trên quỹ đạo thẳng với vận tốc không đổi. - Quãng đường vật đi được: S  v.  t  t0  , v là tốc độ chuyển động, t0 là thời điểm bắt đầu khảo sát chuyển động. I.8. Chuyển động của vật dưới tác dụng của trọng lực:   - Đặc điểm: gia tốc của vật a  g . - Để nghiên chuyển động của vật, ta khảo sát chuyển động theo hai phương (tổng quát):  Theo phương ngang: vật chuyển động thẳng đều.    Theo phương thẳng đứng: vật có gia tốc a y  g. II. BÀI TẬP. II.1. Một số bài toán liên quan đến đại học. Trước hết Tôi xin giới thiệu một bài tập của học sinh lớp 9. Đây là bài tập nâng cao của Vật lí 9. Dạng bài tập này đã được dùng để làm đề thi trong các đề thi chọn học sinh giỏi và đề thi tuyển sinh vào chuyên lí. Bài 1: Cho đoạn mạch AB gồm biến trở R mắc nối tiếp với điện trở R0 = 40 , đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế không đổi UAB = U = 100V. a. Khi thay đổi giá trị của biến trở thì thấy công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt một giá trị lớn nhất. Tìm giá trị của biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó của công suất? b. Khi thay đổi giá trị của R thì thấy có hai giá trị R = R1 và R = R2 cho cùng một giá trị công suất P trên biến trở. Biết R1  R2  100 . Tính giá trị của P trong hai trường hợp trên? * Phân tích cách giải bài toán: - Trước hết chúng ta đi xem xét cách giải của học sinh khi đối diện với bài toán này. Với bài toán này học sinh thường tách riêng thành hai câu để giải. Thông thường học sinh thường giải như sau: a. Công suất tỏa nhiệt trên biến trở có biểu thức: U2 U2 P  I 2R  2 .R  .R .  R  R0  R 2  2 RR0  R02 GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -5/27-
  6. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Vì bài toán yêu cầu tìm R để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị cực đại nên U2 U2 U2 U 2 1002 R  0 , do đó: P     Pmax    62,5 W  . (áp R02 R02 4 R0 4 R0 4.40 R  2 R0  2 R0  2 R. R R dụng bất đẳng thức Cosi). R02 Công suất đạt giá trị cực đại khi: R   R  R0  40. R b. Vì công suất trên biến trở trong hai trường hợp bằng nhau nên ta có: U2 U2 R1 R2 P  I12 R1  I 22 R2  2 .R1  2 .R2  2  2  R1  R0   R2  R0   R1  40   R2  40  2 2  R1  R2  R0   R2  R1  R0   R1 R2  R2  R1   R02  R2  R1  . Vì R1  R2  R1.R2  R02  1600  2  1 . Mặt khác: R1  R2  100     2  .  R1  20    Do đó R1 , R2 là nghiệm của phương trình: R 2  100 R  1600  0 (2)   .  R2  80    Công suất tiêu thụ trên biến trở trong hai trường hợp trên là: U2 100 2 P 2 .R1  2 .20  55,56 W  .  R1  R0   20  40  * Nhận xét: Từ bài giải trên chúng ta thấy với bài toán này nếu học sinh cấp 2 giải sẽ gặp rất nhiều khó khăn vì các em chưa được học bất đẳng thức Cosi. Đặc biệt khi giải câu b học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn về biến đổi toán học, thường R1 R2 các em thay số và thế ngay R1  100  R2 vào phương trình 2  2 để đưa về  R1  40  R2  40  phương trình chỉ chứa R1, nhưng đây lại là phương trình bậc 3. Trong một số bài toán, học sinh biến đổi về được phương trình (2), nhưng nghiệm của nó lại là nghiệm phức. Gặp trường hợp này học sinh chưa học số phức sẽ không thể tiếp tục giải bài toán để đưa ra kết quả. Ta có thể định hướng lại cách giải bài toán trên cho học sinh như sau: + Khi thay đổi R thì công suất P thay đổi, nghĩa là P là hàm số của R. + Biểu thức tính công suất tiêu thụ trên biến trở: U2 U2 P  I 2R  2 .R  .R .  R  R0  R 2  2 RR0  R02 GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -6/27-
  7. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Hay PR 2   2 R0 P  U 2  R  PR02  0  3 . Phương trình (3) là phương trình bậc 2 đối với R. a. Tìm Pmax và R để P max: - Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là: 2    2 R0 P  U 2   4 P 2 R02  0  4 R02 P 2  4 R0 PU 2  U 4  4 P 2 R02  0  U 2 U 2  4 R0 P   0 . U2 U 2 1002  P  Pmax    62, 5 W  . 4 R0 4 R0 160 - Khi P max thì   0 , do đó phương trình (3) có nghiệm kép: U2 U 2  2 R0 b U 2  2 R0 .Pmax 4 R0 R1  R2  R      R0  40. 2a 2 Pmax U2 2. 4 R0 b. Theo đề bài, có hai giá trị của R cho cùng một giá trị của P. Tức là phương trình (3) có 2 nghiệm phân phân biệt. Theo định lí Vi – et:  U 2  2 R0 P  R1  R2  U2 100 2  P P   55,56 W  .  R .R  R 2 R1  R2  2 R0 180  1 2 0 * Nhận xét: Bằng cách đưa về phương trình bậc 2 của điện trở R theo công suất P, dùng điều kiện có nghiệm và tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2, ta có thể trả lời được nhiều câu hỏi liên quan đến bài toán công suất. * Phát triển bài toán: Ta có thể dùng phương pháp giải bài toán trên cho các bài toán trong chương trình Vật lí 11 và 12. Sau đây ta sẽ đi tìm hiểu thêm một số bài toán tương tự liên quan đến bài thi đại học. Bài 2: Một mạch điện kín gồm nguồn điện có suất điện động E = 10V, điện trở trong R0 = 1 ; mạch ngoài là biến trở R. a. Khi thay đổi giá trị của biến trở thì thấy công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt một giá trị lớn nhất. Tìm giá trị của biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó của công suất? b. Khi thay đổi R thì thấy có hai giá trị của R là R1 và R2 cho cùng một giá trị công suất P trên biến trở. Cho biết R1 + R2 = 8  . Tìm P? Bài giải GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -7/27-
  8. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. E2 E2 Công suất tỏa nhiệt trên biến trở có biểu thức: P  I 2 R  2 .R  .R .  R  R0  R 2  2 RR0  R02 Hay PR 2   2 R0 P  E 2  R  PR02  0 1 . Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với R. a. Tìm Pmax và R để P max: - Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: 2    2 R0 P  E 2   4 P 2 R02  0  4 R02 P 2  4 R0 PE 2  E 4  4 P 2 R02  0  E 2  E 2  4 R0 P   0 . E2 E 2 102  P  Pmax    25 W  . 4 R0 4 R0 4.1 - Khi P max thì   0 , do đó phương trình (1) có nghiệm kép: E2 E 2  2 R0 b E 2  2 R0 .Pmax 4 R0 R1  R2  R      R0  1 . 2a 2 Pmax E2 2. 4 R0 b. Theo đề bài, có hai giá trị của R cho cùng một giá trị của P. Tức là phương trình (1) có 2 nghiệm phân phân biệt. Theo định lí Vi – et: E 2  2 R0 P E2 102 R1  R2  P   10 W  . P R1  R2  2 R0 10 Bài 3: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều ổn định u  U 2 cos t  V . 1. Tìm R để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại? Tìm biểu thức tính công suất cực đại đó? 2. Khi thay đổi giá trị của biến trở thì thấy có hai giá trị R = R1 và R = R2 mạch tiêu thụ cùng một công suất (P1 = P2 = P). Chứng minh rằng: 2 a. R1R2   Z L  Z C  . U2 b. Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó P1  P2  P  . R1  R2 Bài giải U2 U2 Công suất tiêu thụ của mạch điện: P  I 2 R  . R  2 .R. Z2 R 2   Z L  ZC  2 Hay: PR 2  U 2 R   Z L  Z C  .P  0 1 . GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -8/27-
  9. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với R. a. Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 U2 U2   0  U 4  4P 2  Z L  ZC   0  P   Pmax  . 2 Z L  ZC 2 Z L  ZC b U 2 - Khi Pmax thì phương trình (1) có nghiệm kép: R1  R2  R     Z L  ZC . 2a 2 Pmax b. Theo đề bài có hai giá trị của R cho cùng một giá trị của P, tức là phương trình (1) có  c 2  R1.R2  a   Z L  ZC  hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et, ta có:  2 2 (đpcm).  R1  R2   b  U  P  U  a P R1  R2 Bài 4: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có L thay đổi, tụ điện có điện dụng C. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi. a. Tìm L để hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại, tìm giá trị cực đại của UL? b. Khi thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L1 và L = L2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm. Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm trong hai trường hợp đó. c. Khi thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L1 và L = L2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm. Khi L = L0 thì điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa L0, L1 và L2? d. Khi thay đổi L thì thấy có hai giá trị L = L1 và L = L2 cho cùng công suất tiêu thụ trên mạch điện. Khi L = L0 thì công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa L0, L1 và L2? Bài giải - Biểu thức hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm: U U U L  I .Z L  2 .Z L  1 . R 2   Z L  ZC   R 2  ZC2  Z12  2ZC . Z1  1 L L 1 1 1 Đặt y   R 2  Z C2  2  2ZC  1  2  , y là hàm số bậc 2 đối với có hệ số a dương. ZL ZL ZL 1 1 Phương trình (2) tương đương với:  R 2  Z C2  2  2ZC 1 y  0  3 . ZL ZL GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -9/27-
  10. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. a. Khi hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm đạt cực đại thì y đạt giá trị cực tiểu, y đạt giá trị 1 Z R 2  Z C2 R 2  Z C2 cực tiểu khi  2 C 2  ZL   4  . Từ đó suy ra: L . Z L R  ZC ZC 2 f .Z C Giá trị cực tiểu của y: ymin   2 2  4ZC  4 R  ZC   2  R2   5 . 4a  4 R 2  Z C2  R 2  ZC2 U R 2  Z C2 Hiệu điện thế cực đại hai đầu cuộn cảm: U L max  U  6. ymax R b. Có hai giá trị của L cho cùng điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn dây, tức là phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: 1 1 1 y Z L1.Z L 2  R 2  Z C2 .  y  7 . Z L1 Z L 2 R 2  Z C2 Z L1.Z L 2 U Z L1.Z L 2 - Hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm: U L   8 . Z L1.Z L 2  R 2  Z C2 1 Z c. UL đạt giá trị cực đại khi:  2 C 2 * . Z L0 R  ZC - Có hai giá trị của L cho cùng một giá trị của UL, tức là phương trình (3) có hai nghiệm. 1 1 Z Theo định lí Vi – et:  2 2 C 2 ** . Z L1 Z L 2 R  ZC 1 1 1 1  Từ (*) và (**), suy ra:     9 . Z L 0 2  Z L1 Z L 2  1 1 1 1  Từ đó suy ra:    . L0 2  L1 L2  U 2R d. Biểu thức tính công suất: P  2 10  . R2   Z L  ZC  - Công suất đạt giá trị cực đại khi: Z L  Z L 0  Z C * . - Phương trình (10) được đưa về phương trình bậc 2: PZ L2  2 PZ C .Z L   R 2  Z C2  P  U 2 R  0 11 . Có hai giá trị của L cho cùng công suất tiêu thụ trong mạch, tức là phương trình (11) có 2 PZ C hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: Z L1  Z L 2   2Z C ** . P GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -10/27-
  11. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Z L1  Z L 2 Từ (*) và (**), suy ra: Z L1  Z L 2  2 Z L 0  Z L 0  12  . 2 L1  L2 Từ đó suy ra: L0  . 2 Bài 5: Cho mạch điện xoay chiều nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm L, tụ điện có điện dụng C thay đổi. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi. a. Tìm C để hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. b. Khi thay đổi C thì thấy có hai giá trị C = C1 và C = C2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện. Tìm điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện trong hai trường hợp đó. c. Khi thay đổi C thì thấy có hai giá trị C = C1 và C = C2 cho cùng điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện. Khi C = C0 thì điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa C0, C1 và C2? d. Khi thay đổi C thì thấy có hai giá trị C = C1 và C = C2 cho cùng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch điện. Khi C = C0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa C0, C1 và C2? Bài giải - Biểu thức hiệu điện thế hai đầu tụ điện: U U U C  I .Z C  .Z C  .. 2 R2   Z L  ZC  1 1  R  Z L  Z 2  2Z L . Z  1 2 2 C C - Như vậy biểu thức của UC có dạng giống biểu thức của UL trong bài tập 4. Do đó các kết quả của bài tập 4 có thể áp dụng được cho bài tập 5. R 2  Z L2 R 2  Z L2 a. U C max  U , đạt được khi Z C  . R ZL U Z C1.Z C 2 b. Hiệu điện thế hai đầu tụ điện: U C  . Z C1.Z C 2  R 2  Z C2 1 1 1 1  C1  C2 c.      C0  . ZC 0 2  Z C1 Z C 2  2 U d. Cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có biểu thức: I  2 1 . R2   Z L  ZC  - Cường độ dòng điện đạt giá trị cực đại khi: Z C  Z C 0  Z L * . GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -11/27-
  12. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. - Phương trình (1) được đưa về phương trình bậc 2: yZ C2  2 Z L y.Z C   R 2  Z L2  y  U 2  0  2  , với y  I2  0. Có hai giá trị của C cho cùng cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch, tức là phương 2Z L . y trình (2) có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: Z C1  Z C 2   2Z L ** . y 1 1 1 1  Từ (*) và (**), suy ra: Z C1  Z C 2  2 Z C 0     . C0 2  C1 C2  Bài 6: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần, cuộn dây thuần cảm và tụ điện mắc nối tiếp. Hiệu điện thế hai đầu mạch điện có giá trị hiệu dụng không đổi, tần số thay đổi được. Khi tần số f = f1 và f = f2 thì công suất tiêu thụ của mạch bằng nhau. Khi f = f0 thì công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại. Tìm hệ thức liên hệ giữa f1, f2 và f0? Bài giải Cách 1: Dùng tính chất nghiệm của hàm số bậc 2. U 2R - Công suất tiêu thụ của mạch: P  2 1 . R2   Z L  ZC  1 1 - Công suất tiêu thụ đạt giá trị cực đại khi Z L  Z C  0 L   02   * . 0 C LC - Phương trình (1) tương đương với: U 2R P  PL2C 2 4   R 2C 2  2 LC 3  U 2 RC 2   2  P  0  2. 2 2 2 1 R   L  2 LC  2 2 C Phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với  2 . Có hai giá trị của f cho cùng một giá trị công suất P, tức là phương trình (2) có hai P 1 1 nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et: 12 .22  2 2  2 2  12  ** . PL C LC LC Từ (*) và (**), suy ra: 1 .2  02 hay f1. f 2  f 02 . Cách 2: Dùng tính chất đối xứng của phương trình bậc 2. U 2R - Công suất tiêu thụ của mạch: P  2 1 R2   Z L  ZC  2 2 - Có hai giá trị f1 và f 2 cho cùng giá trị công suất   Z1L  Z1C    Z 2 L  Z 2C   2 . - Từ phương trình (2), ta thấy khi thay Z1L bằng Z2C, Z1C bằng Z2L và ngược lại thì phương GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -12/27-
  13. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. 1 1 trình (2) cũng nghiệm đúng, nghĩa là Z1L  Z 2C  1L   2 f1 L  2C 2 f 2C 1  f1 . f 2   f 02 . 4 2 LC Nhận xét: Khi sử dụng tính đối xứng của phương trình bậc 2 thì việc giải các bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều. Sau đây tôi xin giới thiệu thêm hai bài toán có thể được giải bằng tính đối xứng của phương trình .bậc 2: Bài 7: (Đề thi thử ĐH trường chuyên ĐH Vinh năm 2012) Cho đoạn mạch RLC với L / C  R 2 , đặt vào hai đầu đoạn mạch trên điện áp xoay chiều u  U 2 cos t , (với U không đổi,  thay đổi được). Khi   1 và   2  91 thì mạch có cùng hệ số công suất, giá trị hệ số công suất đó là A. 3 / 73. B. 2 / 13. C. 2 / 21. D. 4 / 67. Bài giải * Trước hết tôi xin giới thiệu đáp án của đề: 1   2  91  Z ' L  9 Z L ; Z ' C  Z C ; cos   cos  ' 9 1 1  Z LC  Z ' LC  Z C  Z L  9 Z L  Z C  Z L  Z C 9 9 . 2 1 2 2 73  Z L Z C  L / C  R  Z L  R; Z C  3 R  Z  R  ( Z L  Z C )  R 3 9 3  cos   R / Z  73 * Dùng tính đối xứng của phương trình bậc 2: 2 2 + Theo đề bài cos 1  cos 2  Z1  Z2   Z1L  Z1C    Z 2L  Z2C   Z1C  Z2L . + Hệ số công suất: R R R R cos      . Z R 2   Z1L  Z1C  2 R 2   Z1L  Z 2L  2 R 2  81L  2 L 1 2 R2 2 + Mặt khác:  R  1L.  R  1L.2 L  R   1L   2 2 . C 2C 9 3 Thay vào biểu thức trên, ta được: cos   . 73 * Nhận xét: Khi dùng tính đối xứng của phương trình bậc 2 để giải sẽ cho kết quả nhanh hơn, đồng thời học sinh cũng không cần phải thực hiện nhiều phép biến đổi phức tạp. GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -13/27-
  14. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Bài 8: (Đề thi ĐH năm 2012) Đặt điện áp u  U 0 cos  t  V (U0 không đổi,  thay 4 đổi) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm H và tụ 5 điện nối tiếp. Khi   0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch đạt giá trị cực đại Im. Khi   1 hoặc   2 thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch bằng nhau và bằng Im. Biết 1  2  200 rad  s  . Giá trị của R bằng A. 150. B. 200. . C. 160. D. 50. Bài giải * Bài giải được đưa lên mạng internet: + Với   1 hoặc   2 thì I1  I 2  Z1  Z2 . 2 2  R 2   Z1L  Z1C   R 2   Z2L  Z2C    Z1L  Z1C     Z 2L  Z2C  1  12  02  . LC + Theo đề: I1  I2  I m  I00  Z1  Z 2  2Z0 . 2 2 2 2  R 2   Z1L  Z1C   R 2   Z2L  Z2C   2R 2   Z1L  Z1C    Z2L  Z2C   R 2 .  Z1L  Z1C  R  . Vì 1  2 nên Z1L  Z1C , Z2L  Z 2C .  Z2L  Z 2C  R  1 1   Z1L  Z1C   Z2L  Z2C   L  1  2       2R  2C 1C    2    L  1  2   1  L  1  2   1 2 2 12C 0 .C  L  1  2   L  1  2   2R  R   1  2  L  160. * Dùng tính đối xứng của phương trình bậc 2: Theo đề: I1  I2  I m  I00  Z1  Z 2  2Z0 . 2 2  R 2   Z1L  Z1C   R 2   Z2L  Z 2C   2R 2 .  Z1C  Z2L  2 2  R  Z1L  Z 2L   1  2  L  160. R   Z1L  Z1C   2R 2 * Nhận xét: Dùng tính đối xứng của hàm số bậc 2 cho kết quả bài toán nhanh chóng. Bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp cho biết giá trị của C. GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -14/27-
  15. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Bài 9: (Đề thi ĐH 2011) Đặt điện áp xoay chiều u = U0cost (U0 không đổi và  thay đổi được) vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp, với CR2 < 2L. Khi  = 1 hoặc  = 2 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện có cùng một giá trị. Khi  = 0 thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ điện đạt cực đại. Hệ thức liên hệ giữa 1, 2 và 0 là 1 1 1 1 1 1 A. 0  (1  2 ) B. 20  (12  22 ) C. 0  12 D. 2  ( 2  2) 2 2 0 2 1 2 * Trước hết xin giới thiệu đáp án trên mạng internet: Theo đề bài cho   1 hay   2 thì UC1  U C 2 , suy ra: 1 1 1 2 ) 2 R 2  ( L1  C1  C2 C1 2    2 1 2 1 2  1 2 2 R  ( L1  ) 2 R  ( L2  ) R 2  ( L2  ) 1 C1 C2 C2 2 2L 2 2 2 22 2 R2 1 R2 Biến đổi thu được : L (   )   R  (1  2 )  1 2   2(  ) (1) . C CL L2 LC 2L2 1 R2 + Mặt khác, khi  biến thiên có UCmax thì : 02   2 (2) . LC 2 L 1 Từ (1) và (2) suy ra đáp án : 02  (12  22 ) . 2 - Nhận xét: Với cách giải này, quá trình biến đổi để đưa về phương trình (1) thật không dễ dàng!. Hơn nữa để đưa ra kết quả, học sinh cần nhớ biểu thức (2). Sau đây tôi xin giới thiệu cách giải bài toán bằng cách sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc 2. Bài giải Biểu thức hiệu điện thế hai đầu tụ điện: 1 U. U C U UC  .Z C   . L2C 2 4   R 2C  2 LC 3   2  1 2 R 2   Z L  ZC  2 2 2 1 R   L  2 LC  2 2 C Đặt y  L2C 2 4   R 2C  2LC 3   2  1 1 . - Phương trình (1) là hàm số bậc 2 đối với 2 , UCmax khi ymin 2 LC 3  R 2C   2  02  * . 2L2C 2 - Phương trình (1) tương đương với: L2C 2 4   R 2C  2 LC 3   2  1  y  0  2 . GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -15/27-
  16. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Theo đề bài, có hai giá trị của  cho cùng hiệu điện thế hai đầu tụ điện. Tức là có hai giá trị của  cho cùng một giá trị của y, nghĩa là phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt. 2 LC 3  R 2C Theo đinh lí Vi – et, ta có: 12  22  ** . L2C 2 1 2 Từ (*) và (**), suy ra: 02  2  1  22  . Bài 10: (Đề thi thử ĐH 2013 chuyên Lương văn Tụy) Một máy phát điện xoay chiều một pha có điện trở không đáng kể, được mắc với mạch ngoài là một đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C. Khi tốc độ quay của rôto là n1 và n 2 thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch có cùng giá trị. Khi tốc độ quay là n0 thì cường độ dòng điện hiệu dụng trong mạch đạt cực đại. Mối liên hệ giữa n1, n2 và n0 là 2n12 n22 n12  n22 A. n02  n1.n2 B. n02  C. n02  D. n02  n12  n22 n12  n22 2 Bài giải E0 NBS .n Suất điện động hiệu dụng: E   1 . 2 2 Cường độ dòng điện hiệu dụng xuất hiện trong mạch điện: E NBS .n NBS .n NBS .n I    . Z 2 R2   Z L  ZC  2 2 R 2  Z L2  2 Z L ZC  Z C2 2 2 2 1 2 R  n .L  2 LC  2 2 nC Vì n  0 nên phương trình trên tương đương với: NBS I  2 . 1 1 1 2 2 . 4   R 2  2 LC  2  L2 C n n 1 1 1 1 1 1 Đặt y 2 4   R 2  2 LC  2  L2  2 4   R 2  2 LC  2  L2  y  0  3 . Đây là C n n C n n 1 phương trình bậc 2 đối với . n2 Theo bài ra có hai giá trị của n cho cùng giá trị của I, tức là có cùng giá trị của y. Nghĩa là phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt. Theo định lí Vi – et, ta có: 1 1 2  2   2 LC  R 2  .C 2 * . n1 n2 1 Khi n = n0 thì Imax, tức là ymin  2  2  2LC  R 2  C 2 ** . n0 GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -16/27-
  17. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. 1  1 1  2 2 n12 .n22 Từ (*) và (**), suy ra:  2  2  2   n0  . n02  n1 n2  n12  n22 Bài 11: (Đề thi thử ĐH 2012 chuyên Lương Văn Tụy) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x1  A1cos  t   3 cm và x2  5cos  t    cm . Phương trình dao động tổng hợp của hai dao động này có dạng x  Acos  t   6  cm . Thay đổi A1 để biên độ A có giá trị lớn nhất Amax. Giá trị đó là A. 5 3 cm B. 10 cm C. 5 cm D. 10 3 cm Bài giải Với bài toán này, học sinh sẽ dùng giản đồ vecto để giải sẽ cho kết  quả rất nhanh. Tuy nhiên học sinh cũng có thể dùng hàm số bậc hai để A1   giải như sau: 6 A2 Từ các phương trình dao động, ta dựng được giản đồ vecto như  A hình vẽ. Áp dụng định lí hàm số cos, ta được:  A22  A2  A12  2 AA1.cos  A12  3 A. A1  A2  A22  0 1 . 6 Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với A1. Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm là:     3 A  4  A2  A22   0  A  2 A2  10cm  Amax  10cm. Bài 12: Cho con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k = 100N/m; vật nặng có khối lượng m = 200g, hệ số ma sát nghỉ cực đại và hệ số ma sát trượt giữa m và mặt phẳng ngang là  = 0,05. Ban đầu đưa vật dời VTCB sao cho lò xo dãn 4cm rồi thả nhẹ. Vận tốc lớn nhất của vật trong quá trình dao động bằng bao nhiêu? Bài giải - Lực ma sát nghỉ cực đại (cũng là lực ma sát trượt) giữa vật và mặt phẳng ngang: Fms   mg  0, 05.0, 2.10  0,1 N  . - Khi đưa vật đến vị trí lò xo dãn 4cm, thì lực đàn hồi tác dụng lên vật là: Fdh  K .l  100.0,04  4  N  . - Vì Fdh  Fms nên khi thả nhẹ vật sẽ dao động tắt dần. Trong quá trình dao động, vật sẽ đạt vận tốc cực đại khi đi từ vị trí lò xo dãn 4cm đến vị trí lò xo không biến dạng. Gọi S là quãng đường vật đã đi được cho đến khi đạt vận tốc cực đại. Tại vị trí này lò xo dãn một đoạn l '  l  S . GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -17/27-
  18. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng, ta có: 1 1 1 K l 2  mv 2  K .l '2   mg .S . 2 2 2 2  K  l  S   2  mg .S  mv 2  K l 2  0.  KS 2  2   mg  K l  S  mv 2  0 1 . Phương trình (1) là phương trình bậc 2 đối với S, điều kiện để phương trình có nghiệm: 2  mg  K .l  mg  K .l  '    mg  K .l   K .mv 2  0  v   vmax   2 . K .m K .m 0, 05.0, 2.10  100.0, 04 Thay số: vmax  100.0, 2  s .  0,872 m Nhận xét: Qua các bài tập ví dụ, ta thấy về mặt phương pháp việc giải các bài toán tương đối giống nhau. Như vậy học sinh chỉ cần nắm bắt phương pháp là có thể vận dụng được vào các bài tập tương tự. II.2. Một số bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi. Bài 1: Hai chiếc tàu cùng chuyển động với vận tốc đều v, hướng đến O theo những quỹ đạo là những đường thẳng hợp với nhau góc   600 . Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa các tàu. Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng l 1  20 km , l 2  30 km . Bài giải Đối với mỗi tàu chọn trục toạ độ trùng với phương chuyển động, góc toạ độ tại vị trí trí ban đầu của mỗi tàu, A chiều dương trùng với chiều chuyển động của mỗi tàu. Gốc thời gian tại thời điểm các tàu xuất phát. l1  v.t Xét các tàu ở thời điểm t, khi đó tàu thứ nhất ở tại l A cách O một đoạn l1  v.t , tàu thứ hai ở tại B cách O  O một đoạn l2  v.t . Gọi khoảng cách giữa hai tàu lúc B l2  v.t này là l. Áp dụng định lí hàm số Cos trong tam giác OAB, ta có: AB 2  OA2  OB 2  2.OA.OB.cos  l 2  (l1  v.t )2  (l2  v.t )2  2(l1  v.t )(l2  v.t )cos600  l 2  v 2 .t 2  (l1  l2 ).v.t  l12  l22  l1.l2 (*) (*) là hàm bậc hai theo thời gian, có hệ số a > 0, hàm số đạt cực tiểu khi: GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -18/27-
  19. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. (l1  l2 ).v l1  l2 t  . 2.v 2 2.v  (l  l )2 .v2  4.v2 (l12  l22  l1l2 ) Khi đó: (l 2 )min   1 2 . 4a 4.v 2 1 l min  3(l12  l 22 )  6.l1l 2  5 3 (km ). 2  Bài 2: Một máy bay bay theo phương ngang ở độ cao H, với vận tốc v . Đúng lúc ở trên  đỉnh đầu một cổ pháo, thì pháo bắn. Tính vận tốc tối thiểu v0min và góc  mà vo hợp với phương ngang để có thể bắn trúng máy bay. Bỏ qua sức cản của không khí, gia tốc rơi tự do là g. Bài giải Chọn hệ qui chiếu gắn với mặt đất, hệ trụ tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ tại vị trí đặt khẩu pháo, gốc thời gian tại thời điểm đạn được bắn ra. y Phương trình chuyển động của máy bay:  v  x1  v.t  1 .  y1  H Phương trình chuyển động của viên đạn:  x2  v0 cos  .t H   v0  1 2  2 .  y2  v0 sin  .t  2 gt  Khi đạn trúng máy bay: O x  v x  1  x vt  v0 cos  .t    v0   3 . 2 cos    1 2  y1  y2  H  v0 sin  .t  2 gt  1 gt 2   v tan   t  H  0  4.  2 1 Để đạn trúng máy bay thì phương trình (4) phải có nghiệm    v 2 tan 2   4. g.H  0. 2 2 gH 2 gH  tan     tan   min  . v v 1 1 Mặt khác: 2  1  tan 2    1  tan 2  , thay vào (3) ta được: cos  cos  2 2 gH v0  v 1  tan 2   v0 min  v 1   tan  min  v 1  2  v 2  2 gH . v GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -19/27-
  20. SKKN: Ứng dụng phương trình và hàm số bậc 2 để giải các bài tập Vật lí. Bài 3: Một quả bóng nhỏ, đàn hồi, được thả từ độ cao H xuống một mặt sàn. Trên đường đi, người ta đặt một tấm phẳng, va chạm với tấm phẳng là đàn hồi. a. Cần phải đặt tấm phẳng tại vị trí nào trên đường đi và đặt nghiêng bao nhiêu so với phương ngang để quả bóng rơi xa nhất vào bàn? b. Tính khoảng cách lớn nhất từ vị trí quả bóng bắt đầu rơi đến vị trí quả bóng rơi xuống bàn? Bài giải Giả sử tấm phẳng được đặt tại điểm I cách vị trí ban đầu của quả bóng một khoảng là h, và Y nghiêng một góc  so với phương ngang. Ngay trước va chạm vận tốc của quả bóng là m N v0  2 gh và có phương làm với pháp tuyến IN    v h 0 một góc là  . Vì va chạm là đàn hồi nên ngay I  H sau va chạm vận tốc của quả bóng cũng có độ lớn là v0 và làm với pháp tuyến IN một góc  . Tức  là nghiêng so với mặt phẳng ngang một góc 0 O X là   90  2 . Xét chuyển động của quả bóng ngay sau va chạm với tấm phẳng. Chọn hệ trục OXY như hình vẽ, gốc thời gian là lúc bóng vừa nẩy lên. x gt 2 x   v0cos  t  t  ; y   H  h  0  v sin   t  v0 cos 2 g Khi bóng chạm sàn: y = 0   H  h   tan  .x  2 x2  0 . 2v cos 0 gx 2 2  gx 2   tan   x tan    H  h   2   0 . 2v02  2v0  Điều kiện có nghiệm: 22 gx 2  gx 2  2 2v02  v02    x  2  H  h   2   0  x   H  h   (*) v0  2v0  g  g GV: Trần Văn Kiên Trường THPT chuyên Lương Văn Tụy -20/27-
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.03: Bộ 400 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2021
400 tài liệu
955 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2